Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

- складна випадкова подія, яка складається з двох чи більше простих

подій

Приклад. Правильний чи помилковий результат одного виміру лінії

(кута) - проста подія, а результат випробувань при двох і більше вимірах

буде складною подією

Різні події відрізняються між собою за ступенем можливості їх появи,

та за характером взаємозв'язку Щоб правильно орієнтуватися в теоремах

теорії ймовірностей події класифікують за видами

1 Вірогідні події - це події, які обоє 'язково виникнуть при

здійсненні обумовленого комплексу умов їх позначають буквою и

Тоді вірогідна подія А буде

—

І/

Приклад. В парти всі геодезичні прилади відповідають вимогам

метрологічних характеристик Подія А - взяти прилад придатний для

проведення вимірів, - вірогідна подія

2 Неможливі події - це події, які при виконанні

випробування (досягду) не виникають їх позначають буквою V

Отже подія В буде

В= V.

Приклад. В попередньому випадку неможливою подією В буде взяття

приладу непридатного для проведення вимірів

3 Рівноможливі події - це дві чи декілька випадкових подій,

якщо умови їх появи однакові, і нема підстави стверджувати, що

будь-яке з них має більше шансів з 'явитися частіше від іншого

Приклад. При підкиданні монети події А - поява герба і В - поява

цифри будуть рівноможливіши

4 Сумісні події - це події, які виникають, коли поява однієї

із них не суперечить появі іншої Тобто при випробуванні можуть

настати всі події

Приклад. Виконано дві сери виміру кута по 6 прийомів Подія А

поява 3-х вірних результатів вимірів першої сери, подія В - поява 3-х

вірних результатів вимірів другої сери будуть сумісними

5 Несумісні події - це події, сумісна поява яких при

випробуванні є неможливою

Приклад. Якщо із двох вимірів один правильний і один помилковий

результат, то взятий довільно правильний результат виключає появу

помилкового Подія А - правильний результат і подія В помилковий

результат при одному випробуванні - несумісні події

б Єдиноможливі події - це такі події, коли при

випробуванні поява однієї, і тільки однієї, із них є вірогідною

подією Ці події попарно несумісні

Приклад. При вимірюванні лінії чи кута єдиноможливими подіями

будуть А - правильний результат і В - помилковий результат

Система єдиноможливих подій утворює повну групу подій Отже при

випробуванні одна подія із повної групи подій обов'язково з'явиться

Приклад На складі є геодезичні прилади Одні з них повністю

справні, інші потребують перевірки, а треті - браковані При одержанні

зі складу приладу можна взяти один із них

Три події А — справний прилад, В потребує перевірки, С -

бракований прилад - утворюють повну групу подій

Протилежними називають дві єдиноможливі події, які

утворюють повну групу подій Протилежні події позначають такими

ж буквами з рискою зверху

Приклад. Якщо при випробуванні сподівання підтвердилась - подія

А, то протилежною їй буде подія А - (сподівання не підтвердилися)

§ 3. Частота і ймовірність події

Припустимо, що проведено п дослідів В кожному з них з'явилася,

чи ні, деяка подія А

Частотою події А називають відношення числа появи події

А до числа всіх дослідів (подій) Позначимо частоту події А через (),

тоді

е = -. (11)

