Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

Для неперервних випадкових величин маємо:

со оо

—оо —со

х у{х

,х-

...,х„)<іх

(іх

... ск„,

(3-47)

де ф(Х|, Хі. ..., х

)-щільність розподілу системи {Хі,Х

, ••-,Х

В теорії ймовірностей розглядають випадки, коли для визначення

математичного сподівання не потрібно знання функції розподілу, а досить

знати тільки числові характеристики:

1. Математичне сподівання суми як залежних, так і незалежних

випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

І*

. і

=2Х

(3.48)

2. Математичне сподівання добутку двох випадкових величин

дорівнює добутку їх математичних сподівань плюс кореляційний

момент

М[Х-У]

-М

+К

ху

. (3.49)

Якщо випадкові величини некорельовані, то

М[Х-Г]

-М

. (3.50)

Дія незалежних випадкових величин математичне сподівання функції

у = Хі -Х

•... Х„ дорівнює

Цх,

./=1

(3.51)

7=1

В загальному вигляді математичне сподівання майже лінійної функції

у =_/{Х і,Х

,...,Х„) при незалежних випадкових величинах

(Х\, Х

, ..., Х„) обчислюють за формулою

=ЯМ

ХГ

Х2

,м

Хп

Дисперсія функції випадкових величин

(3.52)

Випадкова величина У є функцією системи випадкових величин

(Хі.Хг X«)

У=АХ-і,х

,-,х

). (3.53)

В загальному вигляді дисперсія функції У дорівнює

= Л/[(Г-М

)

]. (3.54)

ЯкіЛЬ функція (3.53) нелінійна, то для діапазону практично можливих

значень аргументів вона може буги з достатньою точністю лінеарізована

за формулою

ї=Ах

,...,х

)*№

Хі

, М

Х2

Хп

)+М^\ (х,-м

Хі

і=Л

сгг

(3.55)

де

<1.

—

значення часткової похідної, визначеної за

значеннями Х„ що співпадають з їх математичними сподіваннями.

Підставимо значення у і М

із формул (3.55) і (3.52) в формулу

(З 54), тоді

М[{/(М

Х]

Хв

)

£[ ^ ] (х, - м

Хі

-лмм,)}

) -м

2 1

(3.56)

Після піднесення в квадрат і розкриття формули (3.56) маємо

= М

\дх

(х

-М

Х]

)

+·..+ ^

(х„-М

)

-21

д/

дх,

(х, - М

Х/

)(XJ - М

)

'<А 'ЛД ' і

Відомо, що М\(х, -М

)

] = О

= а

Х/

;

М[(Х,-М

ХІ

)(Х;-М^ )]=К

тоді

\dxyJo

дх,

«Уо

М і—

к„, (3.57)

так як

Кц "

то

" і лє V

1=1 \

ил

1/ 0 к]

д[]

. , дх,

°х

(3-58)

Якщо випадкові величини системи (Х\, Х

, Х„) нскорельовані

(г,] = 0), то дисперсія функції у =/(Х\, Х

,..., Х„) дорівнює

" ( яг

ЙІА/о

(3.59)

Дисперсія системи функцій випадкових величин

Якщо маємо систему декількох нелінійних функцій системи

випадкових величин (Хі, Х

,..., Х„ )

/і№Д

г=АЮ= •

(Х\,Х2,

...,х„у,

...,Х

(3.60)

то спочатку їх приводять до лінійного виду.

Розклавши в ряд систему функцій (3.60) отримаємо систему лінійних

функцій.

де

дх,

\ і

Т = А М

+ Ь ,

иіхі лгхл тх 1

за умови Х=Хо.

(3.61)

Математичним сподіванням системи випадкових функцій

системи випадкових величин (Х[, Х

, ..., Х„ ) за аналогією з

формулою (3.52) буде

\Л

=М[ПХ)] =

(А/., М

Х1

(З 62)

де /М^ визначається за формулами (2 15-2 17)

Дисперсією системи випадкових функцій О

системи

випадкових величин (А'І, Х

..., Х„) є кореляційна матриця

функцій випадкових величин Ку. В матричному вигляді маємо

= А К

(3 63)

мхл _

„ ихія

тхт

В розкритому вигляді матриці елементів формули (3 63) будуть

(Чі

^21

К^ті

( гг

к·

А 2

т2

^пі

к,

п2

2 п

А'

(4і

Аі

к.

