Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

Перед розглядом теореми множення ймовірністей введемо поняття

про залежні і незалежні події

Подія А називається незалежною по відношенню до події В,

якщо ймовірність події А не залежить від того, виникла подія В

чи ні В противному випадку подію А називають залежною від

події В

Приклад 2. При контролі знань студента викладач бере відлік по

шкалі приладу після того, як відлік взяв студент Імовірність помилки

студента не залежить від помилки викладача і навпаки

Декілька подій називають незалежними в сукупності, якщо

кожна з них та будь-яка складна подія (складена із решти

комбінацій всіх чи частки подій)

—

події незалежні

Приклад 3 Якщо для вимірювання кута за інструкцією треба

виконати два прийоми то подія правильного виміру кута після другого

прийому залежна так як вона може виникнути лише за умови

правильного вимірювання кута в першому прийомі

Умовною ймовірністю називають імовірність, обчислену в

передбаченні того що одна чи декілька подій уже виникли

Математично умова залежності події А від події В записується у

вигляді

На відміну від умовної ймовірності, ймовірність незалежних

подій інколи називають безумовною ймовірністю

Множення ймовірностей визначають теоремою ймовірність

множення двох чи декількох подій дорівнює множенню

ймовірності однієї з них на умовні ймовірності решти подій,

розрахованих у передбаченні, що всі попередні події мали місце.

(1 13)

а умова незалежності - у вигляді

(1 14)

Тобто

(1 15)

або

% р

і=1

'я—І

і=І У

Ймовірність множення двох подій дорівнює добутку ймовірності

однієї з них на ймовірність другої, тобто

Р(АВ) = Р(А) р(У

)= Р(В)

(1 16)

Із теореми множення ймовірностей витікає два висновки

Висновок 1. Якщо подія А не залежить від події В, то і

подія В не залежить від події А.

Доведення. Так як подія А не залежить від події В. то Р(А) = р(

д)

За теоремою множення ймовірностей маємо

Р(Л)Р(У

) = Р{В)Р[

)

Згідно з умовою (1 16) отримаємо

Р(А) р(В/

)ш Р(В)Р(А)

Скоротимо на Р(А) і одержимо підтвердження висновку

/>(%)

Р(В)

То&го дві події незалежні тоді, коли поява однієї із них не змінить

імовірності другої

Висновок 2. Ймовірність незалежних подій в сукупності

подій дорівнює множенню ймовірностей цих подій.

Тоді формула

15) буде

або

Р(Аі ,А

, ,А„)= Р(А

) Р(А

) Р (А„),

Р(П

') = П

(

і=1 Ы

(1 17)

(1 18)

Доведення Для спрощення доказу візьмемо дві події А і

Позначимо

/V) - число всіх можливих випадків при випробуванні в яких з'явиться

подія А,

N2 - число всіх можливих випадків при випробуванні в яких з'явиться

подія В,

М[ - число сприятливих випадків події А,

Мі - число сприятливих випадків події В

Загальна кількість можливих наслідків пар А і В, А і В , А і В,

А і В дорівнює /Vj N

Число випадків, сприятливих сумісному виникненню подій А і В

дорівнює М\ Мі Тоді ймовірність сумісного виникнення подій А і В

дорівнює

р(л в) =

і Цг

}

Тобто Р(А В) = Р{А)

•

Р(В) (1 19)

Якщо ймовірність всіх подій однакова, тобто Р(Аі) = Р(А

) = =

= РШ

Р,

то

P(A

. А

) = Р

. (120)

Приклад 4 Вимір кута складається із ряду елементарних подій

А - центрування теодоліта В установка візирних иілей С візування

зоровою трубою на візирні цілі D - взяття відліку по лімбу

горизонтального круга Якщо ймовірності окремих подій дорівнюють Р(А)

= 0,90, Р(В) = 0,95, РІС) = 0,90, P(D) = 0,99, то чому дорівнює

ймовірність правильного виміру кута -

/>(р)

