Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

Величину |Л| = Х

—

приймають за оцінку постійної похибі

коли значення X попадає в критичну область

г>2

, (

де вибирають із таблиць дод. З (за аргументами ц і к

—

щ +

Приклад 2. Для визначення діі систематичних похибок на бщ

виконано два ряди 10-ти незалежних вимірів. При математичній

оЩ

визначено Х

{

= 120,010, Х

—120,003 та середні квадращ

похибки т\ = 5 мм, т

= 3 мм. Визначити наявність дії системащ

похибки з імовірністю р = 0,99.

_ — 1

Розв'язання. Визначаємо А =• Х\ - Х

~ 7 мм. Оскільки п <

за формулою (5.7) обчислюємо статистику

<10-10(10 + 10-2)

^'9-25 + 9-9 V 10 + 10

7= =3,79.

З таблиці дод.З при д = 1 - р - 0,04 та к = щ + п

- 2

знаходимо '£

= 2,86. Оскільки 2>2

(3.79 >2,86), то при обробці вй

слід враховувати дію систематичної похибки

г) Критерій Аббе.

Якщо ж отримано один статистичний ряд і постає питани

визначення наявності систематичної похибки, яка призводить до змі

центру групування результатів випробувань, то застосовують

послідовних різниць або критерій Аббе. ]

Для статистичного ряду Хь

г, ···, обчислюють: о

арифметичне X, дисперсію т

за формулою Бесселя (4.22) та погі

різниці

—>

Обчислюють дисперсію за значеннями послідовних різні

формулою

•І и-І

132

Наявність в результатах вимірів систематичної похибки визначається

критерієм Аббе

Ь =

¥г· (5-11)

/ т

Гіпотеза про наявність систематичної похибки визначається

критичною областю

5 > , (5.12)

де 6д визначають із таблиць дод. 5 за рівнем значення д та кількістю

вимірів п.

Приклад 3. При спостереженнях за нахилом телевізійної вежі

отримані значення крену: 45, 50, 52, 50, 53, 60 мм. Визначити наявність

крену телевежі при надійній імовірності р = 0,99.

Розв'язання. Оскільки маємо один ряд вимірів, то застосуємо

— 2 2

критерій Аббе. Визначимо X, V,, т та т^ за формулами

У V 21,3

X = — = —— = 51,/ мм ; V,

—

х,

—

X ; т — = = 24,

.-5

мм ;

п 6 ' п-1 6-1

й^х.^-х» т

^2(и-1) 10

ММ .

Статистика Ь = ~ = -

- = 0,37. При = 1 - р = 1 - 0,99 = 0,01

т 24,3

та п = 6 за таблицями дод. 5 визначаємо = 0,28. Оскічьки

> 5

(0.37 > 0,28), то фактор нахилу осі телевежі встановлено. До речі, при

р - 0,95 о

= 0,44. Тоді д < (0,37 < 0,44) і фактор наявності

систематичного крену телевежі не приймається.

Критерій Аббе доцільно використовувати при дослідженнях

деформацій нахилу баштових споруд, коли випадкові похибки значно

перевищують за абсолютною величиною можливий систематичний зсув

верху башти. Його можна застосувати при дослідженнях стійкості пунктів

геодезичних мереж.

2. Визначення граничних похибок

При математичній обробці результатів вимірів слід виключати із

обробки грубі помилки. Методика вимірювань дозволяє своєчасно

133

виключити "промахи" при яких окремі результати значно відрізняють

від інших. Разом з тим в статистичному ряду вимірів можуть бу

результати вимірів, які досить близькі між собою, але за вимога!

точності або технології виконання робіт будуть грубими. Тому понят

"груба помилка" досить умовне і залежить від прийнятої надійн

ймовірності.

При визначенні цільності нормованого нормального закону розподц

користувалися нормованими похибками

2 = (5.13

т ,

де Д;-похибка виміру; т- середня квадратична похибка.

При визначених умовах вимірів завжди існує деяка гранична похиб!

|ДгрІ, яку не можуть перевищити випадкові похибки. Тоді за функцій

Лапласа нормованого нормального закону розподілу можна визнач^

інтервал залежність від рівня значності д (дод. 6).

Граничне значення похибки виміру визначиться за формулою *

Дір

т. (5.ц

Граничне значення різниці двох суміжних вимірів сі^ При задано«

рівні значності д визначається за формулою ^

І^ГРІ

ты2. (5.13

Похибки, що перевищують відповідно 2 т, 2,5 т та 3 т п{

д = 0,05; 0,01 та 0,0027 вважаються грубими за відсутнос

систематичних похибок. .