ІЗ

де к - число сприятливих ПОДІЙ

ПОДІЇ

А, а п - число всіх подій

Приклад Для контролю якості виготовлення нівелірних рейок за

зміну довільно вибрано 100 виробів серед яких 5 рейок виявились

бракованими Тоді частота появи бракованих рейок при п - 100 і к = 5

буде

=0,05

100

Частота вірогідної події буде дорівнювати одиниці Це виникає з тої о,

що вірогідна подія А виникає при кожному випробуванні, тоді к

—

п, а

<2^ =

= і

п п

Частота неможливої події дорівнює нулю, оскільки при

повторенні дослідів неможлива подія не виникає, тобто к — 0, а

к 0

(? =

—

= 0 Зрозуміло, що випадкова подія А в серп із п подій

п п

може з'явитися від 0 до п разів, тобто

0 <к<п

Це говорить про те, що частота випадкової поди А буде додатня між

нулем і одиницею, тобто

0<Є<1

Слід зазначити, що при проведенні декількох серій досліджень за

одних і тих же умов, частота подій не залишиться постійною Разом з тим,

якщо збільшувати число досліджень, то частота з часом стабілізується і

прийме значення, що мало відрізняється від деякого цілком визначеного

числа Таким чином біля цієї постійної величини будуть групуватися

частоти, що відображають зв'язок між комплексом умов, за яких

відбувається дослідження, і подією Цю постійну величину і називають

імовірністю подій

Ймовірність випадкової події - постійне число, біля якого

групуються частоти події при збільшенні числа досліджень

Цей спосіб визначення ймовірності події А називають статистичним

Гі позначають Р(А) Він має як перевагу в тому, що виникає із

експерименту, так і недолік у тому, що для надійного визначення

ймовірності треба виконати велику кількість досліджень Це утруднює

можливості фактичного обчислення ймовірності Тому в теорії

ймовірностей розглядають класичне визначення ймовірності події

Класичний спосіб визначення ймовірності базується на понятті

рівноможливих подій, що відносяться до одного досліду і утворюють

повну групу несумісних подій, які називають випадками або шансами

Наприклад, випробування з тдкидуванням монети Події А - поява

герба і В поява цифри рівпоможливі, несумісні і утворюють повну групу

подій при п випробуваннях

При проведенні дослідів випадки (шанси) поділяють на сприятливі,

прй яких подія відбувається і несприятливі, при яких подія не

відбувається

Відношення числа сприятливих випадків даної події до

загального числа рівнозначних випадків називають класичним

визначенням ймовірності. Вона виражає числову характеристику

об єкшвної можливості

ПОЯВИ ПОДІЇ

Важливим досягненням цього способу є те, що за його допомогою

можна визначити ймовірність події до випробування і зробити потрібні

висновки

Якщо дослід зведений до схеми випадків (шансів), то ймовірність

події А обчислюють за формулою

де М - число сприятливих винадив, N - число всіх випадків

Статистичне визначення ймовірності стверджує, що ймовірність події

- це таке число, навколо якого коливається частота цієї події при

проведенні досліду Звідсіля витікають аксіоми теорії ймовірностей

• ймовірність достовірної події V дорівнює одиниці Р(Ц)— 1,

• ймовірність неможливої події V дорівнює нулю - Р

( V)

= 0,

• ймовірність випадкової події А є додатне число, що міститься

між нулем і одиницею тобто

Приклад 1. Ймовірність появи додатної (мінусової) помилки при

одному вимірюванні лінії, кута чи перевищення буде дорівнювати

Р(А) - ^ , так як в цьому випадку М - \, а

УУ

= 2

(12)

0<Р(А)<\

Приклад 2 При вимірюванні 100 кутів в теодолітних полігонах

90 кутів виявились правильними Обчислити ймовірність появи браку в

роботі

Розвязання. Число всіх випадків N - 100 а число сприятливих браку

випадків буде Л/

100 -90 - 10 Тоді Р(А) = — = 0.1

100

Властивість стійкості частоти подій при багаторазових випробуваннях

стала предметом досліджень вчених Якщо при збільшенні числа дослідів

величина частоти наближається до значення ймовірності, то це означає, що

;

)і різниця стає менша будь-якого як завгодно малого додатної о числа Цю

властивість Якоб Бернуллі (1654-1705) сформулював як теорему при

необмежено великій кількості п випробувань з імовірністю,

ік завгодно близькою до одиниці, частота події як завгодно

чало відрізняється від її ймовірності в окремому досліді, або

р ^ і 5 - як завгодно малі додатні числа

Ця формула дає можливість емпірично визначати ймовірність події,

(кщо й не можна знайти іншим шляхом Ллє при цьому виникає

йобхщність проведення великої кількості випробувань

На практиці ми зустрічаємось не тільки з вірогідними і неможливими

'іодіями, а й з так званими «практично вірогідними» і «практично

,можливими» подіями

Приклад: На стадіоні місткістю 100 000 чол розігрується

легкова

томаиіина При всіх проданих білетах імовірність виграшу

рюмашини Р (А) = 1 10 ~ 0 тобто зовсім незначна Така подія

фактично

неможлива

Практично вірогідною подією називають подію, величина

(іовірності якої досить близька до одиниці

Якщо подія А в досліді практично неможлива, то протилежна їй подія

І буде практично вірогідна Практично неможливі і практично вірогідні

,-.;ди мають велику роль в теорії ймовірностей і лежать в основі

фактичного використання цієї науки

(1 4)

