Воронов А.А. Теория автоматического управления. Часть первая

Подождите немного. Документ загружается.

7 Если начальные условия нулевые, т. е. х (0) = х (0)

(П-1)

. . . = х (0) = 0, то последняя формула принимает

(п>

вид L { х (/)} ~ s

X (s). Таким образом, при нулевых на-

чальных условиях дифференцированию оригинала соответст-

вует умножение изображения на s.

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала

сводится к делению изображения на s:

4. Теорема запаздывания. Для любого положительного чис-

ла т

L {х (t— т)> - e~

* L {х (/)} = e-

X (s).

5. Теорема о свертке (теорема умножения изображений).

Если Хх (t) и х

(t) — оригиналы, а Х

(s) и Х

(s) — их изоб-

ражения, то

t t

(s)•

(s)

=====

| х

(т)х

(t —•х)dx = ^ x

(x)x

(t—x)dx.

о о

Интеграл правой части равенства называют сверткой

функций х

(/) и дг

(t) и обозначают х

(t) * х

(t):

t t

(/) * х

(f)

= J х

(т) х

(t—x) dx ~ J

(т) х

(t —т) dx.

о о

6. Теоремы о предельных значениях. Если х (t) — ориги-

нал, а X (s) — его изображение, то х (0) = lim sX (s) и при

s-f-оо

существовании предела х (оо) = lim х (£)

x(oo)=:lirn&X(s).

s->0

7. Теорема разложения. Если функция X (s) = Л (s)/5 (s)

дробно-рациональна, причем степень полинома числителя

меньше степени полинома знаменателя, то ее оригиналом яв-

ляется умноженная на 1 (t) функция

(t)

= У - lim —— [X(s) (s—я*)"* e

<],

fob— 111

где % — корни уравнения В (s) 0, a n

— их кратности

и / — число различных корней. Если все корни уравнения про-

стые, то эта формула разложения принимает вид

(t)= у

где п — степень полинома B(s), В' (s

) = — .

Пример 2.2. Пусть изображение

X (s) - 4 (s + l)/is (s + 2)4.

Согласно принятому обозначению,

Л (s) = 4 (s + 1); В

(s)

= s (s + 2)

; В' (s) = 3s

+ 8s + 4.

Функция X <s) имеет полюсы [корни уравнения В (s) = О] s

= О, s

= —2. Полюс Si является простым, а полюс s

— кратным, имея

кратность п

— 2. Простому полюсу % соответствует слагаемое

В' (Sl)

кратному полюсу s

— слагаемое

е®" = —ев= 1,

* —

Hm ——— [X

(

)

(s—s

)"« e l -

(rt

— 1)!

= Um

- JlfcilL.-]»

(2<

s->—2

ds I s J

Поэтому x (t) =

-f (2t— 1) e*~

4fmm

§ 2.3. Формы записи линейных диффенциальных

уравнений. Передаточные функции

При описании автоматических систем управления широко

используют символическую форму записи линейных диффе-

ренциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения

(2.5). Перепишем его, опустив для сокращения записи знак

Д и оставив в левой части только члены, содержащие выход-

ную переменную и ее производные:

(2-6)

Введем для операции дифференцирования обозначение р,

т. е.

d/dt^p\ d

/dt

Используя его, уравнение (2.6) можно записать в виде

у + а

ру + а

у = Ь

ри + Ь

и + c

f. (2.7)

При записи и преобразовании дифференциальных уравне-

ний оператор (операцию дифференцирования) р можно рас-

сматривать как алгебраический сомножитель, а выражение

ру -^ как произведение, не обладающее свойством коммутатив-

ности: нельзя вместо ру писать ур. Учитывая это замечание,

перепишем (2.7), вынеся у и и за скобки:

(а

+а

р + а

)у = (Ь

р + Ь

) и + cj. (2.8)

Введем обозначения Q (р) ^ а

ci\P

+ ct

, Ri (р)

р + Ь

, /?

(р) — с

. С помощью этих обозначений урав-

нение (2.8) можно записать в более компактной форме: •

Q (Р) У = Ri (р) и + R

(p)f. (2.9)

В уравнении (2.9) Q (р) (дифференциальный оператор при

выходной величине) называют собственным оператором, а

(р)

#2 (р) (дифференциальные операторы при вход-

ных величинах) — операторами воздействия.

