Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

(4.45) і (4.46) визначити дисперсії Ир і та за формулами (4..

(4.50) статистичні стандарти т

і т

£<д-я?

= -і = = 0,22; т

= = -Д22 = 0,4*

п-1

= ^ = 0,22;

=^(К,~К? / и-^ = 0,56; т

=^ = ТбЗ'б=0,

1 '

За формулою (4.47) обчислюємо кореляційний момент, а за форму;

(4.48) коефіцієнт кореляції

+1-96

1 А — - +1 96

= -

- О

ХАТ,

-К) = ^ = +0,28;

—

і і і

Гп. =

0,28

•

= +0,81.

ШрЩ 0,46-0,75 $

Так як г* - 0,81, що досить близько до І, то можна передбачу

що між величинами О і К існує прямолінійний зв'язок. Спочф

обчислимо коефіцієнт регресії

Рк =

— = 0,81

'—; = 1.32.

0/75

"'о 0,46

За формулою (4.37) рівняння регресії К по О буде

К =99,5 + 1,32 £>-1,32 -0,9,

або 1,32 £> +98,31.

За результатами обчислень можна побудувати графік регр

(рис.4.4)

1,32 В + 98,31

Рис.4.4

Для побудови прямої регресії обчислено значення двох тМ

К, = 98,31 при О = 0 м і К

= 99,5 при О = 100 м, які наносимй

графік і проводимо через них пряму лінію. *

122

Такий спосіб визначення оцінок невідомих параметрів називають

точковим, а самі оцінки - точковими. Його недоліками с те, що точкова

оцінка а* не збігається з величиною а,. Це особливо видно при

невеликій кількості результатів експерименту. До цього для визначення

точності точкової оцінки слід знати і дисперсію В ,.

§ 5. Ощнка параметрів розподілу за допомогою довірчих

інтервалів

В § 4 розглянули спосіб визначення точкових оцінок. Проте більш

досконалим є спосіб довірчих інтервалів. Справа полягає в тому, що

точкова оцінка без вказаного ступеня точності і надійності мало що

визначає, тому що отримані величини оцінок становлять лиш часткові

значення деяких випадкових величин.

Щоб мати досить точну і надійну оцінку а* параметра а треба

дотриматись умови

Р(\а* - а\ < £ ) = Р (-4 < \а* - < £ ) - Р (а* - £ < а < а* + ^ ) =

= 1-а, (4.52)

де « — досить мала величина.

Співвідношення (4.52) показує ймовірність того, що невідомий

параметр а буде знаходитись в межах інтервалу ( а* — а* І £,),

дорівнює 1

— ОС

= Р. Такий Інтервал і називають довірчим інтервалом.

Треба зазначити, що чим менше буде тим точніше буде оцінка а*

параметра а.

Графічно довірчий інтервал для параметра а можна показати на

рис.4.5.

Рис.4.5

Припустимо, що параметром а буде математичне сподівання

випадкової величини X.

Емпіричне середнє арифметичне значення X випадкової величини

· (л"ь Хг, ..., х

) визначається за формулою (4.23) і є випадковою

величиною, якщо її обчислювати за різними серіями вимірів (по вибірках)

123

при проведенні дослідів. Таким чином із серійних середніх арифметич

Х\,Х

••••.

Х„ також формується статистичний ряд. Причому всі вся

деяким рівнем імовірності р = Р будуть належати інтервалу

а* -£, < а - М

< а* + ^ . (4І

Визначимо математичне сподівання та дисперсію випаду

величини X або параметра а. Відповідно за формулою (3.48) маємо

= Щ-(Х

+Х

+...

)] = -(М, +... + М

) =

п п

-(а 4-а +

...

+ а) - а (

Це означає, що математичне сподівання випадкової величій

залежить від числа п вимірів і дорівнює математичному очікуй

= а випадкової величини X.

Дисперсія середнього арифметичного X відповідно за форм;

(3.59) буде

-(<ґ + ... + о

) =

п п

2 ^

або -

Із формули (4.55) маємо висновок, що дисперсія математіЯ

сподівання (емпіричного середнього арифметичного) залежите

параметра а та числа вимірів я.

