Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи теорії ймовірностей

153

та функцію розподілу цієї величини F

(z) = P{Z

< z). Тоді, якщо для

задовольнятиметься умова А. Ляпунова

ІЩХ

-т

]

lim — >0, (2.241)

то для довільного заданого дійсного числа z виконуватиметься така рівність:

lim F

(z) = N(ZM) = -jL=r

•

dz, (2.242)

4'ln —

тобто, при наявності умови (2.241) закон розподілу суми великої кількості

незалежних доданків буде асимптотично наближатися до нормального закону

розподілу.

Пропускаючи доведення теореми Ляпунова, відзначимо, що фізичною суттю

умов, при яких граничним законом розподілу суми незалежних випадкових

величин буде нормальний закон, є відсутність в сумі S

доданків, які за своєю

величиною можуть приймати значення однакового порядку зі самою сумою.

Інакше кажучи, роль окремих доданків в утворенні суми є незначною для

необмеженого зростання кількості доданків.

2.6.4. Зв'язок між біноміальним і нормальним законами

розподілу ймовірностей. Теорема Муавра-Лапласа

Розглянемо таку задачу: відомо, що ймовірність Р того, що деякий виріб

виробництва буде нестандартним, дорівнює 0,02. Для дослідження якості

продукції цього виробництва, виготовленої протягом певного проміжку часу

довільним способом відібрано 1000 виробів. Визначити ймовірність того, що в

цій партії кількість нестандартних виробів буде а) рівно 30; б) не менше 10 і не

більше 40.

Розв'яжемо її. Припускаючи, що випадкова величина X - кількість

нестандартних виробів у даній партії, підпорядковується біноміальному закону,

розв'язок задачі можна знайти за формулами

= (2.243)

(\0<т< 40)= lP

{m)=lc:.p

-q"-

-lc:

-p'».

"-\ (

.244)

ш=10 т=0 т=0

звідки видно, що обчислення ймовірностей пов'язано зі значними технічними

труднощами. Тому бажано мати такі наближені формули, які давали б можливість

Розділ III

зсить великих значень п і т значно простіше обчислювати ймовірності

і, виразами (2.243) і (2.244). Одну із них запропонував вперше Муавр для

звого випадку p-q= ^ схеми Бернуллі. Потім вона була узагальнена

іузьким астрономом і математиком Лапласом для довільного значення

рностір, відмінного від нуля та одиниці. Дана формула подається у вигляді

чної інтегральної теореми Муавра-Лапласа. Сформулюємо її.

їорема Муавра-Лапласа. Якщо деяка подія А відбувається т

серії з

незалежних випробовувань, в кожному з яких ймовірність появи цієї

орівнює р{ 0 < р < 1), тоді рівномірно відносно aib <а<Ь< +°°) для

я—

сце співвідношення

ІітР

П—>о°

а<

<Ь

Jn-p-q

1 ь J-

\е

dt, (2.245)

л/2тг

- границі інтервалу для нормованої випадкової величини

Y^^Z. (2.246)

V»•p-q

орема Муавра-Лапласа стверджує, що нормальний закон є граничним для

іального закону, якщо кількість випробовувань п необмежено зростає,

зглянемо детально застосування наведеної теореми.

жпустимо, що випадкова величина X підпорядковується біноміальному

у розподілу ймовірностей, тобто

Р(Х = т) =

С™ •

• q"~

їді, її числові характеристики можна обчислити за формулами

М[Х] = п-р, D[X] = n-p-q, o = Jn-p-q , (2.247)

[ ВИДНО,

ЩО

ВОНИ необмежено зростають

ДЛЯ

И—>оо.

об мати справу з випадковою величиною, дисперсія якої обмежена, від

ини X перейдемо за формулою (2.246) до її нормованого відхилення Y.

т значення t

і t

нормованих відхилень, що відповідають двом

JOBHHM значенням т і т+1 величини X, відрізняються на величину

m + 1-n- р т-п-р 1

і ~ і (2.248)

yjn-p-q -Jn-p-q ^п- p-q

іеншується при збільшенні п для даного значення ймовірності р.

зьмемо тепер два крайніх можливих значення t' і t" (t' < t") нормованих

іень. їм відповідатимуть два значення т і т" величини X, які згідно формули

) будуть такими:

Елементи теорії ймовірностей 155

т ' = п-р + Ґ

•

yjn-p-q,

Ймовірність того, що нормована випадкова величина Употрапить на інтервал

(Ґ;

t")

дорівнюватиме

( ^

P(t' <Y <t") = Р

. Х-п-р „

t < < t

= Р{т<Х<т") =

yjn-p-q

= Р(п• p + t' -yln- p-q <Х <п- p + f-Jn-p-q),

або, згідно теореми додавання ймовірностей

т"

Р(т <Х <tn)= ZP„(m).

