Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

131

МZ М× ×=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

×

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

- - -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

-

в t

1

0 05 0 0 0 13

0 05 0 06 0 08 0

0 0 0080

0 0060 0

1 100

010 1

0 1 10

1000

0 18 0050 0

0 05 0 19 0 08 0 06

0 0 08 0 08 0

0 0060 0 06

, ,

, , ,

,

, ,

, , , ,

, ,

=

,

Y

У

=

-

- - -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

0 18 0050 0

0 05 0 19 0 08 0 06

0 0 08 0 08 0

0 0060 0 06

, ,

, , , ,

, ,

;

I

У

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

116

132

82

99

А

.

Следует отметить, что матрица Y

У

- симметричная относительно главной

диагонали. Решение уравнения можно записать в виде:

U Y

D

= ×

-

У У

1

I .

Матрицу Y

У

-1

найдем по методу Гаусса без обратного хода. Для этого поста-

вим в соответствие исходной матрице Y

У

единичную матрицу и будем выполнять

операции по методу Гаусса одновременно с обеими матрицами.

0 18 0050 0

0 05 0 19 0 08 0 06

0 0 08 0 08 0

0 0060 0 06

1000

0100

0010

0001

, ,

, , , ,

, ,

;

-

- - -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Найдем коэффициент

т

1

0 18

()

,

= . Умножим на него первую строку:

1 0 278 0 0

0 05 0 19 008 006

0 0 08 0 08 0

0 0 06 0 0 06

556000

0 100

0 010

0 001

-

- - -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

,

, , , ,

, ,

;

,

.

Затем найдем

т

2

1

0 05

1

0 05

()

,

,=- =- . Умножим на т

2

1()

первую строку и вычтем

результат из второй:

1 0 278 0 0

0 0 176 0 08 0 06

0 008 008 0

0 0 06 0 0 06

556 000

0278100

0 010

0 001

-

- -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

,

, , ,

, ,

;

,

.

Поскольку все элементы первого столбца ниже диагонального равны нулю,

перейдем к циклу преобразования элементов второго столбца.

Найдем

т

2

1

0 176

5 682

()

,

,= = . Умножим на т

2

2()

вторую строку:

132

1 0 278 0 0

0 1 0 455 0 341

0 0 08 0 08 0

0 0 06 0 0 06

556000

158568200

0 0 10

0 0 01

-

- -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

,

, ,

;

,

, ,

.

Далее найдем

т т т

1

2

3

2

4

2

0 278

1

0 278 0 08 0 06

() () ()

,

,; ,; ,=- =- =- =- .

Умножим поочередно на т

1

2()

,т

3

2()

и т

4

2()

вторую строку и вычтем результаты

соответственно из первой, третьей и четвертой строк:

1 0 0 126 0 095

0 1 0 455 0 341

0 0 0 0436 0 0273

0 0 0 0273 0 0395

6 158 00

1 58 5 682 0 0

0 126 0 455 1 0

0 0948 0 341 0 1

-

- -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

, ,

;

,

, ,

.

Аналогично поступим с элементами третьего и четвертого столбцов.

Найдем

т

3

1

0 0436

22 94

()

,

,.= = Умножим на т

3

3()

третью строку:

1 0 0 126 0 095

0 1 0 455 0 341

00 1 0 626

0 0 0 0273 0 0395

6 1 58 00

1 58 5 682 0 0

2 89 10 44 22 94 0

0 0948 0 341 0 1

-

- -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

, ,

,

, ,

;

,

, ,

, , ,

, ,

.

Найдем т т т

1

3

2

3

4

3

0 126 0 455 0 0273

() () ()

,; ,; , .=- =- =-

Умножим поочередно на т т т

1

3

2

3

4

3() () ()

, , третью строку и результаты вычтем

соответственно из первой, второй и четвертой строк:

1 0 0 0 174

0 1 0 0 626

0 0 1 0 626

0 0 0 0 0224

6 364 2 895 2 89 0

2 895 10 43 10 44 0

2 89 10 44 22 94 0

0 174 0 626 0 626 1

,,

,

;

, , ,

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Найдем

т

4

1

0 0224

44 64

()

,

,= = и умножим на т

4

4()

четвертую строку:

1 0 0 0 174

0 1 0 0 626

0 0 1 0 626

000 1

6 364 2 895 2 89 0

2 895 10 43 10 44 0

2 89 10 44 22 94 0

7 768 27 946 27 946 44 64

,,

,

;

, , ,

, , , ,

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Найдем т т т

1

4

2

4

3

4

0 174 0 626 0 626

() () ()

,; ,; ,=- =- =- и умножим их поочередно

на четвертую строку. Результаты вычтем соответственно из первой, второй и

третьей строк:

100 0

0100

0010

0001

7 716 7 758 7 753 7 767

7 758 27 92 27 934 27 945

7 753 27 934 40 43 27 945

7 768 27 946 27 946 44 64

,

;

, , , ,

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

.

