Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

Якщо г > 0, то маємо позитивну кореляцію, тобто із збільшенням

абсциси х, збільшується величина ординати у (рис.3.3,а) і навпаки

при г < 0 .

Якщо випадкові величини X і У незалежні, то кореляційний момент

і коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто К

ху

= 0 і г

ху

= 0.

Дві корельовані випадкові величини завжди є взаємозалежними, але

дві залежні величини не завади є корельованими. Прикладом цього може

бути система випадкових величин (X, У) рівномірно розподілена в межах

кола з центром на початку координат. Розрахунки показують, що·

величини і У залежні, а кореляційний момент К

ху

= 0, а це означає, що

і г

ху

=0 [15, с.125].

Випадкові величини X і У називають корельованими, якщо

ху\

0 і при г

ху

0 - некорельованими.

Коли коефіцієнт кореляції дорівнює+1 чи -1, то між величинами

Хі У існує прямолінійна залежність у вигляді рівняння прямої

V = ах + Ь.

Форма прямолінійного зв'язку між випадковими величинами X і У

визначається у вигляді рівняння регресії У на X:

уМ

+ р

(х М

), (3.25),

X на У

х=М

+ р

х/

(у-Ц,). (3.26)|

/у

Коефіцієнти регресії р

і р

визначають за формулами

/х У

Оу ст

Ру —; Р

= (3.27>

' х <*х -У Яу

де значення г, ст., обчислюють за формулами (2.28), (3.24).

Приклад

Для системи випадкових величин (х, = 1; х

;

= 2; = 3;

;

Хі = 4; >'і = 0,8; у

= 2,1; у

= 2,7; у^ = 4,2) при ймовірностях їх появи·

=0,25; Р

=0,25 знайти;

*> У,

а) початкові моменти першого порядку при 5 = 1, д = 0 і з = 0, д= 1;

б) центральні моменти при 5 = 2, д = 0 і і = 0, д = 2;

и) обчислити кореляційний момент та коефіцієнт кореляції

т)

зтйти рівняння регресії У та X

Розв'язання, з) Початковими моментами величин X та У будуть їх

математичні сподівання За формулами (3,14), (3.15) та (2.15)

обчислюємо.

га

= М

= = 1 0,25+2-0,25 +3-0,25+4-0,25 = 2,5;

«01 " М- = 2 У

і Л>,

°'

· °'

25 +

•

°'

25 + 2

' °>

25 + 4

· °'

25 = 2

б) Центральні моменти при і = 2, </

0 і 5 = 0, ^=2 обчислюють

за формулами (3.19), (3.20) та (2.27):

Изо = £,= ][)(*,- М

Х[

)

Х<

= [(-1,5)

+ (-0,5)

+ (0,5)

- (1,5)

] * 0,25 = 1,25:

]

М02

- = - А/

)

- [(-1,65)

(-0,35)4

(0,25)* +

(1,75)

] 025 = 1,46.

в) Для визначення кореляційного моменту за формулою (3.22)

обчислимо Р ймовірності прийняття системою (х, у) значень (х„ у,).

Так як випадкові величини X та У з'являються одночасно і мають

оонакові значення ймовірностей Р

х>

= 0,25 і Р

= 0,25, то за формулою

ообутку ймовірностей маємо

ХіУі

= Р

Хі

•

= 0,25

0,25 = 0,062.

І оді

(і,: =Л;

=£О

-М

)(у,-М

)Р

= [(-1,5)(-1,65)+ (-0,5Х-0.35) +

^ 0,5 0,25 + 1,5 · 1,75] · 0,062 = 0,33.

В пункті б) знайдено О

і О

, тоді стандарти будуть дорівнювати:

Коефіцієнт кореляції дорівнює

Кху _ 0,33

1,11,2

= 0,25.

г) За формулою (3.27) визначимо коефіцієнт регресії

, = 0,25^ =0,27.

х ІД

Тоді рівняння регресії визначиться за формулою (3.25)

у = 2,45 + 0,27 (х - 2,5),

або у = 0,27х + 1,77.

Приклад 2. Випадкові величини X і У незалежні Чому дорівнкі

кореляційний момент К

ху

Розв 'язання. Розкриємо дужки в формулі (3.21) і отримаємо

ху

= М[(Х- М

)(У- М

)] -=М[Х

У-X -Му- М

] -

=- М

ху

- МгМу-М

Му + МгМ7= М

ху

- М

Му.

Тоді кореляційний момент можна записати у вигляді

ху

= М

ху

-М

Му. (3.28)

Згідно з властивостями математичного сподівання добутку два

незалежних випадкових величин (2.21) маємо М (х -у) ~ М

•

Тоді кореляційний момент у формулі (3.28) для незалежних величин І

і У буде

іу

= М

Му -М

=0.

