Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи теорії ймовірностей

143

кількістю сумованих випадкових дій, що породжують у своїй сукупності випадкову

величину, яка і підпорядковується певному закону.

Властивість стійкості масових випадкових явищ відома людству з давнини і

полягає у тому, що конкретні особливості кожного окремого випадкового явища

майже не відбиваються на середньому результаті сукупності таких явищ, а

випадкові відхилення від середнього, що є неминучими в кожному окремому

явищі, в сукупності взаємно погашаються, нівелюються, вирівнюються.

Ця стійкість середніх значень є фізичним змістом так званого "закону великих

чисел", суть якого полягає в тому, що при дуже великій кількості випадкових

явищ середній їх результат практично стає невипадковим і може бути

прогнозований із достатньою визначеністю.

Можливості таких прогнозувань можна значно розширити, якщо торкатися не

окремих значень випадкових величин, а законів їх розподілу. Але тут вже мова йде

про так звану "центральну граничну теорему", яка в загальному сенсі доводить,

що при сумуванні достатньо великої кількості випадкових величин закон розподілу

суми необмежено наближається до нормального, якщо виконуються певні умови.

Різні форми закону великих чисел та різні форми центральної граничної

теореми утворюють сукупність так званих граничних теорем теорії ймовірностей.

2.6.1. Закон великих чисел

У вузькому сенсі під законом великих чисел у теорії ймовірностей розуміють

ряд математичних теорем, у кожній із яких для тих чи інших умов встановлюється

факт наближення середніх характеристик великої кількості експериментів до

деяких сталих величин.

Всі теореми закону великих чисел доводяться за допомогою леми, відомої під

назвою „нерівності Чебищева". Розглянемо цю лему.

Однією

найважливіших числових характеристик розсіювання будь-якої випадкової

величини Хе дисперсія D

або середнє квадратичне відхилення (стандарт) сг, які дають

орієнтовне уявлення про те, наскільки великими можуть бути відхилення фактичних

значень випадкової величини від її середнього значення. Однак, величини D

і а самі

по собі не дають відповіді на питання, з якими ймовірностями можуть з'явитися великі

відхилення, що є більшими від

<7..

Відповідь на це питання дає нерівність Чеоишева.

Розглянемо довільну з невідомим нам законом розподілу випадкову вез ичину X,

яка має скінченне математичне сподівання т

і дисперсію D

. Нерівність

збишева

стверджує, що яке б не було число а >

ймовірність того, що величина Хвц илиться

від свого математичного сподівання на величину більшу або рівну від завжди

обмежена зверху величиною ^f, тобто

Розділ III

Р{\Х -т

\> а) <

2 "

(2.213)

едення проведемо спочатку для дискретної випадкової величини X. Для

рипустимо, що вона задана рядом розподілу

Хі

XІ

х„

Рі

рі

Р2

Рп

есемо на числову вісь всі ці можливі значення величини Хта її математичне

ння т

(див. Рис. 2.26). Далі візьмемо деяке додатне число, яке відкладемо

уч і ліворуч від точки т

і знайдемо ймовірність того, що випадкова

іа X набуде значення, яке лежить поза відрізком [т

- а; т

+а], тобто

ю ймовірність Р(\Х—т

\>(Х)- Вона, очевидно, дорівнюватиме

Р(\Х-т

\>а)--

•• ЇРп

і=1

ІХі-т

\>а

(2.214)

береться для всіх тих значень індексу і, для яких \Х - т

\ > а .

а а

1 І І І < І І І 1 І І !

О х, Хі хз

іп

-а ,„

'«,

+ а

х„_2

-ї,,.І х„

Рис. 2.26

глянемо тепер вираз для дисперсії

= £(Х,. -т

)

Рі

= І\X,.-т

•

Рі

. (2.215)

і=і І=І

ез те, що всі члени суми (2.215) є величинами невід'ємними, то ця сума

ише зменшуватися, якщо сумування проводиться не по всіх значеннях

ни X. Тому має місце така нерівність:

> 1\х

-т

Рі

і=і

|.с,-т

.|>а

(2.216)

інимо під знаком суми множник |х. - т

\ на а і, через те, що |х. - т

\ > а,

сть (2.216) лише підсилиться і ми одержимо

> Za

- .

