Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

Подождите немного. Документ загружается.

требуют значительных вычислительных затрат, особенно для ЭЭС большой слож-

ности.

В связи с отмеченными обстоятельствами большинство задач, требующих

анализа установившихся режимов ЭЭС в процессе их проектирования, эксплуата-

ции или управления, решаются с помощью цифровой вычислительной техники

(ЭВМ, компьютеров). Ее основными достоинствами по сравнению с аналоговой

являются: большое удобство представления вводимой и выводимой информации;

большой объем решаемых задач; высокая скорость получения решения. В на-

стоящее время для решения многих задач, в том числе и для расчета установив-

шихся режимов, разработаны удовлетворительный математический аппарат и

программное обеспечение, позволяющие с помощью ЭВМ получать результаты

расчетов с заданной точностью и скоростью решения.

Процедура создания специализированного математического и сервисного

обеспечения решения задач с помощью ЭВМ включает в себя ряд этапов:

- постановку задачи (анализ исходных данных, математических закономер-

ностей их изменения и т.д.) и построение математической модели;

- разработку алгоритма решения задачи (алгоритмизацию);

- запись алгоритма на языке программирования;

- решение задачи с помощью ЭВМ;

- анализ полученных результатов.

Рассмотрим более подробно перечисленные этапы.

Постановка задачи – одна из самых квалифицированных и ответственных

частей решения задачи на ЭВМ. Она представляет собой определение независи-

мых и зависимых переменных в исследуемой задаче, определение математических

закономерностей, которые связывают эти переменные, границ изменения этих пе-

ременных и оценку возможных результатов.

Решение практической задачи начинается с описания исходных данных и

целей задачи на языке строго определенных математических понятий. Точная

формулировка условий и целей решения – это математическая постановка задачи.

Выделение наиболее существенных свойств реального объекта, описание их

с помощью математических соотношений – это этап построения математической

модели.

Построение математической модели является наиболее сложным и ответст-

венным этапом решения задачи. Она может иметь вид уравнения или системы

уравнений; может быть выражена в форме иных сколько угодно сложных матема-

тических структур или соотношений самой различной природы. Она может быть

непрерывной или дискретной, в зависимости от того, какими величинами она опи-

сана – непрерывными или дискретными. Однако, если выбранная математическая

модель слишком грубо отражает взаимосвязи изучаемого явления, то, какие бы

методы решения вслед за этим не применялись, найденные значения не будут от-

вечать условиям реальной задачи и окажутся бесполезными.

Таким образом, на этом этапе производится запись математических выра-

жений, описывающих каждое из явлений решаемой задачи, и создается единый

математический комплекс для всей задачи в целом в виде систем уравнений, в

общем случае, алгебраических, дифференциальных, интегральных и так далее с

привлечением методов дискретной математики или методов теории вероятностей.

В рамках построенной математической модели, осуществляется поиск мето-

да решения задачи и разрабатывается алгоритм ее решения. Этот этап называется

алгоритмизацией. Здесь используют любые формы представления алгоритма: сло-

весное описание, математические формулы, блок-схемы. В процессе записи алго-

ритма обязательно рассматриваются способ получения решения той задачи, кото-

рая ставится; возможность реализации выбранного метода решения в виде после-

довательного перечня операций, приводящих к решению; возможность получения

в ходе решения результатов с приемлемыми точностью и скоростью решения.

На следующем этапе алгоритм решения задачи записывают на языке про-

граммирования, позволяющем реализовать ее решение с помощью ЭВМ. В про-

стейшем случае может оказаться, что на этом этапе вовсе не составляется новая

программа для ЭВМ, а дело сводится, например, к использованию структурного

математического обеспечения ЭВМ. При записи новых сложных программ важное

место занимает процесс их отладки, проверки правильности реализации алгорит-

ма с помощью выбранного языка. При этом, чем больше выбранный язык адапти-

рован к характеру решаемой задачи и чем выше квалификация программиста, тем

быстрее идут процессы реализации алгоритма и окончательной отладки програм-

мы.

Эффективность решения задачи с помощью ЭВМ оценивается временем по-

лучения решения с заданной точностью и возможным объемом решаемой задачи.

Время решения зависит от степени соответствия математической модели описы-

ваемому явлению, от эффективности вычислительных методов, заложенных в ал-

горитм, наконец, от быстродействия самой вычислительной техники. Объем ре-

шаемой задачи определяется как особенностями применяемой математической

модели и алгоритма решения, так и оперативными характеристиками ЭВМ (на-

пример, объемом оперативной памяти).