Приклад 3. Між випадковими величинами X і У системи (х,у)'

кореляційний зв 'язок у вигляді у = ах + Ь. Довести, що при цьол

коефіцієнт кореляції

{

г] = 1.

Розв'язання. Згідно з властивостями математичного сподівані

(§ 3, розд.2) визначимо математичне сподівання функції у

= М {ах+ Ь] = аМ

Ь.

За формулою (3.21) обчислимо кореляційний момент

Кху = М[(х- М

) (у - М

)] =М[(х-М

)(ах+Х-аМ

-М =

= аМ [(х - М

) (х - М

)} = аМ [(х-М

)

}- аВ

= а0

За формулою (3.24) коефіцієнт кореляції буде дорівнювати

xy =

ХУ

аа:

Із рівняння у — ах + b визначимо стандарт функції у, виходячи з

властивостей дисперсії (§ 3. розд.2) D

= О

—

ats

Тоді

Г -

' ху

аО

Ох

°х

-1

при

а>

а <

§ 4. Багатовимірний розподіл. Числові характеристики

системи довільного числа випадкових величин

Якщо система включає більше двох величин, то її розглядають як

випадкові точки або випадкові вектори в просторі відповідної кількості

и-вимірів.

Повною характеристикою системи и-випадкових величин

(Х\, Х

, ..., Х„) є закон розподілу цієї системи. Його задають функцією

розподілу або щільністю розподілу.

Функцію п-аргументів х\, х% ..., х

, що дорівнює ймовірності

спільного виконання п-нерівностей X, < х, (і = 1,п) називають

функцією розподілу системи

(.X),

,..., Х„), тобто

F(x

..., х„) = Р(Х

<х

< х

, ..., Х

х„).

(3.29)

Граничне відношення ймовірності появи системи

№. AS, ...,Х„) в невеликих межах навколо точки (jf[, х

, ..., jr

) до

розміру інтервалу межі при необмеженому його зменшенні

називають щільністю розподілу ф(хі, ..., х„) системи п

випадкових величин

ФІЛ, **.... *„) = Я (3.30)

дх

}

,дх

, дх

Якщо закон розподілу системи «-випадкових величин (Х\, Хі, •••, Х„)

невідомий, то її характеризують числовими характеристиками:

1. Математичним сподіванням М.

п у

(3-31)

де М

_ - обчислюються за формулами (2.15 - 2.17).

2. Дисперсією О

о.

А,

(3.32)

Дисперсії характеризують міру точності кожної з випадкових

величин, тобто розсіювання випадкової точки в напрямку осей і

обчислюються за формулами (2.26 - 2.28),

3. Кореляційною матрицею К

Вона є узагальненим поняггям дисперсії Д

для випадкового

вектора X Визначається за формулою

= М[(Х М

)(Х-М

)

(3.33)

Відомо, що математичне сподівання випадкової матриці є матриця,

складена із математичних сподівань її елементів. У формулі (3.33)

приймемо п = 3, отримаємо

= М

(*і - М

Хі

)

(х

- ) (х, - М

ХЛ

) (х

- М

хг

) С*

- )

М[{х,-М

Чх

-М

М[(Х

- М

Хг

)(*!

- М

Х{

)] М[(х

- М

Хг

)

]

^ )(х, - М

Х]

)] М[(х

- М

ху

)(х

- М

Хг

)]

М[(х

-М

Хі

)(х^М

Хі

)]

МІІхі-М^ІХІ-М^)}

Згідно з формулами (2.26) і (3.21) маємо

ҐА

Ґ 2

Ку)

, о

К-21

оі

^23

ч^ЗІ

Б,)

де О, = О, = О

- дисперсії Х„ а - К

Х<Х]

—

кореляційні моменти

випадкових величин X; і X).

При «-випадкових величинах системи (Х\, Х% . , Х

) кореляційна

матриця має вигляд

'гг

—

К,

«І

&2п

(3.34)

Аналіз формули (3.34) показує, що діагональні елементи кореляційної

матриці О

є дисперсіями випадкових величин Х„ а недіагональкі

елементи К

є кореляційними моментами між випадковими величинами

А і Х

Крім того, кореляційна матриця К

симетрична відносно головної

Діагоналі, тобто

Кх = •

Якщо випадкові величини системи (Х\, .... Х„) незалежні між

собою, то матриця К

буде діагональною

{ "І

®Г

(3.35)

2 *) 2

Якщо всі дисперсії матриці (3.35) рівні між собою, О

" = О то

= о

£, (3.36)

де Е - одинична матриця.

Через кореляційні моменти Ку можна обчислити коефіцієнти

кореляції, що визначають міру зв'язку між парами X, і Х

випадкових

величин за формулою

9 =

(3.37)

На заміну кореляційної матриці можна скласти нормовану

кореляційну матрицю.

Нормованою кореляційною матрицею К

називають

матрицю, елементами якої є коефіцієнти кореляції г

, тобто

і /·,,... г

г\

'12-

1...

