Войтенко C.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів

Подождите немного. Документ загружается.

УДК 69 059.38

ББК 26.11

В65

Рецензенти: П.М.Зазуяяк, д-р физ.-мат. наук, професор

В.К.Чибіряков, д-р техн. наук, професор

ГІ.Г.Черняга, д-р техн. наук, професор

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як

навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів (лист

Міністерства освіти і науки України Мв 14/182-740 від

08.04.2002 року).

Войтенко C.JL

В65 Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія

похибок вимірів: Навчальний посібник. - К.: КНУБА, 2003. - 216с.

ISBN 966-627-058-7

Навчальний посібник висвітлює теоретичні питання з

математичної обробки результатів вимірів, методи отримання

кількісних та якісних характеристик виміряних величин.

Наведені відомості з теорії ймовірностей, математичної

статистики та теорії похибок вимірів, що дозволяють визначити

закони розподілу похибок вимірів, критерії оцінки точності,

статистичну перевірку ііпотез та методи розрахунку точності вимірів.

Призначений для студентів, які навчаються за напрямом

спеціальності 0708 "Геодезія, картографія та землевпорядкування" денної

та заочної форм навчання вищих навчальних закладів.

УДК 69 059.38

ББК 26.11 /

ISBN 966-627-058-7

ЗМІСТ

Вступ 5

ГЛАВА І ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Розділ 1 Основні ПОНЯТТЯ І правила обчислення ймовірностей

