Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

Тоді отримаємо ймовірне співвідношення

ІітХ = Х.

п—УХ

Принцип арифметичного середнього показує, шо при нескінчеи

кількості вимірів і відсутності систематичних похибок про

арифметичне середнє наближається до істинного значення.

Це означає, що середнє арифметичне X буде найбільш точним, ,

ймовірним значенням виміряної величини

В § 2 цього розділу стверджується, що як виміри, так і похиі

вимірів при дотриманні "комплексу умов" належать нормальному завд

розподілу. Тоді і за методом ММП Фішера (§ З, розд.4) доведено,,,

середнє арифметичне буде найбільш близьким до істинного.

Практично число вимірів обмежене, гому і обчислене сереі

арифметичне буде випадковою величиною, яка може приймати знача

в деякому інтервалі, який залежить від числа вимірів та прийнятої довір

ймовірності р (§5, розд.4).

2. Середня квадратична похибка окремого виміру

Теоретично мірою точності вимірів є дисперсія а . За результат

статистичної обробки [зядів вимірів визначають емпіричну (

статистичну) дисперсію т" (§ 4, розд.4).

За ММП Фішера доведено, що коли статистичний ряд Х\, Х

, ...

підкоряється нормальному закону розподілу, ефективною оцін]

точності є дисперсія

2_[{Х-Х)

}

т = . (6.

Оскільки розмірність дисперсії ("в квадраті"), то за міру точні

приймають емпіричний стандарт або середню квадратичну похибщ

I[A

]

де Д, = х, - X— істинні похибки.

Її називають формулою Гаусса.

Якщо невідоме істинне значення вимірюваної величини, тї

формулою (6.6) використаємо різниці

Д ,~У,=х

-Х-х,+Х = Х-Х = Х

де X - систематична похибка.

152

Коли число вимірів дорівнює п, із формули (6.25) отримаємо

-»

А,= У, + Л, (і = 1,и). (6.26)

Зведемо вираз (6.26) до квадрату і підсумуємо

[ Д

] = [V

] + пк

+ 2Х [V]. (6.27)

Якщо в формулі (6,4) взяти суму ймовірних похибок V, то отримаємо

\У\ = [х]-пХ. (6.28)

Оскільки середнє арифметичне за формулою (6.21) дорівнює

а - — , то в формулі (6.28) отримаємо

о,

або [Г3=0.

Формула (6.28) використовується і для контролю обчислення

ймовірних похибок V.

Тоді формула (6.27) зведеться до вигляду

[Д

] = [V

] + пі

. (6.29)

Якщо вираз (6.29) поділити на п, то з врахуванням формули (6.23)

отримаємо

ЇІ

]

+ ?

2 (6.30)

Істинна похибка Л. простої арифметичної середини за формулами

(6.6) і (6.20) буде

Х = Х -X або Л = —. (6.31)

Тоді в формулі (6.30) X з врахуванням формули (6.31) буде

_ [Д]

_(Д

-ьД

+..-+Д„)

] „ Д,Д.

або

2 • (6.32)

п ,

<у

Згідно з четвертою властивістю випадкових похибок

Ііт-Хд^О,

153

а формула (6.32) зведеться до вигляду

З врахуванням формули (6.30) та (6.33) отримаємо

2 [*

] . т

т =

п и

Остаточно отримаємо формулу Еесселя для визначення сері

квадратичної похибки виміру за ймовірними похибками

'[К

]

т =

] і" '

V п •-1

3. Середня квадратична похибка арифметичної середини

Скористаємося формулою (6 21) і запишемо

-(х

+х

+...

), ,

Оскільки виміри рівноточні, тобто = м

= т, а ча<

(V) 1

похідні -— - і, то за формулою (3.54; отримаємо дисперсію серед

)

арифметичного

- .

Тоді середня квадратична похибка арифметичного сі

буде

г т

М -т

= -т=.

ліп

Додатково обчислюють:

4. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похі^

154

5. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

арифметичного середнього

"""Щ^Гу

Для оцінки точності похибок вимірів використовують інші критерії.

