Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи теорії ймовірностей

133

/ІУІх) = Ду). (2.194)

Покажемо тепер, що залежність або незалежність між величинами X і У с

взаємними, тобто якщо величина Гне залежить від X, то і величина

XHQ

залежить

від У. Справді, припустимо, що Гне залежить від X. Тоді

f(y/x)

= f

(y). (2.195)

Прирівнюючи праві частини формул (2.187) і (2.188) маємо

A(x)f(y/x)^f

(y)f(x/y), (2.196)

звідки, приймаючи до уваги умову (2.195), після скорочення одержимо

/,(•х) =

/(х/у),

(2.197)

що означає незалежність величини Хв'щ Y.

Якщо величини системи (X, У) є незалежні, то для них теорема множення

законів розподілів приймає такий вигляд

f(x,y) =

f(x)f

(y),

(2.198)

тобто функція густини розподілу ймовірностей системи двох незалежних і

неперервних випадкових величин дорівнює добутку функцій густин розподілу

цих величин. Ця теорема випливає з формул (2.187) або (2.188).

Приклад 3. Закон розподілу двовимірної системи (X, У) задано таблицею

Хі

хг

А'З

РІУ)

0,10

0,30 0,2 0,60

У2

0,06 0,18

0,16 0,40

Потрібно знайти умовний закон компоненти Хпри умові, що компонента )'

прийняла значення у .

Розв'язання. Обчислимо сукупність ймовірностей

р(х

/у

),р{х

/у^,р(х

/у),

скориставшись для цього формулою (2.23)

р{у

) 0,60 6

РІУ\) 0,60 2

Розділ III

р(х

/у

) =

РІУх) 0,60 З

онтрольне співвідношення у цьому випадку буде

Р(х/у

) +р(х

Уі

) +р(х/у

) = 1/6 + 1/2 +1/3 = 1.

[риклад 4. Двовимірна випадкова величина (X, У) задана диференціальною

цією

f(x,y) =

7t Г

У, ЯКЩО X

+ У

0 , ЯКЩО X + у > г .

[отрібно знайти умовні закони розподілу ймовірностей компонент.

'озв'язания. Знайдемо умовну густину розподілу складової X системи (X, Y),

иставшись виразом (2.192)

2 1

jf(x,y)dx

л г

-V7&

лг

)тже

Ах/у)-

2 л//*

-х

•, якщо \у\<^г

-х

якщо

2 2

г -х ,

іькиf{x,y)

= 0, якщо х

+ у

> г

. Аналогічно, скориставшись виразом (2.191),

жладової У матимемо

fiylx):

якщо

М<л/

2 2

г -У ,

2^=7'

0 , якщо |х| > yjr

- у

2.5.3. Числові характеристики системи двох випадкових величин

ї § 2.3 були розглянуті числові характеристики однієї випадкової величини X,

<и відомо, що вони можуть бути зображені початковими або центральними

Елементи теорії ймовірностей

135

моментами певного порядку. За такими ж правилами можна визначити і числові

характеристики системи двох або більше випадкових величин.

Тому спочатку дамо означення початкового та центрального моментів системи

двох випадкових величин.

Початковим моментом r, s-го порядку системи

(X, У)

називається математичне

сподівання добутку X

, тобто

=M[rr]. (2.193)

Центральним моментом r, s-го порядку системи (X, Y) називається матема тичне

сподівання добутку r-то і 5-го степенів відповідних центрованих випадкових

о о

величин X, Y, тобто

,=M[X

У'], (2.194)

де X = X-m

, Y - Y - т

Для безпосереднього обчислення моментів, поданих виразами (2.193) і (2.194),

використовують такі формули: для дискретних випадкових величин

п т

,,=Z Wy)Pij, (2.195)

(=і j=і

п т

= S 1(

і - т

У (У]

- т

У Ру

. (2.196)

і для неперервних випадкових величин

., = 7 h

f(x,y)dxdy, (2.197)

= ї ](х-т

У(у-т

У f(x,y)dxdy, (2.198)

де Pij = Р(Х = x

Y = уj) - ймовірність того, що система {X, Y) прийме значення

(х.,

)

(і = 1, 2,..., n;j =1,2,..., m),f[x,y) - функція густини розподілу ймовірностей

системи (X, У).

Числа г і s вказують на порядок моменту відносно кожної окремої величини

системи (X, У). Але крім них розрізняють ще сумарні порядки моментів, що

Розділ III

оть сумі r + s показників степенів для величин Xі У. Найбільш важливими

оменти першого і другого порядків.

[і

початкові моменти є відомі вже нам математичні сподівання величин Хі Y

т = v, о =M[X

]

Y°] = M[X],

(2 199)

=M[X°Y'] = M[Y).

метричній інтерпретації вони означають координати середньої точки на

, біля якої групуються інші можливі точки системи.

иве значення мають також другі центральні моменти системи

(2.200)

чають дисперсії величин X і Y. Вони характеризують розсіювання

зих точок системи в напрямках координатних осей Ол і Оу відповідно.

