Юнин Е.К. Введение в механику глубокого бурения

41

p

N

S

0

= .

(1.4.2)

При воздействии штампа на высокопластичные и сильно пористые породы

хрупкого разрушения не происходит (рис.1.25,поз.3). Следовательно, в этом

случае величину р

ш

найти нельзя, определяется только предел текучести р

0

.

В качестве показателя пластичности пород принято отношение, именуемое

коэффициентом пластичности k

n

:

k

A

n

P

y

= ,

(1.4.3)

где

- работа, затраченная на деформирование горной породы

вплоть до момента разрушения,

ANd

P

=

∫

()

δδ

δ

0

yPy

NА

δ

2

1

=

- работа, затраченная на упругое деформирование горной породы.

Очевидно, что для хрупких пород k

n

=1, поскольку в данном случае N

Р

= N

0

. Для

высокопластичных и сильно пористых пород

условно принимается, что k

n

=

∞

.

Графически k

n

выражается (рис.1.26) как отношение площадей фигуры 0АСD

и треугольника 0ВF. Обычно же эта величина вычисляется, как показано на

рис.1.26, путем замены фигуры 0АСD на трапецию 0ВСD. Ее площадь S

0ВСD

вы-

числяется следующим образом:

[]

.N),(N)(S

PyPPyPPBCD

δδδδδ

50

2

1

0

−=−+=

Далее очевидно, что из подобных треугольников

0АG и 0ВF следует

AG

G

BF

F

00

= ,

откуда

NN

P

y

0

δδ

= ,

т.е.

δδ

у

P

N

=

0

.

Подставив это значение

δ

у

в формулу площа-

ди S

0ВСD

, получаем

SN

N

BCD P P

P

2

0

2

=−

δδ

.

N

P

B C

A

N

0

G F D

0

δ

0

δ

y

δ

P

δ

Рис.1.26

0

Работа А

у

равна площади треугольника 0ВF:

SN

BF0

1

N

P y

P0

2

0

22

==

δ

.

42

Взяв отношение этих площадей получим приближенное значение k

n

:

.12

0

−≈

δ

P

n

N

k

(1.4.4)

Следует заметить, что не только вид диаграмм «N -

δ

», но и твердость по

штампу р

ш

существенно зависит от состояния поверхности испытуемого образ-

ца горной породы. Да это и понятно, поскольку от указанного фактора зависит в

большой мере характер локальных напряжений. По этой причине (а также и по

ряду других причин, смысл которых будет ясен ниже) твердость по штампу

вряд ли можно использовать для целенаправленного повышения

эффективности

разрушения породы. Этот метод может быть применен лишь с целью сопоста-

вимости горных пород по рассмотренным выше характеристикам р

ш

, р

0

и k

n

. В

частности, величины р

ш

и k

n

послужили основой классификации горных пород

по твердости и по пластичности, которые, в силу отмеченного, носят весьма ус-

ловный характер.

В заключение необходимо сказать, что, кроме описанных выше диаграмм «N

-

δ

» при статическом (очень медленном) внедрении, строятся подобные диа-

граммы и при динамическом (быстром) внедрении. При этом имелся ряд попы-

ток использовать подобные диаграммы с целью совершенствования режимов

бурения. Например, для математической модели «забой - долото - бурильная

колонна» эти зависимости вводятся иногда как граничные забойные условия, то

есть силовое взаимодействие вооружения с

забоем отождествляется с силовым

взаимодействием индентора с образцом горной породы (будь то копровые уста-

новки или же кулачковые механизмы, специально разработанные для изучения

взаимодействия индентора с породой при их взаимодействии в движении).

Кроме этого, на основе таких диаграмм пытаются постичь механизм работы

вооружения шарошечных долот при разрушении забоя, энергоемкость разруше-

ния пород и т.д. Следует сразу же оговориться, что к попыткам такого рода

нужно относиться весьма и весьма осторожно, поскольку

характер диаграмм в

большой мере зависит от механических свойств самой испытательной ус-

тановки

. Видимо, именно этим можно объяснить, что у различных эксперимен-

таторов, при прочих равных условиях, получаются различные виды динамиче-

ских диаграмм «N -

δ

». С учетом отмеченного несомненно то, что условия взаи-

43

модействия вооружения долот с забоем скважины в реальных ситуациях буре-

ния очень далеки от лабораторных, причем не только из-за факторов, обуслов-

ленных глубиной залегания горных пород (давление, температура и т.д.), но и

характером передачи энергии, необходимой для разрушения породы на забое, от

устья скважины к ее забою.

2. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СТЕРЖНЕЙ БОЛЬШОЙ

ПРОТЯЖЕНОСТИ

Бурильная колонна является важнейшим элементом, обеспечивающим про-

цесс проводки нефтяных и газовых скважин. С точки зрения механических объ-

ектов она относится к стержням весьма большой протяженности и малого попе-

речного размера, имеющим круговое поперечное сечение. Поэтому для разра-

ботки математической модели углубления забоя скважины с учетом бурильной

колонны, расположенной между

источником энергии (дневная поверхность) и

породоразрушающим инструментом (забой скважины), необходимо рассмот-

реть некоторые положения механики стержневых систем.

2.1. Основные соотношения между осевыми усилиями и

деформациями в случае прямолинейного стержня

Для описания процессов, имеющих место в стержне при воздействии на него

силовых факторов различного происхождения, необходимо иметь основопола-

гающие экспериментальные законы. Одной из основных зависимостей в этом

случае является диаграмма «напряжение - деформация», которая находится из

эксперимента.

На рис.2.1 приведена схема эксперимента для определения зависимости нор-

мальных (направленных вдоль оси стержня

) напряжений σ от деформации ε

(диаграмма «σ − ε»). Зная первоначальную длину l

0

заделанного одним торцем

стержня, замеряют ряд значений его удлинения ∆l при приложении различных

нагрузок Р к другому торцу. Считая площади поперечных сечений неизменны-

44

ми (в действительности из-за поперечных деформаций эти площади изменяют-

ся, но вплоть до появления пластических деформаций эти изменения малы),

строят зависимость «σ − ε», которую обозначим через σ = f(ε), где σ =

P

F

- нор-

мальное напряжение, действующее в поперечном сечении площадью F, a ε =

∆l

l

0

- относительная деформация стержня, равная отношению его удлинения к

первоначальной длине при отсутствии нагрузки. Характер зависимости «σ − ε»

изображен на рис.2.2, причем положительные значения напряжения и деформа-

ции соответствуют растяжению стержня, а отрицательные - сжатию.

В общем случае зависимости «σ - ε» не линейны (характерными материалами

здесь являются, например, чугун и ряд

полимеров), но существует ряд материа-

лов (в первую очередь это конструкционные стали), где в пределах некоторых

границ зависимость σ = f(ε) линейна (на рис.2.2 эта зона выделена прямоуголь-

ником). В этом случае говорят, что выполняется

закон Гука, который записы-

вается, как (см. (1.1.10))

l

0

∆l

P

Рис.2.1

σ

тр

0 ε

σ

тс

σ

тр

- предел текучести на растяжение,

σ

тс

- предел текучести на сжатие.

Рис.2.2

45

σ =

Ε

ε , (2.1.1)

где Е - постоянная для данного материала величина (модуль Юнга).

Очевидно, что построенная подобным образом диаграмма «σ−ε» характери-

зует поведение стержня в условиях статики. Однако необходимо отметить, что и

при динамических процессах для ряда материалов (в частности для сталей) за-

кон Гука также имеет место.

На рис.2.3 приведен пример

диаграмм «

напряжение - де-

формация» при статическом

(кривая 1) и динамическом

(кривая 2) режимах нагружения

стали. Из этого рисунка видно,

что при динамическом процессе

область выполнения закона Гу-

ка даже расширяется. В даль-

нейшем мы будем рассматри-

вать поведение стержней, мате-

риал которых подчиняется за-

кону Гука. Выясним, как в этом

случае взаимосвязаны деформационные

и силовые величины.

σ 10

-5

,Па

9

8

7 2

6

5

4 1

3

2

1 ε 10

2

0 1 2 3 4 5

Рис.2.3

На рис.2.4 дана расчетная схема осевого нагружения малого элемента

стержня длиной ∆х осевой нагрузкой, которая в общем случае является пере-

менной по длине стержня (вдоль изменения координаты х) и вызывает появле-

x ∆x

x

N(x) N(x+∆x)

x +

∆

x

u(x) u(x+∆x) x

Рис.2.4

46

ние усилий N(x) и N(x+∆x) в торцах элемента. Запишем осевую деформацию ε(х)