ПриюіадЛ Визначити можливе граничне значення похибок вимір

при компаруванні рулетки за умовою попереднього прикладу 1.

Розв'язання. За формулою (5.14) при

~ 1 - р = 0,05 та т ~ 5 »

отримаємо

|Д

гр

і <2,5 т =2,5-5 = 12,5 мм

Для виявлення грубих похибок в ряду вимірів застосовують крите^

Греббса за статистикою Z ^

г =

Хтах

, або г =

Хтт

, (5.ііЗ

т т

•і

*тт

та

тах

- мінімальне та максимальне значення в ряду вимірів.

і 34

Критична область визначається за формулою

(5.17)

Статистику визначають за таблицею дод. 7 (по аргументах д та п).

Перевірка гіпотези про рівноточність рядів вимірів має велике

практичне значення, оскільки їх математична обробка базується на

принципово різних формулах. Дотриматись рівноточності рядів вимірів

досить важко (практично неможливо), тому завжди необхідно рахуватись

з деякими коливаннями їх статистичних характеристик. При сумісному

використанні двох і більше рядів вимірів необхідно впевнитись в їх

рівноточності. Існують різні методи перевірки рівноточності вимірів:

а) І·'- критерій

Маємо два ряди вимірів однієї і тієї ж величини

х\и

п,

\„\

2Ь *22>

2п-

Для кожного ряду обчислюють середні арифметичні Х

,Х

та

2 2

дисперсії т

і т

за формулою Бесселя, причому вибирають так,

2 2

щоо Ш] > т

Обчислюють дисперсійне відношення або статистику

Статистику вибирають із таблиць дод. 8 за рівнем значності д і

числом ступенів вільності к\ = п - 1 та к

= п

—

б) Критерій Романовського

В попередньому випадку використовували статистику Р. Можна

обчислити значення

3. Перевірка рівноточності рядів вимірів

(5.18)

(5.19)

та статистику

9-І

(5.21)

135

Ряди вимірів будуть нерівноточними. коли

Р>3. (5.22)

Таким чином при застосуванні критерію Романовського відпадає

необхідність у використанні спеціальних статистичних таблиць. Однак

число вимірів в другому ряді повинно бути більше 5-ти.

Приклад 5. При дослідженнях нахилу фундаментної плити за двома

реперами виконано відповідно п\ = 5 та Иі = 7 циклів спостережень. В

результаті попередньої обробки рядів вимірів обчислені дисперсії

2 2

= 9; т

= 5. Визначити рівноточність рядів вимірів при р = 0,95.

Розв'язання. Застосуємо Р-критерій. За формулою (5.18)

2 ^

обчислюємо статистику Р =—у =

—

= 1.8. Із таблиць дод. 8 при'

д = 1 - р = 0,05 і числом ступенів вільності к, = щ - 1 = 4 та

= п

- 1 = 6 маємо Р

= 3,3. Оскільки Р < ( 1,8 < 3,3), то ряди

вимірів будуть рівноточними. В критерії Романовського за формулами

(5.20) отримаємо

V 4(6-4)

За формулою (5.21) Я = = —^ = 0,4.

сг

2,0

Оскічьки К < 3 (0,4 <3), то ряди вимірів будуть рівноточними.

в) Критерій Бартлетта

Його використовують при одночасній перевірці рівноточносгі

декількох рядів вимірів. Наприклад, при дослідженнях деформацій

інженерної споруди в її фундаментах може бути закладено л—реперів, по

яких виконано 5 циклів вимірювань

12, ···> ^иі

*21,

22,

···=

(5.23)

136

- м

Для кожного ряду визначають середні арифметичні Л\ = —-

~2 /

га дисперсії за формулою т

- ^

/,„ _п> (5 24)

де = х

- Х

, - число вимірів в (-му ряду

Обчислюють незміщену оцінку дисперсії вектораX за формулою

і (Л^-л)

де =

В критерії Бартлетга обчислюють статистику

т 1 А ~

С =

і т

3(«-1)

А 1 1

27)

2 3026 -і » т

аб0

- 1)1чт,

] (5 28)

С і

При 5, > 3 статистика 2 наближено мас ^

-розподіл з числом

ступенів вільності к = п - 1

Ряди вимірів будуть рівноточними, коли

^ , (5 29)