§ 1 Предмет і задачі теорії ймовірності 9

§ 2 Події Види подій 11

§ 3 Частота і ймовірність події 13

§ 4 Додавання подій Теорема додавання ймовірностей 18

§ 5 Добуток подій Теорема множення ймовірностей 21

§ 6 Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій 24

§ 7 Формула повної ймовірності Теорема гіпотез (формула Бейєса) 26

§ 8 Повторні випробування ЗО

§ 9 Найбільш імовірне число появи подій при повторних

випробуваннях 34

Запитання для самоперевірки 36

Розділ 2 Випадкові величини, їх характеристики і закони

розподілу ймовірностей

§ 1 Випадкові величини 37

§ 2 Закон розподілу ймовірностей випадкових величин 38

§ 3 Числові характеристики випадкових величин 48

§ 4 Нормальний закон розподілу випадкових величин 59

§ 5 Рівномірний розподіл 64

§ 6 X -розподіл 66

§ 7 Розподіл Стьюдента 67

Запитання для самоперевірки 69

Роздш 3 Системи випадкових величин. Граничні теореми георн

ймовірностей

§1 Поняття та закон розподілу системи випадкових величин 70

§2 Система двох випадкових величин 71

3 Числові характеристики системи двох випадкових величин

Кореляційний момент коефіцієнт кореляції

рівняння регресії 79

§ 4 Багатоміриийрозподіл Числові характеристики системи

випадкових величин 85

§ 5 Функції випадкових величин Числові характеристики

Кореляційна матриця системи функцій випадкових величин 89

§ 6 Граничні теореми теорії ймовірностей 100

\ Запитання для самоперевірки 103

г^АВА II. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

4. Статистична оцінка параметрів розподілу

® ' \овш поняття і задачі математичної статистики

1 сукупність та вибірка 104

§ 2. Розподіл статистичних рядів 105

§ 3. Оцінювання параметрів закону розподілу 109

§ 4. Числові характеристики статистичного розподілу 113

§ 5. Оцінювання параметрів розподілу за допомогою довірчих

інтервалів 123

Запитання для самоперевірки 128

Розділ 5. Статистична перевірка гіпотез

§ І. Статистичні дослідження рядів вимірів 129

§ 2. Перевірка закону розподілу статистичних рядів 138

Запитання для самоперевірки 143

ГЛАВА III. ТЕОРІЯ ПОХИБОК ВИМІРІВ

Розділ 6. Основні поняття і критерій оцінки точності вимірів

§ 1. Предмет, задачі і класифікація похибок вимірів 144

§ 2. Розподіл ймовірностей випадкових похибок 149

§ 3. Числові характеристики рівноточних вимірів 151

§ 4. Числові характеристики нерівноточних вимірів 156

Запитання для самоперевірки 164

Розділ 7. Математична обробка результатів вимірів

§ 1. Математична обробка ряду рівноточних вимірів 165

§ 2. Математична обробка ряду нерівноточних вимірів 171

§ 3. Математична обробка подвійних вимірів 177

§ 4. Оцінка точності функцій виміряних величин 185

§ 5. Розрахунок точності вимірів 196

§ 6. Сумісний вплив систематичних та випадкових похибок 200

Запитання для самоперевірки 202

Список рекомендованої літератури 204

Додатки

ВСТУП

Людство безперервно перебувае у вирі подій, що відбуваються в

навколишньому світі Для їх вивчення проводяться наукові дослідження,

експерименти, випробування При цьому досить часто зустрічаються

явища, які при повторних випробуваннях та практично незмінних умовах

виникають кожен раз дещо інакше Щоб навчатися впливати на їх хід,

знати закони виникнення і дії, необхідно розробляти теоретичні основи

математичної обробки їх результатів

Для цього розробляють і досліджують вимірювальні прилади,

методики вимірювань Результатами вимірів завжди є число або сукупність

чисел, які кількісно характеризують ті чи шші досліджувані фізичні

величини Результати вимірів несуть в собі велику наукову інформацію,

що дозволяє не лише характеризувати сьогоденний перебіг подій, а і

передбачати їх дію

ДІ Менделєєв говорив "Наука розпочинається там, де починають

вимірювати"