Наприклад. При ймовірності події яка дорівнює Р = 0,4, ми не

маємо нагоди передбачити результат події

Якщо ймовірність події близька до одиниці чи до нуля, то це дає нам

можливість передбачити очікуваний результат При цьому ми керуємось

так званим принципом практичної впевненості Він не може бути

доведений математично, проте він підтверджується практичними діями

Питання про те, наскільки матою повинна бути ймовірність події,

щоб нею можна було знехтувати, вирішується в кожному окремому

випадку, виходячи із практичних міркувань, згідно з важливістю

виконуваного досліду

Наприклад. Якщо ймовірність метрологічної відмови деяких

характеристик геодезичних приладів дорівнює Р(А) = 0,001 і ми ще

можемо з цим миритися то ймовірність відмови парашута при стрибку,

що дорівнює Р{В) = 0,001 не може бути практично неможливою подією і

при цьому необхідно підвищувати надійність роботи парашута

Звідси приходимо до висновку, що при вирішенні практичних завдань

для кожної події необхідно встановити допустиму величину відхилення

ймовірності від одиниці, чи нуля для того, щоб визнати подію практично

вірогідною, чи навпаки - практично неможливою

При вирішенні більш складних задач використовують знання із

комбінаторної математики Розглянемо деякі види комбінацій із п

елементів

1 Перестановки - це комбінації із п елементів, які

відрізняються тільки порядком розміщення в них елементів

Число перестановок визначається за формулою

Приклад. Два елементи а і Ь можна розташувати тільки \) аЬ і

2) Ьа Тоді за формулою (1 5) /<„=1x2 = 2

2 Розміщення із п елементів по к елементів

їх число визначається за формулою

А„ - я»

(15)

я'

(16)

Ці комбінації відрізняються як порядком елементів, так і самими

елементами

Наприклад Розміщення елементів а, Ь, с по два будуть 1) аЬ,

2) ас, 3) Ьс, 4) Ьа, 5) ся, 6) сЬ За формулою (1 6) знаходимо

(3-2)'

З Сполучення із п елементів по к елементів В цих

комбінаціях виявляється різниця тільки самих елементів незалежно від їх

порядку розміщення {х число визначається за формулою

^к

С„ = , (1 7)

при цьому С® = = 1,

—

У попередньому прикладі при п = 3 і к = 2 одержимо 1) аЬ.

2) ас, 3) Ьс

1 З'

або СІ = = З

(З-2)'2!

Приклад На топографічному планшеті є 10 пунктів, 4 із них

навмання відбирають для контролю Скількома способами можна

вибрати із 10 пікетів 4 пікети^

Розв'язання За формулою (1 7) знаходимо

4 10!

от

= 210 разів

(10 -4)'4!

§ 4. Додавання подій. Теорема додавання ймовірностей

На практиці ми здебільшого маємо справу із складними подіями, які є

результатом взаємодії елементарних подій

Сумою декількох подій називають подію, коли при

випробуваннях виникає хоча б одна з цих подій

Суму подій А, В, С, , N позначають

Б = А +В + С+

Приклад 1 Подія А - вірний вимір кута в першому прийомі подія В

теж саме в другому прийомі то подія С - одержання вірного значення

кута буде

С = А + В

Додавання несумісних ймовірностей визначають теоремою

Ймовірність появи однієї із декількох несумісних подій

дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Якщо подія В складається із подій А\, Аг, , А„ ,

то Р(В) Р(А\+ А2

+ А„)=Р(А,) + Р(А

) і + Р(А„), (18)

