Юнин Е.К. Введение в механику глубокого бурения
Подождите немного. Документ загружается.
111
элемента и стенки скважины). Сила
∆
N
c
при этом направлена по нормали к по-
верхностям контакта.
Проведем из точки 0 нормаль п
е
, делящую пополам угол
∆α
, и найдем урав-
нение движения выделенного элемента в осевом направлении (рис.5.4,поз.3). В
силу малости угла
∆α
криволинейный участок осевой линии элемента можно
принять прямолинейным, а массу элемента записать в виде
∆
m=
ρ
F
∆
S, где
ρ
и F
- соответственно плотность материала и площадь поперечного сечения элемен-
та. Получим уравнение равновесия элемента (так как рассматривается равно-
мерное движение колонны, то силы инерции отсутствуют и ее движение описы-
вается уравнениями равновесия элемента с учетом направления его движения).
Спроектировав все силы, действующие на элемент, на осевое направление (оно
перпендикулярно
нормали п
е
), получаем:
.Fcosmgcos)S(Ncos)SS(N
С
0
22
≈−+−+
∆α∆
α
∆
α
∆
∆
(5.2.2)
Здесь N(S+
∆
S,t) и N(S,t) - осевые усилия, действующие в торцах элемента, g -
ускорение свободного падения,
α
(S) - угол между осью элемента и вертикалью.
Раскроем теперь все силы, входящие в уравнение (5.2.2).
Разность осевых сил может быть представлена, как
NS S NS
dN
dS
S( ) cos ( ) cos cos .+− ≈∆
∆
∆
∆
∆
α
α
α
22 2
Абсолютная величина силы нормального давления между элементом и стен-
кой скважины
∆
N
c
равна сумме проекций на нормаль п
е
всех действующих на
элемент сил:
∆∆ ∆
∆
∆
Nmg SNSS NS
c
=−+−sin ( ) ( )sin ( )sin .
α
α
α
22
В силу малости угла
∆α
значение синуса можно заменить его углом, после
чего имеем:
(
)
∆∆ ∆ ∆Nmg S NSSNS
c
=−++sin ( ) , ( ) ( ) .
αα
05
Вспомним, что по закону Гука осевое усилие
NS EF
du
d
S
() ,=
где Е - модуль
Юнга; элементарный же угол
.
)S(R
S
∆
α∆
=
Подставив эти значения в уравнение
112
(5.2.2), с учетом записанных соотношений и выражения (5.2.1) для ∆Fс после
перехода к пределу при
∆
S
→
0 получаем уравнение для определения осевого
перемещения u(S) поперечного сечения бурильной колонны на искривленном
участке скважины:
.cosg
dS
udE
v
Dn
v
dS
du
gR
E
sin
kg
s
s
α
ρ
ρ
α
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
2
2
2
2
2
Переходим теперь к вращательному движению. Поскольку, как было отмече-
но выше, длина
∆
S элемента мала, а потому его ось можно считать прямолиней-
ной, то для равномерного вращательного движения можно записать (см. рис.5.4,
поз.2 и 3):
MS S MS DF()(), .
+
−
−
≈
∆
∆
05 0
τ
(5.2.3)
Здесь M(S+
∆
S) и M(S) - крутящие моменты, действующие в торцевых сечениях
элемента, причем согласно закону Гука
MS GJ
d
dS
P
()=
ϕ
, где G и J
P
соответ-
ственно модуль сдвига материала бурильной колонны и полярный момент
инерции ее поперечного сечения;
∆
I =
ρ
J
P
∆
S - момент инерции элемента отно-
сительно своей оси; 0,5D
∆
F
τ
- момент сопротивления вращению элемента со
стороны стенки скважины, а сила
∆
F
τ
определяется согласно (5.2.1). Разность
моментов может быть представлена, как
MS S MS
dM
dS
S()()+− ≈∆∆.Подста-
вив записанные соотношения в (5.2.3) (с учетом (5.2.1) для
∆
F
τ
) и переходя к
пределу при
∆
S
→
0, получаем уравнение для определения угла закручивания
ϕ
(S) поперечного сечения колонны на искривленном участке скважины:
.
dS
dG
n
Dn
v
dS
du
gR
E
sin
kg
Dd
D
2
2
2
2
22
2
2
2
ϕ
ρ
ρ
α
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
Оба полученных уравнения описывают состояние бурильной колонны, рас-
положенной в искривленной скважине. Поэтому запишем их в виде системы:
113
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
+
=
+
−
=+
.
