Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

тик имеется специальная аппаратура» в состав которой

входят генератор гермонических колебаний с регулируемой

частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы коле-

баний.

Частотные характеристики используют для описания как

устойчивых, так и неустойчивых систем. Но в последнем слу-

чае они не имеют такого ясного физического смысла.

§ 2.5. Временные характеристики

Другой важной характеристикой автоматических систем

(звеньев) являются переходные и импульсные переходные

функции и их графики — временные характеристики. Их ис-

пользуют при описании линейных систем, как стационарных,

так и нестационарных.

Переходной функцией системы (звена) называют функцию,

описывающую изменение выходной величины системы (зве-

на), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздей-

ствие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию

обычно обозначают h (/). Иначе: переходная функция h (£) есть

функция, описьюающая реакцию системы (звена) на единич-

ное ступенчатое воздействие при нулевых начальных усло-

виях.

Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно

описать единичной функцией

при t > 0;

при *<0.

График переходной функции — кривая зависимости функ-

ции h (t) от времени t — называют переходной или разгонной

характеристикой.

Импульсной переходной или весовой функцией (функцией

веса) системы (звена) называют функцию, описывающую реак-

цию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при

нулевых начальных условиях; обозначают эту функцию w (t).

График импульсной переходной функции называют импульс-

ной переходной характеристикой.

Переходную и импульсную переходную характеристики

называют временными характеристиками.

При определении весовой- функции было использовано по-

нятие единичного импульса. Физически единичный импульс

•н;

можно представить как очень узкий импульс, ограничивающий

единичную площадь. Математически он описывается функцией

б которую называют дельта-функцией; дельта-функция

является обобщенной функцией. Теория обобщенных функ-

ций — сравнительно новый раздел функционального анализа,

и здесь она не будет рассматриваться. Отметим только» что в

рамках теории обобщенных функций любые встречающиеся в

приложении функции обладают производными любого поряд-

ка. В частности, существует производная от единичной функ-

ции — она равна дельта-функции: 1 (г) = 6 (*). Обладает

производными любого порядка и дельта-функция.

Перейдем к определению дельта-функции и ее производ-

ных. При этом воспользуемся тем обстоятельством, что при ре-

шении практических задач, как правило, дельта-функция и ее

производные встречаются только на промежуточных этапах,

В окончательном результате они или отсутствуют, или фигу-

рируют под знаком интеграла в произведении с какой-либо

«обычной» функцией. Поэтому нет прямой необходимости от-

вечать на вопрос, что такое дельта-функция, а достаточно от-

ветить на вопрос, что означает интеграл от произведения дель-

та-функции или какой-либо ее производной и обычной функ-

ции. Руководствуясь приведенными соображениями, дельта-

функцию можно определить так: дельта-функция есть функ-

ция, которая обладает следующими свойствами:

оо 8

б(*)

—

(t)dt = 1; (2.32)

— оо

—8

оо 8

j 6 (t)

(t) dt

— Гб

(t) ф (t) dt~q> (0). (2.33)

—

оо

— 8

Производные от дельта-функции можно определить по сле-

дующим соотношениям:

оо 8

Г б (t) ф (t) di = f б

(О

—

—ф (0); (2.34)

—

оо —8

(ту %(т) Cm)

j б(*)<р(*)Л=* (2.35)

— оо

—8

где 8 — произвольное положительное число;

<р

(£) — обычная

(ту

функция, обладающая т-й производной; 6 (t) — т-я производ-

ная по времени от дельта-функции.

. Найдем изображение по Лапласу от дельта-функции и ее про*

изводных. При этом преобразование Лапласа будем тракто-

вать как предельное соотношение

оо

X(s)

—

lim (' x(t)e-*

dt.

е-из J

—е

Используя соотношения (2.32)—(2.35), нетрудно получить

<т)

{6 (/)}

L{8

(0}

L { 6 (0> « s

. (2.36)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с по-

стоянными коэффициентами в общем виде:

(Оо

+ <hp

+ ... +

On)

y^(b

+ .„ + b

)u. (2.37)

В изображениях по Лапласу это уравнение принимает вид

Y (s) = W (s) U (s), (2.38)

где W (s) = (b

+ + ... + Ь

У(аф

+ a

...+ а

) есть передаточная функция.

Как легко проверить, используя (2.36), уравнение (2.38)

справедливо и в тех случаях, когда и — 1 (/) или и = Ь (/).