6. Середню похибку в, як середнє арифметичне із суми абсолютних

значень випадкових похибок, тобто

(6,0,

де [|Д|] = |Д,|+ |Д

| + ... + |Д

7. Серединну похибку г. Її визначають в середині зростаючого ряду

ДщІП 1, (Дії, |Д

|, !А тахЬ

складеного із абсолютних значень похибок вимірів. Тоді ймовірність

серединної похибки буде

^(|Д|<г)=

. (6.41)

Середня квадратична похибка виміру т має зв'язок з середньою 0

та серединною г похибками

т» 1,25 6; (6.42)

т « 1,48 г. (6.43)

8. Абсолютні похибки. До них належать: середня квадратична (т),

середня квадратична арифметичного середнього (М), середня (8),

серединна (г), істинна ( Д,), ймовірна (V,) і гранична (А

Ір

9. Відносні похибки. Відношення абсолютної похибки до значення

виміряної величини називають відносною похибкою.

Назва відносної похибки відповідає назві абсолютної похибки,

наприклад:

т _ 1

— - - — середня квадратична відносна похибка;

х О

Д 1

—

- ~г

—

істинна відносна похибка;

х Б

155

р. _ 1

—

— - гранична відносна похибка тощо.

х Т

Оцінка точності вимірів за допомогою середніх квадратичних іаді

m порівняно з середньою та серединною похибками має такі переваги

1. Обгрунтованості: ймовірність lim т = а, тобто при yj

я-» °о

коли число вимірів прямує до нескінченності, середня квадра

похибка прямує до абсолютного значення стандарту. *

2. Ефективності·, т = min, тобто значення дисперсії

мінімальним.

3. На величину середньої квадратичної похибки т вплив більц

абсолютним значенням похибок |А

тах

| найбільший.

4. Середня квадратична похибка т зв'язана з граничною пожщ

відношенням

|Агр| <t m,

де t

—

вибирається із таблиць розподілу Лапласа або Стьюдента зал

від надійної ймовірності р та кількості вимірів п. )

5. Середня квадратична похибка визначається достатньо надійні

обмеженій кількості вимірів. t

§ 4. Числові характеристики нерівноточних вимірі

В практиці геодезичних вимірювань може відчутно порушуй

"комплекс умов": виміри виконують приладами різної точнов)

різними методами, значно змінюються зовнішні умови (ТЄМІЙЩІ

вологість тощо) чи інші чинники. Тоді дисперсії таких вимірівн|

відрізняються між собою і їх називають нерівноточннЛ|

Нерівноточні виміри можна виразити статистичним рядом

2 у

2 2 2 , 2 ^2,

сї! ,а

,...,(т„ (о, *ст ).

Задача виникає, коли за результатами нерівноточних вимірів в)

тієї величини необхідно визначити найбільш надійне значення вим|

156

величини і виконати оцінку точності вимірів за допомогою числових

характеристик.

В теорії похибок вимірів до числових характеристик нерівноточних

вимірів відноситься:

1. Вага вимірів. Розглянемо статистичний ряд нерівноточних вимірів

(6.44), який будемо характеризувати емпіричними дисперсіями Щ

]і

2> •·•'

п>

т\,т\, ..., т

(т^т

(6.45)

Введемо величини —у, обернено пропорційні квадратам середніх

т.

квадратичних похибок (емпіричних дисперсій) і позначимо

а=-

·,

т,

(6.46)

де С - постійний умовно прийнятий коефіцієнт такої величини, щоб

значення ваги р, було ближче до одиниці.

Величину р, називають вагами нерівноточних вимірів. Тоді

нерівноточні виміри можна характеризувати статистичним рядом

,р

, ..., р

(а

(6.47)

Якщо дисперсія є мірою абсолютної точності результату, то вага є

мірою відносної точності.

Вага вказує наскільки точність одного виміру більш або менш точна

відносно іншого в ряду вимірів.

Наприклад. Маємо статистичний ряд

Ъ->

Р 1,8; 1,0; 0,5; 2,0.

За значеннями ваг р, можна зробити висновок що перший

1,8

результат наближено в 1,8 рази точніше другого, в 3,6 рази ( ~ -

157

точніше третього, але в 1,11 (- 1,11) менш точно від четвертого;

1,6

результат другого виміру в два рази точніше третього, але в 2 рази менш

точно від четвертого виміру і т д

Практично в більшості випадків невідома дисперсія Щ або середня

квадратична похибка вимірів т,. Ваги вимірів обчислюють за

наближеними формулами

; (6.48)

(6.49)

Рі = ~ , (6.50)

де і, - довжина лінії, ходу або полігона;

,- кількість виміряних величин (кутів, перевищень, станцій і т.д.);

п, - кількість вимірів однієї і тієї величини (число прийомів)

Аналогічно коефіцієнт С вибирають так, щоб ваги р, за величиною

були близькі до одиниці для зручності обчислень.