Завершающий этап решения задачи – анализ результатов. Здесь происходит

осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами кон-

трольного просчета, а также данными, полученными экспериментальным путем,

если таковые имеются. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми,

а другие – противоречащими смыслу реальной задачи. На этом этапе важно пра-

вильно оценить, соответствуют ли результаты физическому явлению, которое рас-

сматривается, и, если соответствуют, то какова их погрешность. Погрешность в

общем случае складывается из погрешности, вносимой неточностью задания ис-

ходных данных, погрешности математической модели, погрешности, заложенной

в алгоритме решения задачи и погрешности округления числовых величин ЭВМ

из-за ограниченного числа разрядов. При этом в некоторых случаях суммарная

погрешность может быть столь велика, что результаты расчетов могут быть не-

приемлемыми для использования.

Следует иметь в виду, что в некоторых случаях более точные математиче-

ские модели, учитывающие большее число факторов и более тонко отображаю-

щие физические зависимости рассматриваемых явлений, могут быть более чувст-

вительными к погрешностям исходных данных, чем более грубые. Поэтому важ-

но, чтобы выбираемый метод математического моделирования и метод численно-

го решения поставленной задачи были рассчитаны на введение таких данных, ко-

торые можно реально получить с нужной достоверностью. В противном случае,

целесообразно видоизменить метод получения количественных результатов, быть

может “загрубить” его и упростить с тем, чтобы затраты труда, связанные с при-

менением методов высокой точности, не оказались неоправданными.

1.3. Общие сведения о схемах замещения

Анализ режимов работы ЭЭС требует расчетов их параметров: напряжений

в узловых точках, токов и мощностей в элементах и др. Для выполнения таких

расчетов реальным ЭЭС обычно ставятся в соответствие так называемые схемы

замещения, представляющие собой совокупность схем замещения отдельных эле-

ментов ЭЭС, соединенных между собой в той же последовательности, что и в рас-

сматриваемых ЭЭС. По сути, схемы замещения – это электротехнические модели

ЭЭС, отражающие физическую сущность происходящих в них электрических и

магнитных процессов с помощью комплекса известных электротехнических эле-

ментов – источников напряжения, источников тока, сопротивлений, проводимо-

стей. На основании схем замещения ЭЭС создаются их математические модели,

которые реализуются, как правило, с использованием известных законов и мето-

дов электротехники: закона Ома, законов Кирхгофа, уравнений узловых потен-

циалов, уравнений контурных токов, метода наложения и др.

С целью облегчения расчетов режимов ЭЭС при составлении их схем заме-

щения и, соответственно, математических моделей могут вводиться некоторые

упрощающие допущения. Например, при составлении схем замещения ЭЭС для

расчета их рабочих установившихся режимов вводятся следующие допущения:

- считается, что трехфазные ЭЭС обладают циклической симметрией, т.е.

считается, что параметры пассивных их элементов (сопротивлений, проводимо-

стей) во всех трех фазах равны, а активных (ЭДС, источников токов) – равны по

величине и сдвинуты по фазе на 120°; при таких условиях трехфазные ЭЭС могут

рассматриваться на основании однофазных схем замещения, что в значительной

степени сокращает размерность решаемых задач;

- принимается, что параметры пассивных элементов ЭЭС являются посто-

янными по величине и не зависят от рассчитываемых параметров режима (напря-

жений, токов); это дает возможность считать, что коэффициенты при неизвестных

систем алгебраических уравнений, отражающих состояние ЭЭС, будут постоян-

ными и нелинейность уравнений может быть возможной только в связи с учетом

параметров активных элементов (ЭДС, источников тока), т.е. в связи с зависимо-

стью от параметров режима правых частей уравнений; в последнем случае реше-

ние уравнений осуществляется только с помощью применения итерационных ме-

тодов;

- считается, что в ЭЭС режимы токов и напряжений отвечают чисто сину-

соидальным законам изменения с частотой f = 50 Гц, т.е. какие-либо гармоники в

этих кривых отсутствуют; это также упрощает математическое описание рассчи-

тываемых процессов.

Важное место при составлении схем замещения занимает процедура исклю-

чения из схем трансформаторных связей – приведение схем замещения к одному

напряжению

. Эта процедура позволяет исключить из схем магнитные связи,

преобразовать их в чисто электрические цепи, что также в дальнейшем упрощает

создание математических моделей.