Іс

кц визначають за таблицями дод 9 із рівня значності д і числа

сп/пєшв вільності к=п 1

Якщо Б, =~- а N = п 5, то можна обчислити статистику за

форчулою

а-й^ сад

2 2

При цьому <9, < визначають за аргументами д та

к=8-І (дод 9)

137

Приклад 6. Дослідження осідання греблі виконано по 4-х репер

Всього виконано 6 циклів спостережень. Із обробки рядів вшц

2 2 2 2 2

отримано дисперсії: т^

—

5 мм ; - 3 мм ; Щ = 6 МЯ

2 2

Шц

—

8 мм . Визначити рівноточність рядів вимірів при ймовірна

= 0,99.

Розв'язання. За формулою (5.25) обчислюємо незміщену оці

дисперсії матриці виміряних величин. При Б, ~ 5, = 6 та п

=»

2 -ЇМ

N = 24, т = /

——;

у- = 33,5 мм . Обчислюємо за формулою (5.

значення С - 1,08 та статистику

за формулою (5.26 ), отримав

= 4,45. Із таблиці дод. 9 при ^ = 0,01 та к = п - 1 = 3, Х

= 11

Оскільки 121 < Хд (4,45 < 11,3), то ряди вимірів є рівноточними.

такого висновку прийдемо, коли використаємо формулу (5.30), так

л; =5; = 6.

2. Перевірка закону розподілу статистичних рядів

Важливе значення при математичній обробці геодезичних вимірів І

знання закону розподілу результатів або похибок вимірів. Найкр)

оцінки отримують, коли ряд вимірів підпорядковується нормально

закону розподілу. Однак, практично комплекс умов постійно де

змінюється. В наслідок цього виникає відхилення закону розпер

результатів вимірів від теоретичного значення функцій розподілу.

Практично на основі тих чи інших відомостей висувають припущі

або ("нульову") гіпотезу про вид закону розподілу статистичного рі

створеного за результатами вимірів. Шляхом застосування різних крите

перевірки визначають, чи є допустимим розходження між дослідим

теоретичним (передбачуваним) законом розподілу.

Враховуючи, що результати геодезичних вимірів, як праці

підпорядковуються нормальному закону розподілу при дотрюя

"комплексу умов" або вимог нормативно-технічної документа

розглянемо ряд критеріїв перевірки відповідності нормальному зал

розподілу результатів вимірів:

1. Перевірка по асиметрії і ексцесу

Гіпотезу про нормальний закон розподілу статистичного р

називають нульовою або основною. Маємо статистичний •{

138

її, Х2, ..., х„ і висунута гіпотеза, що він підпорядковується нормальному

закону розподілу (НЗР). За формулами § 4 можна визначити числові

характеристики НЗР: математичне сподівання або середнє арифметичне,

дисперсію, середню квадратичну похибку, асиметрію та ексцес Е^.

Скористаємося тим, що асиметрія Бі (4.41) та ексцес £4 (4.42) є

числовими характеристиками, що характеризують ступінь відхилення

досліджуваного розподілу від теоретичного НЗР. Вони, як і інші

параметри НЗР є випадковими величинами, а тому можуть відхилятися від

нуля.

Мірою точності асиметрії та ексцесу є дисперсії

2 б(в-1)

ті =— > —; (5.31)

ік

(и + ІХл + 3)

_ 24(я-3)

віг. = (5.32)

Ьк

(п + 3)(н + 5)

При великій кількості вимірів відповідно маємо

26 2 24

=—• (5.33)

п * п

За дисперсіями можна оцінити наскільки відхиляються асиметрія та

ексцес від своїх математичних сподівань, тобто від нуля.

Обчислюють нерівності

|5*| < / т

8к

та \Е

\ <іт

Ек

, (5.34)

де і - параметр, який вибирає залежність від прийнятої довірчої

ймовірності р та числа ступенів вільності к = п — 1 за таблицями

розподілу Стьюдента (дод. 3).

Якщо нерівності (5.34) виконуються, то відхилення розподілу

статистичного ряду від теоретичного НЗР незначні і ряд вимірів

підкоряється І13Р і навпаки.

Критерій асиметрії і ексцесу використовують, коли об'єм вибірки

невеликий {п < 20).

