Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

Подождите немного. Документ загружается.

6,0

0,1

8,0

6,0

5500

20555

50100

50010

52055

5500

05100

05010

5500

20555

50100

50010

---

После умножения получим эквивалентную систему:

---

501252525

125475150150

2515012525

2515025125

Запишем данную систему для

го шага итерационного процесса по методу

Зейделя в виде:

(

)

(

)

(

)

(

)

() () () ()

.5,25,05,016,0

;19/)56604,0(

;2,02,12,004,0

;2,02,12,0024,0

3214

4213

312

iiii

UUUU

DDDD

DDD

+--=

+++-=

-+--=

Результаты расчетов по итерациям при нулевых значениях начальных при-

ближений

приведены в табл. 4.7.

Таблица 4.7

Номер

итерации

(

)

(

)

(

)

(

)

-0,02400

-0,08270

-0,09147

-0,09151

-0,09014

-0,07525

-0,07522

-0,07520

-0,07518

-0,07500

-0,03520

-0,08920

-0,10701

-0,11061

-0,11023

-0,09526

-0,09523

-0,09521

-0,09519

-0,09500

-0,03975

-0,05159

-0,05295

-0,05149

-0,04950

-0,03032

-0,03029

-0,03026

-0,03023

-0,03000

0,09023

0,11697

0,12687

0,13233

0,13642

0,16945

0,16951

0,16956

0,16960

0,16999

0,17000

Как следует из данных, итерационный процесс сошелся к решению с точно-

стью до пяти знаков после запятой

(

)

1050

×=e , за 87 итераций. При уменьшении

требуемой точности до четырех и трех знаков после запятой число итераций состави-

ло соответственно 67 и 45.

Преобразование системы уравнений указанным способом позволяет обеспечить

сходимость метода Зейделя, однако при этом надо учитывать два важных для практи-

ки фактора:

- при переходе от

возрастает заполненность матрицы коэффициентов

решаемой системы уравнений, т.е. возрастает объем вычислений на каждом шаге

итерационного процесса и требуемый объем оперативной памяти ЦВМ;

- сходимость итерационного процесса к решению может быть очень медлен-

ной, что существенно влияет на оценку эффективности метода. Сама по себе сходи-

мость итерационного процесса не является достаточным основанием для суждения о

целесообразности практического применения метода.

Рассмотренный пример демонстрирует эти два фактора в намеренно гипертро-

фированном виде и не является типичным для реальных условий, поскольку структу-

ра матрицы

Y была умышленно искажена по сравнению с обычно используемой

при формировании узловых уравнений, т.е. симметричной и с доминированием диа-

гональных элементов.

В реальных задачах подобное преобразование не приводит к столь отрицатель-

ным последствиям, но, тем не менее, отмеченные факторы следует иметь в виду при

стремлении обеспечить сходимость итерационных процессов по методу Зейделя.

4.6. Методы решения нелинейных систем уравнений

4.6.1. Причины нелинейности уравнений состояния в расчетах

электроэнергетических систем и сетей

Ранее было отмечено, что нелинейность систем уравнений состояния может

быть связана с нелинейностью пассивных или активных элементов.

Нелинейность пассивных элементов может быть следствием зависимости

сопротивлений от температуры, от напряжения (нелинейность характеристики на-

магничивания трансформаторов) и учитывается обычно лишь в специальных за-

дачах, например, при расчете высших гармонических, при расчете аварийных пе-

реходных процессов (например, феррорезонансных). В расчетах установившихся

режимов все пассивные элементы предполагаются линейными, учитывается лишь

нелинейность активных элементов (генераторов, нагрузок).

Нагрузки потребителей могут быть представлены следующим образом.

1. Статические характеристики, то есть зависимости активной и реактивной

мощности нагрузки от напряжения

(

)

нг

(

)

нг

. Статические характеристики

для каждой нагрузки определяются составом потребителей. В большинстве случа-

ев используют типовые статические характеристики нагрузок для некоторой ус-

ловной комбинированной по составу нагрузки.

2. Мощности, постоянные по величине, constP

нг

, constQ

нг

. Этот спо-

соб задания нагрузки является точным для электрических систем, полностью

обеспеченных устройствами регулирования напряжения.

3. Постоянные проводимости на землю constg

нг

, constb

нг

. Такое зада-

ние нагрузки соответствует статическим характеристикам в виде квадратичных

парабол.

4. Токи, постоянные по модулю и по фазе, constI

нг

, constI

нг

Источники тока, соответствующие генераторам, могут задаваться следую-

щим образом.

1. Мощности, постоянные по величине, constP

, constQ

. При таком

способе генератор задается аналогично нагрузке потребителей с постоянной мощ-

ностью (отличие – в знаке).

2. Постоянные активная мощность и модуль напряжения constP

constU =

. В этом случае переменными, как правило, являются реактивная мощ-

ность и фаза напряжения. Узлы со свободной реактивной мощностью

соответ-

ствуют синхронным компенсаторам либо генераторам, работающим в режиме

синхронного компенсатора. Такие узлы называют балансирующими по реактив-

ной мощности.

3. Постоянные модуль и фаза напряжения

constU =

, const

. В таких

узлах переменными являются активная и реактивная мощности varP

, varQ

Этот способ задания исходных данных соответствует узлам, балансирующим по

активной и реактивной мощности.

Например, при использовании уравнений узловых напряжений в случае са-

мой простой записи в правые части уравнений записываются токи узлов

уi

I :

уi

= ,

где

уiуiуi

jQPS

При задании нагрузок постоянными мощностями

const

уравнения оказываются нелинейными, поскольку constU

уi

Точных методов, пригодных для решения нелинейных алгебраических

уравнений, не существует.

Применяемые в настоящее время алгоритмы решения нелинейных уравне-

ний состояния основываются на двух методиках. Одна из них связана с примене-

нием для построения итерационного процесса методов решения линейных алгеб-

раических уравнений. При этом считается, что на каждом шаге итерации система

линейна и может быть решена, например, методом Гаусса или с использованием

обратной матрицы. Эти методы получили название методов внешней итерации и,

по сути, являются методами многократного решения систем линейных уравнений.

Другая методика связана с применением специализированных методов ре-

шения нелинейных систем уравнений (итерационные методы решения – метод

простой итерации, метод Зейделя, метод Ньютона и др.).

4.6.2. Применение метода внешней итерации

Если считать систему уравнений линейной на данном шаге, то можно ис-

пользовать метод Гаусса на каждом шаге итерационного процесса.

Например, при использовании уравнений узловых напряжений задаются на-

чальным приближением напряжений узлов и определяют задающие токи узлов.

После этого система уравнений может быть решена по методу Гаусса и может

быть получено первое приближение напряжений узлов. Далее переходят к сле-

дующему шагу, т.е. определяют задающие узловые токи при значениях напряже-

ний узлов, равных их первым приближениям. Затем находят следующее прибли-

жение узловых напряжений и так далее, пока итерационный процесс не сойдется.

Таким образом, каждый шаг итерационного процесса состоит из определения за-

дающих токов узлов по приближениям узловых напряжений и решения линейной

системы уравнений узловых напряжений.

Следует отметить, что для эффективного решения уравнений установивше-

гося режима по Гауссу необходимо учитывать слабую заполненность матрицы уз-

ловых проводимостей.

Обратная матрица позволяет более рационально организовать процесс ре-

шения нелинейных уравнений. Так как при решении уравнений установившегося

режима матрица коэффициентов остается неизменной (так как пассивные элемен-

ты считаются линейными), а изменяются только правые части, поэтому обратная

матрица, получаемая для такой системы, также остается неизменной и может быть

использована на каждом шаге итераций. Если число итераций велико (>4), то та-

кой процесс решения становится более эффективным, чем решение по методу Га-

усса при хорошо заполненной матрице коэффициентов. Обратная матрица вычис-

ляется один раз, а каждый шаг итерационного процесса при использовании урав-

нений узловых напряжений заключается в определении задающих токов по при-

ближениям узловых напряжений и умножении на них обратной матрицы.

4.6.3. Применение итерационных методов для решения нелинейных уравнений

Итерационные методы решения линейных уравнений наиболее просто могут

быть использованы и для решения нелинейных задач. Именно поэтому метод Зей-

деля нашел широкое применение в промышленных программах. Алгоритм итера-

ционного процесса достаточно прост. С помощью небольшого изменения алго-

ритма можно решать и нелинейные задачи. Это изменение состоит в том, что в

уравнения в процессе итерации подставляются не только неизвестные, но и изме-

няющиеся в зависимости от них вынуждающие силы, в частности, при примене-

нии уравнений узловых напряжений – источники тока.

