Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

Подождите немного. Документ загружается.

111

6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

6.1. Составление схем замещения электрической сети

При наличии трансформаторов (или автотрансформаторов) в схеме электри-

ческой сети для упрощения проводимых расчетов ее целесообразно предвари-

тельно представить схемой замещения, заменяя имеющиеся в ней магнито- свя-

занные цепи одной эквивалентной электрически связанной цепью.

Схема замещения сети представляет собой совокупность схем замещения

отдельных ее элементов, соединенных между собой в той же последовательности,

что и в реальной схеме. Схемы замещения элементов сети состоят из элементов

электрической цепи: источников напряжения или тока, сопротивлений, емкостных

и активных проводимостей. Вид схем замещения каждого элемента зависит от

расчетного режима.

Расчет схемы замещения состоит в приведении параметров всех ее элемен-

тов к одной ступени напряжения, выбранной за основную. При выборе основной

ступени напряжения руководствуются соображениями, чтобы вычислительная ра-

бота была по возможности проще. Схема приведения осуществляется на основе

соотношений, вытекающих из теории трансформаторов. Чтобы исключить учет

группы соединения обмоток трансформаторов, используют их коэффициенты

трансформации, определяемые как отношение междуфазных напряжений холо-

стого хода их обмоток при установленных на них ответвлениях.

Пусть цепь некоторой ступени напряжения схемы связана с выбранной в

этой схеме основной ступенью рядом каскадно включенных трансформаторов с

коэффициентами трансформации nn n

Т Т Тm1 2

, ,,

. Используя известные соотно-

шения для ЭДС (напряжений), токов и сопротивлений при приведении их с одной

стороны трансформатора на другую, можно записать общие выражения для опре-

деления приведенных к основной ступени значений отдельных величин этой цепи:

( )

E n n n E

T T Tm

= × ×× ×

1 2

; (6.1)

( )

I I

× ××

1 2

n n n

T T Tm

; (6.2)

( )

Z n n n Z

T T Tm

= × ×× ×

1 2

, (6.3)

т.е. соответствующие величины должны быть пересчитаны столько раз, сколько

трансформаторов имеется на пути между приводимой цепью и принятой основной

ступенью.

В этих и последующих выражениях под коэффициентом трансформации

каждого трансформатора или автотрансформатора (как повышающего, так и по-

нижающего) понимается отношение междуфазного напряжения холостого хода

его обмотки, обращенной в сторону основной ступени напряжения, к аналогично-

112

му напряжению другой его обмотки, находящейся ближе к ступени, элементы ко-

торой подлежат приведению.

Если величина задана в относительных единицах (о.е.), то перед приведени-

ем их значения следует пересчитать в именованные единицы. Например, если для

какого-либо элемента известно его сопротивление в о.е. Z

ном

( )

, то сопротивление

в именованных единицах можно определить с помощью следующих выражений:

ном

= ×

( )

3 I

, Ом (6.4)

или

ном

= ×

( )

, Ом, (6.5)

где S

ном

, U

ном

, I

ном

- номинальные мощность, напряжение и ток элемента.

Если параметры всех элементов схемы замещения приведены к одной сту-

пени напряжения, то найденные в ней токи и напряжения являются реальными

только для той ее части, ступень напряжения которой принята в качестве основ-

ной. Истинные токи и напряжения всех прочих участков схемы можно найти их

соответствующим пересчетом по выражениям, обратным (А.1), (А.2):

( )

n n n

× ××

; (6.6)

( )

I =I

× × ××n n n

T T Tm1 2

. (6.7)

Для примера рассчитаем в именованных единицах параметры схемы заме-

щения электрической сети, изображенной на рис. 6 1.

Рис. 6 1. Схема электрической сети

Исходные данные:

· система: S

кз.