Величину а

називають стандартом математичного споді

середнього арифметичного

а ,

л/я

Якшо дисперсію т обчислюють за статистичним рядо

статистичною сукупністю (формули 4.22 і 4.28), то емпіричне зна

стандарту середнього арифметичного називають сер

квадратичним відхиленням арифметичної середини, або

л/и

124

Довірчий інтервал для центру розподілення при відомому о

Припустимо, що ми маємо нормально розподілену випадкову

величину X з відомими параметрами а

~ М

і а

= ст

. Для оцінки

параметра а \ = М

— а використаємо характеристику X, яка теж

розподілена нормально. Очевидно за багатьма вибірками величини X

будуть дещо відхилятися від величини а ~ М

. Закон розподілу величини

X можна визначити через функцію Лапласа (§4; розд.2). Тоді нормовані

відхилення середніх арифметичних вибірок X від параметра а = М

визначимо за формулою (2.46) і отримаємо

Х-а

±ґ = - (4.58)

Розв'яжемо рівняння (4.53) відносно а і отримаємо довірчий

інтервал для математичного сподівання або параметра а

Х-(а

<а<Х + (о

. (4.59)

Порівняно з формулою (4.53) видно, що формула (4.59) і буде

шуканим інтервалом, де знаходиться середнє арифметичне, причому

£ = \(а

|. Так як величина і підкоряється нормованому нормальному

закону розподілу і згідно з функцією Лапласа

ф(0 = -Ё=Ге

Ж = р, (4.60)

то ЇЇ находять зворотним інтерполюванням із таблиць Лапласа (дод 1.).

Довірчий інтервал для центру розподілення при невідомому о

В практичній діяльності при проведенні дослідів нам невідомо як М

так і о . Вони оцінюються по малих статистичних рядах (вибірках). Тоді

від випадкової величини X переходять до другої випадкової величини

Що с функцією значень Х\, х

, ..., х

, закон розподілу якої не залежить від

Невідомих параметрів величини X, а залежить тільки від кількості дослідів

і від виду закону розподілу випадкової величини X. Як показано в

125

§ 7, розд.2, при нормальному розподілу величин X випадкова величина

підкоряється закону розподілу Стьюдента з п

—

1 степенями вільнос

(дод. 3).

Тоді стандартом математичного сподівання буде середнє квадратичн

відхилення середнього арифметичного М (формула 4,57).

Формула (4.58) набуде вигляду ;

Х-М

Довірчий інтервал для параметра а = М

при невідомих X і В

знаходиться за формулою t

X-t^M <М

<X + tpM. (4.6

Згідно з розподілом Стьюдента

'Р

2 \S

_i(t)dt = ß, (4.6

де ß

—

ймовірність появи випадкової величини від 0 до iß .

В таблиці розподілу Стьюдента (дод. 3) за надійної ймовірності |

числом ступенів вільності п -1 находять величину iß.

Відповідно з інтервалом (4.6І) можна побудувати довірчий інтеря

для будь

-якого значення з вибірки Х\, Х^ --*> за формулою

X-tpm<x, <X + tpm. (4.6

Довірчий інтервал для CT

Виходять з того, що вибірка отримана з нормальної сукупності. II

2/2 . .1

цьому величина п

•

т /и розподілена за законом розподілу

(§ 6; розд.2) з (п —1) ступенями вільності. Слід відмітити, що Іі

надійної ймовірності ß можна побудувати інтервал нескінченним числі

2 2

способів. Проте краще вибрати такі межі %і і

Щоб

р(х

< X?) =

- ріг

> х

) = -ß) = pü

Р(%

>Xi) = l~Pi і P(X

>XI) = P2

Тоді

РІХх r<xb = \-pix

<xb-pix>xb= Р- (М

с і

126

Це свідчить про те, що

( 2 2\

пт 2

пт

<а <

• 2

%2 Хі

= р. (4.66)

Таким чином довірчий інтервал для а буде

У\т <ст< у

т, (4.67)