В практичних розрахунках часто використовують приведені ваги

- Рі

Рі=

[р]' <

65,

де Ы

Рі

Рг +--+Рп, тоді \р'] = 1.

Ряд нерівноточних вимірів можна звести до рівноточного, якщо кожен

вимір помножити на величину і/Р

. Статистичний ряд

\л[К> *24р2Т ,*п4РН (6.52)

буде рівноточним.

2. Загальне середнє арифметичне

Припустимо, що в результаті вимірів однієї величини отримано

статистичний ряд нерівноточних результатів

(6.53)

158

Найкращі оцінки отримують тоді, коли виміри х, або їх похибки Л„

підкоряються нормальному закону розподілу

Перейдемо до нормованих похибок

—, н —, , »я- —, (6 54)

Ш] Щ т

т„ т„

те X- істинне значення вимірюваної величини

Функція щільності нормованого нормальною закону розподілу

визначається за формулою

І 2

Числові характеристики виз качаються за результатами всіх вимірів

Тоді функція щільності сумісного розподілу ряду випадкових величин

буде

( 1 У -

• , '

)Ч е

(6 55)

Найбільш надійне значення шуканого параметра ї для нерівноточних

вимірів буде відповідати максимальному значенню функції

Ф (Уь Ь, > Із формули (6 55) видно, що це відбудеться за умови, коли

иоказник степеня буде мінімальним, тобто

І И І

+г

) = тт

(б 56)

З врахуванням формули (6 54) отримаємо

+ +

/Я] т

= ШІП (6 57)

Для визначення екстремуму функції (6 57) візьмемо першу похідну за

неремшними х, прирівняємо до нуля і отримаємо

(658)

Умовно помножимо їх на довільне число С, отримаємо

" С " С

159

_ с

Оскільки Рі

—

—у

т0

отримаємо

[хр]-Х[р] = 0. (6.60)

Ймовірно lim = X.

П->00

[хр]

Це означає, що частка у при необмеженій кількості вимірів

прямує до істинного значення. Його називають загальним середнім

арифмепш чним

у^

іРі +

2Рг+- + *пРп

або л . (6.62)

Л+Р2+- + А.

В разі рівноточних вимірів р\-рг~ •

••

~ 1, а

[р\ ~ п.

Тоді формула (6.61) зводиться до простої арифметичної середини

тому формулу (6.61) і називають загальною середньою арифметичною.

3. Середня квадратична похибка одиниці ваги

Нерівноточні виміри характеризують дисперсіями

або мірою

відносної точності рі. Умовно із ряду нерівноточних вимірів виберемо

результат такого виміру х

, вага якого буде дорівнювати одиниці, тобто

PK~ 1. Дисперсію цього результату позначимо через (і

. Тоді

Pk = ^ = K (6.63)

або середня квадратична похибка одиниці ваги буде дорівнювати:

ц - Шк. Оскільки Рі—

—

J, то ц

—

тц, або

(6.64)

V =

iJPi. (6.65)

160

Тоді середня квадратична похибка будь-якого виміру визначиться за

формулою

т,=-¥=. (6.66)

л/Р,

При р — 1 т

= ц.

—

тобто середня квадратична похибка одиниці

ваги є мірою точності того результату виміру, вага якого дорівнює

одиниці.

Визначимо середню квадратичну похибку одиниці ваги:

а) при заданому істинному значенні виміряної величини

В результаті нерівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини X

отримано статистичний ряд

2> ··•'

п>

Ді,Л

, ..., Л

;|>, (6.67)

, Р„,

де А

= х

- X

—

істинні похибки нерівноточних вимірів,

_ с

Рі ——2 - вага вимірів.

т,

Згідно з формулою (6.52) зведемо ряд нерівноточних похибок вимірів

до рівноточного ряду

Діл/л. К4Рп , 0 = 1,я). (6.68)

Оскільки ряд (6.68) є рівноточним і підкоряється нормальному закону

розподілу, то за формулою Гаусса (6.24) можна визначити середню

квадратичну похибку т вимірів. Для виміру вага якого дорівнює одиниці

р~ 1. Це буде середня квадратична похибка одиниці ваги або

іКД^)

]

або Ц = М

^ · (6.69)

161