= 2000 МВ·А, U

ном

= 330 кВ;

· генераторы

: S

ном

= 75 МВ·А, U

ном

= 10,5 кВ, I

ном

= 4,125 кА,

113

cos

= 0,8,

= 0,157; (G2-режим холостого хода);

· автотрансформатор АТ: S

ном

= 240 МВ·А, U

ВН

= 330 кВ, U

СН

= 242 кВ,

НН

= 38,5 кВ, u

ВС

= 29,5 %, u

ВН

= 26,9 %, u

СН

= 20,4 %;

· трансформаторы: Т1 S

ном

= 80 МВ·А, U

ВН

= 347 кВ, U

НН

= 10,5 кВ,

= 10,5 %,

кз.

= 320 кВт;

Т2 S

ном

= 80 МВ·А, U

ВН

= 242 кВ, U

НН

= 10,5 кВ,

= 11 %,

кз.

= 320 кВт;

· нагрузки: S

НГ 1

= 100 МВ·А, S

НГ 2

= 20 МВ·А, Е

НГ

= 0,

НГ

= 1,2;

· линия электропередачи

= 150 км, х

= 0,328 Ом/км.

Решение.

Выберем в качестве ступени приведения ступень напряжения 10 кВ генера-

тора

и представим схему замещения электрической сети в виде, приведенном

на рис. 6 2.

Рис. 6.2. Схема замещения электрической сети

Параметры элементов этой схемы в именованных единицах будут равны:

· генератор

х x

G d

ном

0 157

105

0 23=

¢¢

× = × =, ,

, Ом,

( )( )

( )

Е U x x

G d d

1 00 0

0 0

105

4 125 0 23 0 6 412502308 6 68

= +

¢¢

× +

¢¢

= + × ×

+ × × =

I Isin cos ,

, , , , , , ,

j j

кВ.

· генератор

114

( )

х x

n n n х

G d

ном

T AT

T G2

2 1

0 23

242

105

330

242

105

347

0 21=

¢¢

× × × × = × × ×

, ,

, Ом.Т

ак как этот генератор работал в режиме холостого хода, т.е. Е U

G ном2

, то-

гда:

E Un n n E

G T AT

T G2 0 2 1 2

242

105

330

242

347

5 77= × × × = × × × =

, кВ.

· трансформатор Т1

U U

кз ном

ном

Т1

100

105

100

105

0 145= × = × =

, ,

, Ом.

· трансформатор Т2

( )

U U

n n n

кз ном

ном

АТ

ВС

2 1

100

0 151

242

105

330

242

105

347

0 137

= × × × ×

= × × ×

, Ом.

· автотрансформатор

(

)

(

)

( )

U u u u U

кз

BC BH CH

кз

BC CH BH

кз

BH CH BC

кз

* *

= + - = + - =

. .

, , , , , , %,

, , , , , , , %,

05 0 5 29 5 26 9 20 4 18

05 0 5 29 5 20 4 26 9 11 5

05 05269 204 295 89

()

n х

АТ

кз

В ном

ном

Т В

АТ

кз

С ном

ном

Т С

АТ

кз

Н ном

ном

Т Н

АТ

= × × = × ×

, ,

100

330

240

105

347

0 075

100

115

100

330

240

105

347

0 047

100

330

240

105

347

Ом,

048 Ом.

· нагрузка НГ1

( )

х х

n n х

НГ

ном

АТ

ВС

НГ1

220

100

330

242

105

347

0 987= × × × = × × ×

, ,

, Ом .

· нагрузка НГ2

( )

х х

n n х

НГ

ном

АТ

ВН

НГ2

330

385

105

347

4 93= × × × = × × ×

, ,

, Ом .

· линия

х x n х

W T W

= ×× = × ×

0 328 150

105

347

0 045, ,

, Ом.

· система

115

n х

n E

ном

кз

T С

ном

= × = ×

= × = × =

330

2000

105

347

0 05

330

105

347

, .

Ом,

кВ

6.2. Примеры решения задач

Задача 1. Рассчитать напряжения в узлах электрической сети (рис. 6.3),

используя обобщенное уравнение состояния в матричной форме. Активными со-

противлениями элементов схемы замещения и потерями холостого хода транс-

форматора пренебречь.

Рис. 6.3. Схема электрической сети

Исходные данные:

· линии электропередачи: Л1 - l = 30 км, х

= 0,42 Ом/км,

Л2 - l = 20 км, х

= 0,42 Ом/км,

Л3 - l = 15 км, х

= 0,42 Ом/км;

· силовой трансформатор Т - ТМН-6300/110: S

ном

= 6,3 МВ·А, U

ВН

= 115 кВ,

НН

= 6,6 кВ, u

= 10,5 %;

· нагрузка НГ: S

НГ

= 6 МВ·А;

· источник И: S

= 16 МВ·А.

Решение:

1. Расчет схемы замещения

Схема замещения сети приведена на рисунке 6.4. По условиям задачи ак-

тивными сопротивлениями и потерями холостого хода трансформатора в схеме

замещения пренебрегаем.

116

Рис. 6.4. Схема замещения сети

Реактивные сопротивления элементов имеют следующие значения:

· для линий электропередачи:

= х

, (6.8)

где х

- погонное сопротивление, Ом/км,

- длина линии, км.

0 42 30 12 6

042 20 84

042 15 63

= ×=

, , ,

, ,

(Ом)

(Ом).

· для силового трансформатора:

ВН

ном

= ×

100

(6.9)

где

к%

- напряжение короткого замыкания, % ,

ВН

- номинальное напряжение обмотки высшего напряжения, кВ,

ном

- номинальная мощность трансформатора, МВ·А.

= × =

105

100

115

2204

, . Ом

При расчете нормального режима работы сети нагрузку и источник удобно

представить источниками тока:

ном

, (6.10)

где U

ном

- номинальное напряжение источника или нагрузки, кВ;

ном

- их номинальная мощность, кВ·А.

При этом ток источника примем со знаком "+", а ток нагрузки - со знаком "-".

У 1

16000

110

84=

= А,

117

аналогично для нагрузки:

У 2

6000

577 4=-

=- , . А

Поскольку сеть выполнена на два напряжения, то для составления уравне-

ний ее схема замещения должна быть приведена к одному напряжению (основной

ступени). Примем за основную ступень напряжение 110 кВ. В этом случае, приво-

дя ток нагрузки со стороны 6 кВ к стороне 110 кВ, используя коэффициент транс-

формации трансформатора n

, можно записать:

I I

где n

принимается как отношение номинального напряжения трансформатора со

стороны, обращенной к основной ступени, к номинальному напряжению транс-

форматора со стороны приводимой. Следовательно:

= =

115

17 42

У2

557 4

17 42

33 14=- × =-,

, .А

Схема замещения, приведенная к ступени напряжения 110 кВ, с указанием

параметров ее элементов изображена на рис. 6.5. На этой схеме за балансный и

базисный узел принят узел присоединения сети к системе U

. Для удобства со-

ставления уравнений этому узлу присвоен последний номер (номера узлов обве-

дены "квадратами", номера ветвей - кружками).

Рис. 6.5. Схема замещения

2. Расчет напряжений в узлах электрической сети

В соответствии с (3.4) обобщенное уравнение состояния в матричной форме

имеет вид:

118

×=

Для составления матриц М и N представим граф сети в виде, показанном на

рис. 6.6.

Рис. 6.6. Граф сети

Для рассматриваемой задачи матрица М имеет вид:

{

= -

100

001

011

12434

С учетом приведенной нумерации ветви 1, 2, 3 графа сети (рис. 6.6) состав-

ляют подграф-дерево, которому соответствует подматрица М

, ветвь 4 принята

хордой, ей соответствует подматрица М

Для рассматриваемой задачи матрица

будет иметь вид:

[

]

1101.