'Ч7хі '

Ї2

^?*Г

(

При невеликій кількості випробувань

,'СЦ=у ; (4.6»)

\ /Х2 /Хі

2 2 2

Величини і "/

вибирають із таблиць розподілу % (дод. 4) з

числом ступенів вільності п або

(п— 1)

відповідно для ймовірності

Рг ~ 0,5(1

—

Р); р\ ~

р2·

За аналогією з інтервалом (4.67) можна побудувати довірчий інтервал

для середнього квадратичного відхилення ст

простої арифметичної

середини. Враховуючи формулу (4.57) отримаємо

М<а

<у

М. (4.70)

Приклад. Проведено експериментальні випробування

світловіддалеміра на польовому компараторі з довжиною еталонної лінії

І - 120,000 м. Точність приладу характеризується дисперсією

"і" -· 5 мм. Випробування проводяться серійно по 10 вимірів в кожному.

Визначити інтервали математичного сподівання для кожної вибірки

(серії вимірів) та стандартів а і а

при надійності ймовірності

Р = 0,95.

Розв'язання. Так як в кожній серії проводиться по п= 10 вимірів, то

стандарт математичного очікування за формулою (4.56) буде

М = = ~ = = 0,70 мм.

Гп 4п ^/10

127

За таблицями функції Лапласа (дод.1) для Ф = Ф(/) = 0,95/2

визначаємо / = 2,0. Тоді за формулою (4.59) при X = 120,000 м мі

120,000 - 2,0- 0,0007 < а < 120,000 + 2,0

•

0,0007,

або

119,9986 <а< 120,0014.

Для побудови довірчого інтервалу

«т

обчислимо

^-{\-Р) = і(1-0,95) = 0,025,

/ Р\ = 1 ~Р2 = 1 ~ 0,025 = 0,975.

За таблицями розподілу X (дод.4) методом лщ

інтерполювання визначаємо при п- 1=9 і р і =0,975 та р

- 0,02

Х?= 2,53 + -°^ 0,005 = 2,53; х^ =16,9+ -'-0,025 = 19,2.

0,03

А2

0,03

За формулою (4.66) отримаємо

За формулою (4.65) обчислюємо

0,7-5" <а< 1,9-5" або 3",5<ст<9",5.

Відповідно

M <а

< у

M або 0",49 < а

< 1",4.

Запитання для самоперевірки

1. Які задачі вирішує математична статистика?

2. Що таке генеральна сукупність та вибірка?

3. Що називають статистичною функцією розподілу?

4. Що таке сходинковий графік та гістограма?

5. Як обчислити довжину та граничні значення інтервалів?

6. Запишіть формули числових характеристик статичного розпоі

7. Як побудувати гістограму, сходинковий графік і полігон часта

8. Властивості доброякісних оцінок параметрів розподілу? 1

9. Якими способами можна оцінити параметри розподілу? і

Ю.Що таке метод максимальної правдоподібності?

11.Назвіть точкові оцінки параметрів розподілу.

12.Що таке довірчі інтервали? І

13.Як задати інтервал для математичного сподівання, диспея

стандарту?

128

РОЗДІЛ 5. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗ

§ 1. Статистичні дослідження рядів вимірів

Навколишнє середовище, явища природи, закони фізики та інших

наук вивчають шляхом випробувань, в результаті яких отримують

випадкові величини або статистичний ряд ..., х„. Одночасно може

досліджуватися декілька явищ. При цьому отримують декілька

статистичних рядів або сукупностей випадкових величин.

Залежно від процесів, що відбуваються при випробуваннях, кожен

статистичний ряд підпорядковується тому чи іншому закону розподілу.

Його можна визначити шляхом математичної обробки вимірів.

Для отримання надійних результатів і обґрунтованих рішень при

математичній обробці результатів експериментів необхідно знати закони

розподілу статистичних рядів. Знання закону розподілу необхідно і для

застосування методів обробки вимірів.

Всяке передбачення про закон розподілу випадкових величин

називають статистичною гіпотезою.