і=і і=і

\Xj-т

I >а \Xj-т

\ >а

(2.217)

Елементи теорії ймовірностей

145

Але тут Ер. означає ймовірність того, що випадкова величина X прийме

значення, яке лежить поза відрізком довжиною 2а. Отже, замість (2.217) можна

записати

-Р(\Х-т

\>а),

звідки

Р(\Х-т

\>а)<^-,

що і треба було довести.

Якщо величина Хе неперервною, то нерівність Чебишева доводиться так само,

тільки для цього ймовірності р. (і = \,п) заміняються елементами ймовірностей

J{x)dx, а суми - інтегралами.

Отже, нерівність Чебишева дає можливість оцінити ймовірність відхилень \Х

-т

\, що є більшими від будь-якого заданого числа а > 0, якщо є відомою дисперсія

. Так, наприклад, ми можемо знайти ймовірність того, що випадкова величина

X відхилиться від свого математичного сподівання т

на величину більшу або

рівну від За

. Справді, приймаючи в нерівності а = Зет. можна записати

Р{\Х-т

\>-і-а

)<-^-=

-. (2.218)

-о

Отримана, таким чином, оцінка ймовірності Р(\Х - т

\ > Зст

) є досить

наближеною. На практиці в більшості випадків ця ймовірність буває значно

меншою від 1/9. Для випадкової величини X, розподіленої, наприклад, за

нормальним законом, Р(\Х - т

\ > 3<т.) < 0,003. Така велика розбіжність

пояснюється тим, що при доведенні нерівності Чебишева ми двічі підсилювали

відповідні нерівності. Через це на практиці вважають, що в тому випадку, коли

закон розподілу випадкової величини є невідомий, а відомими є лише математичне

сподівання т

і дисперсія D

, то інтервал т

± Зо

є інтервалом практично

можливих значень випадкової величини. Це положення відоме нам під назвою

"правило трьох сигм".

Доведемо тепер теорему Чебишева. Для цього розглянемо спочатку

таку задачу.

Маємо деяку випадкову величину X з математичним сподіванням т

дисперсією D

. Для їх визначення проведено п незалежних випробовувань і

одержано результати

,X2,...,X

Розділ III

ідемо їх середнє арифметичне значення

їх,

. (2.219)

видно, що його теж слід вважати за випадкову величину. Позначимо його

тичне сподівання і дисперсію через т

і D

відповідно і прослідкуємо, як

угься ці характеристики середнього арифметичного зі збільшенням

;ті п випробовувань. Наведену сукупність результатів випробовувань

розглядати як п незалежних між собою випадкових величин, кожна з яких

ілена за тим сам™ законом розподілу, що і величина X. Через те, що

є арифметичне X є лінійною функцією цих незалежних випадкових

н, то згідно формули (2.86) маємо

1 « 1

m^=--ZM[X,] = ---n-m

. (2.220)

п і=1 п

;персію D

знаходимо за формулою (3.95)

D,=\-tD[X

) = ^. (2.221)

п /=і п

ормули (2.220) видно, що математичне сподівання середнього арифметичного х

жить від кількості випробовувань, тобто зі збільшенням п воно залишається

іим і дорівнює математичному сподіванню т

випадкової величини X.

кше веде себе дисперсія D

. Для необмеженого зростання кількості

ювувань вона зменшується і для досить великого п може стати дуже малою

іною. Отже, з формул (2.220) та (2.221) видно, що середнє арифметичне х

іиною з досить малою дисперсією і для великого п воно стає стійким, майже

t значенням, яке мало відрізняється від математичного сподівання т

сової величини X.