Як би ми не намагалися удосконалити прилади та технологію

виконання вимірів, безперервно змінюються умови, в яких відбуваються

виміри, і тому ми не можемо однозначно характеризувати ту чи іншу

величину й істинним значенням Вдосконалюючи прилади та методи

вимірювань, ми можемо лише наближатися до їх істинних значень В

результаті багаторазових повторних вимірювань ми отримуємо ряд різних

числових значень одні« і тю ж величини Виникають похибки вимірів,

розмір і характер їх дії впливають на визначення надійного значення

виміряної фізичної величини найбільш близького до істинного Зрозуміло,

що при цьому виникають дві головні задачі

1 Обчислення надійного ймовірного значення виміряної величини,

близького до істинного

2 Визначення точності виміряної величини

Для вирішення цих задач необхідна розробка математичних методів

обробки результатів вимірів

3 точки зору значення вимірів в науці і інженерній діяльності людини

головним є їх висока якість, яка знаходиться в прямій залежності від

похибок вимірів Точність результатів вимірів можна характеризувати

критеріями або числовими характеристиками, які і будуть мірою якості

вимірювальних робіт

Виникнення похибок при виконанні вимірів є безумовним явищем в

силу того, що і прилади, навколишнє середовище, і самі виконавці робіт

безперервно змінюються

Тому при організації вимірювальних робіт розв'язують такі задачі

1 При дослідженні нових явищ виміряні величини слід визначати з

максимально високою точністю, яку можна досягнути приладами та

методикою вимірювань

2 При заданій точності вимірювань виконувати їх з необхідною і

достатньою точністю

3 Застосовувати такі методи математичної обробки результатів

вимірів, які дозволяють отримати найбільш надійні кількісні та

якісні характеристики вимірюваної величини

Слід зауважити, що при недоброякісних результатах вимірів

неможливо отримати доброякісні результати Разом з тим, невмілим

застосуванням математичних методів обробки результатів вимірів можна

спотворити кінцеві результати

Таким чином, протягом багатьох років удосконалювалися не лише

прилади та технологія вимірювальних робіт, а і методи математичної

обробки результатів вимірів

При проведенні геодезичних та кадастрових робіт виконується

безмежно велика КІЛЬКІСТЬ вимірів В геодезії виконують складні

вимірювання з визначення форми та розмірів Землі На поверхні землі, під

землею та під водою виконують виміри для складання карт і планів,

розв'язання великого спектра інженерних задач В землевпорядних та

кадастрових роботах виконують виміри з організації територій, складання

кадастрових планів, визначення параметрів нерухомості для розв'язання

задач з управління територіями Тому фахівці повинні мати ґрунтовні

знання не лише з технологи виконання вимірювань, а й володіти методами

математичної обробки їх рез>льтатів, що приводять до найкращих

кінцевих результатів

Математична обробка геодезичних вимірів - дисципліна,

що вивчає математичні методи обробки результатів вимірів з

метою отримання надійних кількісних

якісних характеристик

Математична обробка геодезичних вимірів постійно удосконалюється,

завдяки постійному розвитку математичних наук та поглибленню знань

науковців, котрі займаються розробкою методів математичної обробки

результатів вимірів Вона є математичною дисципліною

Математична обробка результатів вимірів базується на знаннях з

математики, фізики, вищої математики її математичним фундаментом є

теорія ймовірностей і математична статистика При розробці методів

математичної обробки вимірів широко використовують знання з теорії

випадкових функцій, дисперсійного та кореляційного аналізу, методу

найменших квадратів, теорії графів, теорії надійних інтервалів та інших

математичних наук

Курс математичної обробки вимірів поділяється на два розділи

1 Теорія похибок вимірів

2 Метод найменших квадратів

Теорія похибок вимірів вивчає їх загальні закономірності,

розглядаючи результати вимірів як випадкові величини і

розробляє методи отримання кількісних та якісних

характеристик виміряних величин.

Основними задачами теорії похибок вимірів є:

1) вивчення причин виникнення та законів розподілу похибок вимірів;

2) розробка критеріїв оцінки точності результатів вимірів;

3) визначенім іраничних похибок вимірів;

4) визначення найбільш надійного значення виміряної величини;

5) статистична перевірка гіпотез;

6) розробка методів розрахунку точності вимірів на стадії розробки

проектних рішень.

Вивчення цих питань складає першу частину навчального посібника.

В другій частині буде викладено основні теоретичні положення способу

найменших квадратів.

Теоретичні основи математичної обробки результатів геодезичних

вимірів розвиваються в міру розв'язання практичних проблем і розвитку

теоретичних основ математичних методів. Так в 1700 р. Р.Котс ввів

поняття ваги вимірів, в 1748 р. Л.Ейлер в сукупності розглядав результати

вимірів. В 1755 р. Т.Симпсон обґрунтував принцип арифметичної

середини, а Р.Боскович запропонував розв'язувати систему лінійних

рівнянь з умови мінімуму абсолютних значень поправок. Далі І.Ламбсрт

аналізував дію систематичних та випадкових похибок, а в 1770 р.

Ж.Лагранж використав теорію ймовірностей для аналізу випадкових

похибок. В 1802 р. П-Лашіас розробив теорію вирівнювання геодезичних

вимірів при умові рівності нулю алгебричної суми поправок і мінімальної

суми їх модулів [10].

В 1806 р. А.Лежандр (1752 - 1833) опублікував наукову роботу "Нові

методи визначення кометних орбіт", яка вперше висвітлювала основні

теоретичні положення методу найменших квадратів. Майже одночасно в

1809 р. Карл Гаусс (1777 - 1855) обгрунтував класичну теорію методу

найменших квадратів в роботі "Теорія руху небесних тіл, що обертаються

навколо Сонця по конічних перерізах". Ця робота і сьогодні має велике

наукове і практичне значення та застосування при вирівнюванні

геодезичних мереж. К.Гаусс обгрунтував метод найменших квадратів за

принципом найбільшої ваги вимірів, розробив класичний спосіб

розв'язання нормальних рівнянь, визначення ваги невідомих параметрів та

ваги функцій зрівняних невідомих, запропонував формулу для обчислення

середньої квадратичної похибки.

Розробкою методу найменших квадратів займались видатні вчені з

математики, астрономії та геодезії - Ф.Бессель, П.Ганзен, Й.Енне,

О.Шрейдер, В.Йордан, Ф.Гельмерт, А.Н.Шиянов, В.Я. Струве, К.И.Теннер,

А.Н.Савич.

В 1859 р ПЛЧебишов розробив теорію інтерполювання Досить

ґрунтовні дослідження А А Маркова продовжили А М Ляпупов,

С Н Бернштейн, А М Колмогоров, Б В Гнеденко В В Витковський в

курсах геодезії і топографі! розробив різноманітні способи вирівнювання

геодезичних мереж

Виконані в Радянському Союзі величезні роботи зі створення

державних геодезичних мереж на великих територіях сприяли розробці

нових методів математичної обробки масивів геодезичних вимірів

Великий внесок в розробку способів вирівнювання геодезичних мереж

зробили Ф Н Красовський, Н А Урмаєв, А С Чоботарьов та ін

Фундаментальну роботу зі вирівнюання геодезичних мереж було видано

ІЮ Праніс-Праневичем Величезний обсяг складних обчислень зі

вирівнювання геодезичних мереж викопано під керівництвом Д А Ларіна.