В .соответствии с определением весовой функции при и =

— 6 (£) переменная у (t) = w (t). И так как L{6 (t)} — 1,

то при этом (2.38) можно записать

L {w(t)}

- IT (s). (2.39)

Таким образом, передаточная функция равна изображению

по Лапласу от весовой функции и соответственно

w (t) = L'

{W (s)}. (2.40)

Последнюю формулу можно использовать для вычисления

весовой функции.

Установим связь между весовой и переходной функциями..

Так как L{ 1 (f)). = 1/s, то уравнение (2.38) при и = 1 (/) при-

нимает вид

L{h(t)} = W(s)~.

Сравнив эту формулу с (2.39), нетрудно заметить, что sL{h(t)}=

= L {w Так как при нулевых начальных условиях умно-

жению изображения на s соответствует дифференцирование

оригинала, то из последнего равенства w (t) — h (t). Весовая

и переходная функции, как и передаточная функция, являются

исчерпывающими характеристиками системы (звена) при нуле-

вых начальных условиях. По ним можно однозначно опреде-

лить выходную величину при произвольном входном воздейст-

вии. Действительно, исходя из уравнения (2.38), с помощью те-

оремы о свертке (свойство 5 преобразования Лапласа) можем

записать

/ t

х (i) = Joy (/ —т) и (г) dx «= Jo, (т) и (t —т) dr.

о о

Эта формула, как и уравнение (2.38), справедлива только при

нулевых начальных условиях.

§ 2.6. Элементарные звенья и их характеристики

Выше звено было определено как математическая модель

элемента. Вообще же

звеном

называют математическую модель

элемента, соединения элементов или любой части системы.

Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальны-

ми уравнениями довольно высокого порядка, и в общем слу-

чае их передаточные функции могут быть записаны в виде

(s)

- ф

+... + b

)/(a

+ а

+ ... + <0. (2.41)

Но всегда их можно представить как соединения типовых

или элементарных звеньев, порядок дифференциальных урав-

нений которых не выше второго.

Из курса алгебры известно, что полином произвольного по-

рядка можно разложить на простые множители — множители

вида

М, (d

+ d

)

+ d

s + d

), (2.42)

поэтому передаточную функцию (2.41) можно представить как

произведение простых множителей вида (2.42) и простых дро-

бей вида

k/s, k/(d

s + d

), k!{d

& + d

s + d

). (2.43)

Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых

множителей (2.42) или простых дробей (2.43), называют

типовыми или элементарными звеньями.

Прежде чем переходить к изучению элементарных звень-

ев, вспомним формулы для модуля и аргумента комплексного

числа. Пусть комплексное число представлено в виде отноше-

ния двух произведений комплексных чисел

т J п „

2-П гЛ Пг*.

i j i

Так как г

— |z

|е'

arg

, \ = |г^|е

/агег

Ч то для модуля и

аргумента комплексного числа имеем

п I'll

| Z

- ; argZ = 2

аг

£ ^ -- 2

arg

Таким образом, справедливо следующее правило модулей

и аргументов комплексных чисел: модуль комплексного числа,

представленного в виде отношения двух произведений комп-

лексных чисел, равен отношению произведения модулей сом-

ножителей числителя к произведению модулей сомножителей

знаменателя, а его аргумент — разности суммы аргументов

сомножителей числителя и суммы аргументов сомножителей

знаменателя.

Пропорциональное звено. Пропорциональным называют

звено, которое описывается уравнением у (/) = ku (/), или, что

то же, передаточной функцией W (s) = k.

Частотные и временное функции этого типового звена име-

ют следующий вид:

W (М « k\ V(©) = V (со) - 0; A (<o) - k;

= :

ф (o>) = 0; L (<o) - 201g k\ h (t)

-fel(t);

w (t) = 6 (t).

На рис. 2.4 представлены некоторые из характеристик про-

порционального звена: амплитудно-фазовая частотная характе-

ристика (рис. 2.4, а) есть точка на действительной оси; фазо-

вая частотная характеристика (и ЛФЧХ) совпадает с положи-

тельной полуосью частот; логарифмическая амплитудная час-

тотная характеристика (рис. 2.4, б) параллельна оси частот и

О)

L(W)

2DlgK

h(t)[K

lg(w)

Рис. 2.4

проходит иа уровне L (со) = 20 lg k. Переходная характе-

ристика (рис. 2.4, в) параллельна оси времени и проходит на

уровне h = k.

Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено,

которое описывается уравнением ру — ku или передаточной

функцией W (s) = kfs.

