Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

Подождите немного. Документ загружается.

- несмотря на то, что в формуле присутствуют три составляющие обратной

матрицы, храниться эти составляющие могут в единой матрице, так как обратные

диагональные элементы занимают диагональ, а элементы матриц Q и

выше и

ниже диагонали.

- элементы матриц Q и

практически сохраняют разряженность матрицы

коэффициентов, особенно в случаях, когда эти матрицы строятся по алгоритму с

учетом нулевых проводимостей схем замещения, поэтому такое представление

обратной матрицы позволяет использовать особенности матрицы коэффициентов

в решении электротехнических задач.

- несмотря на то, что обратная матрица хранится в виде составляющих, и

перед каждым умножением этих составляющих на матрицу правых частей

для

получения решения необходимо выполнить большее число операций умножения,

чем при перемножении BA и

, с учетом особенностей матрицы коэффициентов

в электротехнических задачах этот алгоритм оказывается более эффективным,

чем метод Гаусса без обратного хода и метод перестановки столбцов. По своей

эффективности он приближается к применению метода Гаусса для решения сис-

тем уравнений.

Проиллюстрируем метод факторизации на примере матрицы третьего по-

рядка.

Пусть имеется матрица

53033020

330580250

20250451

,,,

A ,

для которой нужно найти обратную. Рассчитаем коэффициенты преобразований

для обнуления элементов ниже главной диагонали в первом столбце:

()

138,0

45,1

2,0

;172,0

45,1

25,0

=-=

= ll .

В соответствии с описанной выше методикой составим матрицу

(

)

()

10138,0

01172,0

001

L .

Умножив слева матрицу

на

(

)

получим:

() ()

503,0364,00

364,0537,00

2,025,045,1

53,033,02,0

33,058,025,0

2,025,045,1

10138,0

01172,0

001

=×= АLА

Выполняя аналогичные операции для обнуления элемента второго столбца ниже

главной диагонали, получим:

()

168,00

010

001

L ;

() ( ) ()

255,000

364,0537,00

2,025,045,1

503,0364,00

364,0537,00

2,025,045,1

168,00

010

001

122

== ALA

Вычислим результирующую нижнюю треугольную матрицу:

( ) ()

168,0255,0

01172,0

001

10138,0

01172,0

001

168,00

010

001

LLL .

Для удобства переобозначим матрицу

(

)

() ()

254,000

365,0537,00

2,025,045,1

АH .

Далее вычисляем:

()

100

43,110

78,001

Q ;

() () ()

;

255,000

0537,00

025,045,1

255,000

364,0537,00

2,025,045,1

100

46,110

79,001

221

== HQH

() ()

255,000

0537,00

0045,1

255,000

0537,00

025,045,1

100

010

0466,01

== HQH

Вычислим результирующую верхнюю треугольную матрицу:

() ()

100

43,110

45,1466,01

100

43,110

78,001

100

010

0466,01

QQQ .

Обратную матрицу вычислим в соответствии с (4.14):

LQHA ××=

-- 11

92,300

66,286,10

132,069,0

100

43,110

45,1466,01

92,300

0862,10

0069,0

QH ,

92,366,21

66,267,31

111

168,0255,0

01172,0

001

92,300

66,286,10

132,069,0

QLНА .

4.5. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Под итерационными понимают методы решения, которые состоят в после-

довательном приближении к правильному решению (последовательное уточнение

решения).

Суть метода состоит в том, что сначала задаются некоторым приближен-

ным значением, либо ориентировочно, либо пользуясь некоторыми специальными

соображениями. Затем это решение уточняется до тех пор, пока результаты не бу-

дут удовлетворять расчетчика.

Критерием оценки является заданная точность решения. Как правило, она

оценивает разность между решениями на двух соседних итерациях. Если все пе-

ременные уравнений при сравнении удовлетворяют точности, то решение счита-

ется достигнутым, и процесс решения прекращается. Если точность не удовлетво-

ряется хотя бы для одной переменной, то решение продолжается.