Рассмотрим алгоритм на примере решения уравнений узловых напряжений

по методу Зейделя

kkkkk

IUYUYUYUY

=++++

Выразим из каждого уравнения соответствующие неизвестные и запишем общее

решение на

(

)

n шаге:

( ) () () () ()

()

( ) () () () ()

()

( ) ( ) () () ()

()

+×-----=

+---×+-=

+----×=

++++

nnnn

UUYUYUY

UYUYUUY

UYUYUYU

(4.22)

Алгоритм решения аналогичен рассмотренному ранее.

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений медленная,

что связано с особенностями матрицы собственных и взаимных проводимостей

узлов. В практических расчетах установившихся режимов электроэнергетических

систем методом Зейделя нужно использовать ускоряющие методы, например,

применение ускоряющих коэффициентов, использование которых сводится к сле-

дующему:

Если обозначить значение напряжения

го узла, определенное на

(

)

1i м шаге по общим итерационным формулам (4.22), через

(

)

1+i

U , то уско-

ренное

(

)

1i е приближение значения напряжения

го узла

(

)

1+k

ускk

U опреде-

ляется по формуле:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

111 +++

D+=-+=

ускk

UqUUUqUU , (4.23)

где

(

)

(

)

(

)

--=D

++ i

ускk

UUU

поправка по напряжению

го узла на

(

)

1i м

шаге;

ускоряющий коэффициент.

Значение напряжения, вычисленное с ускорением,

(

)

1+i

ускk

U принимается в

качестве исходного при расчете следующего

(

)

2i го шага.

В случае

выражение (4.23) сводится к

(

)

(

)

11 ++

ускk

UU , т.е. неускорен-

ный итерационный процесс соответствует случаю, когда ускоряющий коэффици-

ент

принимается равным единице.

Основное достоинство метода в том, что он легко программируется и требу-

ет малой памяти ЭВМ. Недостаток метода состоит в медленной сходимости. Ме-

тод Зейделя особенно медленно сходится, а в ряде случаев и расходится в расче-

тах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной

компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами

с очень малым сопротивлением обмотки среднего напряжения и для электриче-

ских систем с дальними линиями электропередачи и сильной неоднородностью

параметров. Метод Зейделя также плохо сходится либо расходится в расчетах ре-

жимов, близких к предельным, либо при определении режимов, неустойчивых по

статической апериодической устойчивости.

4.6.4. Применение метода Ньютона для решения одного уравнения

Метод Ньютона весьма эффективен для решения нелинейных алгебраиче-

ских и трансцендентных уравнений. Его основное достоинство состоит в том, что

при сравнительно несложном алгоритме он обладает быстрой сходимостью. Ме-

тод Ньютона универсален и пригоден для решения обширного класса нелинейных

уравнений.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итера-

ции нелинейной системы уравнений некоторой линейной, решение которой дает

значения неизвестных, более близкие к решению нелинейных систем, чем исход-

ное приближение.

Рис.4.1. Пояснения к методу Ньюто

на

Алгоритм метода состоит в том, что если задаться некоторым нулевым при-

ближением и вычислить функцию для этого приближения, затем рассчитать про-

изводную функции в этой точке, то, используя геометрический смысл производ-

ной (тангенс угла наклона касательной), можно определить новое значение

(

)

, то

есть новое приближение аргумента. Затем находят значение функции в точке

(

)

значение производной функции в этой точке и новое приближение

(

)

и т.д. Сле-

дует отметить, что контроль сходимости по величине разности значений перемен-

ных на соседних интервалах может привести к неверным результатам. Считают,

что итерационный процесс сходится, если функция

(

)

xW становится близкой к

нулю, то есть

(

)

(

)

e£

xW .

Допустим, что имеется функция

(

)

xW . Зададимся произвольным значе-

нием аргумента

(

)

и определим значение функции

(

)

(

)

xW .

Определим производную функции:

(

)

(

)

a= tg

xdW

. (4.24)

Согласно рис. 2.1 можно записать:

(

)

(

)

(

)

(

)

() ()

(

)

xdW

= . (4.25)

Тогда

() ()

(

)

(

)

()

xdW

-= . (4.26)

Это выражение позволяет определить новое значение аргумента, которое

является очередным приближением искомого корня, если итерационный процесс

продолжается.

