Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

б) при обчисленому загальному середньому арифметичному

Як і в рівноточних вимірюваннях використаємо формулу (6.25), тобто

р„ А,-У

=Х-Х = Х·, (і = С"). (6.70)

де X

—

загальне середнє арифметичне;

—

істинне значення вимірюваної величини.

Зробимо перетворення

} =

х_

РЇ- х ^ х\.р\

К*-

)Р\

[МІ

[р] * [Р] іР] ІР] Ер] '

Тобто, при нерівноточних вимірах і наявності істинних похибок Лі

систематична похибка X визначиться за формулою

х =

[р] '

Для спрощення доказів складемо ряд ймовірних похибок

_ [у пі

Оскільки X

Р, у,=х,-Х,

ІР]

то

(6.71)

(6.72)

(б.тз;.

ІрУ]=0.

З формули (6.72) ряд імовірних похибок теж є нерівноточним. Як і в

попередньому випадку зведемо їх до рівноточного вигляду

Уул/А»

2ІР2>~>К\ЇРп, (' = 1,1). (6.74)

Оскільки ряд (6.74) є рівноточним і за умовами підкоряєт

нормальному закону розподілу, то за формулою Бсссєля (6.34) визначим

середню квадратичну похибку т. Для виміру, вага якого буде дорівнюв

одиниці (р — 1), згідно з формулою (6.65) вона буде дорівнюв

середній квадратичній похибці одиниці ваги, тобто (І

,'к уЩ]

\ п-1 '

або

ІЕХІІ

п-1

(6.75)

162

4. Середня квадратична похибка загального середнього арифметичного

Формулу загального середньоарифметичного (6.62) отримаємо у

вигляді

F(x) = Х = ^ =

ГРГ + ~

ПР

). (6.76)

Ы [р]

За формулою (3.59) дисперсія функції Р(х) при

отримаємо

idF

) = A-

дх,) ІР\

=ml= РL

[р].

mi +

М)

f \

ті

И-

Оскільки за формулою (6.66) = -7= ,

л/

Рі

зведеться до вигляду

иг-

№77>

то формула (6.77)

або

«і = М

= Г-І (.Pi

Рг + - + Рп) = 71гІР\,

[Р] ІР]

[р]'

(6.78)

Згідно з формулою (6.78) середня квадратична похибка загального

середнього арифметичного при нерівноточних вимірах визначиться за

формулою

(6.79)

М =

т=:

1РУ

Додатково обчислюють:

5. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

одиниці ваги

<6М)

6. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної

похибки загального середнього арифметичного

м =

л/2ЬК« -І)

(6,81)

163

7. При

окремих вимірів

При необхідності визначають середні квадратичні похи

(6.

Відносні похибки обчислюють так само як і при рівноточних вимі

1. Які задачі вирішує теорія похибок вимірів?

2. Які складові комплексу умов?

3. Назвіть види вимірювань.

4. Яка роль надлишкових вимірів?

5. Назвіть види похибок вимірів.

6. Яка природа виникнення випадкових похибок?

7. Які виміри є рівноточними?

8. Які виміри є нерівноточними?

9. Що характеризує проста арифметична середина?

10. Що характеризує середня квадратична похибка ті

11. Що характеризує середня квадратична похибка АО

12. Які числові характеристики рівноточних вимірів Ви знаєте?

13. Що таке вага виміру і як її визначити?

14. Що характеризує загальне середнє арифметичне?

15. Що характеризує середня квадратична похибка одиниці ваги?

16. Як визначити середню квадратичну похибку нерівното

виміру?

17. Що визначає середня квадратична похибка М при нерівноточ

вимірах?

18. Як визначити відносні похибки?

(§ 3; розд.6).

Запитання для самоперевірки

164

РОЗДІЛ 7. МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРІВ

§ І. Математична обробка ряду рівноточних вимірів

Математична обробка ряду рівноточних вимірів полягає в

послідовному визначенні числових характеристик вимірюваної величини

(§ 3, розд.6).