зрема Чебишева і встановлює в математичній формі цю властивість

[ього арифметичного наближатися до математичного сподівання. У

остішому частковому випадку сформулюємо цю теорему,

що Xj(і = \,п) є сукупність попарно незалежних випадкових величин і якщо

ш мають однакове математичне сподівання т

та однакову дисперсію D ,

гднє арифметичне

— 1 «

Х = (2.222)

/=!

сить великого п збігається за ймовірністю до математичного сподівання т

Елементи теорії ймовірностей 147

Перед тим як доводити цю теорему дамо пояснення - що означає поняття

"збіжність за ймовірністю ".У математичному аналізі говорять, що

змінна величина х

має своїм граничним значенням величину а, якщо для // ->

різниця х

- а стає як завгодно малою величиною. При цьому прямування л

до а

проходить за певним математичним законом, який дозволяє для заданого п

обчислювати х

. Крім того, звичайне математичне означення границі вимагає,

щоб для довільного є > 0 нерівність \х

-а\< є виконувалась для всіх значені. //,

більших від деякого наперед заданого числа N.

Однак, ці умови не будуть задовольнятися, якщо змінна величина д

(і

випадковою, тому що для п

—>

°° вона змінює свої значення не закономірно, а

випадково. Тому в теорії ймовірностей доводиться вводити особливе ІІОІІЯ1

І я

границі, яке відрізняється від звичайного математичного поняття.

У теорії ймовірностей говорять, що випадкова величина Х

збігається за

Ймовірністю ДО величини а, ЯКЩО ДЛЯ п

—>

оо ймовірність того, що X і а буду 11,

відрізнятись між собою на як завгодно малу величину є, наближається до одиниці,

тобто для досить великого п матимемо

Р{\Х

-а\<є)>\-8, (2.223)

де є і 8- довільні малі додатні числа; число а називається границею випадкової

ВеЛИЧИНИ Х

ДЛЯ Л —» оо.

Згідно наведеного означення поняття збіжності за ймовірністю сформульовану

вище теорему Чебишева в математичному сенсі можна записати так :

ЇХІ

/=1

<є

>1-5.

(2.224)

Доводиться вона

jBa

допомогою нерівності Чебишева. Як показано вище,

випадкова величина X має числові характеристики

т- = т ,

Застосовуємо до неї нерівність Чебишева (2.213), прийнявши в ній а = v.

Одержимо

Р(\Х-т

\>є)йЩ- = -%

є п-є

(2.225)

Але якою б малою не була величина є

ми можемо підібрати число п настільки

великим, щоб задовольнялась нерівність

Розділ III

п-е

(2.226)

довільне мале додатне число,

ді

Р(\Х-т

\>є)<8,

ереходячи до протилежної події, отримаємо

Р(\Х-т

\<є)>\-8,

(2.227)

реба було довести.

^ведена теорема в математичній формі є законом великих чисел. Основний

цього важливого закону полягає в тому, що в той час як окремі можливі

шя випадкової величини X можуть бути в значній мірі розсіяні, середнє

іетичне, отримане з достатньої кількості спостережень над випадковою

иною, веде себе в цьому відношенні зовсім інакше, а саме з ймовірністю як

що близькою до одиниці (практично подія є достовірною) воно приймає

ІНЯ, яке мало відрізняється від математичного сподівання т

жливе значення теорема Чебишева має для теорії похибок вимірювань. Вона

грунтування принципу математичної середини, який широко використовують

ірацювання результатів вимірювань. У математичній статистиці ця теорема

звлює властивість слушності оцінки параметрів розподілу,

зипустимо, наприклад, що для визначення деякої фізичної величини а

дено п рівноточних вимірювань і одержано результати х,, х

, ..., х

, які

ки помилковості вимірювань не є однаковими. За наближене значення

ини а беруть середнє арифметичне

сають його найточнішим та надійним значенням вимірюваної величини,

гравді, якщо вимірювання не містять систематичних похибок, то ті ж

ьтати вимірювань х, (і -

п) ми можемо розглядати як незалежні між собою

ц<ові величини з одним і тим же математичним сподіванням

ліерсією D

і згідно закону великих чисел вважати, що для досить великого п

•вірністю, близькою до одиниці, середнє арифметичне (2.228) буде як завгодно

відрізнятись від математичного сподівання шуканої величини а.