Частотная передаточная функция W (/со) = klj со =

= — \Ысо. Остальные частотные и временные функции имеют

следующий вид:

U (со) = 0; V (о) = — fe/co; А (со) = k /со; ф (со) =

= — л/2; L (о) - 20 Ig к —20 Igco; h (t) = /г/; ш (0 = k.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 2.5, а)

интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой по-

луосью. ЛФЧХ (рис. 2.5, б) параллельна оси частот и прохо-

дит на уровне

<р

= — л/2; сдвиг фазы не зависит от частоты и

равен — л/2. ЛАЧХ (рис. 2.5, б) — наклонная прямая, про-

ходящая через точку с координатами

со — 1

и L (со) = 20

Как видно из уравнения L

(со)

= 20

lgfe—

20 lg

со,

при увеличении

частоты на одну декаду ордината L (со) уменьшается на 20 дБ.

Поэтому наклон ЛАЧХ равен — 20 дБ/дек (читается: минус

двадцать децибел на декаду). Переходная характеристика

а) б)

L(d)\

w((i))

В)

hit)

-Я/2

Рис. 2.5

2Dlgk

Рис. 2.6

представляет собой пря- а)

мую, проходящую через jy

начало координат с уг-

ловым коэффициентом

наклона, равным к (рис.

2.5, в).

Дифференцирующее

звено. Дифференцирую-

щим называют звено,

которое описывается

уравнением у = kpu или передаточной функцией W (s) = ks.

Частотные и временные функции имеют следующий вид:

(joy)

= /£со; U (со) - 0; V (со) =

kco;

А (со) - кщ

(«) = я/2; L (со) - 20 \gk + 20lg со; h (t) = б (t); w (t)=

- e (0 .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 2.6,а)

совпадает с положительной мнимой полуосью. ЛФЧХ

(рис. 2.6,6) параллельна оси частот и проходит на уровне

<р

= я/2; сдвиг фазы не зависит от частоты и равен я/2.

ЛАЧХ есть прямая, проходящая через точку с координата-

ми со = 1 и £(о>) — 20 lg ft и имеющая наклон 20 дБ/дек

(читается: плюс двадцать децибел на декаду); L (о) увели-

чивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду.

Апериодическое звено. Апериодическим звеном первого

порядка называют звено, которое описывается уравнением

(Тр + 1 )y^ku (2.44)

или передаточной функцией

W (s) = k/(Ts + 1).

Это звено также называют инерционным звеном или инерцион-

ным звеном

первого

порядка. Апериодическое звено в отличие

от вышерассмотренных звеньев характеризуется двумя пара-

метрами: постоянной времени Т и передаточным коэффициен-

том k.

Частотная передаточная функция

W (/со) - k/(Tja + 1). (2.45)

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряжен-

ное знаменателю число, получим

U (со) - £/[(Тсо)

+ 11; V (со) - — кТЫ[(Та)* + 11. (2.46)

Амплитудную и фазовую частотные функции можно опреде-

лить, воспользовавшись правилом модулей и аргументов.

Так как модуль числителя частотной передаточной функ-

ции (2.45) равен ft, а модуль знаменателя YW со)

+ 1, то

(2.47)

Аргумент числителя W (/о)) равен нулю, а аргумент знамена-

теля arctg (оТ, поэтому ф (со) = arg W (/со) = — arctg со7\

Из (2.47).

(со)

- 20 lg А

(со)

- 20 lg k—20 lgj^Tco)

+ 1. (2.48)

Решив дифференциальное уравнение (2.44) при и — 1 (/) и

нулевом начальном условии (х (0) = 0), получим h (t) =

= k (1 — е Весовая функция

АФЧХ апериодического звена (рис. 2.7, а) есть полуокруж-

ность, в чем нетрудно убедиться, исключив из параметричес-

ких уравнений (2.46) АФЧХ частоту.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

представлена на рис. 2.7, б. На практике обычно ограничива-

ются построением так называемой асимптотической ЛАЧХ (ло-

маная линия на том же рис. 2.7, б). Только в критических слу-

чаях, когда небольшая погрешность может повлиять на вы-

воды, рассматривают точную ЛАЧХ. Впрочем, точную ЛАЧХ

можно легко построить по асимптотической ЛАЧХ если вос-

К а

# Ш)

гщк

w=0

co=1/r

0,6 1

i—ц

и В 10 1520

5060

10 ВО 65 Ы 68 83 83,4

Щы)

град

т^-н—

Ч ' '< '••>• 'i I

—Ч—-Н—I -

%01

ОМ ОМ 0,1 0,2 0А 0,71 I 4 6 10 2D 40 60 100 Г О)

Рис. 2.7

L(со)

пользоваться следующей зависимостью (AL — разность меж-

ду асимптотической и точной ЛАЧХ):

Та . . . 0,10 0,25 0,40 0,50 1,0 2,0 2,5 4,0 10,0

Д1 . . . 0,04 0,25 0,62 0,96 3,0 0,96 0,62 0,25 0,04

Частоту = 1/Т, при которой пересекаются асимптоты,

называют сопрягающей. Точная и асимптотическая ЛАЧХ на-

иболее сильно отличаются при сопрягающей, частоте; отклоне-

ние при этой частоте примерно равно 3 дБ.

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид

20 lg k при

со

< о^;

Ig/fe

—20 lg

T<a

при соЗ^со^

Оно получается из уравнения (2.48), если в нем под корнем при

< coj пренебречь первым слагаемым, а при

со

о*! —

вторым

слагаемым. Согласно полученному уравнению, асимптотичес-

кую ЛАЧХ можно строить следующим образом: на уровне

L (со) = 20 lg к до частоты со = coj провести прямую, парал-

лельно оси частот, а далее через точку с координатами со =

= щм L

(со)

= 20 lg

— прямую под наклоном — 20 дБ/дек-

По АФЧХ или ЛАЧХ легко определить параметры Т и k

апериодического звена (рис. 2.7).

Логарифмическая фазовая частотная характеристика изоб-

ражена на рис. 2.7, б. Эта характеристика асимптотически стре-

мится к нулю при со 0 и к—я/2 при со оо. При со ™ со

фазовая частотная функция принимает значение — jt/4, т. е.

<Р (<%) = — л/4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют

одинаковую форму и могут быть получены по какой-либо од-

ной характеристике параллельным сдвигом вдоль оси частот

влево или вправо в зависимости от постоянной времени Т. По-

этому для построения ЛФЧХ апериодического звена можно

Воспользоваться шаблоном или номограммой (рис. 2.7, г).

Переходная характеристика апериодического звена

(рис. 2.7, в) представляет собой экспоненциальную кривую.

По ней можно определить параметры: передаточный коэффи-

циент, равный установившемуся значению h (оо); постоянную

времени, равную значению i

соответствующему точке пересе-

чения касательной к характеристике в начале координат с ее

асимптотой (рис. 2.7, в).

Форсирующее звено. Форсирующим звеном, или форсирую-

щим звеном

первого

порядка называют звено, которое описыва-

ется уравнением

у = k (Тр + 1) и

или, что то же, передаточной функцией

W (s) = k (Ts + 1).

Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя па-

раметрами: постоянной времени Т и передаточным коэффици-

ентом k.

Частотная передаточная функция

Остальные частотные и временные функции имеют следующий

вид:

U( V

(со)

= кТы; А

(со)

= £]/(7\о)

-Ь

Ф (со)

- arctg Т

Ю;

(со)

= 20 lg

+ 20 lg]/"(Тсо)

+ 1;

h (о - k

[ть

(t) +1 (01; w (t) - k

[ТЬ

(t)+б (t)i

АФЧХ (рис. 2.8, а) есть прямая, параллельная мнимой оси и

пересекающая действительную ось в точке = ЛАЧХ изоб-

ражена на рис. 2.8, б. Как и в случае апериодического звена, на

практике ограничиваются построением асимптотической

ЛАЧХ (ломаная линия). Частоту % — 1/7*, соответствующую

точке излома этой характеристики, называют сопрягающей

частотой.

Уравнение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена

Асимптотическая ЛАЧХ при

со

тот и проходит на уровне L = 20 lgft, а при со ^ fl>i имеет нак-

лон 20 дБ/дек.

ЛФЧХ форсирующего звена можно получить зеркальным

отражением относительно оси частот ЛФЧХ апериодического

W (jto) = k (Г/со + 1).

L( со)

20 lg k при

со

< со,;

20 lg k + 20 lg Тсо при

со

звена и для ее построе-

ния можно воспользо-

ваться тем же шабло-

ном и номограммой (см.

пользуются для построе-

ния последней.

Колебательное, кон-

к и

со

/т

сдо) сервативиое и апериоди-

Рис. 2.8

ческое второго порядка