2. Критерій Колмогорова

Це найбільш простий критерій перевірки гіпотези про нормальний

закон розподілу. Використовується різниця D між статистичною

інтегральною функцією розподілу F(z) і відповідною теоретичною

функцією розподілу F(z).

139

При невеликій кількості вимірів п < ЗО для статистичного ряду

обчислюють: середнє арифметичне X, відхилення ^ = х

—

X, з|

формулою Бесселя середню квадратичну похибку т. Далі обчислюючі

нормовані похибки -

—••

і складають зростаючий рц$

тп

, 2

..., 2

тах

. Теоретичні значення нормованої функції розподілу;

визначають за формулою ^

^(г,) = 0,5 + Ф(

2і

), (5.35))

де Ф(г) вибирають із таблиць дод. і

(де нормовані величини г позначені

через і) за значеннями г,; при цьому Ф(-г) = -Ф(г). Значення емпіричної

функції розподілу для ряду нормованих величин обчислюється зв(

формулою .

= (5.36)'

де і — порядковий номер нормованої похибки, п - загальна кількісті

вимірів.

Обчислюють різниці між значеннями експериментальної і теоретичній

функцій розподілу і

=Пг,)-Р(2

). (5.3?|

Нульова гіпотеза про нормальний закон розподілу статистичного ряд

підтверджується, коли

Д™ < О

, (5.31

- визначається за таблицями дод. 10 при заданому рівні значності ф

числі виміру п. '1

Приклад 1. Застосування критерію Колмогорова при п - і

приведено в табл.5.1 для нормованих похибок вимірів при д = 0,05.

Таблиця

№

пор.

№

пор.

-1.2

0.031 0.115

-0.084

0.0 0.531 0.500

+0,|

-1.1 0.096

0.136

-0.042

10 +0.3 0.594

0.618 -0.01

-0.9

0.156

0,184 -0.028 11 +0.5

0.656

0.692

-0.01

-0.7 0.219 0.242

-0.023

+0.7

0.719

0.758

-0.01

5 -0.6 0.281

0.274 -0.014

із +1.0

0.781

0.841

-0.М

-0,5 І_0.344

0.308 +0.036

14 +1.1 0.844

0.864

-0.03

7 -0.4

0.406 0.345

+0.061

+1.4

0.906

0.919

-0.01

8 -0.2 0.500 0.421

+0.079 16 +1.5 0.969 і 0.933

+0.03

140

При розрахунках використані формули (5 35), (5 37) Цих = - 0 084

При q = 0 05 і п = 16 за табл дод 10 D

- 0 33 |A

max

| < D

(О 084 < 0 33) і статистичнии ряд вимірів підкоряється нормальному

закону розподілу

При великій кількості вимірів зростаючий ряд нормованих похибок

розбивають на k - 6-12 інтервалів Довжину інтервалу можна

обчислити за формулою Стерджеса (4 1) або за формулою (4 2) Для

кожного інтервалу обчислюють частоти v, (кількість нормованих похибок)

та середини інтервалів z

Емпіричні значення функції розподілу

обчислюють за формулами

= = 1 (539)

л л ,

Теоретичні значення функції розподілу розраховують за формулою

(z,)

- 0,5 + 0,5 Ф(гД (5 40)

де Ф( z,) - значення функції Лапласа визначаються за значеннями 2, в

таблиці дод 1

Далі обчислюють D, і вибирають максимальне значення різнищ

Г)

шах

Обчислюють статистику

k = (5 41)

де п - кількість вимірів

Гіпотеза нормальності розподілу приймається за умов

X < А,,, (5 42)

де k

- статистика, що визначається за рівнем значності q в таблиці

дод 11

Приклад 2. Застосування критерію Колмогорова при п = 90 наведено

в табл 5 2 Зазначимо що виконано попередню обробку ряду вимірів

визначені нормовані похибки їх інтервал та обчислені частоти V,

Розрахунки проведені при р = 0,95.

Таблиця 5 2

№

Інтервал z

F{z,)

F(z,)

інтєр

_валу

від

До

F{z,)

Cj,

-3 -2 6 •2,5 0,066 0,006

+0,060

- 2 -2 -1 12

-1,5

0,200

0,067 +0,133

- з ^

-1 0

-0,5 0,500 0,309

+0,191

+1 24 +0,5

0,767

0,691

+0,076

+1 +2 15

+1,5 0,822 0,933 -0,111

+2 +3

+2,5 1,000

0,994

+0,006

"-iL-.

141