і центральних моментів системи (X, Y) особливе місце займає так званий

мішаний центральний момент

\і

=[Х Y] = M[(X-m

W-m

)], (2.201)

ивається кореляційним моментом або моментом зв'язку (коваріацією)

дковими величинами X, Y і позначається через К або cov(X, Y).

Зого безпосереднього обчислення існують формули для дискретної

зої системи (X, Y)

п т

COv(x,y)

= К

ху

= £ -т

)(у;-т

)р

і;

(2.202)

/=іj=\

ерервної

со\{х,у) = К

ху

=] ](x-m

)(y-m

)f(x,y)dxdy. (2.203)

—оо —оо

иве значення кореляційного моменту пояснюється тим, що він крім

ння величин Хі Охарактеризує ще і зв'язок між ними.

жемо, що для незалежних між собою випадкових величин X і Y

йний момент К = 0.

.ЇЇ'

Елементи теорії ймовірностей

137

Для доведення припустимо, що Хі У- незалежні і неперервні величини системи

(X, Y) з функцією густини розподілу J{x, у). У цьому випадку матиме місце

співвідношення (2.198).

Підставивши (2.198) у формулу (2.203), одержимо добуток двох інтегралів

ху = ](x-m

)flx)dx](y-m

(y)dy

кожен із яких є центральним моментом першого порядку і дорівнює нулеві. Отже,

для незалежних випадкових величин К

ху

= 0. Навпаки, рівність нулеві моменту К є

ознакою того, що між випадковими величинами Х

'і

Усистеми (X, Y) існує залежність.

Із формули (2.201) видно, що величина кореляційного моменту К залежить не

тільки від міри зв'язку між величинами Хта У, а і від їх розсіювання. Тому, щоб

одержати величину, яка характеризувала б лише міру зв'язку між випадковими

величинами системи (X,

У),

переходять до безрозмірної характеристики

, -

'ху '

(2.204)

т —

ху

CO v(x,y)

яку називають коефіцієнтом кореляції.

Тут о

і а - стандарти (середні квадратичні відхилення) величин X і У.

Очевидно, що для незалежних випадкових величин X і У коефіцієнт кореляції

дорівнює нулеві.

У загальному випадку, коли величини X та У пов'язані довільною

ймовірнісною залежністю, коефіцієнт кореляції г може приймати значення в

межах від -1 до 1, тобто

-1 < г < +

.VI

Якщо г > 0, то говорять про позитивну (зі знаком "плюс") кореляцію між

величинами Хта У, а у випадку, коли г < 0, то існує негативна (зі знаком "мінус")

кореляція між величинами Хта У.

2.5.4. Числові характеристики системи декількох випадкових величин

Найчастіше для опису системи декількох випадкових величин не використовують

досить громіздкий апарат законів розподілу системи, а застосовують наближене

описання системи за допомогою мінімальної кількості числових характеристик.

Така мінімальна кількість числових характеристик для описання системи п

випадкових величин х,(і = 1 ,п) обмежується такими із них:

Розділ III

т, (і = 1, гі) - математичні сподівання, які характеризують середні значення

іин;

Z).

(і -\,п) - дисперсії, які характеризують їх розсіювання;

0 0

cov(x

;

^) = Ку = М[Х, Yj] (i,j = 1 ,п, і

j) - кореляційні моменти (коваріації),

рактеризують попарну кореляцію всіх величин, що входять у систему,

іуважимо, що дисперсія кожної з випадкових величин є частковим випадком

іяційного моменту, тобто

=:M[X

] = M[Xf}-

зі кореляційні моменти і дисперсії зручно зображати у вигляді матриці

2Х

пІ

п2

2п

к„

ізивається коваріаційною матрицею системи випадкових величин Х

(і = \,п)

•

скільки К.. = К.. згідно означення кореляційного моменту, а К.. = D., то

зіаційну матрицю можна зобразити як верхню трикутну

А К

\,г

2п

кщо випадкові величини незалежні між собою (некорельовані), то всі

:нти коваріаційної матриці крім діагональних дорівнюватимуть нулеві, тобто

перетворюється на діагональну

А 0 0

О ••• о

асто на практиці замість коваріаційної матриці користуються так званою

юваною коваріаційною або кореляційною матрицею, елементами якої є

іцієнти кореляції

Елементи теорії ймовірностей

139

cov(x

y,) . . —

lj = l,J=\,n.

Така нормована матриця має вигляд

Із •

••

\п

23 •

•• hn

1 •

•• hn

• V у

діагональні елементи якої дорівнюють одиниці.

2.5.5. Додаткові теореми про числові характеристики випадкових величин

У § 2.3 ми розглянули властивості числових характеристик випадкової

величини, які дозволяють знаходити числові характеристики деяких функцій,

якщо є відомими закони розподілу аргументів.

Однак, у багатьох випадках для знаходження числових характеристик функцій

немає необхідності знати закони розподілу аргументів, а достатньо знати тільки

деякі їх числові характеристики.

Крім цього, знаючи, що аргументами функцій можуть бути залежні між собою

випадкові величини, числові характеристики таких функцій відрізнятимуться від

тих, про які говорилося раніше.