'їй

'2л

(3.38)

Л.1

П2-

Якщо випадкові величини Л\, ..., Х„ маюгь нормальний розподіл

і незалежні між собою, то система випадкових величин (Ху, Х

..., Х

)

буде и-вимірним нормальним розподілом зі щільністю ймовірності

«І

(3.39)

Щільність нормального розподілу для системи двох залежних величин

X і У буде

Ф.У) =

2па

20-4)

(х-М

)

ІУ-МуУ*

(х-М.Ху-Му)}

„2 2

2Г

*У —

-л

(3.40)

ху

Як видно із формули (3.40), для двох залежних випадкових величин

закон розподілу визначається п'ятьма параметрами: М

, Му, с

, а

і г

ху

Формула щільності нормального розподілу для системи

(Х-, Хь Х

) залежних випадкових величин Х\, Хь ..., Х„ має досить

складний вигляд.

§ 5. Функції випадкових величин. Числові характеристики.

Кореляційна матриця системи функцій випадкових

величин

В практиці геодезичних вимірювань виникають задачі оцінки

точності результатів, що є функціями однієї чи декількох виміряних

величин. Отримані функції теж будуть випадковими величинами. Як

правило, відомо закон розподілу системи випадкових аргументів і відома

функціональна залежність. Тобто, є система випадкових величин

(Х\, Хь ••·, Х

) і закон їх розподілу. Розглянемо функцію У від

випадкових величин^, Х

, Х„

У=ЯХ

,Хь...,Х

). (3.41)

Практично вирішують зад&чу визначення закону розподілу

випадкової величини У, виходячи з функції (3.39) і закону сумісного

розподілу її аргументівХ

, ..., Х„.

Покажемо вирішення цієї задачі для двох випадкових величин. Маємо

функцію

Очевидно, що щільність розподілу системи випадкових величин

(Л'ь Х

) буде - <р(хь х

Штучно введемо нову величину Уі = Хі і розглянемо систему

Двох рівнянь

У = /(х1,^2 X

У\

*і

(3.42)

Очевидно, цю систему можна однозначно визначити відносно

та х

тоді

*2 = ЛУ>У\)

(3.43)

Виходячи з того, що система (3.43) диференціюється в теорії

ймовірностей, доводиться, що щільність розподілу випадкової величини

у — Дхі, х

) в нескінченних межах буде

ф(У) = і ф[*іф ,У.*І)]

дфО%*і)

ду

сіх,.

(3.44)

За аналогією находять щільність розподілу для функції трьох і більше

випадкових величин. Наприклад, якщо У

—

Дх

, Хз), вводять нові

перемінні

У^Х

Уг

Хг.

Якщо при цьому між системами (А\, Х

, і (У, У\, У

)

виявляється однозначне співвідношення, то щільність розподілу

випадкової величини У буде

ф(у)= І І Ф[хіЛ, ФО'.ХІЛ)]

дц>(у,х

)

ду

сЬ

(іх

, (3.45)'

де ф(у, Хі, Хг) - зворотня функція.

На основі формули (3.44) визначають щільність розподілу для

випадкових величин: у = (хі + Хі У, У

(хі - х

У, у - хі • х

та

у = ^ [8; 15].

Наприклад. Закон розподілу величини відхилення випадкової точки

(X,

У)

від початку координат при умові, що система випадкових величин

(X,У) має нормальний розподіл з параметрами М

= М

= 0 і о

=о

)

= о

називають розподілом Релея.

Зазначимо, що щільність розподілу такої системи (X, У) має вигляд

ФС^У)

2л <т

7 "»

' 2а

Відхилення точки (х,у) від початку координат буде визначатися

випадковим Лектором R, що є функцією випадкових величин X та

У,

тобто

r = ^x

Випадкова величини R є полярним радіусом, тоді

х = r cos 0;

у = r sin 0.

Щільність розподілу ф(>,9) системи випадкових величин (R, 0)

визначають через щільність розподілу ф(х, у) системи (X, У).

Внаслідок математичних перетворень щільність розподілу випадкової

величини R визначається розподілом Релея за формулою

ф (г) =

2ст

при г> 0;

при г< 0.

(3.46)

Графік розподілу Релея показано на рис. 3.4

> г

Рис. 3.4

При дослідженнях не завжди виникає необхідність у визначенні

закону розподілу функції випадкових величин. Тоді обчислюють числові

характеристики функції випадкових величин: математичне сподівання та

дисперсію.

Математичне сподівання

функції

випадкових величин

Якщо маємо функцію у = / (Хі, Х

, .... Х„), то для системи

випадкових величин (.V]. Х^.-: Хп) визначають математичне сподівання

(3.31) кожної випадкової величини Х\,

Х->,

..., Х„ за формулами

(2 15 - 2.17).