(2.228)

М[х,] = М[х

] = ...М[х

] - а

Елементи теорії ймовірностей 147

2.6.2. Узагальнена теорема Чебишева

При доведенні теореми Чебишева ми розглядали випадок, коли псі птичими

, ..., Х

мали одне і те ж математичне сподівання т

, і одне і те ж серг:ми

квадратичне відхилення а

. Однак, теорему можна узагальнити і для складнішої о

випадку, коли закон розподілу випадкової величини Xзмінюється прн перемий

від одного випробовування до другого. Для прикладу припустимо, що д пі

визначення деякої фізичної величини а проведено п серій (повних прийомні)

вимірювань у різних зовнішніх умовах їх у кожній серії. Очевидно, що н іп.ом\

випадку ми будемо мати справу не з однією, а з різними випадковими величин

ми

, ...,Х

з математичними сподіваннями М[Х^, М[Х

], ..., М[Х^ і дисперсіями

D[X^, D[X

], ..., D[XJ. У цьому більш загальному випадку середнє арифме

111 • 111 (.-

при збільшенні п приймає стійке значення і збігається за ймовірністю до псиної

сталої величини, а саме, якщо Х

, ..., X є незалежними виїїадкоіїимм

величинами з математичними сподіваннями

М[Х^\,

М[Х

], ..., М[Х^

дисперсіями

D[X^, D[X

], ..., D[X^ і якщо всі дисперсії обмежені зверху одним і тим же числом

С > D[X.] (і = \,п), то при зростанні п середнє арифметичне із резульїапи

спостережень збігається за ймовірністю до середнього арифметичної о і

математичних сподівань М[Х^ (і = !,«), тобто

Іх, І міх]

<є

>1-5.

(2.229)

Ця теорема називається узагальненою теоремою Чебишева і доводиться

аналогічно попередній теоремі.

Узагальнена теорема Чебишева може бути поширена і на залежні випадкові

величини. Таке подальше узагальнення закону великих чисел виконав російський

математик А.А.Марков і подав у вигляді такої теореми:

Теорема. Якщо випадкові величини Х

виконується умова

X є залежними для п ->•-•/

ЇХ,

_і=1

Розділ III

due арифметичне спостережених значень випадкових величин Х

..., Х

гься за ймовірністю до середнього арифметичного їх математичних

нь.

рема доводиться аналогічно попереднім теоремам і записується виразом

і і

< є >1-8

(2.230)

прямий наслідок закону великих чисел може бути доведена теорема

лі, яка встановлює зв'язок між відносною частотою появи деякої події

разових випробовуваннях та ймовірністю цієї події Р{А).

шустимо, що проводиться п незалежних випробовувань, у кожному з яких

'явитися або не з'явитися деяка подія А з ймовірностями р і q - 1 - р

дно. Теорема Я.Бернуллі стверджує, що для необмеженого зростання

:ті випробовувань п частота — появи події А збігається за ймовірністю до

ності р цієї події, тобто

--р

< є

п п

>1-5.

(2.231)

ко показати, що теорема Я.Бернуллі є частковим випадком теореми

ева.

рикладі 6 параграфу 2.5 показано, що математичне сподівання випадкової

ни X, яка є сумою деяких величин Х,(і = 1 ,п) (результатів багаторазових

іовувань) дорівнює пр, а дисперсія такої величини - n-p-q.