5,0
sin
2
,
5,0
sin
cos
22
22
2
2
2
22
2
2
n
Dnv
dS
du
R
E
G
k
Dd
D
dS
d
v
Dnv
dS
du
R
E
E
k
E
dS
ud
s
s
γ
α
γϕ
γ
α
γαγ
(5.2.4)
Здесь
γ
=
ρ
g - удельный вес материала бурильной колонны.
Введем понятие
эффективного коэффициента трения:
.k
)Dn.(v
v
k
*
22
50+
=
(5.2.5)
Памятуя, что осевое усилие и крутящий момент в поперечном сечении
стержня записываются, как
NEF
du
ds
MGJ
d
dS
P
==,,
ϕ
после несложных преобразований систему уравнений (5.2.4) можно записать
следующим образом:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
−=+
.)(sin
4)(4
,))(cos)(sin(
)(
*
2*2
*
*
qSk
v
nD
N
SR
k
v
nD
dS
dM
qSSkN
SR
k
dS
dN
α
αα
(5.2.6)
Здесь параметр q=
γ
F - является погонным весом бурильной колонны (вес ее
единицы длины).
Система уравнений (5.2.6) эквивалентна системе (5.2.4) и предназначена для
нахождения осевых усилий и крутящих моментов, действующих в поперечных
сечениях колонны в процессе бурения искривленного ствола скважины. В част-
ности, при прямолинейной скважине с постоянным углом наклона к вертикали
α
(S)=
α
0
= const (этот угол именуется «зенитным углом») радиус кривизны ство-
ла скважины R(S) =
∞
и уравнения (5.2.6) принимают следующую форму:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=
.sin
4
,)cossin(
0
*
2
00
*
qk
v
nD
dS
dM
qk
dS
dN
α
αα
(5.2.7)
114
Пусть имеется искривленная скважина и известно осевое усилие в верхнем
сечении бурильной колонны (устье скважины), а также вращающий момент на
роторе: N(S=0)=N
0
, М(S=0)=М
0
. Тогда решение системы уравнений (5.2.6) за-
пишется, как
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
−+
∫
=
∫
∫
−
S
S
SR
dSk
SR
dSk
dS
SqR
SN
S
v
qnD
kMSM
dSeSSkqNeSN
SS
0
2
*
0
0
)(
*
0
)(
.
)(
)(
)(sin
4
)(
,))(cos)(sin()(
0
*
0
*
α
αα
(5.2.8)
Иногда удобнее пользоваться системой (5.2.6), когда аргументом является угол
α
. Так как dS = R(S) d
α
, то в данном случае имеем:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
−=+
,q)(Rsink
v
nD
Nk
v
nD
d
dM
,q)(R)cossink(Nk
d
dN
**
**
αα
α
ααα
α
44
22
(5.2.9)
где S и
α
связаны соотношением:
α
=
∫
dS
RS
S
S
()
0
(S
0
- начальное значение параметра S).
А теперь, в качестве примера, рас-
смотрим скважину, состоящую из
трех участков: вертикального дли-
ной l, криволинейного с постоянным
радиусом кривизны R
0
и изменением
угла
α∈
[0,
π
⁄
2
] и горизонтального
длиной L (рис.5.5). Пусть усилие,
приложенное к верхнему торцу ко-
лонны (усилие на крюке), равно N
0
, a
все участки бурильной колонны со-
стоят из труб одинакового диаметра и
изготовлены из одного и того же ма-
териала. Обозначим усилие, прило-
женное к нижнему торцу колонны со
N
0
0
α∈[0,
π
⁄
2]
l
S
1
R
0
S
0
P
L
Рис.5.5
115
стороны забоя, через Р и введем для каждого из участков свою систему коорди-
нат, как это показано на рис.5.5. Положив для вертикального и горизонтального
участков в верхнем уравнении системы (5.2.7) соответственно угол
α
0
=0 и
α
0
=
π
2
, а для искривленного участка, воспользовавшись верхним уравнением
системы (5.2.9) при значении R(
α
)=R
0
=const и обозначив через N
b
, N
k
и N соот-
ветственно осевые усилия на вертикальном, искривленном и горизонтальном
участках, получаем для определения этих усилий следующую задачу (диффе-
ренциальные уравнения для каждого участка и граничные условия в местах со-
единений участков):
.P)L(N],L,[S,qk
dS
dN
.
)(NN],,[),cossink(qRNk
d
dN
.
)(N)l(N,N)(N],l,[S,q
dS
dN
.