В расчетах параметров установившихся режимов источники электроэнергии

ЭЭС в схемах замещения могут быть представлены либо в виде источников на-

пряжения с ЭДС

Е и внутренним сопротивлением z (рис.1.3, а), либо в виде ис-

точников тока

I (рис.1.3, б). Последние чаще всего отображаются так называе-

мыми задающими токами (рис.1.3, в).

Рис.1.3

Нагрузки (потребители электроэнергии) имеют схемы замещения либо в ви-

де сопротивлений

z (рис.1.4, а), либо так же, как и источники питания, в виде ис-

точников тока и задающих токов (рис.1.4, б, в).

Рис.1.4

Величины токов источников тока и задающих токов, отображающих в схе-

мах замещения источники питания ЭЭС, принимаются равными значениям токов

Порядок расчета схем замещения и приведение их к одному напряжению рассмотрены в

разделе 6 данного пособия.

и.п.

нг

этих источников в предполагаемом установившемся режиме. Величины токов ис-

точников тока и задающих токов, отображающих нагрузки, принимаются с обрат-

ным знаком по отношению к токам нагрузки в предполагаемом режиме.

Линии электропередачи, трансформаторы подстанций и электростанций

представляются в схемах замещения ЭЭС в виде сопротивлений, причем схемы

замещения трансформаторов могут быть объединены со схемами замещения соот-

ветствующих источников питания, нагрузок и линий электропередачи.

Один из вариантов схемы замещения электрической системы, изображенной

на рис.1.2, в котором электростанции представлены источниками напряжения, а

подстанции (трансформаторы и нагрузки) – сопротивлениями, показан на

рис.1.5,а. Другой вариант схемы замещения рассматриваемой системы, где как

электростанции, так и нагрузки подстанций представлены задающими токами, по-

казан на рис.1.5,б. Выбор того или иного варианта схемы замещения определяется

целями расчета, исходными данными и методикой расчета.

Поскольку схемы замещения ЭЭС, используемые для расчетов установив-

шихся режимов, представляют собой электрические цепи, то к ним применимы

такие понятия, характеризующие электрические цепи, как ветвь, узел и контур.

Как известно, ветвью называется участок цепи, который состоит из последова-

тельно соединенных ЭДС и сопротивления (либо только сопротивления), вдоль

которого в любой заданный момент времени ток имеет одно и то же значение.

Узел определяется как точка соединения двух или более ветвей, а контур – как

участок цепи, образованный таким последовательным соединением нескольких

ветвей, при котором начало первой ветви контура соединено с концом последней

в одном узле.

Схема замещения на рис.1.5,а содержит двадцать восемь ветвей и восемна-

дцать узлов: 1 – 17 и узел нейтрали (земли), имеющий нулевой потенциал. Ветви,

связанные с узлом нейтрали (ветви источников питания и нагрузок), называются

поперечными; остальные ветви – продольными.

Схема замещения, показанная на рис.1.5,б, в которой источники питания и

нагрузки представлены задающими токами, содержит только семнадцать про-

дольных ветвей и семнадцать узлов, что определяется отсутствием узла нейтрали.

Обе рассматриваемые схемы содержат контуры, образуемые, например, линиями

5, 6, 8 (сопротивления

z ,

z ) и поэтому называются замкнутыми; при от-

сутствии контуров схема замещения называется разомкнутой.

Рис.1.5. Варианты схем замещения системы рис.1.2.

а)

ГЭС

ТЭЦ-5

ТЭЦ-3

НГ1

АЭС

СК

а)

ГЭС

ТЭЦ-5

ТЭЦ-3

НГ1

НГ4

ТЭЦ-4

НГ3

НГ2

АЭС

ГЭС

СК

НГ1

АЭС

ТЭЦ-5

ТЭЦ-3

НГ4

ТЭЦ-4

НГ3

НГ2

б)

1.4. Система обозначений

Как известно, режим линейной электрической цепи, каковой и является схе-

ма замещения ЭЭС для расчета установившегося режима, полностью описывается

уравнениями законов Ома и Кирхгофа. Однако для записи этих уравнений долж-

ны быть приняты определенные обозначения. Остановимся кратко на используе-

мой далее системе обозначений.

Закон Ома устанавливает взаимосвязь параметров каждой из ветвей цепи.

Будем считать, что положительные направления параметров режима некоторой

той

ветви приняты от ее условного начала

к условному концу

(рис.1.6).