В результате получим обратную матрицу Y

У

-1

:

133

Y

У

-1

=

7 716 7 758 7 753 7 767

7 758 27 92 27 934 27 945

7 753 27 934 40 43 27 945

7 768 27 946 27 946 44 64

, , , ,

é

ë

ê

ù

û

ú

Ом.

Тогда

U Y

D

= ×

-

У У

1

I , U

D

=

7 716 7 758 7 753 7 767

7 758 27 92 27 934 27 945

7 753 27 934 40 43 27 945

7 768 27 946 27 946 44 64

, , , ,

é

ë

ê

ù

û

ú

×

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

116

132

82

99

1786

4109

5135

2462

В.

Найдем напряжения узлов относительно "земли":

U U

бS D

= ×+ ×n U3 ,

где U

б

- напряжение балансного узла, приведенное к ступени 35 кВ,

n =

é

ë

ê

ù

û

ú

1

- единичная матрица.

U

S

= ×

é

ë

ê

ù

û

ú

+ ×36 59

1

3,

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

é

ë

ê

ù

û

ú

1 786

4 109

5 135

2 462

33 50

29 47

27 70

32 33

,

кВ.

Токи ветвей найдем с помощью следующих соотношений:

U MU

Z U

в t

в

=

×

= ×

-

D

,

,I

1

U

в

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

×

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

1 100

010 1

0 1 10

1000

1 786

4 109

5 135

2 462

2 323

1 647

1 026

1 786

,

кВ,

I

в

=

é

ë

ê

ù

û

ú

×

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

0050 0 0

00060 0

0 00080

0 0 0 0 13

2 323

1 647

1 026

1 786

0 116

0 099

0 082

0 232

,

кА.

Задача 4. Рассчитать режим сети, используя уравнения контурных токов и

обращение матрицы коэффициентов методом перестановки столбцов неизвестных

и свободных членов. Схема сети показана на рис. 6.15. Активными сопротивле-

ниями элементов сети и потерями холостого хода трансформаторов пренебречь.

134

Рис. 6.15. Схема сети

Исходные данные:

· генератор Г: S

ном

= 100 МВ×А, U

ном

= 10,5 кВ,

cos

j

= 0,8, х

d

= 1,0;

· система С:

S

=

¥

, U

ном

= 230 кВ;

· трансформаторы Т1: S

ном

= 125 МВ×А, u

к

= 10%, U

ВН

= 121 кВ, U

НН

= 11 кВ,

Т2: S

ном

= 63 МВ×А, u

к

= 10%, U

ВН

= 230 кВ, U

НН

= 115 кВ,

Т3: S

ном

= 25 МВ×А, u

к

= 12%, U

ВН

= 115 кВ, U

НН

= 6,3 кВ.

· линии электропередачи Л1: х

l

= 0,4 Ом/км,

l

= 20 км,

Л2: х

l

= 0,4 Ом/км,

l

= 40 км,

Л3: х

l

= 0,4 Ом/км,

l

= 30 км;

· нагрузка НГ: S

НГ

= 24 МВ×А.

Решение:

1. Расчет схемы замещения

Схема замещения сети представлена на рис. 6.16.

Схема замещения приведена к наиболее разветвленной ступени напряжения

– ступени 110 кВ.

Рассчитаем параметры генератора:

кВ,3119

11

121

100

510

1

5103

100

60

3

510

80

3

510

333

2

1

2

,

Г

,n

S

U

х

U

S

sin

U

cos

U

Г

ф

Т

ном

d

ном

номномном

ф

=×

÷

ø

ö

ç

è

æ

ú

û

ù

ê

ë

é

××

×

+×+

÷

ø

ö

ç

è

æ

×=

×

÷

ø

ö

ç

è

æ

ú

û

ù

ê

ë

é

××+j×+

÷

ø

ö

ç

è

æ

j×=

o

Ом,1133

11

121

100

510

1

2

1

2

,

х,n

S

U

хх

Г

Т

Г

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

××=××=

oo

Е U n Е

С

C Т

С

o

= × = × =

2

230

115

230

115, кВ.

Поскольку для системы

S

=

¥

, то х

С

= 0.

