Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

4, Систематичну похибку X при відомому істинному значенні Л"а&і

істинних похибках Д за формулою

= Х-Х, або = (7.27)

[.Р1

5. Величину [рД

] або [рV'] з контролем.

Контроль (1.2%

[р]

Ь. Середню квадратичну похибку одиниці ваги за формулою

ї®.

\{рУ

]

або Ц = і, -. (7.30)»

V п-1

7. Середню квадратичну похибку загального середнього

арифметичного за формулою

М = (7-31}

Виконують оцінку надійності середніх квадратичних похибок (і таАі

(§ 1, розд.7, пп. 7, 8)

8. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибгії

одиниці ваги

»'!Іщ·

32)

Надійність визначення середньої квадратичної похибки одиниці вал

визначають нерівністю (і > Гр/л^. Параметр /р визначається за таблицей

розподілу Стьюдента (дод.З) за заданою ймовірністю (З і числом ступені

вільності к

—

І.

9. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибкй

загального середнього арифметичного '·

Шм =

тИГ^їт-

33)

Надійність визначення СКП загального середнього арифметичного М

контролюють нерівністю ї

172

де /р - параметр, іцо визначається так- само як і в попередньому випадку.

10. Довірчі інтервали для

а) істинною значення виміряної величини

Х-іМ < X < Х+іМ, (7.34)

де / - параметр вибирається з іаблиць розподілу Стмодента (дод. 3) за

ймовірністю (ї і кількістю ступенів вільності к—п— 1.

б) стандарт

загального середнього арифметичної о

У]

М < О; < у

М, (7.35)

в) сіандарта одиниці ваі и

У!їх < а^ < у

\х. (7.36)

Коефіцієнти Уі і Уг обчислюються за формулами (7.18) - (7.20) так

само як і при рівноточних вимірах.

іри необхідності обчислюють:

а) середні квадратичні похибки окремих нерівноточних вимірів

«,=-Г=, (7-37)

л//Л

б) інісрвальш оцінки для окремих результатів ряду нерівноточних

вимірів

Х-Ірт, < І, < Х + {

т,. (7.38)

Приклад. При створенні висотної основи на будівельному

майданчику отримано мережу з п 'яти ходів із однією вузловою точкою

(рис.7.1). Визначити відмітку вузлової точки і виконати оишку точності

вимірів

ИрР

99 782

ПО 131

Рис.7 1

173

Розв'язання. Оскільки перевищення визначені по ходах різі

довжини, то виміри будуть нерівноточними Зведемо їх до таблиці 7.2.

Спочатку обчислюємо висоту вузлової точки по кожному із ходів

формулою Н\ — Н

+ А,

Таблиця'

№ Висоти

Пере Лов

КО-

ЛІ

зинл

них

реперів

вишен

ня,

й(мм)

жи

на

(км)

и[

(м)

ЗО

(ми)

/Ж

рг'

(т)

рУ рї

0 1

4 5

8 9

110131

-10810 92

99 321

108

21 22 64 ,4763

-7 2

+778 5598

180 000

675

124

99 325

081

25 2025

5062

+ 11

+907

101 61

3 103056 3740 65 99316

154 16

2464

394 2 +22 +3 39

745

99 782

-0 482

99 300

132

-13 8

-18 22

2513»

99 782

-0470 39 99 312 112

13 44 1613

-18 202 363

99 3138

Н, 99300

5 87

81 01

1538 0

42006

Результати обчислень Н\ приведені в графі 4 табл 7.2 ,

За формулами (7 22) - (7 38) обчислюємо

1 Ваги вимірів. За постійний коефіцієнт вигідно прийняти велиЩ

С = 10. В графі (5) табл 7.2 за формулою р, = — визначені ві

А і

виміряних перевищень

2. Загальне середнє арифметичне Виберемо значення

Я° = Я

= 99,300 м та в графі б обчислимо відхилвї

= Н\ - Но-

Тоді

Н +

99 300 +

- = 99,3138

1 !

[р] 5.87

3. Ймовірні похибки У

обчислені в графі (9), а в графах (10),

обчислені [р

та [рУ

Контроль [рУ] = -

[р] або 0 «- 0,001 · 5,87 = 0,006 мм

174

4. Контроль обчислення \р Р

] за формулою

2 2

[^К

] = [^в

] - 420,06 « 1538-М- = 420,01.

І>] 5,87

Виконані контролі гарантують правильність виконаних обчислень.

5. Середню квадратичну похибку одиниці ваги

1[рГ

] [420,06 ...

Мс = Цю = Т/^ТГ

6~~

Де е середньою квадратичною похибкою на одиницю ваги, що

дорівнює довжині ходу 1=10 км.

Середню квадратичну похибку вимірювання перевищення на І км

ходу

ц, = —;=

— —р=-

= і,2 мм.

Тс Vіо

7. Середню квадратичну похибку загального середнього

арифметичного

ц _ 10,2

М = тн = --}== - --,== ~ 4,2 мм.