Для зручності приведемо послідовність обчислень при обробці ряду

рівноточних вимірів. Припустимо, що в результаті повторних рівноточних

вимірів величини X отримано ряд результатів

*1 =

*2> ·•·> ** (

? С

)

Обчислюють

1. Просту арифметичну середину за формулою

Х = (7.2)

Для зручності обчислень можна взяти умовне значення близьке до

виміряних результатів

Хо.

Обчислити різниці

- Гєі

Тоді —. (7.3)

2. При відомому істинному значенні X обчислюють величину

систематичної похибки X за формулою

Х =

Х-Х. (7.4)

3. Абсолютні похибки вимірів при заданому істинному значенні X

А,=ХІ~Х, (і = 1,и), (7.5)

або ймовірні похибки, коли невідоме істинне значення вимірюваної

величини X

(

=х,-Х, (7.6)

Контроль [V,]

—

0 - в межах точності обчислень.

4. Величини [рД

] або \рУ

} з контролем

Контроль

[Г

] = [Є

М_.

(77)

165

5. Середню квадратичну похибку окремого виміру :

а) за формулою Гаусса

и = д--; (7.8)

V п

б) або за формулою Бесселя

МГ

6. Середню квадратичну похибку середнього арифметичного

—

т^ ~—/=. (7.10)

V«

Далі обчислюють оцінки надійності і середніх квадратичних похибок

т і М.

7. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

\'2(и -1)

При цьому т > ір т

. Параметр Г визначається за таблицями

розподілу Стьюдента (дод. 3) залежно від заданої ймовірності |3 та числа

ступенів вільності п.

8. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

арифметичного середнього

М= .,- (7-12)

Надійність визначення СКП арифметичного середнього М

контролюють нерівністю

М>цт

9. Визначають довірчі інтервали для:

а) можливого значення істинної величини

Х-иМ < X < Х + ІаМ, (7.13)

166

де /р

—

параметр вибирається із таблиць розподілу Стьюдента (дод. 3)

залежно від заданої ймовірності Р та кількості ступенів вільності

к =

п-

б) можливих значень результатів вимірів

Х-і-т йХі < Х + / (7.14)

де параметр І вибирається так само, як і в попередньому випадку.

Якщо в ряду вимірів є результати, що виходять за межі визначеного

параметра, то їх або повторюють, або виміри виключають і попередні

обчислення виконують повторно;

в) дисперсії та стандарти середнього арифметичного

у,Л/

< с| < у

; (7.15)

М < < 7

М. (7.16)

г) стандарту окремих вимірів

т < <5

< у

т, (7.17)

де лі і М — середні квадратичні похибки, обчислені за формулами

(7.7,7.8 та 7.9).

Коефіцієнти уі і у? обчислюються за формулами

- <™>

Х2 V Хі

при використані формули (7 8),

ПІ \Хі

при використанні формули (7.7),

2 2

статистики Хі і Х2 вибираються із таблиць розподілу Пірсона (дод.4)

за числом ступенів вільності (л - 1) або п та заданій імовірності р при

Р2=^Р- < Рі=1-Рі· (7.20)

167

Приклад. При створенні польового компаратора його довжину

виміряна еталонним дротом 12 разів (табл.7.1). Виконати обробку ря&»

рівноточних вимірів. Надійність оцінок точності визначити прц

ймовірності р = 0,95.

Разе 'язання. Результати вимірів і обчислень зведемо до табл 7.1.

Таблиця 7.1

№

пор.

Б,

мм

у,

мм

К,

Контрольні обчислення

1 2 3

1 120.012

+2.9

8.4 144

2 120.005 5

-4.1

16.8 25

[Ґ1 = - 0.2

120.009 9 -0.1

120.001

1 -8.1 65.6 1

5 120.015 15 +5.9 34.8

225

216 = 1207- 11881/12 =

= 218

6 120.008

8 -1.1

1.2 64

7 120.010 10

+0.9 0.8

100

8 120.013

13 +3.9

15.2

16.9

9 120.015

15 +5.9 34.8 225

120.004

4 -5.1 26.0

11 120.006 6

-3.1

9.6

12 120.011

11 +1.9

3.6 121

120.000

109

+21.4

216.0 1207

120.0091

-21А

т= -о.2

За формулами (7.2) - (7.17) обчислюємо.