*
k
*
k
*
k
kbb
b
−=∈=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈−=+
==∈−=
03
0
22
02
0001
0
01
1
ππ
ααα
α
(5.2.10)
Записанная задача легко решается, и для осевых усилий имеем следующие
выражения:
1. Вертикальный участок:
].,0[,)(
01
lSqSNSN
b
∈
−
=
(5.2.11)
2. Искривленный участок:
()
[]
.,,sin)k()cose(k
k
qR
eqlN)(N
*k*
*
k
k
**
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈−−−
+
+−=
−−
2
012
1
2
2
0
0
π
αααα
αα
(5.2.12)
3. Горизонтальный участок:
()
(
)
[
.,0,12
1
)(
*2*5,0*
2*
0
5,0
0
**
LSqSkkek
]
k
qR
eqlNSN
kk
∈+−+
+
+−=
−−
ππ
(5.2.13)
Усилие Р, приложенное к забою со стороны породоразрушающего инстру-
мента, записывается в виде (см. граничное условие для уравнения 3 в задаче
(5.2.10):
.
1
1
1
2
*
0
2*
2*
5,0
00
2*
*
*
qLkqR
k
k
eNqR
k
k
qlP
k
−
+
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−=
−
π
(5.2.14)
116
Если обозначить через Q
b
= ql вес вертикального участка бурильной колон-
ны, через
Q
k
=0,5
π
qR
0
- вес искривленного, а через Q = qL - вес горизонталь-
ного участка, то (5.2.14) преобразуется к следующему виду:
.
1
12
1
4
*
2
*
2
*
5,0
0
2
*
*
*
QkQ
k
k
eNQ
k
k
QP
k
k
kb
−
+
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−=
−
ππ
π
(5.2.15)
L
S
N
1
0 P
n
0
n
Рис.5.6
Продолжим анализ математической модели и рассмотрим задачу передачи
осевого усилия на горизонтальном участке длиной L (см. рис.5.6).
На рис.5.6 через N
1
обозначено усилие в начале горизонтального участка
N(S=0) (см. (5.2.13)). Тогда соотношение (5.2.14) принимает вид:
Р = N
1
- k
*
qL .
Очевидно, что максимальная длина горизонтального участка, свыше которой
осевая нагрузка не доходит до забоя (то есть в этом случае Р = 0) определится, как
.
*
1
max
qk
N
L =
(5.2.16)
Итак,
как только длина горизонтального участка скважины L
>
L
мах
,
определяемой равенством (5.2.16) , то осевая нагрузка на долото будет ну-
левой.
Вспомним теперь выражение (5.2.5) для эффективного коэффициента трения
k
*
. Так как механическая скорость проходки много меньше окружной скорости
точек поверхности бурильной колонны, то, пренебрегая квадратом механиче-
ской скорости в знаменателе, получим приближенную связь между коэффици-
ентами k
*
и k :
.
2
*
k
nD
v
k =
(5.2.17)
Напомним, что k - коэффициент трения при невращающейся колонне.
117
В виду того, что окружная скорость контактирующих со стенкой скважины
точек поверхности бурильной колонны во много раз больше механической ско-
рости бурения, то, согласно (5.2.17), k
*
<<k. Следовательно, величина L
max
при
вращении бурильной колонны существенно больше величины L
max
при невра-
щающейся колонне (бурение с применением забойных двигателей). Короче го-
воря,
при вращающейся бурильной колонне осевая нагрузка на забое, при
прочих равных условиях, гораздо выше, чем при невращающейся колонне.
Очевидно, что максимально возможное значение осевой нагрузки получается из
(5.2.15) при
k
*
=0 :
PQ QN
тах bk
=+ −
2
0
π
.
(5.2.18)
Наконец, уравнения для крутящего момента в произвольном поперечном се-
чении колонны, аналогичные (6.2.10), запишутся, как
).n,P(M)L(M,M)(M],L,[S,qk
v
nD
dS
dM
.
)l(M)(M],,[,sinqRk
v
nD
Nk
v
nD
d
dM
.
MM],l,[S,
dS
dM
.
Hk
*
bk
*
k
*
k
b
b
0
2
0
22
01
1
2
00
4
3
0
2
0
44
2
0 01
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∈=
=∈=+
=∈=
π
π
αα
α
(5.2.19)
Здесь: M
b
, M
k
и M - соответственно моменты в текущих сечениях вертикально-
го, искривленного и горизонтального участков, M
H
(P,n
0
) - момент сопротивле-
ния вращению долота со стороны забоя, M
0
- вращающий момент на роторе.