Передаточные функции» Отношение оператора воздейст-

вия к собственному оператору называют передаточной функ-

цией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением (2.6) или, что то же самое,

уравнениями (2.7) — (2.9), можно характеризовать двумя пере-

даточными функциями: передаточной функцией W

(р) по

входной величине и, т. е.

(р) = R

(p)/Q (р) - (b

p + b

)/(a

p*+

(2.10)

и передаточной функцией W

(p) по входной величине /, т.е.

(P) = R2 iP)/Q (P) = cJ{a

+ a

p + a

). (2.11)

Используя передаточные функции, уравнение (2.6) записы-

вают в виде

y^W

(p)u+ W

(p)f. (2.12)

Это уравнение представляет собой условную,более компакт-

ную форму записи исходного уравнения (2.6). Уравнения (2.8),

(2.9) и (2.12) называют уравнениями в

символической

или опе-

раторной форме записи.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме ши-

роко используют передаточную функцию в форме изображе-

ний Лапласа.

Передаточной функцией или передаточной функцией в

форме

изображений

Лапласа называют отношение изображения

выходной величины к изображению входной величины при ну-

левых начальных условиях. Если звено (система) имеет не-

сколько входов, то при определении передаточной функции

относительно какой-либо одной входной величины осталь-

ные величины полагают равными нулю.

Пример 2.3. Найдем передаточные функции в форме изображений

Лапласа для звена, описываемого уравнением (2.6),

Перейдем в обеих частях этого уравнения к изображениям Лапласа:

L {аоу+а

у+а

у} =L {b

u+b

u+c

f].

Используя свойства линейности и дифференцирования оригинала

(1-е и 2-е свойства преобразования Лапласа), при нулевых начальных

условиях получим

s* + a

s + а

) Y (s) - {b

s + b

) V (s) + c

F (s), (2.13)

где V (s) - L{y (t)}; V (s) - L {u (/)}; F (s) = L {f (t)}.

Полагая последовательное F (s) = 0 и V (s) = 0 и определяя каж-

дый раз отношение выходной величины к входной, получим

U (s) a

s^~\-a

s + a

(2.14)

F (s) aoS

s + a

Сравнивая выражения (2.10), (2.11) и (2.14), нетрудно за-

метить, что передаточные функции в форме изображений Лап-

ласа и в операторной форме с точностью до обозначений совпа-

дают.

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа

можно получить из передаточной функции в операторной фор-

ме, если в последней сделать подстановку р == s. В общем слу-

чае это следует из того, что дифференцированию оригинала—

символическому умножению оригинала на р — при нуле-

вых начальных условиях соответствует умножение изображе-

ния на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изобра-

жения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее. Оно

имеет место только в случае стационарных звеньев (систем).

Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в

(2.6) зависят от времени, формула (2Л4) неверна.

Используя передаточные функции (2.14), уравнение (2.13)

в изображениях Лапласа можно записать

У (s) = W

(s) U (s) + W

(s) F(s). (2.15)

Это уравнение, как и уравнение (2.13), адекватно исходному

дифференциальному уравнению (2.6) только при нулевых на-

чальных условиях. Если начальные условия не равны нулю,

то уравнениями (2.13) и (2.15) как математическими описания-

ми исходного звена пользоваться нельзя.

Передаточные функции системы наряду с дифференциальны-

ми уравнениями широко используются для описания систем

автоматического управления (САУ). Но при ненулевых на-

чальных условиях они не всегда являются их исчерпывающи-

ми характеристиками. Если собственный оператор и оператор

воздействия системы имеют общие множители (нули), то они

при вычислении передаточной функции сокращаются. И в этом

случае по передаточной функции системы нельзя восстано-

вить ее дифференциальное уравнение и получить описание про-

цессов в ней при произвольных начальных условиях.

Рассмотрим для примера системы, которые описываются уравнени-

ями х — х ~ g — g'

х х — g. Им соответствует передаточная функ

ции

У?

(р) = \/(р + 1). Их решениями при g — t являются соответст-

венно х (0

Qe-* + С

е* + t — 1; х (t) = Сег* + t ~ 1. Эти реше-

ния совпадают только при нулевых начальных условиях. При других

начальных условиях они не совпадают и передаточная функций

W {р) — \/(р + 1) не может служить описанием системы, определяе-

мой первым из приведенных дифференциальных уравнений.

Стандартная форма записи линейных дифференциальных

уравнений. Обычно линейные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами не выше второго порядка за-

писывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие

выходную величину и ее производные, записывают в левой час-

ти уравнения, а все остальные члены — в правой; коэффици-

ент при выходной величине делают равным единице. Если в

правой части содержатся производные, то члены, содержащие

какую-либо одну входную величину и ее производные, объеди-

няют в одну группу и коэффицент при соответствующей вход-

ной величине выносят за скобки.

Уравнение (2.6) в стандартной форме принимает вид

Т1У + Т

у+у = к

(Тъй+и) + к

?, (2.16)

где Т\ = а

/а

; Т

= а

!а

\ k

= Va

;

5=3

W»

В уравнении (2.16) постоянные Т

, Г

и имеют размер-

ность времени и их называют постоянными времени, а коэф-

фициенты ft, и —

передаточными

коэффициентами. Если

исходное уравнение (2.6) не содержит у (а

—

0), то в стандарт-

ной форме коэффициент при производной у должен быть равен

единице: обе части уравнения делят на коэффициент а

В символической форме уравнение (2.16) принимает вид

(Пр

+ Т

р + I) у = k

(Т

р +1) и + k

Напомним, что это уравнение представляет собой услов-

ную запись уравнения (2.16).

§ 2.4. Частотные характеристики

Важное значение при описании линейных стационарных си-

стем (звеньев) имеют частотные характеристики. Они получа-

ются при рассмотрении вынужденных движений системы (зве-

на) при подаче на ее вход гармонического воздействия.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции,

который можно сформулировать следующим образом: реак-

ция системы на несколько одновременно действующих входных

воздействий равна сумме реакций на

каждое воздействие

в от-

дельности. Это позволяет ограничиться изучением систем толь-

ко с одним входом. В общем случае уравнение линейной ста-

ционарной системы с одним входом можно записать так: _

<hP

+ ...

— Фо

+ Ь

+ ... + Ь

)и. (2.17)

Ее передаточная функция по определению

+ . (2.18)

+ агР

п 1

Функцию W (/со), которую получают из передаточной функ-

ции (2.18) при подстановке в нее р = /со:

(/о>)

- bU*r+biU*)

+ .-'-+bm

f (2 Л 9)

«о

</©)*- b aiU<*)

+... +ап

называют частотной передаточной функцией. частотная пере-

даточная функция является комплекснозначной функцией от

действительной переменной со, которая называется частотной.

Функцию W (/со) можно представить в виде

(/со)

U(со)

+ jV

(со)

= Л

(со)

, (2.20)

где

А (со) ]/t/

(со) -f V

(со),

(Ю)

- arg W (/со).

Если | arg

(/со) | < я/2, то

V(co)

(2.21)

Ф (ш)

= arctg

<У(со)

(2.22)

На комплексной плоскости (рис. 2.3) частотная передаточ-

ная функция W

(j&)

определяет вектор ОС, длина которого рав-

на А (со), а аргумент (угол, образованный этим вектором с

действительной положительной полуосью) —

<р

(со). Кривую,

которую описывает конец этого вектора при изменении часто-

ты от 0 до оо (иногда от — оо до оо), называют амплитудно-

фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Частотную передаточную функцию будем называть также

амплитудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную

часть U (со) = Re W

(jco)

и мнимую часть V (со) = lm W (/со)

будем называть соответственно вещественной и мнимой часто-

тной функцией. График вещественной частотной функции [кри-

вая зависимости U = U (со)] называют вещественной частот-

ной характеристикой, а график мнимой частотной функции—

мнимой частотной харак-

теристикой.

Модуль A (to) = | W (/со) j

называют амплитудной час-

тотной функцией, ее гра-

фик — амплитудной частот-

ной характеристикой.

Аргумент

(со)—arg W (/со)

называют фазовой частотной

функцией, ее график — фа-

зовой частотной характери-

стикой.