(2.250)

(2.251

Останню суму легко обчислити за формулою (2.245) причому, при зростанні

п вона стає точнішою, тобто

, X -пр

t < ,

< t

Jnpq

л/2Л !•

le~idt

(t')-<P

(t').

(2.252)

Доведення теореми Муавра-Лапласа опущено. Зауважимо лише, що при її

доведенні можна одержати ще одну важливу так звану локальну теорему Муавра-

Лапласа. Сформулюємо її.

Локальна теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність

появи

деякої події А в серії з п незалежних випробовувань є сталою та дорівнює р, то

ймовірність Р

(т) того, що в цій серії подія А з'явиться m разів для достатньо

великого п приблизно дорівнює

Р„(т)~

уі2я

•At.

(2.253)

Продовжуючи розв'язувати задачу, знайдемо нормовані відхилення

т-пр 30-1000-0,02 10

yjn-p-q V1000-0,02-0,98 4,41

]

-п-р 10-20

= 2,2685.

t =

yfn-

p-q

4,41

= -2,268,

г =

щ-п^р

40-20

и4>535

v«

•p-q

4,41

Розділ III

і At = .

= — я 0,277,

\jn

p-q 4,41

ого за таблицею значень функції (p{t

) = .— е

для аргументу t

= 2,268

л/2тг

Додаток, табл.1) і Ф

(0 = J<p(x)d!x для аргументів t = - 2,268 та t = 4,535

{одаток, табл.2) отримаємо

<р(2,268) = 0,283,

(-2,268) = -Ф

(2,268) = -0,48834,

(4,535)-0,5000.

же,

30) = 0,0283

•

0,227 = 0,006 - ймовірність того, що відібрано 30 нестандартних

ів;

10 <т< 40) = Ф

(0~Фо(/) ~ 0,98834 - ймовірність того, що кількість

щартних виробів є не меншою від 10 і не більшою від 40.

РОЗДІЛ in

ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ

СТАТИСТИКИ

§ 3.1. Статистичні (варіаційні) ряди та їх характеристики

Збір експериментальних даних називають статистичним сносіо-

реженням. Його метою є реєстрація об'єктів спостереження, які складаю

11,

деяке масове явище. Отриманий зі статистичного спостереження первиппмії

матеріал для подальшого використання та виявлення типових рис явища, яке

вивчається, треба певним чином згрупувати. Для цього спостережені об'єк

ти

слід

розподілити в групах так, щоб кожна з цих груп складалася з якісно (а часто і

кількісно) однорідних в певному відношенні елементів.

Наприклад, маємо партію деталей (нехай це буде лімб теодоліта). Якісною

ознакою може бути його (лімба) стандартність, а кількісною - розмір (діаметр).

Інколи виконують суцільне дослідження, тобто досліджують кожний із об'єкті

сукупності відносно ознаки, яка цікавить дослідника. Однак, таке дослідження

на практиці буває не частим (особливо, якщо сукупність містить в собі велику

кількість об'єктів). Найчастіше вибирають зі всієї сукупності обмежену кількість

об'єктів та вивчають їх.

Таку випадково відібрану сукупність об'єктів називають в и б і р к о в о іо

сукупністю або вибіркою. Сукупність всіх об'єктів, із яких проведено

відбір, називають генеральною сукупністю.

Кількість об'єктів генеральної або вибіркової сукупності називаючі,

обсягом. Наприклад, з N= 1000 лімбів відібрати п = 100 для дослідження його

діаметра. Тут N= 1000 - обсяг генеральної сукупності, а п = 100 - обсяг вибірки.

Різниця між найбільшим і найменшим елементами вибірки {R = x

-.v

min

)

називається її розмахом.

Вибірки можуть бути повторними та безповторними. Безповторна - це така

вибірка, коли відібраний об'єкт у генеральну сукупність не повертається, а

повторна - це вибірка, коли відібраний об'єкт повертається у генеральну

сукупність перед вибором наступного. На практиці в більшості випадків

користуються безповторним випадковим відбором.

Розділ III

я того, щоб за даними вибірки впевнено судити про ознаку, яка цікавить

дика, необхідно, щоб об'єкти вибірки правильно її (ознаку) зображали,

вимогу коротко формулюють так: вибірка повинна бути р е п р е -

ативною (представницькою). Така ситуація буде при умові,

;ожний об'єкт має однакову ймовірність попасти у вибірку,

іують також різні методи відбору. їх можна поділити на два види.

рший - відбір, який не вимагає поділу генеральної сукупності на частини;

зідносяться:

простий, випадковий безповторний відбір;

простий, випадковий повторний.

угий - відбір, при якому генеральну сукупність поділяють на частини; сюди

:яться:

типовий відбір;

механічний;

серійний.