Багато складних питань з вирівнювання мереж було розв'язано

дослідженнями Н Г Келля, П С Закатова, А І Дурнєва, А В Маслова,

К Л Прохорова, А В Гордєєва, Б А Литвинова, Ю В Кемниця,

Ь Н Ганьшина, АІ Кобиліна та інших

Згодом метод найменших квадратів отримав імовіршсно-статистичне

обгрунтування в працях А Й Мазмашвілі, П А Гайдаєва, В Д Большакова,

Ю Неймана, Ф Деніса, Р Фішера, Г Крамера, Б Ван дер Нардена,

М В Смирнова, Ю В Лінника, Д А Бєлупна та щга

На Україні дослідженнями з математичної обробки геодезичних

вимірів займалися вчені Києва та Львова Так у 1960 р П Т Бугай видав

класичний підручник "Теорія помилок і спосіб найменших квадратів" В

1978 р МГВідуєв та АГГригоренко видають оригінальний навчальний

посібник "Математична обробка геодезичних вимірів" Проф М Г Відуєв

разом з Г С Кондрою видають важливі монографії з імовірнісно-

статистичного аналізу похибок вимірів, дисперсійного аналізу в теорії і

практиці геодезичних вимірів (1968, 1969 рр) Ці роботи і сьогодні

відіграють важливу роль в розробці і практичному застосуванні

математичних методів обробки результатів вимірів

Сьогодні вирівнювання геодезичних мереж виконується з

використанням потужної елекіронно-обчислювальної техніки

Алгоритмізація вирівнювальних обчислень розвивається в роботах

Ю Маркузе (Москва) Значні роботи з дослідження та розробки

програмного забезпечення для вирівнювання геодезичних мереж виконані

в Україні В Бєляєвим, Ю Карпінським, О Марченко Новий напрямок з

впровадження методу скінченних елементів при вирівнюванні геодезичних

мереж, розв'язанні інших задач геодезії започатковано Ю Карпінським

Наявність сучасної обчислювальної техніки і програмного

забезпечення дозволяють автоматизувати процес вирівнювання

найскладніших геодезичних мереж, відкрили нові можливості розвитку

математичних методів обробки результатів геодезичних вимірів

ГЛАВА І ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

РОЗДІЛ 1 ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ПРАВИЛА ОБЧИСЛЕННЯ

ЙМОВІРНОСТЕЙ

§ 1. Предмет і задачі теорії ймовірностей

В своїй практичній діяльності нам доводиться вирішувати

різноманітні фізичні та технічні задачі Наприклад, на точній аналітичній

вазі мн зважимо декілька разів одне і теж тіло При цьому результати

вимірів будуть дещо відрізнятися одне від одного Ці різниці будуть

залежати від таких другорядних факторів, як положення тіла на чаші ваги,

випадкові вібрації, помилки відліку по шкалі приладу та інше

Різні результати ми одержимо, якгцо спробуємо декілька разів

виміряти лінію, кут, чи координати визначуваної точки відносно вихідної

Це буде обумовлено впливом помилок приладів, деякими змінами

зовнішнього середовища і т д

Більш наочно ми переконаємось в різниці результатів при стрільбі з

гвинтівки по мішені В результаті випадкових факторів ми одержимо

розсіювання куль

Таким чином ми зустрічаємося з особливого тину явищами, які

називають випадковими

Випадкові явища - це такі явища, які при неодноразовому

відтворюванні одного і того ж досліду щоразу протікають

дещо інакше

Одночасно встановлено, що при багаторазовому повторенні досліду

помітні деякі закономірності результатів

Теорія ймовірностей - це математична наука, яка вивчає

загальні закономірності випадкових явищ незалежно від гх

природи виникнення і пропонує методи кількісної оцінки впливу

випадкових факторів на різні явища

Все в світі закономірно, вчить діалектика Класики діалектичної теорії

стверджують, що там, де на поверхні відбувається гра випадковості, там

сама ця випадковість завше виявляється підвладною внутрішнім,

прихованим законам Вся справа полягає лише в тому, щоб відкрити ці

закони

Це означає, що незалежно від міри впливу численних факторів, які не

піддаються контролю, постійно змінюються і випадково розсіюються на

результати експериментів, в масі вони є закономірними

Ми будемо вивчати закономірності таких випадкових явищ, які мають

відносну стійкість деяких властивостей Так відсоток народження