для случая, когда его поперечные сечения под воздействием усилий смещены из

начального (ненагруженного) состояния на величину u(x) для чего воспользу-

емся гипотезой плоских сечений (гипотезой Бернулли), которая говорит о том,

что

поперечные сечения стержня в процессе его нагружения не меняют сво-

ей геометрии

(то есть если были плоскими до нагружения, то остаются таковы-

ми и после приложения нагрузки к стержню). Тогда (см. рис.2.4) при нагруже-

нии стержня все точки сечения с координатой х сдвинутся на одну и ту же ве-

личину u(x), а точки сечения с координатой (х+∆х) - на величину u(x+

∆x). Оче-

видно, что начальная длина ненагруженного элемента l

0

=∆x, а удлинение ∆l =

u(x+

∆

x) - u(x). Тогда относительную деформацию элемента стержня прибли-

женно можно записать так:

ε(x)

≈

ux x ux

x

()(

.

)

+

−

∆

Переходя в последнем равенстве к пределу при ∆х

→

0, получаем запись отно-

сительной деформации стержня в сечении с координатой х, как

ε(x) =

du

dx

.

(2.1.2)

Тогда согласно закону Гука нормальное напряжение в этом сечении

σ

() ,xE

du

dx

=

(2.1.3)

а нормальное усилие N(x), равное произведению напряжения σ и площади попе-

речного сечения F, запишется:

Nx EF

du

dx

() .=

(2.1.4)

Итак, соотношения (2.1.2) - (2.1.4) дают взаимосвязь осевых силовых факто-

ров и продольных деформаций стержня.

2.2.

Основные соотношения между крутящими усилиями и

угловыми

деформациями в прямолинейном стержне

Рассмотрим теперь механику кручения стержня.

47

На рис.2.5 показан элемент стержня длиной ∆х при нагружении стержня в

общем случае переменным по координате х крутящим моментом М(х). Стер-

жень имеет круговое поперечное сечение с внешним диаметром D и внутренним

диаметром d. Схема нагружения стержня крутящим моментом и размеры малого

элемента показаны на рис.2.5,поз.1.

d ∆r

M(x) x

r

o

a

ϕ

(x)

∆x

τ

Θ

M(x+∆x)

∆ϕ

x

∆ϕ

(x+

∆

x

)

x

D

1 2

Рис.2.5

Необходимо отметить, что в случае кручения стержня с круглым попереч-

ным сечением его сечение остается плоским

(что неверно для сечения произ-

вольной конфигурации). То есть в рассматриваемом случае применима гипотеза

плоских сечений . Согласно данной гипотезе в поперечных сечениях стержня

возникают только касательные напряжения

τ

(см. рис.2.5,поз.2).

48

Выделим на расстоянии r от оси цилиндра элементарный цилиндр с малой

толщиной стенки ∆r. Пусть верхнее сечение элемента повернулось на угол

ϕ

(х)

относительно ненагруженного состояния, нижнее сечение - на угол

ϕ

(х+∆х)

(рис.2.5,поз.2). Тогда образующая элементарного цилиндра перейдет из верти-

кального положения в наклонное, образовав между старым положением и но-

вым малый угол

Θ

(напомним, что для малых углов справедливо приближен-

ное равенство tg

Θ

≈

Θ

), и на каждой элементарной площадке будет действо-

вать только касательное напряжение

τ

, то есть имеет случай чистого сдвига (см.

соотношение (1.1.13)). Обозначим разность углов поворотов нижнего и верхне-

го сечений выделенного элемента через ∆

ϕ:

∆

ϕ

=

ϕ

(

х+∆х) -

ϕ

(х).

Из рис.2.5, поз.2 очевидно, что приращение угла

ϕ

есть разность между по-

ложением прямой oa, проведенной в направлении радиуса из центра о верхнего

сечения элемента, и ее новым положением, которое она заняла бы в нижнем се-

чении при непрерывном перемещении вдоль оси цилиндра ох, отслеживая при

этом текущий угол поворота поперечного сечения.

В случае выполнения закона упругости

Гука (2.1.1) касательное напряжение

τ

связано с угловой деформацией

Θ

соотношением

τ

= G

Θ,

(2.2.1)

где G - постоянная для данного материала величина, именующаяся модулем

сдвига. Она связана с модулем Юнга Е, как G =

E

21(

,

+

µ

)

где

µ

- коэффициент

Пуассона (отношение поперечной деформации к продольной).