іповим називають відбір, при якому об'єкти відбираються не зі всієї

ільної сукупності, а з кожної її типової частини. Наприклад, якщо деталі (у

іу прикладі лімби) виготовлено на різних станках, то відбір роблять тільки

іеталей, які виконано на одному станку.

кий відбір роблять тоді, коли ознака, яка досліджується, коливається у

: типових частинах генеральної сукупності.

еханічним - називають відбір, при якому генеральна сукупність

ічно поділяється на стільки груп, скільки об'єктів повинно увійти до вибірки,

:ної такої групи відбирається один об'єкт. Наприклад, якщо треба відібрати

іиготовлених лімбів, то відбирають кожний п'ятий лімб, а якщо 5% - тоді

їй двадцятий лімб.

:ід зауважити, що можуть бути випадки, коли механічний відбір може не

іечити репрезентативності вибірки.

е р і й н и й відбір - це такий, коли об'єкти відбирають із генеральної

ності не по одному, а цілими серіями, які досліджуються суцільно,

іклад, зі станків-автоматів (якщо їх багато) вибирають групу виробів із

к з них. Частіше відбір буває комбінованим, коли розбивають генеральну

ність випадковим чином на серії однакового обсягу, а потім простим

ковим відбором з кожної серії беруть окремі об'єкти,

же, вибірки є тим первинним статистичним матеріалом, який використовується

ідальших досліджень. Для зручності елементи вибірок оформляють у вигляді

ць, які називають статистичними рядами,

ростим статистичним рядом називається таблиця, в якій у

>му рядку записують номер (/) експерименту (елемента вибірки), а у другому

Елементи математичної статистики

І КІ

рядку відповідне спостережене значення випадкової величини х., яке називається

варіантою. Таблиці такого вигляду називають ще статистичними рядами

незгрупованих даних.

Як правило, буває так, що спостережені значення х. (г = 1,2,..., п) зустрічаються

не один раз. Тоді обчислюють кількість разів т. (частоту), з якою зустрічається

кожне спостережене значення, і будують ряд за зростаючим порядком варіант у

першому рядку, а у другому записують відповідні частоти т.. Такий ряд

називається варіаційним.

Інколи варіаційні ряди будують за відносними частотами

0,=

т.

(3.1)

де Е'И,- = п - обсяг вибірки.

Нехай, наприклад, вивчається ознака - діаметр лімба. Відібрано 50 лімбів з

розміром діаметра в мм: 83, 82, 84, ..., 79, 81, 85, 82, 81; п = 50 - обсяг вибіркової

сукупності. Позначимо ознаку, що вивчається, через X, тоді кожне спостережене

значення цієї ознаки (варіанти) будех,, х

,..., х

(тобто 83,85,...), а числа m

,...,т

їх частотами.

Розмістивши окремі значення ознаки у зростаючому порядку та вказавши

поряд частоту ознаки, отримаємо розподіл ознаки у вигляді варіаційного ряду

(див. табл. 3.1)

Таблиця 3. /

Окремі значення х,

ознаки

(діаметр лімба), мм

Х\

Х4

Хб

Ху Обсяг

вибірки

(всього

лімбів)

Окремі значення х,

ознаки

(діаметр лімба), мм

80 81 82

83 84

Обсяг

вибірки

(всього

лімбів)

Частоти т,-

(кількість лімбів)

т\

ті

тз

ти

Ш5

ОТб

ті

Частоти т,-

(кількість лімбів)

5 10 14

8 4

Такий ряд характеризує зміну (варіацію) деякої кількісної ознаки (в нашому

випадку діаметра лімба).

Варіація ознаки може бути дискретною і неперервною.

Дискретною варіацією називається така, коли окремі значення ознаки

(варіанти) відрізняються між собою на деяку скінчену величину (як правило, на

ціле число).

Неперервною називається варіація, при якій значення ознаки

відрізняються між собою на як завгодно малу величину. Наприклад, похибка у

числовому значенні діаметра лімба (або в довжині його кола). При неперервній

варіації (іноді при дискретному такті) розподіл ознаки зображають так званим

Розділ III

:рвальним статистичним рядом. У цьому випадку частоти

юяться не до окремого значення ознаки, а до всього інтервалу. Тобто, точні,

ретні значення ознаки залишаються невідомими, оскільки частота показує

ість елементів вибірки, у яких ознака, що вивчається, приймає значення в

х певного інтервалу.

ля зручності подальшого опрацювання статистичних даних, зображених

вальними статистичними рядами, "представником" інтервалу вважають його

[ину. Крім цього, замість абсолютних значень частот тут використовують

»сні величини, тобто відносні частоти Q.(i =1,1).

аблиці даних, згрупованих за частотою або за відносною частотою називають

тистичними рядами згрупованих даних,

таблиці 3.2 зображено інтервальний статистичний ряд розподілу похибок

шзначенні діаметра лімба.