ті

"21

„

^42

«І

т2

Ап,

2т

'Ут

(3 64)

Причому, якшо в матриці К

кореляційні моменти К„ визначають

залежність між випадковими величинами аргументів X, і Х

то в

матриці К

кореляційні моменти Ку визначають залежність між

випадковими функціями У, і У, Величину коефіцієнта кореляції між

випадковими фікціями У

і У) обчислюють за формулою

К„

(З 65)

Приклад 1 Випадкові величини X та У пов язанх відношенням

~ х + 2ху + 2у - 1 Ймовірність появи кожної із них однакова а

Реалізації приведені в табл З 1

Таблиця З 1

Ном 1 2 3

х,

5,0

5,2

4,8

5,1

4,9

У,

1.0

0,8

1,2

0,6

1 4

Необхідно визначити а) математичні сподівання, дисперсії і

стандарти випадкових величин X ; У б) кореляційну матрицю К

нормовану матрицю К

системи випадкових величин (X)

в) математичне сподівання, дисперсію і стандарт випадкової функції У

Розвязання. а) Для визначення математичних сподівань випадкових

величин X і У використаємо формулу (2 16) Так як ймовірність

появи випадкових величин однакова, а число їх N = 5, то ймовірність

появи кожної із них в дослідженнях буде дорівнювати

+ Р

. +

=1, а Р

Хі

=0,2;

+Р

=1.

У1 У 2 У З У 4

Уі

=0,2.

Розрахунки виконані виходячи з того, що сума ймовірностей складає

повну групу подій Тоді за формулою (2

в) маємо

= = (5,0 + 5,2 + 4,8 + 5,1 + 4,9) 0,2 = 5,0;

=^у,Р

уі

=(1,0 + 0.8 + 1,2 + 0,6+0,4)0,2"= 1,0

Дисперсії випадкових величин обчислюють за формулою (2 27) Так як

= Р

=0,2, то дисперсії дорівнюють

х^і

і~

х)

Х,

= [°

2 +

(°'

)

+ (-0Д)

(0,1 )

(-0,1

)

]0,2 = 0,02.

йу = - М

ІР

Уі

[О

+ (-0,2)

+ (0.2)

+ (-0,4)

+ (0,4)

]0,2 = 0,08

Стандарти будуть дорівнювати

V* = ЛІК = л№ =

4; о

= ^Оу = Д08 =0,26

б) Для визначення кореляційної матриці К

обчислимо кореляційний

цомент між випадковими величинами X і У за формулою (З 22). Так як

_ = Р„ =0,2,

-Р

=0,2-0,2 = 0,04.

Тоді

іу

К^ = [0- 0 +

0,2 (-0,2)

(-0,2)

0,2 +

0,1 •

(-0,4)

(-0,1)

0,4]

х 0,04 = 0,0064.

Кореляційна матриця К

згідно з формулою (3.34) буде

( 0,02 - 0,0064^|

[-0,0064 0,08 /

За формулою (3 37) обчислимо коефіцієнт кореляції

ху

У* ]

•0,0064

г =г =

= - '-=-0 12

^ ** о

0,14 0,26 '

Нормована кореляційна матриця К

за формулою (3.38) буде

1 -0,12

-0,12 1

в) Математичне сподівання випадкової функції Z згідно з

формулами (3.48) і (3.49) буде

М-_ --

+ 2М

+ 2 М

- Ку = 5 + 2-5

+ 2

- 0,0064 = і 5,9936.

Дисперсію випадкової функції 2 обчислимо за формулою (3.57)

ОІ

аг)

= (1 + 2У)ІО

+ (2Х + 2)1 й

+ 2(1 + 2У)

(2Х + 2)

А^.

При Х

=М

;

Уо

= М

= (1

+ 2-1)

0,02

+ (2·

5 + 2)

0,08 + 2(1 + 2

· 5

+ 2)х(- 0,0064) =11,53.

І'

> стандарт функції 2 буде

= л/^" = л/ПЗз = 3,36.

Приклад 2. На пункті полігонометрії способом кругових прийомів

в1

тряні кути у\, у

і Уз (рис.3.4) Найти кореляційну матрицю К

коефіцієнт кореляції між кутами г

і дисперсію кута - у\

, якщо

виміряні напрямки х

, х

, Хз, ха незалежні між собою, а їх стандарт

дорівнює О

= 2".

Рис.3.4

Розв'язання. Так як кути обчислюються через значення виміряних

напрямків, то складемо вектор-функцію (3.60):

у=Лх) =

Уг

= х

2 ~

і>

У2=*з-

2І

= х

-х

зі

Кореляційна матриця обчислюється за формулою (3.63). Коефіцієнт

матриці А обчислюються як часткові похідні — \ —так Ац = -1

І сЬс,-

Ах

= +

Тоді

т.д.