Мы не будем решать данные уравнения, а запишем сразу абсолютное значе-
ние величины момента на роторе:
.)e(
Q
QN
k
k
k
k
Q
Qk
D)n,P(MM
*
k,
k
b
*
*
*
*
k
*
H
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
+
++=
−
π
π
π
50
0
22
2
00
1
2
1
2
1
2
2
(5.2.20)
Итак, мы рассмотрели состояние бурильной колонны в наклонно-
направленной скважине в случае постоянной скорости вращения. Тем не менее
необходимо заметить, что и в данном случае при определенных условиях могут
возникать автоколебательные режимы бурения. Однако рассмотрение этих во-
просов выходит за рамки излагаемого материала.
118
,
износ. м п , сопровождающие
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, как следует из изложенного материала, бурение нефтяных и газовых
скважин сопровождается весьма сложными явлениями, определяемыми дина-
мическими процессами, имеющими место в бурильной колонне. Динамика ко-
лонны оказывает очень сильное влияние на эффективность разрушения горных
пород. Возникающие при бурении скважин интенсивные вибрации бурильной
колонны способны приводить к уменьшению механической скорости
бурения и
сильно искажать зависимости описывающие углубление забоя скважины и
предназначенные для проектирования режимов бурения. Они также весьма не-
гативно влияют на рабочее состояние бурового оборудования, вызывая его ус-
коренный Однако дина ические роцессы проводку
скважин, подчиняются законам механики, а потому, грамотно используя эти за-
коны, можно добиться существенного
уменьшения негативных последствий
указанных процессов на эффективность разрушения пород.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Середа Н.Г., Соловьев Е.М. Бурение нефтяных и газовых скважин. - М.: Не-
дра, 1988.
2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1963.
3. Симонов В.В., Юнин Е.К. Влияние колебательных процессов на работу бу-
рильного инструмента. - М.: Недра, 1977.
4. Юнин Е.К. Низкочастотные колебания бурильного инструмента. - М.: Недра,
1983.
5. Сумбатов А
.С., Юнин Е.К. Очерки о трении. - М.: ВЦ РАН, 2000.
119
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................................................……….……...
1.
Напряженное состояние горной породы ...........…..................……….…...
1.1. Некоторые сведения из механики сплошной среды ..........……………
1.2. Элементы теории предельных напряженных состояний ....…………..
1.3. Напряженное состояние горных пород вокруг бурящейся скважины
(задача С.Г.Лехницкого) .......................................………………………….
1.4. Механические свойства горных пород и их определение по методу
Л.А.Шрейнера. Классификация пород .......................……….…………….
2.
Элементы механики стержней большой протяженности ....…………...
2.1. Основные соотношения между осевыми усилиями и
деформациями в случае прямолинейного стержня ...................…………...
2.2. Основные соотношения между крутящими усилиями и
угловыми деформациями в прямолинейном стержне .............………….…
3.
Математическая модель бурильной колонны ..............................……….
3.1. Вращательное движение бурильной колонны ................……………..
3.2. Продольное движение бурильной колонны ......................……………
3.3. Анализ напряженного состояния бурильной колонны при
равномерном вращении .........................................................………………
4.
Разрушение горной породы в процессе углубления забоя скважины.…...
4.1. Краткий обзор существующих математических моделей
углубления забоя ..........................................................……….…………….
4.2. Неравномерность вращения бурильного инструмента и ее влияние
на механическую скорость бурения ...................………………………….
4.3. Продольные вибрации бурильной колонны (качественное описа-
ние) ...…………………………………………………………………………
5.
Элементы механики бурения наклонно-направленных скважин…...
5.1. Некоторые предварительные замечания……......................…………..
5.2. Математическая модель бурильной колонны в случае проводки
искривленной скважины .................................................…......…………....
Заключение .......................................................................…….………….…….
Библиографический список ................................................………………….
.
3
4
5
22
25
36
43
43
46
49
50
55
61
69
70
72
89
105
105
107
118
118
Учебное издание
Юнин Евгений Константинович
Введение в механику глубокого бурения
Учебное пособие
Редактор В.П.Кипрова
Технический редактор И.А.Безродных
Корректор Т.И.Косолапова
План 2003 г., позиция 57. Подписано в печать 18.12.2002. .
Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman Cyr.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.
Усл. печ. л. 7.0. Уч.-изд. л. 6,3. Тираж 120 экз. Заказ № 168.
Ухтинский государственный технический университет.
Лицензия серия ЛР № 020827 от 29
сентября 1998 г.
169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
Отдел оперативной полиграфии УГТУ.
Лицензия серия ПД № 00578 от 25 мая 2000 г.
169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.