Розглянемо деякі теореми.

Теорема 1. Математичне сподівання добутку двох залежних випадкових

величин X та Y дорівнює добутку їх математичних сподівань плюс кореляційний

момент, тобто

M[XY] = M[X]-M[Y] + K

. (2.205)

Доведення. Згідно означення кореляційного моменту маємо

=M[{X-m

)(Y-m

)] = M{X-Y-m

-Y-m

-X + m

-m

] =

= М[Х

•

Y] - т

•

- т

•

+ т

•

= М[Х

•

Y] - М[Х] •M[Y].

Теорему доведено.

Розділ III

еорема 2. Дисперсія суми двох залежних випадкових величин X та Y

\ює сумі їх дисперсій плюс подвоєний кореляційний момент, тобто

D[(X + Y)] = D[X] + D[Y] + 2 К

ху

(2.206)

(ведення. Введемо позначення

X + Y = Z (2.207)

зрмулою (2.87) матимемо

M[Z] = M[X] + M[Y]. (2.208)

днімаючи почленно від рівності (2.207) рівність (2.208), одержимо

ооо

Z = X+Y. (2.209)

ідно означення дисперсії запишемо

о о о 0 0

D[(X + Y)] = D[Z] = M[Z

] = М[Х

] + M[Y

] + 2M[XY]'

D[(X + Y)] = D[X] + D[Y]

реба було довести.

юрема узагальнюється на довільну кількість доданків, тобто

І*,

(=і

= ІО[Х

] + 2ІІК

1=1 i=lj>i

(2.210)

- кореляційний момент величин Хта X.

еорема 3 . Дисперсія лінійної функції декількох випадкових величин

чається за формулою

і=і

= la

D[X

] + 2-ZZa

1 = 1 1 = 1 j>i

(2.211)

b - сталі величини.

іраз (2.211) є очевидним із врахуванням попередніх теорем.

кщо величини X

{i = 1,и) є попарно незалежними, то К..= 0 і вираз (2.211)

viae вигляд

Їа^і+Ь;

і=І

/=і

(2.212)

Елементи теорії ймовірностей

141

тобто дисперсія лінійної функції незалежних випадкових величин дорівнює сумі

добутків квадратів коефіцієнтів на дисперсії відповідних аргументів.

Розглянемо приклади, де використовуються теореми про числові характеристики.

Приклад 5. Довести, що якщо випадкові величини X

та

Y пов'язані лінійною

функціональною залежністю Y= aX+ b, то їх коефіцієнт кореляції дорівнює

або 1.

Доведення. Запишемо вираз кореляційного моменту, із врахуванням їх лінійної

залежності

ху

= M[XY~\-M[(X - m

)(Y -m

)] =

= M[(X-m

)(aX + b-a-m

-b)} =

- M[a(X -m

)

] = a- D[X], D[X] - дисперсія величини X.

Коефіцієнт кореляції має вигляд

ху

ху =

Знайдемо середнє квадратичне відхилення <т, для чого спочатку визначимо

дисперсію

=D[aX + b] = a

D[X].

. . . aD[X] a

Тоді о у =

і г

ху

-—j—у-

^—-,

тобто якщо a > 0 , то г

ху

= 1, а якщо a < (),

тог =-1.

ху

Приклад 6. Виконується п випробовувань, у кожному з яких з'являється або не

з'являється подія А. Ймовірність появи події А в z'-му випробовуванні дорівнює р

Знайти математичне сподівання кількості появи події.

Розглянемо випадкову величину X - кількість появи події А у всій серії

випробовувань п.

Очевидно, випадкову величину Xможна розбити на випадкові величини

*,-(«= й)

де Х

- кількість появи події А у першому випробовуванні, Х

- кількість помни

події А у другому випробовуванні і т.д.

Тоді X=f

і=1

Розділ III

сна з величин X. є дискретною величиною з двома можливими значеннями,

озподілу буде

х,

0 1

Рі Ці Рі

ЯІ

-Р, 0 =1, ")•

еоремою додавання математичних сподівань маємо

= І> ,

/=і

- математичне сподівання величини X .

значенням математичного сподівання

=0-q,+l-p,=P, (і - \,п)

™

=ЇРІ ,

і=і

іатематичне сподівання кількості появи події при багатьох випробовуваннях

зє сумі ймовірностей появи події в окремих випробовуваннях,

jo умови випробовувань є однаковими, то

= Рг = -=Рп=Р

= пр,

0 отримано у параграфі 2.4. Аналогічно, як і математичне сподівання,

знайти дисперсію кількості появи події при повній кількості незалежних

овувань

=tPiqi,

і=і

однакових умовах випробовувань

= npq,

>ж отримано у параграфі 2.4.

§ 2.6. Граничні теореми теорії ймовірностей

іуло відзначено в параграфі 2.1 теорія ймовірностей вивчає закономірності,

упорядковуються масові випадкові явища. Масовість таких явищ пов'язана

ою кількістю однорідних випробовувань (експериментів) або з великою