[і ~ ' ПГГ—ГҐ

тГ - 3,6 мм.

Виконують контроль надійності обчислення критеріїв точності (і

та М.

8. Середня квадратична похибка середньої квадратичної похибки

одиниці ваги буде

ц _ __10,2_ _

Критерій точності похибки

[Л

буде

або 10,2 >2,78 · 3,6 (10,2 > 10,0).

9. Середня квадратична похибка середньої квадратичної похибки

загального середнього арифметичного буде

м ~ ~т— ~ г- = 1,4 мм

42[р](п-1) 72-5,87-4

Критерій точності похибки М буде

або 4,2 >2,78-1,4 (4,2 > 3,9).

Параметр ίp при р = 0,95 я = 0,05 і за таблицями розподілу

Стьюдента (дод. 3) визначаємо при к = п— 1=5

—

1= 4 = 2,78.

175

10.

Довірчий інтервал·.

а) для істинного значення відмітки вузлової точки визначиться

інтервалом

Я, -ίρΜ < Я, < Η+ί^Μ.

99,3138-2,78-4,2 < Я, <99,3138 + 2,78 4,2,

або 99,3021 < Я, < 99,3255.

б) для стандарта загального середнього арифметичного.

При ймовірності β = 0,95 за формулою (7.20) р

= ^ ^ = 0,03,

Р\ =

-рг = 0,97 і к = η -

= 4 з таблиць розподілу Пірсона (дод. 4)

ХІ = 11,7 та Хі = 0,6.

Γη

-1 і 4 І 4

Відповідно γ, = = І = 0,58; γ-, = ι— = 2,58

•^Л/ < σ^ < у

Л/, або (2,4 < σ^ < 10,8).

в) для стандарту одиниці ваги

Τίμιο ^

- Т№о. (5,9 < σ

μ)0

< 26,3)

г) для стандарту визначення перевищення на 1 км ходу

ιμι

<σ

μ[

<γ

(1,9 < σ

μι

<8,2).

11. При необхідності середні квадратичні похибки визначення

перевищень по окремих ходах обчислюють за формулою (7.37) в графі 12

табл. 7.2.

12. Доцільно визначити інтервал для відмітки вузлової точки при

мінімальному значенні середньої квадратичної похибки по ходу 3 від ЯрС

/я

= 8,2 мм

Тоді

Я - /рЯ!

< я

< Ή + ίβ/7Ζ

або 99,3138 - 2,58

8,2 < Я

< 99,3138 + 2,58

•

8,2

(99,2927 < Я

< 99,3349)

Оскільки відмітки вузлової точки по інших ходах входять до заданого

інтервалу, то всі виміри перевищень по ходах 1-5 слід вважати

доброякісними

176

§ 3. Математична обробка подвійних вимірів

Необхідну точність шуканих величин забезпечують підвищенням

точності вимірів, а надійність отримання критеріїв точності підвищують

шляхом збільшення повторних вимірів. Однак така організація робіт не

завжди економічно вигідна. Разом з тим достатньо точно можна

отримати шукані величини і при двох повторних вимірюваннях - як

мінімальній кількості вимірів. Якщо одночасно за двома повторними

вимірами визначались розміри багатьох фізично однорідних величин з

достатньою точністю, то виникає задача розробки методів оцінки точності

подвійних вимірів. Наприклад: вимірювання ліній теодолітного ходу;

вимірювання перевищень в нівелюванні НІ класу і т.д.

Припустимо, що однорідні величини Лґ|,

Хт,

..., х„ вимірювались два

рази і отримано статистичні ряди

2 '·

п'

(7-39)

1 >

2'—'

п·)

Результати вимірів обтяжені істинними похибками

А;,Д'

,...,А'„,|

де А',=х;-Х

і;

а" = Х"-х,.

Складемо різниці

А; -А; =

;~Х;, (І = І,П). (7ЛІ)

Формула (7.41) показує, що різниці по кожній із виміряних величин

будуть складати різниці подвійних вимірів,

тобто

й?, (І = Сі), (7.42)

або сі, = А,' - А", (і = 1 ,п). (7.43)

Зведемо подвійні різниці (7.43) до квадрата, складемо і поділимо на

п, отримаємо

[Л^]

[АІ

[А^. (7.44)

п п п п

За четвертою властивістю випадкових похибок маємо

Ііт

П-КВ п

177

г д >2 -і 2 ГД"

При цьому --т' ; - = т"

п п

Тоді формула (7-44) зводиться до вигляду

[сі

] ,

-—-=т' + ш , (7.45'

де т',т°

—

середні квадратичні похибки окремих подвійних вимірів.

Залежно від зміни "комплексу умов" виміри можуть бун

рівноточними або нерівноточнкми.