хлопчиків по відношенню до загальної кількості народження дітей в

великих містах в різні роки достатньо стійкий (приблизно 51,5 %) Це

можна віднести і до таких випадкових явищ, як нещасні випадки в окремі

дні тижня, місяців і років, - пожежі, град та інші стихійні лиха. Досить

стійкими є середні значення зросту людей, місячних температур на

окремих географічних широтах, хоча вони мають випадковий характер

Для вивчення різноманітних явищ навколишнього середовища

проводять спостереження, досліди та випробування

Основою наукових досліджень е спостереження. При цьому ми

виявляємо якісні та кількісні ознаки фізичних об'єктів Кількісні ознаки

визначають точно дискретними обчисленнями або шляхом вимірів, що

дають, як правило, наближений результат Наприклад, ми точно знаємо

кількість (число) прийомів вимірів, а відхилення результатів від істинного

значення лише наближено

Проте теорія ймовірностей вивчає як випадкові події, так і випадкові

величини

Випадкова величина - це величина, яка при досліді приймає

значення заздалегідь невідоме і залежить від випадкових причин,

які заздалегідь не можуть бути враховані

Теорія ймовірностей вивчає і випадкові функції, що складаються з

випадкових величин

Якщо при проведенні дослідів ми не можемо одержати точний

результат у зв'язку з дією випадкових факторів, то виникає ряд запитань

- Яка вірогідність одержати правильний результат'' Скільки

потрібно повторити дослід, щоб отримати правильний результат? Які

можна вжити заходи, щоб зменшити кількість дослідів''

Всі ці питання мають випадкову природу явищ і для того, щоб

відповісти на них, потрібно вивчати випадкові явища розсіювання

результатів дослідів з точки зору їх закономірностей, властивих їм, як

випадковим явищам

Звідси випливає задача теорії ймовірностей з дослідження закону

розподілу результатів експериментів і випадкових нричин, які

спричинюють розсіювання і тд Це, в свою чергу, потребує розробки

ймовірних методів вивчення випадкових явищ

Математичні закони теорії ймовірностей відображають реальні

статистичні закони, які об'єктивно існують в безлічі випадкових явищ

природи Теорія ймовірностей вивчає ці явища математичними методами, і

одним із точних і строгих розділів математики

§ 2. Події, Види подій

Теорія ймовірностей, як і інші науки, базується на ннзці основних

первинних понять. Всі наступні більш складні поняття визначають, а

теореми доводять, на основі первинних понять і аксіом.

Явища природи протікають в реальних умовах. Для їх вивчення

проводять випробування.

Випробуванням називають здійснення якого-небудь

комплексу умов, що можуть бути відтворені багато разів.

Подією називають явища, що виникають при реалізації

цього комплексу умов в результаті проведення випробування.

Прикладом подій можна назвати: випадання двох гербів при

трикратному підкиданні монети; появу помилки виміру в заданих межах

при вимірюванні ліній, кутів, перевищень тощо.

Випробуванням при цьому буде підкидання монети, вимірювання, а

подією - випадання гербів, помилка виміру.

Зазначимо, що випробування проходять за однакових умов. Хоча

говорити про повну тотожність умов можна тільки з певною умовністю.

Комплексом умов називають сукупність умов, при яких

проводиться випробування.

При проведенні випробувань визначають як більш, так і менш значні

умови. В практиці проведення геодезичних робіт до основного комплексу

умов відносять:

• об'єкт',

• суб'єкт;

• прилад;

• метод вимірювань;

• зовнішнє середовище.

Прикладом другорядних умов можуть бути:

• збільшення зорової труби приладу;

• точність відлікового пристрою та центрувального пристрою;

• якість візирних цілей тощо.

Події позначають великими буквами латинського алфавіту.

Наприклад, подія А - випадання герба, подія В - вимір куга, лінії чи

перевищення. Умовно події розділяють на елементарні:

- проста випадкова подія, яка повністю описується однією (і тільки

однією) подією, вона не моя® бути розділена на складові події;