Достоинством итерационных методов является то, что они просты, позво-

ляют легко рационализировать память ЭВМ, так как практически работают с

уравнениями, форма которых не изменяется в процессе решения. Это достоинство

было очень важно на начальной стадии развития вычислительной техники, когда

оперативная память ЭВМ была очень мала, а решения требовали задачи большого

объема. Но даже для современных ЭВМ, когда речь идет о реализации программ-

ных комплексов на несколько тысяч узлов, эти методы продолжают оставаться

достаточно эффективными.

Недостатком этих методов является то, что при плохой обусловленности

матрицы коэффициентов

системы уравнений число итераций, которое необхо-

димо для получения решения, может быть очень большим, так что время расчета

становится неприемлемым, а в некоторых случаях решение в принципе не может

быть получено либо по причине неверного задания информации, либо по причине

задания физически неосуществимой задачи.

В некоторых случаях плохая сходимость итерационных методов может быть

использована в качестве критерия приближения системы к аварийным (предель-

ным) режимам, например, для определения возможности передачи больших мощ-

ностей по линии электропередачи. При анализе статической устойчивости энерго-

системы плохая сходимость свидетельствует о том, что система близка к пределу

по устойчивости работы.

Наиболее часто применяются метод простой итерации и метод Зейделя.

4.5.1. Метод простой итерации

Решение линейных алгебраических уравнений методом простой итерации

выполняют по следующему алгоритму.

1. В исходной системе уравнений

nnnnnn

bхахаха

=+++

2211

22222121

11212111

разрешают уравнения относительно соответствующих неизвестных

( )

112211

23232212

12121

----=

---=

nnnnnn

xaxaxab

xaxab

(4.15)

Если в уравнении отсутствует соответствующее неизвестное

(

)

а , то предва-

рительно уравнения нужно переставить.

2. Задаются требуемой точностью решения

3. Задаются начальными (нулевыми) приближениями

(

)

nix

,1,

= .

4. Подставляют начальные приближения в правые части уравнений (4.15) и

определяют следующие приближения неизвестных

(

)

nix

,1,

= .

Подстановкой полученных значений

(

)

x находится следующее приближение и

т.д.

Таким образом, на

том шаге итерационного процесса можно записать:

() ()

()

(

)

() () ()

()

( )

()

() ()

()

( )

;

212

121

----=

---=

kkk

xaxaxab

xaxab

(4.16)

5. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения

x , по-

лученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую

заданной погрешности решения

, т.е. до выполнения условия

(

)

.,,1,

nixx

K=<-

(4.17)

Для выполнения условия (4.17) при любой заданной точности решения, т.е. при

любом сколь угодно малом значении

, необходимо, чтобы

(

)

,,,1,lim

nixx

¥®

(4.18)

где -

x точные решения исходной системы уравнений.

При выполнении (4.18) для произвольного начального приближения

(

)

nix

,1,

= итерационный процесс называется сходящимся. В противном слу-

чае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.

На практике обычно используют достаточные условия сходимости, форми-

рующиеся непосредственно через элементы матрицы коэффициентов исходной

системы уравнений:

aa <

. (4.19)

Следует отметить, что невыполнение достаточных условий не означает обя-

зательной расходимости итерационного процесса.

Скорость решения зависит от обусловленности матрицы А и для различных

задач может быть различной. Для расчета установившихся режимов, чем ближе

напряжение в реальной сети к номинальному, тем быстрее сходится процесс. Если

сеть работает с большими перегрузками, с большими потоками по линиям, с

большими отклонениями напряжений в узлах, то сходимость итерационного про-

цесса ухудшается.

Быстрота сходимости оценивается числом итераций, которое необходимо

для решения задачи. Это число зависит от задаваемой точности. Чем выше тре-

буемая точность решения, тем большее количество итераций может потребоваться

для получения решения.

Проиллюстрируем метод простой итерации на примере решения системы

уравнений узловых напряжений:

UUUU

52055

510

4321

-+--

DDDD

Достаточные условия для сходимости для этой системы не выполняются,

поскольку в четвертом уравнении ненулевой недиагональный элемент по абсо-

лютной величине равен диагональному.