Рис.1.6 Положительные направления параметров режима ветви

Тогда для ветви, характеризующейся сопротивлением

вi

z , действующей в ней

ЭДС

вi

Е и протекающим по ней током

вi

I , разность потенциалов между ее кон-

цами

вi

U ( падение напряжения на ветви) в соответствии с законом Ома будет оп-

ределяться уравнением:

вiвiвi

вi

EIzU

(1.1)

В общем случае между отдельными ветвями цепи

могут существо-

вать также взаимные сопротивления

z и

z , обусловленные, например, взаим-

ной индуктивностью (рис.1.7).

Рис.1.7 Ветви с взаимоиндуктивной связью.

Эти сопротивления характеризуют отношения величин ЭДС взаимоиндукции

вi

вj

, наведенных в ветвях

, к величинам наводящих их токов

вj

вi

I , протекающих соответственно в ветвях

вi

вj

вi

= ;

вi

вj

= .

В цепях, обладающих свойствами взаимности, величины взаимных сопро-

тивлений

z и

z не зависят от очередности записи индексов:

z =

z , (1.2)

поэтому, в предположении, что ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции в ветвях

совпадают по направлению, связь между параметрами режимов ветвей

может быть определена следующими уравнениями:

вiвjijвiii

вi

EIzIzU

; (1.3)

вjвiijвjjj

вj

EIzIzU

; (1.4)

где

z и

z - собственные сопротивления ветвей;

z - их взаимное сопротивление.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в каждом узле электри-

ческой цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в

узле равна нулю. Принимая в качестве положительного направления для токов,

связанных с произвольным узлом, направление от узла (рис.1.8), уравнение перво-

го закона Кирхгофа получим в виде:

увi

0, (1.5)

где

- число ветвей, связанных в узле;

I - источник тока, включенный в узел.

Рис.1.8 Положительные направления токов в узле.

Второй закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в замкнутых кон-

турах электрической цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая

сумма падений напряжения на ветвях замкнутого контура равна нулю. Для произ-

вольного контура, содержащего

ветвей (рис.1.9), уравнение второго закона

Кирхгофа запишется в виде:

вi

0 . (1.6)

Обычно при составлении уравнений (1.6) падения напряжений ветвей, сов-

падающие с направлениям обхода контура учитываются в алгебраической сумме с

положительными знаками, а несовпадающие – с отрицательными.

Рис.1.9 Положительные направления напряжений в замкнутом контуре

Несмотря на то, что расчеты установившихся режимов работы трехфазных

ЭЭС чаще всего выполняются с помощью схем замещения, составленных для од-

ной фазы, характеристику этих режимов принято осуществлять с помощью пара-

метров режимов, свойственных трехфазным системам: комплексными величинами

токов

I ,

I и

I (рис.1.10), фазных напряжений -

U ,

U , определенных

относительно нейтрали или земли, междуфазных (линейных) напряжений -

АВ

U ,

ВС

U и

СА

U .

Чаще всего однофазные схемы замещения составляются и рассчитываются

для фазы А ЭЭС (рис.1.10, б), т. к. для трехфазной системы, обладающей цикли-

ческой симметрией, при известных комплексах параметров режима фазы А пара-

метры фаз В и С легко определяются с помощью коррекции фазовых углов векто-

ров, отвечающих фазе А (рис.1.10, в).

Рис.1.10 Пояснение к системе обозначения параметров режима трехфазной

системы: а, б – трехфазная и однофазная схемы замещения; в – векторная диа-

грамма напряжений трехфазной симметричной системы.

Векторы междуфазных

U и фазных

U напряжений трехфазной системы

связаны соотношениями (рис.1.10, в):

;UUU

АССА

СВВС

ВААВ

а для модулей этих величин получим:

UU 3= (1.7)

Напомним, что номинальные напряжения электрических сетей – это между-

фазные напряжения.

Комплексные сопротивления элементов схем замещения ЭЭС будем пред-

ставлять в виде суммы активной

и реактивной

их составляющих:

вi

jxrz

, (1.8)

где

- применяется со знаком плюс для индуктивных элементов и со знаком ми-

нус – для емкостных.

Проводимости элементов будем представлять как:

jвgY

, (1.9)

где

также применяется со знаком плюс для индуктивных элементов и со знаком

минус – для емкостных.

= 0

фА

BС

фВ

фС

в)

б)

АВ