В силу малости угла

Θ

очевидно, что длина проекции деформированной об-

разующей (наклонная прямая на рис.2.5,поз.2) на нижнее сечение будет равна

∆x tg

Θ

≈

Θ

∆x. C другой стороны так же очевидно, что длина дуги радиусом r,

заключенной в секторе с углом ∆

ϕ

, практически равна указанной проекции: r ∆

ϕ

≈

Θ

∆x. Поделив левую и правую части полученного равенства на ∆ х и уст-

ремив ∆х→0, получим:

Θ

= r

d

dx

ϕ

.

(2.2.2)

Воспользовавшись (2.2.1) и (2.2.2), запишем элементарный момент

∆М относительно оси стержня, как

49

∆M

≈

2

π

r ∆r

τ

r = G

d

dx

rdr

ϕ

π

2

3

.

Очевидно, что текущее значение r изменяется от d/2 до D/2. А тогда, по-

скольку модуль сдвига G и величина dx

/

d

φ

от радиуса r не зависят, выражение

для крутящего момента может быть записано:

Mx G

d

dx

rdr GJ

d

dx

p

d

D

() .

,

==

∫

ϕ

π

ϕ

2

3

05

Окончательно получаем:

,

dx

d

GJ)x(M

P

ϕ

=

(2.2.3)

где J

p

- полярный момент инерции поперечного сечения стержня. Он вычис-

ляется по следующей формуле:

JrdrD

P

d

D

==−

∫

2

32

34

05

π

(

,

d

4

).

(2.2.4)

Итак, нами получены все необходимые соотношения, позволяющие соста-

вить уравнения, описывающие состояние бурильной колонны в процессе про-

водки скважин.

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БУРИЛЬНОЙ

КОЛОННЫ

Прежде чем переходить к изложению дальнейшего материала необходимо

отметить, что более сложные теоретические схемы требуют большего количест-

ва вычислений и не способствуют более прозрачному пониманию физической

сущности исследуемых процессов. Поэтому представляется целесообразным

для лучшего понимания физической сути в первую очередь подвергнуть иссле-

дованию простейшую компоновку бурильной колонны - однородную буриль-

ную

колонну. В этом случае она может быть принята эквивалентной однород-

50

ному прямолинейному стержню с неизменными по его длине характеристиками

материала (плотность, упругие свойства) и постоянным по площади попереч-

ным сечением. Такой подход позволит получить необходимые соотношения в

наиболее простых формах, но без искажения сущности исследуемых явле-

ний, что важно для первоначального ознакомления с рассматриваемыми ниже

проблемами. Более того, при первоначальном ознакомлении

будет рассматри-

ваться равномерное вращение (при роторном способе бурения) бурильной ко-

лонны, что, вообще говоря, на практике бывает далеко не всегда.

3.1. Вращательное движение бурильной колонны

На рис.3.1 представлена расчетная схема для анализа вращательного движе-

ния механической системы «долото - бурильная колонна» при проводке верти-

кальной скважины роторным способом в случае простейшей компоновки (бу-

рильная колонна эквивалентна прямолинейному стержню с постоянными пара-

метрами по его длине, рис.3.1,поз.1). Координатная ось 0х направлена от устья

скважины к ее

забою. Здесь

ϕ(

x) - угол поворота текущего поперечного сечения

бурильной колонны с координатой x, J

p

- полярный момент инерции попереч-

ного сечения колонны (круговое сечение с внешним диаметром D и внутренним

диаметром d), G - модуль сдвига материала колонны, п - скорость вращения ко-

лонны (п=const), M

H

(Р,п) - момент сопротивления вращению долота со стороны

забоя, Р - осевая нагрузка на долото, Н - текущая глубина скважины (длина

бурильной колонны).

На рис.3.1, поз.2 показаны типичные зависимости момента сопротивления

вращению долота М

Н

со стороны забоя от скорости вращения долота п при по-

стоянной осевой нагрузке (каждая кривая М

Н

соответствует осевой нагрузке на

долото P

i

, где i=1,2) от угловой скорости вращения долота. Указанные зависи-

мости получают, как правило, в стендовых условиях. Остановимся более под-

робно на моментной характеристике М

Н

. Важной чертой этой зависимости явля-

ется экспериментально установленный факт уменьшения момента сопротивле-

Юнин Е.К. Введение в механику глубокого бурения

Подождите немного. Документ загружается.