Середнє арифметичне

ГЕІ 109

Ь = Х

+ Щ = 120,000 + — = 120,0091 м.

п 12

Середню квадратичну похибку окремого виміру за формулою Бесселя

168

Середню квадратичну похибку середнього арифметичного

і / т 4.4

М - ті = -/= =

—7=

= 1,3 мм.

л/и VI2

Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

т 4

п а

При Р = 0,95 та п за таблицею дод. З /р = 2,3 отримаємо

т>^т

(4,4 >2, і)

Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

арифметичного середнього

= тЦ2п{п-1) = 4.4/'л/264 = 0,27 иш.

При р = 0,95 = 2,3,

М>і

(1,3 >0,27-2,3) або (1,3 >0,62).

Це говорить про те, що оцінки т та М отримані надійно.

Обчислюють довірчі інтервали:

а) для істинного значення при Р = 0,95 і /р = 2,3

І-іМ <Х <І+іМ; 120,0091 -2,3• 1,3 < І < 120,0091 + 2,3• 1,3,

або 120,0061 < і <120,0421

б) результатів вимірів

І-т<Ь,<І + Ш· 120,0091 - 2,3 · 4,4 < Ц < 120,0091 + 2,3 · 4,4;

або 119,9990 < І, < 120,0192.

Згідно з табл, 7.1 всі результати вимірів належать розрахунковому

інтервалу, а тому є доброякісними

169

в) стандарта середнього арифметичного при Р = 0,95 р

= 0,03 і

Р\ = 0,97 з табл додатка 4 £=и-1 = 11 шляхом лінійного

2 т

інтерполювання визначаємо

22,16, X] =3,854

Тоді 7і = =0,70, -у, = 1-1^— =1,76

\22,16

\ 3,854

Відповідно отримуємо інтервал

М <а

<у

М, або 0.70 1,3 < < 1,76 1,3

( 0,91 < <т

< 2,29),

г) стандарта окремих вимірів

•Ч

т<<5

Хі

<у

т, або 0,70 4,4 < а

<1,76 1,3

(3,08 < а,

(

< 7,74)

Можна обчислити і відносні похибки

а) для істинного значення довжини компаратора використаємо

інтервальну оцінку Похибка визначення складе

-Ь

-Ь„ = 120,0121 - 120,0061 = 6,0 лш,

де /.„,

—

початкове та кінцеве значення інтервалу

Відносна гранична похибка складе

1 _ М

6 1

' І

~ 120009,1 " 20002'

б) точність окремих вимірів характеризується відносною граничною

похибкою

Д І, - Ц- - 120,0192 - 119,9990 = 20,2 мм,

А£>

20.2 _1_

Т, І

~ 120009,1 ~ 5941

Залежно від заданих умов приймають остаточне рішення про якість

виконаних вимірів і можливості використання компаратора.

170

§ 2. Математична обробка ряду нерівноточних вимірів

Приведемо послідовність визначення числових характеристик

багатократних повторних нерівноточних вимірів (§ 4, розд.6). Якщо

отримано статистичний ряд нерівноточних вимірів

ХІ,Х2,...,Х„; {Т} ФТ]), (7.21)

то обчислюють

1. Ваги вимірів за однією із можливих формул

С С С п,

= ~ї> Рі=-г> —, (7-22)

А " N. с

2 . . ....

де т, - емпіричні дисперсії виміряних величин;

Ь, -довжина лінії ходу, полії вна і т.д.;

Д- - кількість виміряних величин: кутів, перевищень, ліній, штативів

і т.д.;

п, - кількість вимірів (прийомів) однієї шуканої величини.

2. Загальне середнє арифметичне

(7.23)

[р]

Для зручності обчислень можна взяти умовне значення близьке до

отриманих результатів вимірів

Хр

Обчислити різниці

є, (і = і,п).

Тоді (7.24)

[р]

3. Абсолютні похибки вимірів при заданому істинному значенні

вимірюваної величини X

(

=х,-Х; 0 = 1,«), (7.25)

або ймовірні похибки, коли невідоме істинне значення

У,=х,-Х. (7.26)

Контроль [рУ] = - Р\р], де р - похибка заокруглення загального

середнього арифметичного X.

171