135

Рис. 6.16. Схема замещения

Найдем фазное значение ЭДС системы:

кВ,Е 466

3

115

,

Сф

==

х

u

U

S

х

Т

к

ном

Т

= × = × =

= × =

%

, , ,

,

100

10

100

121

125

117

10

100

115

63

21

12

100

115

25

63 5 Ом.

2

1

2

3

2

Ом

Ом,

х х х

х

Л Л

Л

=

×

=

×

=

= ×=

l

, , ,

,

1

2

3

04208

0 4 40 16

0 4 30 12

Ом

Ом,

Ом.

Нагрузку представим в виде сопротивления (для установившегося режима

ЭДС нагрузки равна 0, х

НГ

*

= 1,2):

х х

U

S

n х

НГ

ном

Т

НГ

o o

= × × = ××

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

*

2

3

2

12

6

24

115

63

600, ,

,

Ом.

Упростим схему рисунка 6.16, сложив последовательно сопротивления вет-

вей 4-6 и 6-1 и соответственно 3-5 и 5-4.

х х х х х х

Г Т Т НГ5 1 3 3

=

+

=

+

, .

В результате получим схему, представленную на рис. 6.17.

136

х

4

х

1

х

6

х

5

х

3

х

2

1

3

4

119,3

144,8 8 21

16 12

66,4

663,5

Рис. 6.17. Эквивалентная схема замещения

Граф сети представлен на рис. 6.18.

Рис. 6.18. Граф сети

2. Расчет режима сети

Уравнения контурных токов для схемы без источников тока будут иметь вид

(3.11):

к

ЕIZ

=

×

.

Получим матрицу контурных сопротивлений.

N N=

-

-- -

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

110100

10 1010

011001

110

101

011

100

010

001

, ,

t

137

Z

в

=

16 0 0 0 0 0

0 12 0 0 0 0

0 0 663 5 0 0 0

0 0 0 8 0 0

0 0 0 0 144 8 0

0 0 0 0 0 21

,

é

ë

ê

ù

û

ú

Ом,

Z

к

-

=

110100

101010

0 1100 1

16 0 0 0 0 0

0 12 0 0 0 0

0 0 663 5 0 0 0

0 0 0 8 0 0

0 0 0 0 144 8 0

0 0 0 0 0 21

110

10 1

01 1

100

010

00 1

36 16 12

16 824 3 6635

12 663 5 696 5

-- -

é

ë

ê

ù

û

ú

×

é

ë

ê

ù

û

ú

´

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

- -

é

ë

,

, ,

ê

ù

û

ú

Ом.

Отметим, что матрица Z

к

симметрична относительно главной диагонали.

Матрица ЭДС ветвей будет иметь вид:

ú

û

ù

ê

ë

é

=

4,66

3,119

0

в

Е

кВ.

Тогда

E NЕ

к в

=

×

, Е

к

-

=

110100

101010

011001-- -

é

ë

ê

ù

û

ú

×

ú

û

ù

ê

ë

é

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

466

3119

0

466

3119

0

,

кВ.

Обратим матрицу Z

к

с помощью перестановки столбцов

В

и

Х

(свобод-

ных членов и неизвестных).

Уравнения контурных токов запишем в следующем виде:

Z Е

к к к

×

=

I ,

138

36 16 12

16 824 3 663 5

12 663 5 696 5

- -

é

ë

ê

ù

û

ú

, ,

×

é

ë

ê

ù

û

ú

=

é

ë

ê

ù

û

ú

I

к

1

2

3

1

2

3

Е

,

36

16

12

16 824 3 663 5

12 6635 696 5

1 2 3

1

2

3

I

I I I

к к к

к

-

- + -

- - +

=

, ,

Е

. (а)

Разрешим первое уравнение системы (а) относительно I

к1

и подставим по-

лученное значение I

к1

во второе и третье уравнения:

0

0278

0

444

0

333

0 444 817 196 668 828

0 333 668 828 692 504

1 2 3

1

2

3

, , ,

Е

к к к

к

+

- + -

- - +

=

I

I I

I

. (б)

Второе уравнение системы (б) разрешим относительно I

к 2

и подставим по-

лученное значение I

к 2

в первое и третье уравнения:

0

02804

0

000542

0

696

0 000543 0 00122 0 818

0 696 0 818 145 4

1 2 3

1

2

3

, , ,

Е

Е Е

Е Е Е

к к к

к

+

+ +

- - +

=

I

I . (в)

Третье уравнение системы (в) разрешим относительно I

к 3

и полученное

значение I

к 3

подставим в первое и второе уравнения:

0

0313

0

0045

0

0048

0 0045 0 0058 0 0056

0 0048 0 0056 0 0069

1 2 3

1

2

3

, , ,

Е

Е Е Е

к к к

к

+

+ +

=

I

. (г)

Таким образом,

Z

к

-1

=

0 0313 0 0045 0 0048

0 0045 0 0058 0 0056

0 0048 0 0056 0 0069

, , ,

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Найдем матрицу контурных токов, перемножив матрицы Z

к

-1

и Е

к

:

I

к

=

0 0313 0 0045 0 0048

0 0045 0 0058 0 0056

0 0048 0 0056 0 0069

, , ,

é

ë

ê

ù

û

ú

û

ù

ê

ë

é

-

×

466

3119

0

,

, =

ú

û

ù

ê

ë

é

2100

3200

2180

,

кА.