або = (

Доведення Припустимо М\ - число випадків сприятливих моди А і,

Мі - число випадків сприятливих поди А

М„ - число випадків сприятливих події А„,

N - число всіх можливих випадків випробувань

Згідно з формулою (1 2) маємо ймовірність кожної із елементарних

подій

Р(А

)

; Р(А

)

; ... ; Р(А„) = (1 10)

N N N

і,

А2, ., А„ несумісні, тобто нема таких подій, що сприяють їх

одночасній появі, то події В сприяють В

—

Мі + М

+ + М„ випадків

Тоді

, > .4 Мі + М

+ + М„

Р(В) =Р(А,+А

+ + А„) = —і \

Зпдно з формулами (110) отримаємо тотожність формулам (18, 19)

Теорема доведена

Із теореми додавання ймовірностей витікає два висновки

Висновок І Якщо подй А

..., А„ утворюють повну

групу несумісних подій, то сума іх імовірностей дорівнює

одиниці

(111)

(=1

Доведення. Так як події А\, А2, , А„ утворюють повну групу

несумісних подій, то поява хоча б одного із них - достовірна подія, тоді

Р(А> + А

+ + А

) = РШ + Р(А

) + + Р(А„)

£ Р(А,),

і=1

звідкшля У Р(А,) = 1,

і=1

що і треба було довести

Висновок 2. Сума ймовірностей двох протилежних

подій дорівнює одиниці

Р(А)

1. (112)

Цей висновок витікає з висновку 1 і є його окремим випадком

Приклад 2. На складі зберігається 100 теодолітів, із них 20

технічно справні, 76 - потребують перевірки та юстировки, решта -

браковані Знайти ймовірність того, що взятий навмання теодоліт

можна використати

роботі

Розв'язання Це може статись при події А

- взято технічно

справний теодоліт і події Аг - взято теодоліт, який можна налагодити

Ймовірність них подій дорівнює

лл а/

Р(4і)= " 0.20: Р(А

) =— =0,76

100 100

Так як ці події несумісні, то за формулою

8) знаходимо

Р(В)

Р{А

)

Р(А

) = ОДО + 0,76 -- 0,96

Приклад 3. На топографічному плані є 80 пікетів, серед яких 6

бракованих При контролі навмання вибирають 40 пікетів Визначити

ймовірність того, що план буде визнаний якісним, якщо допускається не

більше двох бракованих пікетів серед перевірених

Розв'язання. Позначимо через А - подію того, що при перевірці 40

пікетів не знайдеться жодного бракованого шкета, через В - подію, коли

буде отримано тільки один бракований пікет і С - подію того, що буде

отримано два бракованих пікети

Події А, В і С несумісні Згідно з умовами план буде прийнято, якщо

виникне подія А + В 4 С Тому за теоремою додавання ймовірностей і

формулою (1 8) отримаємо

Р = Р(А) + Р(В) + Р{С).

Із 80-ти пікетів 40 можна вибрати способами, тобто

N =

С%Г)

Із 74-.Г неврахованих пікетів 40 пікетів можна вибрати С74

способами, тобто Мі ~ Су4 Тоді ймовірність події А за формулою (І 2)

буде

(А

\ _

к )

N "г

ІУ

Чо

Сприятливими подіями із бракованих 6-ти пікетів 1 бракований пікет

може бути взятий С^ способами, решта (40-1) пікетів не браковані і

взяті із 74 пікетів С74 системи Тоді число сприятливих подій буде

дорівнювати

= с>с%

Отже р

ІВ)

=М2

£б£Їі

" сії

Так само визначимо ймовірність події С

" сі

„40

Ъ%

Тому Р = Р(А) + Р(В) + Р(С) = ^

^-80 '--во ^-80

Добуток подій. Теорема множення ймовірностей

Якщо подія 5 складається із А,В,С, , N простих подій, то може

виникнути становище, коли вони всі разом сумісно з'являються

Добуток 5 подій А, В, С, , N позначають так 5

—

А В С

•

Приклад 1. Якщо подія А є вірний результат виміру лінії, подія В -

вірниирезультат виміру дирекційного кута то подія С - А В визначає

те що вірними будуть і обчислені прирости координат

Дл:

Д>'