Преобразуем исходную систему к виду:

(

)

(

)

() ()

() () () ()

() ()

.U,U

;U,U,U,,U

;U,,U

iiii

250250250030

50080

50060

+++-=

+-=

Результаты расчетов по итерациям при начальных приближениях

(

)

(

)

(

)

(

)

====

DDDD

UUUU приведены ниже:

Таблица 4.3

Номер

итерации

(

)

(

)

(

)

(

)

-0,06000

-0,07500

-0,06750

-0,07500

-0,07125

-0,07500

-0,08000

-0,09500

-0,08750

-0,09500

-0,91250

-0,09500

-0,03000

-0,01500

-0,03000

-0,02250

-0,03000

-0,02625

-0,03000

0,20000

0,17000

0,18500

0,17000

0,17750

0,17000

0,17001

0,17000

Таким образом, итерационный процесс сошелся за 26 итераций.

Для иллюстрации возможности расходимости итерационного процесса дос-

таточно поменять местами третье и четвертое уравнения исходной системы:

4321

52055

510

DDDD

-+--

UUUU

Поскольку для полученной системы не выполняются достаточные условия

сходимости, то можно ожидать, что итерационный процесс будет расходящимся.

Чтобы убедиться в этом, проведем соответствующие вычисления по выражениям:

(

)

(

)

() ()

() () () ()

.U,UU,U

;U,U

;U,,U

iiii

40120

200

50080

50060

+--+=

+-=

В результате расчетов по итерациям при нулевых значениях начальных

приближений

представлены ниже:

Таблица 4.4

Номер

итерации

(

)

(

)

(

)

(

)

-0,06000

-0,16000

-0,10000

-0,43000

-0,09000

-1,47000

+0,22000

-5,64000

-0,08000

-0,18000

-0,12000

-0,45000

-0,11000

-1,49000

+0,20000

-5,66000

-0,20000

-0,08000

-0,74000

-0,06000

-2,82000

+0,56000

-11,16000

+5,12000

+0,12000

- 0,54000

+0,14000

- 2,62000

+0,76000

-10,96000

+5,32000

-44,94000

Из полученных результатов следует, что итерационный процесс расходится,

т.е. решить рассматриваемую систему уравнений в представленном виде методом

простой итерации невозможно.

4.5.2. Метод Зейделя

При незначительной модификации метод простой итерации позволяет в зна-

чительной степени ускорить получение решения. Основное отличие метода Зей-

деля от метода простой итерации состоит в том, что при каждой последующей

итерации для подстановки используются не только результаты предыдущей ите-

рации, но и результаты текущей итерации, то есть во второе уравнение подставля-

ется значение первого неизвестного, полученного на первом шаге итерации, а в

третье уравнение подставляются значения неизвестных

x и

x , полученные при

решении первого и второго уравнений. Ход решения аналогичен методу простой

итерации.

Разрешают систему уравнений относительно неизвестных, но решение для

итерационного процесса записывают в виде:

(

)

(

)

()

(

)

() () ()

()

( )

()

() () ()

()

( )

()

()()

()

( )( )

()

( )

()

( )

;

111

313

212

121

nnn

kkkk

kkk

xaxab

xaxaxab

xaxaxaxab

xaxaxab

xaxab

----

---=

-----=

----=

---=

(4.20)

Метод Зейделя благодаря хорошей сходимости является основой для мно-

гих промышленных программ. Особенно часто он использовался на ранней стадии

применения вычислительной техники в энергетике, так как позволял получить с

приемлемой скоростью решение задач большого объема при экономном исполь-

зовании памяти ЭВМ.

Достаточные условия сходимости метода простой итерации являются доста-

точными и для метода Зейделя. Если эти условия выполняются, то процесс по ме-

тоду Зейделя сходится, причем быстрее, чем по методу простой итерации, т.е. при

одинаковых начальных приближениях неизвестных и одинаковой заданной точно-

сти решение по методу Зейделя получается за меньшее число итераций. Опыт ре-

шения линейных уравнений состояния электрической системы показывает, что и в

тех случаях, когда достаточные условия сходимости не выполняются, метод Зей-

деля обычно характеризуется более быстрой сходимостью по сравнению с мето-

дом простой итерации.