Кроме перечисленных ча-

стотных характеристик ис- Рис. 2.3

)

и (О»

(

\ f I I и

Х/у^ j 1

1 /

\ 1 /

\с\/

\ V(tD)

пользуют еще логарифмические частотные характеристики

(ЛЧХ) — логарифмические амплитудные частотные характе-

ристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные ха-

рактеристики (ЛФЧХ). Назовем функцию

логарифмической амплитудной частотной функцией. График

зависимости логарифмической амплитудной частотной функции

L (со) от логарифма частоты (lgco) называют логарифмической

амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При по-

строении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в лога-

рифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению

lgco, пишут само значение со, а ие значение lgco, а по оси орди-

нат — L (со). Логарифмической фазовой частотной характе-

ристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой

частотной функции

<р

(со) от логарифма частоты lg со. При его

построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на

отметке, соответствующей значению lgco, пишут значение о„

частоты в ЛЧХ—декада. Декадой называют интервал» на

котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты

в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произво-

льную точку, а не через точку ю = 0. Частоте

со

= 0 соответ-

ствует бесконечно удаленная точка: lg —-оо при со ->0.

Рассмотрим, какой физический смысл имеют частотные ха-

рактеристики и как можно построить их экспериментально.

Найдем математическое описание вынужденного движения

системы при подаче на ее вход гармонического воздействия,

например

и — и

cos cotf. (2.23)

Для этого решим уравнение (2.17), подставив в правую

часть выражение (2.23). Общее решение имеет вид

У (t) = у

(t) + у

(f),

(2.24)

где у

— общее решение однородного уравнения, а у

—

частное решение неоднородного уравнения.

Составляющая у

(t) определяет свободные движения (пе-

реходный процесс). В устойчивых системах она со временем

затухает: у

(t) при t оо. Вынужденное движение опи-

сывается частным решением у

(t). Чтобы найти его, предста-

вим входное воздействие (2.23) с помощью формулы Эйлера в

виде суммы:

f<at г

—

где

е/*>', щ- йв(2.25)

2 2

Используя принцип суперпозиции, решение уравнения (2.17)

можно также представить в виде суммы у = у

+ у

, где —

решение при и = «

, a t/

— решение йри

м-

= Найдем от-

дельно каждое из этих решений. Подставим выражение для

в правую часть уравнения (2.17) вместо и. Так как

ри

= ^ ре'™ - ^ (/<») е** - (/со)

L»«"i I

(2.26)

P*U

^P {РИГ) = Р (/COW

) = (/со)

ЫЦ

(/a>)

«i.

уравнение (2.17) примет вид

(Оо

+ Р*-

+ ... +

On) Ух

[fro

(*»)

Ьг

(/со)'"-

+ + (2.27)

Частное решение последнего уравнения будем искать

в виде

= (2.28)

где А не зависит от времени. При подстановке этого выраже-

ния в (2.27) получим

(/со)" +

U«>}

+ ...+а

]А

==[Ь

(/со)'" +

+Ьг(М

+ .^ + Ь

]и

откуда

л _ (MH+h

(А»)"*""

±..

•

+ь

— — .

Со

(/«)" -f

(М

+ •..

Очевидно, это выражение совпадает с частотной передаточ-

ной функцией (2.19) рассматриваемой системы:

~W (/со) = А (со) е^.

Подставив это выражение в формулу (2.28), получим

(2.29)

Теперь найдем частное решение у

исходного уравнения, под-

ставив вместо и выражение для и

из (2.25). Так как

~ = (-/*>) у е-'™ - (~

/со)

(ри

) = (— /о)

.,/?

(—/о>)

то (2.17) в этом случае

+ -.

On) У*

= (—/®)

+ М — + +

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Уг

~ А

Проделав те же выкладки, что и при нахождении частного

решения у

получим

^W (—/СО) - А

(со) е~/Ф<«»

,у

- Л

(со)

^ Е-Я«*+Ф(®>1. (2.30)

Сложив (2.29) и (2.30) для и у

, найдем математическое

описание вынужденного движения:

у = УХ + УЗ =

Таким образом, при гармоническом

воздействии

в устойчи-

вых системах после окончания переходного процесса, выходная

величина также изменяется по гармоническому закону, «о с

другими амплитудой и фазой. При

этом

отношение амплитуд

выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы — ар-

гументу частотной передаточной функции. Я, следовательно,

амплитудная частотная характеристика показывает изме-

нение отношения амплитуд, с фазовая частотная харак-

теристика—сдвиг

фазы выходной

величины относительно вход-

ной в зависимости от частоты

входного гармонического

воздей-

ствия.

Из приведенной физической интерпретации частотных ха-

рактеристик ясно, как строить их экспериментальным путем.

Для экспериментального построения частотных характерис-