Розв'язання. Так як ймовірності подій А,В,С і D незалежні, і всі вони

повинні з явитися сумісно, то

/>(Р) = Р(А) Р(В) Р{Є) Р(D),

тобто

/>(р) =0,90 0,95 0,90 0,99 = 0,76

§ 6. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Якщо декілька подій за умовами випробування сумісні і подія виникає

коли наступає хоча б одна із подій, то ймовірність п визначається

теоремою:

Ймовірність поява хоча б однієї із двох сумісних подій

дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх

сумісного виникнення

Р(А + В) - Р(А) + Р(В) - Р(АВ), (121)

або

Р(А + В)= 1 - Р(А) Р(В). (1.22)

В загальному вигляді методом математичної індукції можна знайти

Р(Аі+А

+... + А

) = РШ + Р(А

) +... + Р(А

) - Р(А

Аг) -

- Р(А,А

) -.. - Р(А„

А„) + ...+(-1)" Р (АІА

... А„), (1 23)

або

Р(В) = Р(А

+ А

+ ...+А„) = 1-Р(

А,

... А

) = 1-ЦР(А

). (1.24)

і=І

Доведення Розглянемо формулу (1.24) Найдемо зв'язок протилежна

подія В тотожна такому випадку, коли з'явиться хоча б одна протилежна

подія А

Це можливо, якщо не з'явитеся жодна подія А

що може бути

коли одночасно з'являються всі протилежні події А

В цьому випадку застосуємо теорему множення, тоді

Для незалежних подій

'Я

А\,А

, А

Р{В) = ЦР(А,) (1.25)

__ г=1

Оскільки Р{В) + Р{В ) = 1, то від формули (1.25) переходимо до

формули (1 24), що і треба було довести.

Коли ймовірність подій Р(А,) є рівною, то

Р(В) = 1 - \Р(А) }" (126)

Приклад І. З пунктів мостової тріангуляції двома різними методами

виноситься центр опори моста Ймовірність події пертого методу

дорівнює Р(Л) = 0,90, а другого - Р(В) = 0,80 Знайти ймовірність

перенесення центра опори моста з заданою точністю

Розв'язання. Так як події А і В сумісні і незалежні, то ймовірність

поди С - А

В згідно з формулами (1.21)

(1.22) визначиться

Р{С) = 0,90 + 0,80 - 0,90 0,80 = 0,98,

/>(0=1-0,10 0,20 = 0,98

Приклад 2 Кути мережі тріангуляції вимірювалися п ятьма

виконавцями Ймовірність надійної роботи кожного дорівнювала

Р(А,) - 0,90 Яка ймовірність того що нев язки трикутників мережі

будуть допустимими

Розв'язання. Події вимірювання кутів кожним виконавцем робіт

незалежні один від одного але сумісні Недопустима нев язка і явиться

коли хоча б один із вимірів буде помилковим Так як ймовірності кожного

виміру кута однакові Р(АІ) = 0,90, то за формулою (І 26) знаходимо

Р(В) = 1 - {р(1) }" = 1 - ОДО

= 0,99995 « 1

§ 7. Формула поєної ймовірності. Теорема гіпотез

(формула Бейєса)

Припустимо, що цікава для нас подія А може настати (чи ні ) з однією

із низки несумісних подій Н

, Ht, , Н„, що складають повну групу подій

їх називають гіпотезами

Якщо відомі ймовірності гіпотез Р{Н{), Р{Н

), , Р(ІІ„) і умовні

Ймовірності ПОДІЇ А при здійсненні КОЖНОЇ І1ПОТЄЗИ //,. тобто J·.