:видно, що відносна частота — буде

+Х

+ ... + Х„ _ ^ '

1 «

= — І,М[Х

] = р, (2.232)

п і

D* = (2.233)

п п п

Елементи теорії ймовірностей

151

Застосовуючи до величини — нерівність Чебишева, одержимо

< є

= 1-

Р-Я

п-е

(2.234)

Але якою малою б не була величина є, ми можемо підібрати число п настільки

великим, щоб виконувалась нерівність

р-д

п-е

<5,

де 5-довільне мале додатне число. При цій умові нерівність (2.234) перепишемо

у вигляді

—

< є

>1-5,

(2.235)

що і треба було довести.

Узагальненням теореми Бернуллі на випадок, коли випробовування

виконуються в неоднакових умовах, що викликає зміну ймовірності події А в

кожному випадку, є теорема Пуассона. Сформулюємо її.

Теорема Пуассона. Якщо виконується п незалежних випробовувань і

ймовірність появи події А в і-му випробовуванні дорівнює р

(і = \,п), тоді при

збільшенні кількості випробовувань п, відносна частота події А збігається tu

ймовірністю до середнього арифметичного з ймовірностей p., тобто

ЇРі

/=1

<є

п п

<є

>1-5

(2.236)

Наведена теорема доводиться на основі узагальненої теореми Чебишева.

Теорема Пуассона має велике практичне застосування, оскільки умонн

випробовувань, як правило, не бувають однаковими, і ймовірність події,

яка нас цікавить, змінюється від випробовування до випробовування.

Одночасно відносна частота появи події в реальних умовах наближається

до деякої середньої ймовірності цієї події, яка є характерною для даної

групи умов.

Розділ III

).3. Поняття про центральну граничну теорему теорії ймовірностей

ше було відзначено, що нормальний закон є найбільш розповсюдженим законом

лу ймовірностей випадкових величин і що серед усіх інших законів він займає

іьне місце. Тоді постає запитання, а які причини обумовлюють таке особливе

ачення і які закономірності щодо випадкових величин лежать у його основі?

їва нормального закону тісно пов'язана з дуже важливою в теорії

ностей схемою "сумарного ефекту впливу великої кількості незалежних

і". Суть її полягає в тому, що кожне явище в природі або в техніці можна

дати як процес, що проходить під впливом великої кількості незалежно

. факторів, кожний із яких лише незначно змінює хід процесу. Дослідник,

івчає цей процес в цілому, спостерігає лише сумарний вплив цих факторів,

іприклад, коли ми проводимо вимірювання деякої фізичної величини, то

іточний його результат неминуче діє велика кількість причин, вплив яких

можемо врахувати. І хоча кожна з них спричиняє появу незначної

ітарної похибки на остаточний результат вимірювання, однак всі вони

іють разом і суму їх впливу можна назвати "сумарним впливом великої

сті незалежних причин". Отже, у зв'язку із цією схемою виникає запитання,

законові розподілу підкоряються суми великої кількості незалежних

кових величин, кожна з яких мало впливає на саму суму. Відповідь на це

ня подано А. Ляпуновим у теоремі, відомій під назвою центральної

чної теореми теорії ймовірностей. У стислій і спрощеній формі зміст цієї

ЛИ

є таким: розглянемо послідовність взаємно незалежних випадкових

лн X

, ..., Х

, які мають скінченні математичні сподівання М[Х

] = т

gci'i М[(Х

~т

)

] = а

і абсолютні треті центральні моменти М[\Х

-т

]=ц

п). Утворимо суму

S„ = ІХ

, (2.237)

к=\

іатичне сподівання і дисперсія якої визначатимуться за формулами

M[S

]=tM[X

]=im

, (2.238)

к=1 А:=1

D[S

]=tD[X

]=tcт

к=1 к=1

ззглянемо тепер нормоване відношення

_S„-M[S

]

" л/^Л

(2.239)

(2.240)