Юнин Е.К. Введение в механику глубокого бурения

91

са очевидно, что работа силы Р, приложенной к торцу, за время t на участке

поджатия

∆

l пошла, с одной стороны, на создание кинетической энергии участ-

ка l

0

со скоростью v

n

, поскольку все сечения этого участка движутся с одинако-

вой скоростью v

n

, с другой стороны - на создание потенциальной l

0

в результате

его сжатия на величину

∆

l=v

n

t энергии участка. Это можно записать так (урав-

нение энергетического баланса):

А = К + П ,

где А - работа силы Р на пути

∆

l за время t, К - кинетическая энергия движуще-

гося участка стержня, П - потенциальная энергия движущегося участка стерж-

ня. Определим величины, входящие в уравнение энергетического баланса. Нач-

нем с вычисления силы Р.

Очевидно, что за время t участок величиной l

0

поджался силой P на величину

∆

l. Тогда согласно закону Гука деформация

ε

этого участка запишется, как

ε

κκ

== =

∆

l

vt

t

v

nn

0

,

откуда получаем, что

PFEF

vEF

n

== =

σε

κ

.

(4.3.1)

Здесь F - площадь поперечного сечения стержня, являющаяся постоянной по

его длине.

Работа же А будет равна:

APl

vEF

vt

EF

vt

n

== =∆

n

κ

2

.

(4.3.2)

Поскольку масса участка стержня при свободном его состоянии и в сжатом со-

стоянии не меняется, то кинетическая энергия движущейся части может быть рас-

смотрена, как кинетическая энергия тела массой M=

ρ

Fl

0

(напомним, что

ρ

- плот-

ность материала стержня), движущегося со скоростью v

n

(рис.4.12, поз.2), отку-

да

K

Mv Fl v

Fvt

n

== =

0

2

0

2

22

1

2

ρ

ρκ

.

(4.3.3)

Наконец очевидно, что в момент времени t сечение стержня x = l

0

еще не

сдвинулось, то есть его смещение равно нулю. Сечение же с любой другой ко-

ординатой x

∈

[0,l

0

) в силу равномерного движения со скоростью v

n

сдвинется

92

пропорционально координате х, а потому график смещений сечений в зависи-

мости от х описывается линейной функцией (рис.4.12, поз.3).

Вычислим теперь потенциальную энергию сжатия участка длиной l

0

. Для

этого рассмотрим стержень длиной l

0

, один торец которого жестко заделан, а

второй торец статически поджимается (то есть очень медленно во времени) на

величину от нуля до

∆

l (рис.4.12, поз.4). При этом очевидно, что графики сме-

щений сечений как в движущейся части стержня (рис.4.12, поз.3), так и у стерж-

ня, нагруженного статически (рис.4.12, поз.4), совершенно идентичны, в силу

чего и потенциальная энергия П у этих стержней одна и та же. В случае статиче-

ского нагружения при изменении величины

поджатия свободного торца от нуля

до

∆

l сжимающая сила согласно закону Гука возрастает от нуля до Р. Потенци-

альная энергия сжатия при этом будет равна работе сжимающей силы на пути

величиной

∆

l , то есть площади заштрихованного прямоугольного треугольника

на графике (P,

∆

l) (рис.4.12, поз.4):

П Pl

vEF

vt

EF

vt

n

== =

1

2

1

2

1

2

0

2

∆

κ

.

(4.3.4)

Подставим полученные значения А, К и П в уравнение энергетического ба-

ланса:

EF

vt Fvt

EF

vt

nnn

κ

ρκ

κ

22

1

2

1

2

=+,

2

что после сокращения левой и правой частей записанного равенства на нерав-

ную нулю величину Fv

n

2

t и приведения подобных членов дает:

ρκ

2

=Е, откуда

κ

ρ

=

Е

.

(4.3.5)

Итак, параметр

κ

, как сейчас было показано, является скоростью распростра-

нения продольных возмущений вдоль стержня. Следует заметить, что величины

v

n

и

κ

существенно различны и их ни в коем случае нельзя путать. Если v

n

- ско-

рость возмущения элемента стержня в соответствующей и неизменной для дан-

ного сечения координате х, то

κ

- скорость распространения возмущения вдоль

оси х (то есть

скорость передачи движения от сечения к сечению; ее иногда

именуют скоростью звука в стержне). В случае стального стержня параметр

κ

=5130м/с.