Статистична перевірка гіпотез полягає у визначенні закону розподілу

результатів експериментів. Висунуту гіпотезу називають нульовою

гіпотезою.

В результаті статистичної перевірки для нульової гіпотези визначають

статистику Q. Перевірка нульової гіпотези базується на теорії надійних

інтервалів та способах перевірки статистичних гіпотез.

За принципом практичної впевненості для висунутої нульової гіпотези

визначають теоретичне значення статистики · Його визначають за

таблицями різних критеріїв перевірки по заданій імовірності р або рівнях

значимості д—ї—р. В разі, коли

а ^ Q

(5-і)

нульова гіпотеза приймається. В протилежному випадку вона не

підтверджується, тобто відкидається.

Статистична перевірка може виконуватися одним і більше критеріями

(методами). При цьому може виникнути дві помилки:

1. Бракування правильної гіпотези. Уникнути її можна підвищенням

значення ймовірності р або зниженням рівня значності«?.

2. Прийняття неправильної гіпотези. Уникнути її можна

застосуванням різних критеріїв перевірки.

Ймовірність прийняття нульової гіпотези підвищується зі

збільшенням кількості випробувань і практично надійна, коли ц—> «з.

Надійність перевірки статистичної гіпотези висока при достатньо великій

129

імовірності бракування неправильної гіпотези. Важливе значення мі

вибір критерію перевірки.

При математичній обробці геодезичних вимірів найбільш пошир

такі перевірки статистичних гіпотез:

1 Визначення систематичної (або постійної) похибки

Залежність від умов експерименту може виконуватися такя

способами: )

а) систематичні похибки значно спотворюють результат і можї

призвести до недоброякісних оцінок. Систематична похибка ці

визначатися на компараторі розміром X і в результаті експериментів (Я

отримано статистичний ряд Х\, Х2, х„ 1

При обробці за формулою (4.23) визначають середнє арифметичне]

і обчислюють різницю

А = Х-Х.

За формулою (4.39) визначають середню квадратичну похи^

окремого виміру т та обчислюють середню квадратичну похи(

середнього арифметичного X за формулою '

= о

V/! і

Обчислюють статистику ^

Статистику 2

визначають за таблицею розподілу Стьюді

(дод. 3) за рівнем значимості д та кількістю ступенів вільності к =

пЩ

Нульова гіпотеза про незначний вплив систематичних ггохї

приймається, коли

Довірчий інтервал для систематичної похибки С з імовірні

р — ] - визначається за формулою

р = Р(Д - 2

М < С < А + 2

М).

130

Приклад 1. При компаруванні рулетки на польовому компараторі

довжиною L = 120,000 м отримано середнє значення виміряної довжини

X 120,012 м із 10 вимірів з середньою квадратичною похибкою

m 5 мм. Визначити наявність систематичної похибки з імовірністю

р = 0,95 або q = 0,05.

Розв'язання, За формулою (5.3) визначимо середню квадратичну

похибку арифметичного середнього М—

— — 1,6 мм, а за формулою

V10

(5.4) статистику

M 1,6

(jeA = X-L = 120,012 - 120,000 = 12 мм.

При q = 0,05 та k = n- \ =9 визначаємо Z

= 2,26. Оскільки Z> Z

(7,5 > 2,26), то в ряду вимірів Є суттєві систематичні похибки, які слід

обоє язково враховувати при проведенні вимірювань.

б) Коли невідоме істинне значення X вимірюваної величини, то

виконують два незалежних випробування і отримують статистичні ряди

Для них обчислюють Х\, Х

, Щ, т

, А = - Х

та загальну

середню квадратичну похибку

(5.6)

«[ "2

Критерієм перевірки служить статистика Z, яка визначається за

формулою (5.4). Нульова гіпотеза підтверджується, коли 2 < Z

Статистику 2

визначають за таблицями дод.З за рівнем значимості ц.

в) Коли число випробувань П\ і п

менше 30 (п\ < 30; Щ < 30)

статистику 2 обчислюють за формулою

(5/7)

VW+Vîf ^

+п

Де к

=«і-1; £

= и

-1.

131