Данное выражение можно несколько преобразовать:

(

)

(

)

(

)

,xxx

101

D+= (4.27)

где

()

(

)

(

)

()

xdW

-=D .

В общем случае для

(

)

1i го шага итерации можно записать:

(

)

(

)

(

)

iii

; (4.28)

()

(

)

(

)

()

xdW

-=D

. (4.29)

Итерационный процесс ведется до тех пор, пока значение функции

не

будет удовлетворять точности

(

)

(

)

e£

+1i

xW .

В отличие от ранее рассмотренных итерационных методов здесь для кон-

троля не применяется разность, так как заранее известно, что в точке решения

функция обращается в нуль. Поэтому

отражает допустимую величину отличия

функции от нуля, то есть величину погрешности определения точного решения.

4.6.5. Применение метода Ньютона для решения систем

уравнений любого порядка

Рассмотрим алгоритм применения метода Ньютона на примере решения

системы нелинейных уравнений третьего порядка:

=++

,bxaxaxa

bxaxaxa

3333232131

2323222121

1313212111

где

b,b,b функции нескольких переменных:

(

)

( )

.x,x,xfb

x,x,xfb

3213

3212

3211

Приведем функции к виду:

(

)

( )

.0,,

0,,

3213

3212

3211

xxxW

Если считать, что система уравнений матричная, то можно записать:

(

)

xW ,

где

x .

Будем считать, что заданы значения нулевых приближений

(

)

(

)

(

)

x,x,x .

Используя описанный выше метод касательных, заменим каждую из нелинейных

функций линейной, пользуясь при этом разложением в ряд Тейлора, то есть пред-

ставим уравнения в следующем виде:

() () ()

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

() ()

( )

()

(

)

(

)

(

)

(

)

() ()

( )

()

() () ()

( )

() ()

( )

()

(4.30)0

,,,,

43421

4342143421

xxxW

() () ()

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

() ()

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

() ()

( )

() () ()

( )

() ()

( )

x,x,xW

()()()

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

()

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

() ()

( )

() () ()

( )

() ()

( )

,,,,

xxxW

Суть метода состоит в том, что нелинейная система уравнений заменяется

линейной с использованием частных производных. Полученная система решается

относительно приращений аргумента

x,x,x

В матричном виде:

()

(

)

(

)

() ()

(

)

43421

XW . (4.31)

В этом выражении

(

)

(4.32)

матрица частных производных

функции

W на каждом шаге итерации –

матрица Якоби.

Матрица

(

)

(

)

(

)

() ()

получила название матрицы поправок. (4.33)

Если начальные приближения

(

)

(

)

(

)

x,x,x заданы, то матричное выраже-

ние можно записать в виде:

(

)

(

)

() ()

(

)

XWX

XdW

-=D . (4.34)

Учитывая, что вектор

(

)

задан, получим, что коэффициенты матрицы

Якоби оказываются числовыми значениями, и последнее выражение представляет

собой обыкновенную систему уравнений, которая разрешается относительно

(

)

100

Если матрица Якоби не вырождена (то есть ее определитель не равен нулю),

то решение может быть получено, в том числе, и по методу Гаусса. После этого

можно найти первое приближение:

(

)

(

)

(

)

101

Таким образом, каждый шаг итерационного процесса представляет собой

решение линейной системы уравнений

()

(

)

(

)

(

)

() ()

(

)

+ ii

XW (4.35)

или

(

)

(

)

() ()

(

)

XWX

-=D

. (4.36)

Далее определяются следующие приближения неизвестных. Решение ве-

дется до тех пор, пока не выполнится условие:

(

)

(

)

e£

XW .

Метод Ньютона использует на каждом шаге решение линейной системы

уравнений, получаемой с использованием частных производных в процессе ли-

неаризации, что создает более целенаправленное движение к получению решения

и сокращает количество итераций, необходимое для получения решения с задан-

ной точностью.

4.6.6. Применение метода Ньютона для решения уравнений

узловых напряжений

Пусть имеется сеть из трех узлов. Запишем для такой сети уравнения узло-

вых напряжений, считая узел 3 балансным

UYUY

-=+

Будем считать, что мощности имеют постоянную величину, и вследствие

этого система является нелинейной. Придадим уравнениям вид функций, завися-

щих от напряжений

U,U :