Сейчас нами был рассмотрен случай распространения продольного волново-

го возмущения в прямолинейном однородном стержне с постоянными по его

93

длине параметрами (площадь поперечного сечения, материал стержня). Разбе-

рем процесс отражения продольного волнового возмущения в составном стерж-

не, состоящем из двух участков с разными механическими и геометрическими

характеристиками (рис.4.13).

l

1

=

κ

1

T

a

0 x

v

n

a 1

E

1

,F

1

,

ρ

1

E

2

,F

2

,

ρ

2

v

n

P

1

P

2

v

2

0 x

v

1

2

v

1

v

2

0 x

l

1

=

κ

1

T l

2

=

κ

2

T 3

Рис.4.13

Пусть по первому участку стержня, характеризуемому площадью поперечно-

го сечения F

1

, модулем Юнга Е

1

и плотностью материала

ρ

1

(скорость звука

κ

1

),

движется волновое возмущение (длина волны l

1

, скорость движения сечений v

1

)

в направлении второго участка с соответствующими характеристиками F

2

, Е

2

,

ρ

2

и

κ

2

(рис.4.13,поз.1; волновое возмущение выделено жирным прямоугольни-

ком). В некоторый момент времени оно достигает границы а-а раздела двух

сред (место состыковки стержней), и мы наблюдаем процесс, изображенный на

рис.4.13,поз.2:

прямая волна (скорость v

n

) направлена к сечению

а - а в сторону

возрастания координаты х;

отраженная волна (скорость v

1

) направлена от се-

чения а - а противоположно направлению 0 х ;

поглощенная волна (скорость

v

2

) направлена от сечения а-а в направлении оси 0х (картина аналогична

рис.5.3). Очевидно, что процесс отражения будет длиться на отрезке времени

t=Т, где Т - время действия граничного возмущения, вызвавшего волну длиной

94

l

1

=

κ

1

Т (см. рис.4.13,поз.1). Поскольку согласно третьему закону Ньютона сила

Р

1

, действующая со стороны первого участка в сечении а-а, равна силе Р

2

, дей-

ствующей со стороны второго участка в этом же сечении, а выражения для этих

сил с учетом знаков скоростей перемещений поперечных сечений v

n

, v

1

и v

2

,

как видно из рис.4.13,поз.2, записываются, как

P

EFv EFv EF

vv

n

n1

11

1

111

1

11

1

=−= −

κκκ

(),

P

EFv

2

222

2

=

κ

,

то после приравнивания этих сил с учетом противоположности их направлений

действия и несложных преобразований получим:

vv

EF

v

n

−=−

1

122

211

2

κ

.

(4.3.6)

После завершения процесса отражения по первому участку будет распро-

страняться отраженная волна (скорость v

1

), а по второму - поглощенная (ско-

рость v

2

). Эта картина показана на рис.4.13, поз.3. Очевидно, что энергия пря-

мой волны (рис.4.13, поз.1) пошла на создание энергий отраженной и погло-

щенной волн (рис.4.13, поз.3).

Полная энергия волны состоит из суммы ее кинетической и потенциальной

энергий. Выражения для этих составляющих получены выше (см. формулы

(4.3.3) и (4.3.4)). С учетом того, что

t = T, сумму кинетической и потенциальной

энергий (то есть полную энергию бегущей волны) легко преобразовать к сле-

дующему виду:

КП FvT

EF

vT

FEFvT

n

+= + =

+

1

2

1

22

2

0

2

22

ρκ

κ

ρκ

κ

()

,

откуда после замены

κ

2

= Е /

ρ

получаем, что

КП

EF

vT

n

+=

κ

2

.

(4.3.7)

Воспользуемся полученным выражением энергии волны (4.3.7) и запишем

баланс энергии прямой, отраженной и поглощенной волн:

EF

vT

EF

vT

EF

vT

n

11

1

2

11

1

2

22

2

κκκ

=+.

После несложных преобразований полученное равенство запишется:

95

vv

EF

v

n

2

1

2

122

211

2

−=

κ

.