Таблиця 3.2

Інтервали

похибок (мм)

[-2,0 - 1,0)

[-1,0-0)

[0-1,0) [1,0-2,0)

[2,0 та

більше]

Середина

інтервалу

-1,5

-0,5

0,5

1,5

умовно 2,5

Кількість

похибок т,

10 32

50 6

Відносна

частота Q,

ОДО

0,32 0,5

0,06 0,02

ауважимо, що кожному інтервалу належить тільки один з його кінців (правий

іівий). У таблиці 3.2 інтервалу належить лівий кінець.

(ля вибору оптимальної довжини інтервалу, тобто такої, при якій

ястичний ряд не буде громіздким та в ньому не зникатимуть особливості

да, рекомендовано формулу Стерджеса

—

max

-^min

/т у\

+ 3,21gn '

Іаприклад, обсяг вибірки п = 200, найбільша варіанта х

пюх

= 85,3, а найменша

= 79,6. Тоді

85,3-79,6 _

+ 3,2 lg 200 ' '

Іайпростішими інтервальними статистичними рядами є ряди з однаковими

кинами інтервалів (такий зображено таблицею 3.2). Але можна будувати ряди

зними довжинами інтервалів.

Ікщо частоти (коли вони є відомими, як в таблиці 3.2) неперервного

истичного ряду поставити у відповідність серединам інтервалів, то отримаємо

:ретний розподіл, який відповідає даному неперервному.

Елементи математичної статистики

І КІ

Для неперервних розподілів, особливо тих, які мають різні довжини ін іериалін,

важливу роль відіграє частота, яка припадає на одиницю довжини інтервалу. Дана

величина називається густиною розподілу на цьому інтернані і

визначається формулою

(3.3)

Така густина називається абсолютною. Якщо скласти відношення

відносної частоти до довжини інтервалу, то отримаємо відносну густину

розподілу

= £ (3-4)

Іноді необхідно знати кількість елементів сукупності, у яких значення ознаки

менші за деяку величину. Наприклад, за рядом (див. Табл.3.1) розподілу лімбів

різного діаметру кількість їх з діаметром меншим за: 80 мм - 4, 81 мм - 9, 82 мм

19 і т.д. Таким послідовним сумуванням частот, починаючи з першої варіанти і

закінчуючи останньою, ми отримаємо ряд нагромаджених частот, який

показує долю елементів сукупності, у яких ознака, що нас цікавить, менша за

дане значення.

Всі розглянуті методи організації та зберігання статистичних даних приводить

до побудови статистичного розподілу вибірок деякої досліджуваної ознаки.

Аналогічно теорії ймовірностей універсальною та узагальненою формою

статистичного розподілу є емпірична функція розподілу.

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки)

називають функцію F*(x), яка визначає для кожного значення х відносну частоту

події (X < х), тобто

F\x)^, (3.5)

де т

- кількість варіант менших за х; п - обсяг вибірки.

Різниця між емпіричною і теоретичною функціями розподілу полягає в тому,

що теоретична функція F(x) визначає ймовірність події {X < х), а емпірична

функція

F"(x)

відносну частоту цієї ж події. Теорема Бернуллі закону великих чисел

(див. §2.6) говорить, що частота події (X < х) прямує за ймовірністю до ймовірності

цієї події при необмеженому зростанні обсягу вибірки, тобто емпірична функція

за числовими значеннями мало відрізняється від теоретичної. Тому емпірична

функція розподілу вибірки може оцінювати теоретичну функцію розподілу

генеральної сукупності.

Розділ III

мпірична функція F*(x) має такі ж властивості як і теоретична функція Дх).

демо їх.

Всі значення емпіричної функції належать відрізку [0;1].

F*(x) - неспадна функція.

Якщо х

;

- найменша варіанта, тоді

F*(x) = Одлях<х,,

до х

- найбільша варіанта, тоді

F*(x) -

для х > х

§ 3.2. Графічні методи зображення статистичного матеріалу

і метою наочності статистичний матеріал зображають графічно у вигляді:

ону» гістограми, кумуляти, емпіричної функції розподілу.

[ о л і г о н застосовується більше для зображення дискретного статичного

. Для його побудови у прямокутній системі координат наносять точки з

динатами(х

;т

),(х

;ш

), ....,(х

;т

) або (х,; £>,), (х

; Q

), ...,{х

, Q

) і з'єднують

юбою прямими лініями. Отримана ламана буде полігоном частот

першого ряду точок) або полігоном відносних частот (для

зго ряду точок).

[а рис. 3.1 зображено полігон частот, який відповідає статистичному ряду,

ному таблицею 3.1.

Рис.

3.1

Чстограмою зображають інтервальний статистичний ряд. Це східчаста

ра у вигляді прямокутників, що прилягають один до одного. Щоб побудувати