Для нахождения токов ветвей воспользуемся уравнением

I I

в tк

=

×

N .

Тогда

ú

û

ù

ê

ë

é

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

×

ú

û

ù

ê

ë

é

-

=

2100

3200

2180

1100

0080

1020

2100

3200

2180

100

010

001

110

101

011

,

в

I

кА.

139

Матрицу падений напряжения на ветвях схемы найдем в соответствии с вы-

ражением (3.1):

U Z

в в в

=

×

I

в

Е

-

.

ú

û

ù

ê

ë

é

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

ú

û

ù

ê

ë

é

-

×

ú

û

ù

ê

ë

é

=

81,70

96,72

82,1

98,72

1,0

63,1

4,66

3,119

0

210,0

320,0

218,0

110,0

008,0

102,0

2100000

08,1440000

008000

0005,66300

0000120

0000016

в

U кВ.

Для определения матрицы напряжений узлов относительно базисного вос-

пользуемся выражением:

U M U

D

= ×

-

a at в

1

.

Выделим дерево графа рис. 6.18 (ветви 1,2,3). Тогда хордами будут ветви

4,5,6

М =

-

- -

é

ë

ê

ù

û

ú

1 0 0 1 10

0 1 0 10 1

1 11 0 0 0

.

Выделим из матрицы

М

подматрицу дерева М

a

и получим М

at

:

М

a

=

- -

é

ë

ê

ù

û

ú

1 0 0

0 1 0

1 11

;М

at

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

1 0 1

0 1 1

0 0 1

.

Обратим матрицу М

at

классическим способом.

Для этого найдем определитель матрицы М

at

:

D

=

1

.

Запишем матрицу

А

, транспонированную по отношению к М

at

:

А

=

- -

é

ë

ê

ù

û

ú

1 0 0

0 1 0

1 11

.

Заменим каждый элемент матрицы

А

определителем, полученным в ре-

зультате вычеркивания строки и столбца, на которых расположен данный элемент.

Например, элемент в

11

11 101

=

×

-

×

=

( ) , а в

12

01 100

=

×

-

×

=

( ) .

Тогда

В

= -

é

ë

ê

ù

û

ú

1 0 1

0 1 1

0 0 1

.

Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов. Например, у эле-

мента в

23

следует изменить знак, поскольку сумма индексов (2+3) нечетная.

Тогда

140

С

=

é

ë

ê

ù

û

ú

101

011

001

.

Разделим каждый элемент полученной матрицы

С

на

D

=

1

:

D

=

é

ë

ê

ù

û

ú

101

011

001

.

Таким образом, получаем:

М

at

-

=

1

D

=

é

ë

ê

ù

û

ú

101

011

001

.

Выделим из матрицы U

в

подматрицу падений напряжения на ветвях дерева:

98,72

1,0

63,1

ú

û

ù

ê

ë

é

=

a

в

U кВ.

U

D

=

101

011

001

é

ë

ê

ù

û

ú

=

ú

û

ù

ê

ë

é

ú

û

ù

ê

ë

é

×

9872

0873

6174

9872

10

631

,

кВ.

Поскольку за базисный узел принят узел 4, то U

б

= 0. Следовательно, полу-

ченные напряжения

U

D

=

é

ë

ê

ù

û

ú

1

2

3

одновременно будут фазными напряжениями, рассчитанными относительно нуле-

вого потенциала схемы (земли), т.е.

U

o

S

=

é

ë

ê

ù

û

ú

1

2

3

= U U

o

D

+

б

.

Действительные значения фазных напряжений в узлах 5 и 6 (рис. 6.16) с

учетом коэффициента трансформации будут равны:

( )

( ) ( )

кВ.

кВ,

127

11

121

1

71132006174

1

613

36

115

1

56311009872

1

6

1

1516

5

3

3335

,,,,U,

n

xUU

,

,,,U,

n

xUU

Т

T

Т

T

=××+=××+=

=××-=××-=

I

Действительные значения линейных напряжений узлов:

Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

Подождите немного. Документ загружается.