(4.3.8)

С учетом (4.3.6) соотношение (4.3.8) можно привести к следующему виду:

vv vvvv vv

EF

v

nnn n

2

1

2

11 1

122

211

2

−= − + = + −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

()()()

κ

,

или же

()vv

EF

v

EF

v

n

+−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

=

1

122

211

2

122

211

2

κ

.

Произведя сокращение левой и правой части на одинаковый множитель, по-

лучим:

v

n

+ v

1

= -v

2

. (4.3.9)

Уравнения (4.3.6) и (4.3.9) позволяют найти скорости v

1

и v

2

через v

n

и меха-

нические параметры участков составного стержня.

Введем следующие обозначения:

k

v

n

=

1

- коэффициент отражения,

r

v

n

=

2

- коэффициент поглощения для продольного волнового возмуще-

ния

(выше аналогичные параметры были введены нами для крутильного волно-

вого возмущения). Тогда, поделив левые и правые части (4.3.6) и (4.3.9) на v

n

,

получим систему линейных уравнений для нахождения k

n

и r

n

:

kr

k

EF

r

nn

+=−

−

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

1

122

211

,

.

κ

=

(4.3.10)

Из этой системы легко найдем, что

r

EF

EF EF

n

=−

+

2

211

211 122

κ

κκ

,

(4.3.11)

k

EF EF

n

=

−

+

κ

κκ

211 122

.

(4.3.12)

96

Поскольку усилие в поперечном сечении стержня выражается соотношением

(4.3.1), то можно записать:

Р

vEF

v

k

от

п

n

р

.=

−

=− =−

111

1

11

1

κ

Полученное соотношение показывает, что

Р

отр

= -k

n

Р

пр

. (4.3.13)

Здесь

Р

vEF

п

n

р

=

11

1

κ

- продольное усилие в прямой волне,

Р

vEF

отр

=

111

1

κ

- продольное усилие в отраженной волне.

Формула (4.3.13) позволяет судить о величине отраженного от границы раз-

дела двух сред усилия по величине прямого усилия.

Пусть выполнено следующее равенство:

EF EF

11

1

22

2

κκ

= .

(4.3.14)

В этом случае k

n

=0, r

n

= -1, и отраженная волна отсутствует (Р

отр

=0), то есть

волновое возмущение беспрепятственно проходит границу раздела двух сред, и

в этом смысле стержень может рассматриваться, как однородный. В подобных

случаях говорят о

равенстве волновых сопротивлений участков стержня (в

смысле продольной волны)

.

А теперь обратимся к рис.4.14, на котором схематически изображен процесс

взаимодействия зубчатого венца шарошки долота с горной породой. Через R на

этом рисунке обозначен радиус венца, через

Ψ

- угол между радиусами, прове-

денными из центра венца О к вершинам двух соседних зубцов.

97

2A

O

/

R

0,5

Ψ

2

/

B 1

Рис. 4.14

Рассмотрим, для простоты, случай недеформируемого забоя. Пусть в началь-

ный момент времени опорным является зубец 1. Тогда центр венца О занимает

наивысшее положение над забоем, а расстояние от центра венца до дна лунки

равно радиусу венца R (положение О1). Из-за вращения венца (направление

вращения венца показано на рис.4.14

круговой стрелкой) фигура 1О2 переходит

в положение 1О

/

2

/

, и минимально возможное положение центра венца характе-

ризуется прямой О

/

В. Очевидно, что расстояние от вертикали между точками О

и О

/

будет равно разности длин прямых О1 и О

/

В. Так как угол 1О

/

2

/

равен

Ψ

, а

О

/

В является его биссектрисой, то угол 1О

/

В равен 0,5

Ψ

.

Отсюда получаем, что О

/

В = R cos0,5

Ψ

. Обозначив расстояние между О и

О

/

через 2А, где символ А является амплитудой высокочастотных (так называе-

мых «зубцовых») вертикальных колебаний, будем иметь, что

,

2

cos12

Ψ

−=

′

−= RRBOOA

откуда

.

2

cos1

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Ψ

−=

R

A

(4.3.15)

Формула (4.3.15) позволяет оценить величину амплитуды высокочастотных

забойных возмущений при взаимодействии зубчатых шарошечных долот с за-

98

боем скважины. Учитывая, что при малых углах

α

с достаточной степенью точ-

ности справедливо приближенное равенство

,,cos

2

501

αα

−≈

выражение (4.3.15) при

α

=0,5

Ψ

запишется

AR≈

1

16

2

Ψ .