-1

+ 1

0 -1 + 1 0

0 0

-1

Виходячи

того,

що

виміри рівноточні

незалежні

між

собою,

/по

2 2

формулою (3.36) кореляційна матриця К

= а

Е - С - 4,

За

формулою

(3.63)

обчислимо

кореляційну матрицю К

= А а

= 4

-1+1 О о

0-1+1 о

0 0-1+1

л /

-1 0 0

-1

+ 1

-1

, 0

0 + 1

-4

8 -4

-4

2-10

=4-1 2-1

0-12

По діагоналі розміщені дисперсії кутів Причому вони рівноточт,

ак як О

у[

= й

у2

= И

уз

= 8 Тоді стандарт кута О

- = 2",6

Із отриманої матриці К

видно, що спостерігається залежність

тільки між суміжними кутами, так як

= а ~ 0

Коефіцієнти кореляції між суміжними кутами уі і у і, у

і Уз

обчислюють за формулою (3 65)

12 -

—_ _ _ _о 5

2,6 2,6

Це означає, що в способі кругових прийомів, залежність між

суміжними кутами завжди дорівнює г

і}

- 0,5, (/=г + 1) або (г =_/+!)

Дисперсія кута у\ обчислюється за формулою (3 57) або (3 58) і

дорівнює

Так

як

УІ

ду

дУі

ду

}

= + 1

Уі +

Г ^ІЇ^І

{ду

) -

ду

)

К,

ні о

= І

8 +

8 + 2 1 1(-4) = 8,

дисперсія сумарного кута буде

§ 6. Граничні теореми теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей охоплює питання передбачення результату того

чи іншого явища або експерименту. Якщо явище є одиничним, то можна

визначити ймовірність кінцевого результату в досить широких межах.

Якщо явище є масовим, що виникає в подібних умовах, то при достатньо

великій кількості досліджень випадкові події і випадкові величини стають

майже невинадковими. Це дозволяє використовувати результати

досліджень над випадковими явищами для передбачення результатів

майбутніх досліджень.

Теореми, які встановлюють співвідношення між

теоретичними і експериментальними характеристиками

випадкових величин і випадкових подій при досить великій

кількості досліджень, а також розглядають граничні закони їх

розподілу називають граничними теоремами теорії

ймовірностей. Серед них найбільш важливе значення мають граничні

теореми: закон великих чисел та центральна гранична теорема.

Закон великих чисел дозволяє знайти зв'язок між теорією

ймовірностей і закономірностями масових випадкових явищ, і має досить

велике практичне значення.

Важливою формою закону великих чисел є теорема

П.Л. Чебишова, що встановлює зв'язок між можливим емпіричним

середнім арифметичним значенням х випадкової величини X і її

математичним сподіванням М

Її формулюють так: при необмеженому збільшенні числа

незалежних випробувань середне арифметичне

спостережених значень випадкової величини, що має кінцеву

дисперсію, збігається за ймовірністю до її математичного

сподівання.

Теорема П.Л. Чебишова цілком справедлива і при застосуванні в

теорії математичної обробки геодезичних вимірів. За умовами цієї теореми

на випадкові величини X], Х%,..., Х„ накладають обмеження:

1)вони повинні мати однакові математичні сподівання, тобто

-М

=а,

]

та- Істинне значення випадкової величини X;

2) їх дисперсії не повинні перевищувати наперед відомого додатного

числа С: О

<С (г = 1,л);

3) вони повинні бути попарно незалежними, тобто будь-яке х, і х,

при і р^і незалежні.

100

В цьому випадку яке б не було б додатне (плюсове) число при

—• 00

' Х\+Х

+... + Х

Ііт Р

и-^со

-а

<\ -1

(3.66)

Це твердження доводиться на основі нерівності Чебишова:

ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного

сподівання буде за абсолютною величиною не менше будь-якого

додатного (плюсового) числа І,, обмежена зверху величиною —^, тобто

Р(\Х-М

\>с,)<

2 '

(3.67)

Якщо в формулі (3.66) випадкові величини Х\, Х%,..., Х„ замінити

на центровані величини А, - Х

- М

- Х

[

-а, то отримаємо

Ііт Р

п—>од

<? -

= 1ІШ?

Л—>-С·

Д1+... + Д,

<5 =1

(3.68)

Це означає, що середнє арифметичне великої кількості відхилень

випадкових центрованих величин, від їх математичного сподівання за

умови, що Од < С і п

—»

оо збігається за ймовірністю до нуля.

Таким чином, закон великих чисел виявляє як статистичні

властивості, так і умови визначення середнього значення випадкової

величини.

Досить велике значення в практиці має центральна гранична

теорема А.М.Ляпунова. Вона виявляє умови, при яких виникає

нормальний закон розподілу. Якщо випадкова величина X відповідає

вимогам:

1) вона є сумою достатньо великої кількості інших незалежних

величинХ[, Х

,.... Х„ (я -> 00 ) ;

2) випадкові величини попарно незалежні, тобто X, і X] незалежні

при і

ф_/;

101