1. Обробка рівноточних подвійних вимірів

Приклад наявності рівноточних подвійних вимірів напрочуі

рідкісний, але мас місце в геодезичній практиці. Так при визначена

довжини високоточного польового компаратора використовують дщ

інварні дроти, а вимірювання виконують «-циклами. При цьому можні

прийняти, що ряди вимірів (7.39) будуть рівноточними, тобто ^

і 2

ст'і =&2 = ... = о'„

2 2 2

=СГ

2 =- =

Сщ

при цьому <т, = а"

}

Тоді в формулі (7.45) т' = т" =т

г .2

Ймовірні значення виміряних величин визначаться як серед

арифметичні відповідно

- х' + х"

Середня квадратична похибка окремих рівноточних вимірів буде

-Ш·

За різницею подвійних вимірів можна визначити величн^

систематичної похибки X за формулою і

(7.4$

п \

Якщо задовольняється нерівність |

ІМІ<0,25[М], (7Я

178

то гіпотеза про відсутність систематичних похибок в подвійних різницях

а?, приймається. В противному разі обчислюють різниці

^ (/ =1,и). (7.51)

Середня квадратична похибка окремих вимірів (формула (7.48))

зводиться до вигляду

І № ]

т = ,-

(7.52)

\2(и-І)

Середня квадратична похибка арифметичного середнього

обчислюється за формулою

= -у= = 0,71т. (7.53)

Оскільки кожна величина Х

вимірювалась тільки два рази, то

виконувати інтервальну оцінку недоцільно.

Разом з тим повна рівноточність вимірів передбачає і рівність розмірів

фізичних величини X, то шляхом логічного аналізу приходимо до формул

1 "

В цьому випадку інтервальну оцінку можна виконати за формулами

математичної обробки рівноточних вимірів ( § 1, розд.7).

Приклад. Довжина компаратора виміряна двома дротами одного

класу точності в 6-ти циклах. Виконати математичну обробку подвійних

вимірів при заданій імовірності р 0,95. Вихідні дані наведені в табл 7.3.

Розв'язання. Оскільки вимірювання виконані дротами одного класу

точності при незмінному комплексі умов, то виміри вважаються

2 2 2 2 2 2

рівноточними, тобто а

(

= о' ; ст" =

<з"

і ст'

(

= с" .

179

Таблиця 7.3

Результати

пор.

вимірювань

сі

сі'

1-й дріт

(м)

2-й дріт

(м)

(мм)

2 3

4 5

120,010 120,005

+8,67 75,2

120,0075

2 120,002 120,008 -6 -2,33 5,4 120,0050

3 120,015 120,020 -5 -1.33 1,8 120,0175

120,005

120,016

-13

-9,33

87,0

120,0105

5 120,008 120,007

+1 +4,67 21,8

120,0075

6 120,012 120.016

-4 -0,33 0,1

120,0140

-22 +0,02 191,3 1 120,0103

ад

Обчислення виконуємо за формулами (7.47) - (7.55).

Критерій наявності систематичних похибок

X = = = —3,67 мм; контроль за формулою (7.50) 22 < 0,25- 34

и 6

або (22 > 8,5). Це підтверджує значимість систематичної похибки.

Тоді в графі 4 табл. 7.3 обчислюємо різниці

<І[ —

сІ

—X.

Середні арифметичні по циклах обчислені за формулою (7.47)

в графі 6.

Середня квадратична похибка окремого виміру

[,і

* ]

/19ЇД

4,37 мм.

*' ^2(п-1) І 10

Середня квадратична похибка середніх арифметичних по циклах

вимірів

т 4,37

Довжина компаратора

X - ^^ = 120,0103.

Середня квадратична похибка довжини компаратора

т 4

і о/;

М — = ~7=

—

<—

1,2о мм.

\<2п VI2

180

Інтервальною оцінкою довжини компаратора буде інтервал

Х-^-М < X < Х

+і-М.

За таблицями дод. З при р = 0,95 і к

2п -

= 2,3.

120,0103 - 2,3 · 1,26 < Х

< 120,0103 +2,3

•

1,26,

або 120,0074 < Х

5 120,0132.

Відносна гранична похибка визачення довжини компаратора складе

1 _ Х

- _ 120,0132 -120,0074 _ 1

Т~ Х

120 ~ 20690'

2. Обробка нерівноточішх подвійних вимірів

В практиці виконання геодезичних подвійних вимірювань це

найбільш поширений випадок. Однак серед нерівноточних подвійних

вимірів може бути два випадки;

Л. В статистичних рядах вимірів (7.39) може бути, коли

(Г

<з'

}

; с^ Ф ст"

(7.56)

2 2

и'і = <7'

Це характерно для вимірювання ліній в теодолітних ходах в прямому

та зворотному напрямках. При цьому повністю зберігається «комплекс

умов» і тоді т'і = т", але лінії будуть різної довжини, а тому т\ Ф т'^

і т" Ф т", що відповідає умові (7.56).

Формулу (7.45) перепишемо у вигляді

Згідно з формулою (6.46) отримаємо формулу

х",

За умовою (7.56) Р

· = Р

, тоді вага подвійної різниці Р^.

визначиться за формулою

1 2 „ Р

}

або Ри (7.59)

и, гч

181