(4.3.16)

Далее, если через f обозначить число зубцов на периферийном венце ша-

рошки, а через d

ш

- диаметр периферийного венца, то с учетом того, что

Ψ= =

2

π

f

R

d

ш

,

, то соотношение (4.3.16) примет вид:

.

8

2

f

d

A

щ

π

≈

(4.3.17)

Заметим, что выражение (4.3.17) есть оценка амплитуды по максимуму.

Круговая частота

ω

продольных колебаний долота продольных колебаний

долота равна

ω

π

=

ifn

30

,

(4.3.18)

где i -

передаточное отношение шарошки (отношение скорости вращения

долота к скорости вращения шарошки)

, причем в первом приближении его

можно взять равным

i

D

d

д

ш

=

, где D

д

- диаметр долота; п скорость вращения до-

лота [об/мин]. Очевидно, что максимальная скорость вертикального перемеще-

ния долота может быть оценена произведением

ω

А. Далее заметим, что при

развитии крутильных автоколебаний бурильной колонны с периодом Т полови-

ну периода долото вращается с максимальной скоростью, а половину периода с

минимальной (см. рис.4.6), что вызывает, как легко установить (см. соотноше-

ние (4.3.18)), периодическое изменение частоты продольных колебаний долота

и, следовательно, скорости его продольного перемещения. При этом

очевидно,

что

период изменения названных величин равен периоду Т. С другой сторо-

ны, при развитии крутильных автоколебаний периодически изменяется механи-

ческая скорость бурения (см. рис.4.7). Оба отмеченных фактора вызывают пе-

риодическое изменение скорости вертикального перемещения нижнего сечения

99

бурильной колонны. А тогда согласно (4.3.1) и изменение во времени t осевой

нагрузки на долото будет также периодическим с периодом Т.

Итак,

при возникновении крутильных автоколебаний бурильной ко-

лонны осевая нагрузка на долото изменяется во времени периодически с

периодом крутильных автоколебаний.

Изложенное положение аналитически

записывается следующим образом:

P(t+T) = P(t) . (4.3.19)

Сделаем еще одно очень существенное замечание.

Поскольку крутильные

автоколебания могут развиваться как в неоднородных, так и в однород-

ных, изотропных породах, то в данном случае пульсация осевой нагрузки

на долото происходит независимо от характера разбуриваемой породы

(не-

однородная, трещиноватая или же однородная, изотропная).

Продольное возмущение перемещения долота начинает распространяться по

бурильной колонне со скоростью

κ

(см. (4.3.5)) от забоя к устью скважины и,

отразившись от верхнего сечения колонны, вновь возвращается к забою. Заме-

тим, что коэффициент отражения лежит в пределах от -1 (абсолютно жесткое

закрепление верхнего сечения, что равноценно равенству модуля Юнга Е

2

в

формуле (4.3.12) бесконечности) до 1 (свободный верхний торец, что равноцен-

но равенству площади F

2

в формуле (4.3.12) нулю). Периодичность распростра-

нения волновых возмущений при определенных условиях может вызвать явле-

ние резонанса, то есть резкое увеличение амплитуды продольных колебаний

бурильной колонны, а следовательно, и долота. Это явление, поскольку оно вы-

зывается наличием именно крутильных автоколебаний, будем именовать

про-

дольными автоколебаниями

бурильной колонны. Теоретический вывод усло-

вий возникновения колебаний подобного типа весьма сложен, а потому здесь он

не излагается. Отметим только, что при данных колебаниях возникают значи-

тельные нагрузки, являющиеся причиной поломок инструмента. За сравнитель-

но короткое время работы долот в этом режиме происходит скол и выкрашива-

ние их вооружения, наблюдается значительный

люфт шарошек, а также сниже-

ние механической скорости бурения. При этом поверхность забоя становится

волнистой (на рис. 4.15 показан забой при разбуривании гранита трехшарошеч-

ным долотом в нормальном режиме, а на рис. 4.16 - при разбуривании его в ре-

жиме продольных автоколебаний).

100

Рис.4.15

Рис.4.16

Юнин Е.К. Введение в механику глубокого бурения

Подождите немного. Документ загружается.