P^y/fj j-

P^/fi

т0

ймовірність події А визначається теоремою

Ймовірність події А, що може виникнути разом з однією із

гіпотез Н\, Нц ..., Н„ дорівнює сумі парних добутків

ймовірностей кожної b цих гіпотез на відповідні їм умовні

ймовірності появи події А:

її називають формулою повної ймовірності

Доведення. Гіпотези Ні, Н

, , Н„ утворюють повну групу подій В

цьому випадку подію А можна подати у вигляді додавання подій

(127)

А=АНІ+АН

+ +АН„=^АН,

Разом з тим поди Н, несумісні, тоді і поди АН, (і

— г,

п) незалежні

Це дозволяє нам застосувати для визначення ймовірності події А теорему

додавання ймовірностей несумісних подій (1 9) Тобто

Р(А)^Р(АН,) (128)

(=1

Ймовірність добутку подій А і Н, визначаємо за теоремою множення

ймовірностей (1.16)

Р{АЩ - r(H,)p{j/

Підставимо цей виразу формулу (1 28) і отримаємо

P{A) = f

P(H

)p[f

що і треба було довести

Приклад 1 На складі зберігається 100 теодолітів з оптичним

мікрометром, одержаних з трьох різних заводів відповідно 40, 25 І 35

штук Із числа приладів не потребують введення поправки за рен 35 -

першого, 20 - другого і 32 - третього заводу Визначити ймовірність

того, що взятий навмання прилад не потребує введення поправки за рен

Розв'язання. Позначимо II, - вибір приладу першого заводу, Н

—

другого заводу, Н

- третього заводу, А - подія вибору приладу, що не

потребує введення поправки за рен

Знайдемо ймовірності гіпотез H

і Я

за формулою (1 2)

™Кш)

Ki!l·

251

- 0,35

Обчислимо умовні ймовірності поди А, що відображають вибір

при чаду який не потребує введення поправки в рен Для кожної із гіпотез

Я, Н

отримаємо

'35

h) V40,

2(f

*2J 125,

р\У

У f 4! 1-0,88,

^/„>(^--0,80,

Знайдені ймовірності гіпотез Р{Н{), Р{Нг), Р{Нз) і умовних

ймовірностей P^^jj P^y/fj ^{j/^H ) підставимо в формулу

(1.27)

отримаємо

Р(А~)

= 0,40 · 0,88 + 0,25 - 0,80 + 0,35 · 0,91 = 0,87.

Аналогічно можна обчислити ймовірність того, ию випадково взятий

прилад потребує введення поправки за рен

Р(Л)

0,40 - 0,12 + 0,25 · 0,20 + 0,35 · 0,09 = 0,13.

Розглянемо такий випадок Є певна група несумісних подій

И , #2. • . я„. Відомі їх імовірності Р{Н{), Р(Н

), ..., Р{Н„). Після

проведення дослідів з'явилася подія А, умовні ймовірності якої за кожною

Із гіпотез ВІДОМІ І дорівнюють •·•' ^{^у^Н J·

Виникає запитання: Якою буде ймовірність гіпотези Н, (і = і, п) в

зв'язку з появою поді'і AI

Умовні ймовірності j для кожної гіпотези визначають

теоремою гіпотез

Ймовірність гіпотези після випробувань дорівнює добутку

ймовірності гіпотези до випробувань на відповідну їй умовну

ймовірність події, що з'явилась при проведенні досліду,

поділеному на повну ймовірність цієї події

'VI

пн

·^"·

/АГ я f

її називають формулою Бейєса.

Доведення. Відповідно до формули (1.16) маємо

(1.29)

Р(А) Р\

/.\=Р{Н,) Р\4

'А)

1 1

{/Н,

Якщо Р(А) * 0, то з цього рівняння маємо формулу Бейєса

'А

Р{А)

Виразимо Р[А) формулою (1 27) і отримаємо підтвердження теореми

(129)

Приклад 2. В трьох теодолітних полігонах відповідно 20, 15 ; 10

кутів Серед них в першому полігоні 2, в другому 1 і в третьому - 2 кути

виміряні з недопустимою помилкою Якщо при перевірці випадково взятий

в журналі кут виявився помилковим, то яка буде ймовірність того що він

належить другому полігону

Розв'язання. Визначимо через Ну Н

і Н

}

гіпотези того, що випадково

взятий кут відноситься до першого, другого і третього полігонів Тоді

імовірності цих гіпотез при проведенні контролю рівні між собою, тобто

рт-р(н

)=р(т-- 1

Умовні ймовірності поди появи помилкового кута за гіпотезами Ні,

Нг, Н

дорівнюють

20 10' Л/Нг) 15 Ч/^"і0

За формулою (129) знаходимо ймовірність гіпотези того, що

випадково взятий кут буде із другого полігона

1 _1_

р(

2/)

£15 = 1=0 18

І /А) 1 1

1 1

1 І 11 °'

З 10 3 15 3 5

Якщо взятий кут виявиться правильним, то знайдемо чому дорівнює

ймовірність того, що цей кут буде із першого полігона

В цьому випадку умовні ймовірності появи правильного кута за

гіпотезами Я

і П-. будуть дорівнювати

І.

\) 20 \/

2) 15

ъ) 10

-0,90

•0,90 + - 0,93 + - 0,80

§ 8. Повторні випробування

При проведенні дослідів доводиться проводити багаторазові повторні

випробування. Це найчастіше виникає при дослідженні нових геодезичних

приладів, визначенні точності нових методів вимірювань. Слід

підкреслити, що дослідження ведуть при додержанні встановленого

комплексу умов.

Припустимо, що при проведенні декількох випробувань з'явиться

подія А з визначеною ймовірністю р. Якщо ймовірність події А в кожному

досліді не залежить від наслідків інших дослідів, то такі досліди будуть

незалежними відносно події А.

Тоді виникає задача - знайти ймовірність того, що в результаті

проведення п незалежних випробувань подія А виникне т разів, якщо в

кожному випробуванні ця подія з'являється з постійною ймовірністю

Застосування теорем додавання та множення ймовірностей

призводить до громіздких обчислень, особливо при великій кількості

випробувань. Цю проблему вирішують за допомогою формули Бернуллі.

Виведення формули Бернуллі. Припустимо, що проведено п

незалежних дослідів, результатом кожного може бути подія А з

імовірністю Р(А) = р, або протилежна А з рівнем значності

Р(А)~ І —р = д. Так як комплекс умов не змінюється, то

Після першого випробування подія А може з'явитися чи не з'явитися,

тобто можливі дві події, що утворюють повну групу: А, А .

Відомо, що сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу

подій, дорівнює одиниці, тоді

Р(А) = Р.

Р(А

]

)-РШ

Р(А

]

) = Р(А

) = ... = Р(А

) =

або

Р(А) + Р(А)= 1,

+ '.7

= 1-

(1.30)

зо

Після двох незалежних подій виникнуть складні події: АА,АА, А А,

А А.

Вони теж утворюють повну групу подій

Р(АА) + Р(АА) + Р(АА) + Р(А А) = 1. (1.31)

Так як ці події незалежні, то за теоремою множення ймовірностей із

формули (1.31) маємо

р +ра + чр+ <?={,

або {p + qf=\. (1.32)

Методом математичної індукції за формулами (1.30) і (1.32) для трьох

подій маємо:

{р + ч?^ 1. , (1-33)

Аналогічні міркування для п дослідів приводять до висновку, що

(Р + Ч)"=\. (1.34)

Розкладемо біном (1.34) на суму ( п + 1) додатків, тоді

ІР + Ч) =С

Ч Р +С„Ч р +С„я р +...+

+ С„ч р +... + С„д р =1, (1.35)

—» 0 и

де С„ (к 0,1)- біноміальні коефіцієнти; крім того С„ = С" ~ І.

Аналіз формули (1.35) приводить до висновку, що перший член

формули С®д"р° виражає ймовірність того, що подія А з'явиться

0 разів; другий член С\ч"~

р^ - ймовірність того, що подія А з'явиться

1 раз і т.д. Останній член формули р" - виражає ймовірність того,

Що подія А з'явиться п разів.

Отже ймовірність того, що при п незалежних випробуваннях, коли

ймовірність появи кожної події дорівнює р, сприятлива подія з'явиться

к разів і визначається формулою

Рф)= С

„д

р\ (1.36)

зі