Далее получим

1260 0 0

0840 0

0 0 220 4 0

00 0 63

(Ом);

[ ] [ ]

NZ×= - ×

1101

1260 0 0

0840 0

0 0 220 4 0

00 0 63

126 84 0 63

,, , ;

У к в

=×

33 14

, ,(А) Е NE; так как E Е

в к

0 0, ; то

119

Тогда обобщенное уравнение примет следующую форму:

1 001

0 0 10

0 111

126 84 0 63

33 14

,, ,

Полученному матричному выражению можно поставить в соответствие сис-

тему уравнений состояния в традиционном виде. Для этого произведем формаль-

ное перемножение матриц, стоящих в левой части полученного выражения. Полу-

чим:

1 0 0 1 84

0 0 1 0 33 14

0 1 1 1 0

126 84 0 63 0

1 2 3 4

× +× -× + ×= -

× +× +× -× =

- ×+ ×+×+× =

I I I I

, , , .

Для решения уравнений воспользуемся методом Гаусса с обратным ходом.

Суть этого метода состоит в последовательном исключении неизвестных. В ре-

зультате преобразований матрица коэффициентов при неизвестных превращается

в верхнюю треугольную, т.е. все ее элементы ниже главной диагонали превраща-

ются в нулевые. В этом случае последнее уравнение оказывается разрешенным

относительно своего неизвестного, и после его определения путем обратного хода

с помощью элементарных подстановок находятся все остальные неизвестные. От-

метим, что применение алгоритма Гаусса предполагает, что все диагональные ко-

эффициенты системы уравнений не равны 0. Чтобы удовлетворить этому условию,

переставим в системе второе и третье уравнения:

1 0 0 1 84

0 1 1 1 0

0 0 1 0 33 14

126 84 0 63 0

1 2 3 4

× +× +× -× =

× +× -× + ×= -

- ×+ ×+×+× =

I I I I

, , , .

Найдем коэффициент т

1()

126

() ()

,= =

где а

- коэффициенты уравнений.

Первое уравнение умножим на т

126

()

,=- и вычтем его из четвертого:

1 0 0 1 84

0 1 1 1 0

0 0 1 0 33 14

0 84 0 189 1058 4

1 2 3 4

× +× +× -× =

× +× -× + ×= -

×+ ×+×+ ×=

I I I I

, , ,.

Найдем коэффициент т

2()

()

,.= = =

120

Умножим второе уравнение на т

()

,= и вычтем его из четвертого урав-

нения:

1 0 0 1 84

0 1 1 1 0

0 0 1 0 33 14

0 0 84 273 1058 4

1 2 3 4

× +× +× -× =

× +× -× + ×= -

×+×-×+ ×=

I I I I

, , ,.

Найдем коэффициент т

3()

()

,.=

Умножим третье уравнение на т

()

,= и вычтем его из четвертого урав-

нения:

1 0 0 1 84

0 1 1 1 0

0 0 1 0 33 14

0 0 0 273 1337 1

1 2 3 4

× +× +× -× =

× + × -× + ×= -

×+×+×+ ×=

I I I I

, ,.

Разделим последнее уравнение на 27,3:

1 0 0 1 84

0 1 1 1 0

0 0 1 0 33 14

0 0 0 1 49

1 2 3 4

× +× +× -× =

× + × - × + ×= -

× + × +× +× =

I I I I

В матричной форме эта система будет иметь вид:

1001

0111

00 10

0001

3314

Далее последовательной подстановкой найдем неизвестные токи ветвей:

I III

I I I

2 342

1 4 1

3314

33 14 49 15 86

84 49 84 35

=-+ =- + =

=-+ =-+ =

, ,

; , , ,

; ,

15 86

33 14

(А).

Найдем падения напряжения на ветвях

(

)

ЕЕIZU :

1260 0 0

0840 0

0 0 220 4 0

00 0 63

15 86

3314

441

1332

7304 1

3087

(В).