Отметим, что метод Зейделя и метод простой итерации не всегда обеспечи-

вают возможность получения решения, поскольку расходимость соответствующих

итерационных процессов не исключена. При этом условия сходимости (или рас-

ходимости) определяются только свойствами матрицы А и не зависят ни от на-

чального приближения, ни от столбца правых частей b. Последние два фактора

влияют лишь на количество итераций, необходимых для получения решения с за-

данной точностью. Как было показано, даже порядок нумерации уравнений, т.е.

перестановка строк матрицы А, может привести к нарушению необходимых и

достаточных условий сходимости.

При использовании метода Зейделя с помощью простого эквивалентного

преобразования исходной системы уравнений (т.е. преобразования, не изменяю-

щего ее решения) можно обеспечить сходимость итерационного процесса. Из-

вестно, что при положительно-определенной матрице А итерационный процесс по

методу Зейделя всегда сходится. Следовательно, если матрица А – положительно-

определенная, то сходимость гарантируется; если нет, то исходную систему мож-

но привести к эквивалентной с положительно-определенной матрицей коэффици-

ентов путем умножения слева на транспонированную матрицу

, т.е. путем пере-

хода от системы

Аx

к системе

bAAxA

(4.21)

или

где

AAA

; bAb

Если исходная система имеет решение, т.е. если

- неособенная, то матри-

ца

положительно- определенная, и итерационный процесс по методу Зейделя

сходится к решению.

Проиллюстрируем метод Зейделя на примере рассмотренной выше системы

уравнений

4321

52055

510

DDDD

-+--

UUUU

Преобразуем исходную систему к виду:

(

)

(

)

() ()

() () () ()

() ()

.U,U

;U,U,U,,U

;U,,U

iiii

4213

250250250030

50080

50060

DDDD

+++-=

+-=

Результаты расчетов по итерациям при начальных приближениях

(

)

(

)

(

)

(

)

====

DDDD

UUUU приведены ниже:

Таблица 4.5

Номер

итерации

(

)

(

)

(

)

(

)

-0,06000

-0,09250

-0,08375

-0,07938

-0,07719

-0,07501

-0,07500

-0,08000

-0,11250

-0,10375

-0,09938

-0,09719

-0,09501

-0,09500

-0,06500

-0,04750

-0,03875

-0,03438

-0,03219

-0,03001

-0,03000

0,13500

0,15250

0,16125

0,16562

0,16781

0,16999

0,17000

Как следует из данных, итерационный процесс сошелся к решению с точно-

стью до пяти знаков после запятой (

1050

×=e , ) за 14 итераций. При уменьшении

требуемой точности до четырех и трех знаков после запятой необходимое число

итераций составило соответственно 11 и 8. Таким образом, метод Зейделя в дан-

ном случае сходится примерно вдвое быстрее, чем метод простой итерации.

Если поменять местами третье и четвертое уравнения исходной системы, то

получим систему, для которой достаточные условия сходимости не выполняются:

(

)

(

)

() ()

() () () ()

.UUU,U

;U,U

;U,,U

iiii

4120

50080

50060

+--+=

+-=

Результаты расчетов по итерациям при нулевых значениях начальных при-

ближений

приведены ниже:

Таблица 4.6

Номер

итерации

(

)

(

)

(

)

(

)

-0,06000

-0,16000

-0,43000

-1,41000

-5,06000

-0,08000

-0,18000

-0,45000

-1,43000

-5,08000

-0,20000

-0,74000

-2,70000

-10,00000

-37,24000

-0,54000

-2,50000

-9,80000

-37,04000

-138,70000

Как следует из данных, итерационный процесс быстро расходится.

Для иллюстрации возможности обеспечения условий сходимости по методу

Зейделя поменяем местами в исходной системе уравнений третье и четвертое

уравнения и запишем ее в матричном виде:

---

52055

5500

05100

05010

При этом нарушатся и достаточные условия сходимости как метода простой

итерации, так и метода Зейделя, что было проиллюстрировано расходящимися

итерационными процессами.

Для обеспечения сходимости итерационного процесса по методу Зейделя

приведем эту систему к виду с положительно-определенной матрицей коэффици-

ентов, умножив обе части системы слева на матрицу коэффициентов: