Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

1 1-2,

= -51П /V +

Ри 4 Р

С 5

со5

2У С

= /»; =0,25;

1 2 п

— = = 0,25, тоді

* \>

^ = Сзіп

іГ.0,25

1002сО52і1

°·

= С

0,036 0,25 +

3438

100

-0,964-0,25

Л|

3438

— = С (0,0090 + 0,0002) = 0,0092. Тоді С = 10

— = 0,92; Р

= -

=1,09.

0.92

Зазначимо, що вага однієї функції не дає уявлення про точніст

функції Її можна використати у порівнянні з вагами функцій однорідищ

фізичних величин. Вага функції визначає відносно більшу або менщ

точність однієї функції порівняно з іншими

Вага системи функцій

Якщо маємо систему функцій

У\ ~/і(

2>—'

п)>

У2 = Л(

1 >

2,->

п\

Ут ~/т(

2> -і

п)·.

(7.9)1

Вага системи функцій (7.98) для незалежних аргументів

визначиться за формулою

де А =

АР;

Чі

«12

\п

2\ «22

2п

192

аД

г±

Р\

Р2

Рп)

¥ 2

де а = ; К.

- кореляційна матриця аргументів х,; а

- дисперсія

дх

]

одиниці ваги; — - обернені ваги аріументів.

Р,

Після перемноження матриць у формулі (7.99) отримаємо

ґр-1

Р=

У 2

К,

... К;

1 т

^23"

2т

К.

Щ '

р-

[

Ут У

(7.100)

де Ру - обернені ваги функцій у,;

Ку - кореляційні моменти, які характеризують зв'язок між вагами

функції.

Коефіцієнти кореляції між функціями визначаться за формулою

(7.101)

Приклад. Для системи нівелірних ходів з двома вузловими точками

відома кореляційна матриця вектора відміток Уі (рис. 7.2).

193

Яр В

Визначити кореляційну матрицю обернених ваг перевищень.

Розв'язання. Матриця обернених ваг висот вузлових точок при

ст

= 4 мм буде

Кн (РҐ

Рн

1 0

~ 4

,0 1.5,

Складемо функції перевищень і визначимо матрицю А.

Лі = Я,-Я

= Я

-Я„

Аз = Яг - Ні,

/г

- Н

-Н\,

= Н

-Н

дк

= —-

дН,

А =

1 0

-1 1

-1

0 1

194

_ 1 І у

Визначаємо матрицю обернених ваг за формулою Р^ = АРц А , або

р-

]

-1

-1 0

1 0

-1

1,5

-1,5

-1

1,5

1 о

О 1,5

1 -1 О

О 1 -1

-1 0 -1 о

1 -! О і]

-1 о

О 1

або

-1

-1 0

-1 2,5

-1,5

1,5

-1,5

1,5

0 -1,5

-1

1 0

, 0

1,5 -1,5

1,5

Тобто Ри,

1; РГ

= 2,5; 7^=1,5; РГ

= 1; Р£=\,5.

За формулою (7.101) визначаємо нормовану кореляційну матрицю, або

матрицю коефіцієнтів кореляції між перевищеннями мережі нівелірних

ходів

1 -0,63 0 -1,0 О

-0,63 1 -0,78 +0,63 +0,78

О -0,78 1 0 -1

-1 +0,63 0 1 О

О +0,78 -1 0 1

195

Аналіз кореляційної матриці показує, що зв 'язок існує між суміжними

перевищеннями. Причому Гу має знак плюс (+), коли ходи направлені в

одну сторону і мінус (-), коли еони протилежних напрямків.

§ 5. Розрахунок точності вимірів

На стадії проектування висувають вимоги до точності виконання

геодезичних вимірювань.

Практично результат вимірювання величини у є функцією від

виміряних аргументів Х\,

•••,

Хц, тобто

у=/(х

, (7.102)

При розрахунку точності вимірів аргументів х

(і = 1,«) висувають

вимогу, щоб похибка визначення функції не перевищувала деякого

граничного значення И

гр

Залежно від заданої ймовірності розраховують середню квадратичну

похибку функції за формулою

ЇГ„

(7.103)

" гр

^я

де 2

- вибирається із таблиць розподілу Лапласа (дод. 6), залежно від

рівня значимості ц = 3

—

р.

На стадії проектних розрахунків приймають, що аргументи функції у

незалежні між собою. З врахуванням формули (7.82) для функцій (7.102)

будемо мати

.С

Ч^і у

Ш\ +

( З/

дx

2Jo

дх.

т„ (7.104)

Залежно від умов проектування та виконання геодезичних робіт

застосовують моделі розрахунку, описані нижче

І. Принцип рівного впливу

Він полягає в тому, що умовно приймають рівним вплив кожної із

похибок аргументів (складових функції (7.104)), тобто

Уо

т і =

(Ж

1&:

2Уо

Ж.

дх

Уо

=тд.

(7.105)

196

Формула (7.104) зведеться до вигляду

2 2

=пт

(7.105а)

Тоді (7.106)

Ти

Середні квадратичні похибки вимірювання окремих аргументів

визначаться за формулою

де п - кількість аргументів функції.

Приклад. Перевищення між точками через водну перешкоду на

відстані S - 200.м визначається способом тригонометричного

нівелювання за формулою h = sin2v . Кут нахилу лінії складає

v = +3°. Визначити точність вимірювання лінії та кута, якщо допустима

похибка нівелювання не повинна перевищити Л/,^ =±10 мм при заданій

імовірності р = 0,99.

Розв'язання. Визначаємо середню квадратичну похибку функції за

формулою (7.103). Із таблиць розподілу Лапласса (дод. 6) при q = 1 - р =

1 - 0,99 = 0,01 визначаємо Z, = 2,58.

Відповідно

Визначаємо за правилами § 4, розд.7 дисперсію перевищення

або (7.108)

(7.107)

J 1 . ? „ 2

mj, = -siir 2v m

2 S

cos 2v 2

+ m

і 97

За формулою (7 105) приймаємо

2 S

COS

sin 2v m

= ^ m

= m

4 p-

modi mjj

—

2wq , відповідно m^ = Д ~ -4= = 2,8 мм

V« V2

Середня квадратична похибка вимірювання тни буде дорівнювати

= = -AJA = 53,6 лш = 0,05 *

sm2v 0,1045

Середня квадратична похибка вимірювання кута нахилу буде

дорівнювати

р-

М. 206265 = 2",9

Scos2v 200000 0,994

Можна обчислити граничні похибки при р = 0,99

Sfp

=2 Wj = 2,58

53,6 =

13 8,3

лш

A =Z-m

= 2,58

•

2",9 = 7",5

гр

Відповідно відносна гранична похибка лінійних вимірювань буде

дорівнювати

1 _

_ 138,3 1 1

Т 5 200000 1446 1500

Аналіз показує, що при визначенні перевищення через водну перешкоду

необхідно буде використати світловіддалемір та точний теодоліт або

електронний тахеометр

2. Принцип введення коефіцієнтів співвідношення точності

На стали проектування, шляхом аналізу існуючих технологій

виконання робіт, наявності геодезичних приладів або визначення

зовнішніх умов і т д може бути встановлено, що деякі аргументи функції

(7 102) повинні (можуть) бути виміряні з більшою або меншою точністю

Тоді в формулі (7 104) можна встановити коефіцієнти К, співвідношення

точності впливу її окремих складових правої частини формули. В формулі

(7 105) отримаємо

/ аг

df\ r { df

гас, .„ { дх-

/0 4^2/0 \

их

«)о

=К

т, (7 109)

198

Формула (7 104) зведеться до виду

ml = ml{K{ +К\+ + АГ„

) (7 110)

Тоді ж,, = (7 111)

Середні квадратичні похибки вимірювання окремих аргументів

визначаться за формулою

Ä (7112)

АУО

Практично, аналізуючи результати розрахунків з врахуванням

можливих технологій виконання робіт, можна визначні и найбільш

економічно обгрунтовані коефіцієнти співвідношення точності

еодезичних вимірювань - К,

Приклад. Аналіз похибок вимірювання відстаней і кутів в

попередньому прикладі при визначені перевищення через недосяжну

відстань тригонометричним нівелюванням показав

1) відстані слід вимірювати віддаяеміром з досить невисокою

І 1

відносною похибкою — ~ ,

Г 1500

2) кут нахилу необхідно вимірювати з високою точністю, коли

гранична похибка повинна не перевищувати A

= 7",5

Розв'язання. Аналіз показує иіо при застосуванні сучасних

світловіддалемірів для вимірювання відстаней їх точність буде значно

вищою В той же час вимірювання кута нахилу з високою точністю

досить складно

Тому доцільно підвищити точність вимірювання відстані при цьому

знизиться точність вимірювання кута нахилу

Для початку встановимо таке співвідношення точності К, 1,

За формулою (7 111) машо при т

- 3,9 мм

= —==ä= = = 0,76 мм

Ік'

кі

199

За формулою (7.108) обчислюємо середні квадратичні похибки

вимірювання ліній та кута нахилу

2 т

2-0,76 ...

=—

V—!_

= = 14,5 мм;

зіп2У 0,1045

< = р' = °·

— 206265 = 5",2

5СОЗ2У 200000-0,994

При р

—

0,99 і = 2,58 обчислимо граничні похибки

5гр 2,58-14,5 = 37,4 мм

- 2

-т

= 2,58-5",2 = 13",4.

Відносна похибка лінійних вимірювань буде

1 37,4 І

Т Б 200000 5348

Розрахунки показують, що при цьому можна використати

топографічний світловіддалемір СТ-5 та теодоліт Т5, що є більш

оптимальним.

§ 6. Сумісний вплив систематичних та випадкових

похибок

При проведенні геодезичних вимірів постійно змінюється "комплекс

умов". Це призводить до виникнення похибок вимірів. За походженням

похибки можуть бути випадковими і систематичними (§ 1, розд.6).

Тому істинну похибку визначають за формулою

= х,-Х, (7.113)

де х, - виміряна величина;

X істинне значення виміряної величини.

Оскільки істинні похибки включають в себе як випадкові 5„ так І

систематичні X, похибки, то при п повторних вимірах отримаємо

Д, = 5,+ А,; (г = 1,«). (7.114)

Зведемо їх до квадрата, складемо і поділимо на п

[Д

] [5

] [X

] „[5Л]

^—--

= —^ + ^ + —(7.115)

п п п п

200

[А

] 2 [5 ] 2 [Я ] 2

В формулі (7.115) маємо -—--т^; = —--т

п п п

Керуючись четвертою властивістю компенсації випадкових похибок

отримаємо

г ВД п

lim ——- «0.

rt-l· 00 П

Тоді формула (7.115) зведеться до виду

т\ = ті + ті- (7.116)

Розглянемо функцію у =/( Х\, Хі, х„)·

Тоді Aj, = 6

+ Х

При цьому в разі лінійної функції будемо мати похибки 5

та Х

як

функції

5^= 5, + 8г + ... + 6«, (7.117)

Ху=Хі +Х

+ ...+ Х„. (7.118)

За правилами визначимо дисперсію функції (7.117)

™8 =

+ т

+ »• + '»£„• (7-П9)

Беручи до уваги, що систематичні похибки односторонні і не мають

властивості компенсації, то за формулою (7.118) отримаємо

^т

Хі

+т

Х2

+... + т

. (7.120)

_ 2 2

Припустимо, що Щ

}

=^§2 ~

—

&0'

т^ ~

=... =

Тоді формула (7.116) з врахуванням

формул (7.119), (7.120) набуде виразу

«д (7-121)

або «д=-/и(«б

+п т

)·

(7.122)

Аналіз формули (7.122) показує, що систематичні похибки ви- разів

більше впливають на результат виміру, ніж випадкові похибки. Тому

постає питання про розробку технології виконання геодезичних вимірів,

яка до мінімуму зменшує вплив дії систематичних похибок.

Цього досягають шляхом:

201