Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

121

U

вa

=

é

ë

ê

ù

û

ú

441

133 2

7304 1

,

(В).

Учитывая, что U М U

в t

a a

= ×

D

, найдем U

D

:

U М U

D

= ×

-

a a

t в

1

М М

a a

= -

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

100

001

011

100

001

0 11

;

t

.

Для нахождения обратной матрицы М

a

t

-1

воспользуемся методом Гаусса без

обратного хода, алгоритм которого аналогичен алгоритму метода Гаусса с обрат-

ным ходом, но в этом случае обнуляются и элементы, находящиеся выше главной

диагонали.

Поставим в соответствие исходной матрице М

a

t

справа единичную диаго-

нальную матрицу:

100

001

0 11

100

010

001-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Будем выполнять операции по методу Гаусса одновременно с обеими мат-

рицами. Как и в предыдущем случае, прежде чем воспользоваться алгоритмом Га-

усса, переставим вторую и третью строки М

a

t

, чтобы исключить нулевой элемент

из ее главной диагонали:

100

0 11

001

100

001

010

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Далее по алгоритму Гаусса будем исключать элементы выше и ниже глав-

ной диагонали полученной матрицы. Разделим вторые строки обеих матриц на –1:

100

011

001

100

001

010

-

é

ë

ê

ù

û

ú

-

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Найдем коэффициент т

3

1()

:

т

3

1

()

.=

-

=-

Умножим третье уравнение на т

3

1()

и вычтем его из второго:

100

010

001

100

011

010

é

ë

ê

ù

û

ú

-

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Таким образом, М

a

t

-1

=

100

011

010

-

é

ë

ê

ù

û

ú

.

Тогда

122

U

D

=

100

011

010

-

é

ë

ê

ù

û

ú

·

441

1332

7304 1

,

é

ë

ê

ù

û

ú

=

441

7170 9

133 2

-

é

ë

ê

ù

û

ú

,

(В).

Найдем напряжения узлов относительно "земли":

U U

бS D

= ×+ ×n U3 ,

где U

б

- напряжение базисного узла,

n =

é

ë

ê

ù

û

ú

1

- единичная матрица.

U

S

= ×

é

ë

ê

ù

û

ú

+ ×121

1

3

0 441

7 171

0 133

,

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

é

ë

ê

ù

û

ú

+-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

é

ë

ê

ù

û

ú

121

0 763

12 42

0 23

121 76

108 58

121 23

,

(кВ).

Найдем действительное значение напряжения узла 2. Поскольку напряже-

ние узла 2, полученное в процессе расчета, соответствует основной ступени и

должно быть приведено к ступени 6,6 кВ (т.е. в обратную сторону), то коэффици-

ент трансформации

¢

n

Т

будет равен:

¢

= =n

T

66

115

0 0574

,

, ,

тогда

U n

T2д

= ×

¢

= × =108 58 108 58 0 0574 6 23, , , , (кВ).

Задача 2. Рассчитать напряжения в узлах электрической сети (рис. 6.7),

используя обобщенное уравнение состояния для разомкнутой сети. Активными

сопротивлениями элементов схемы замещения, потерями холостого хода транс-

форматора пренебречь. Расчет выполнить по полным значениям мощностей узлов

нагрузок.

Рис. 6.7. Схема электрической сети

Исходные данные:

· линии электропередачи: Л1 -

l

= 20 км, х

l

= 0,42 Ом/км,

Л2 -

l

= 5 км, х

l

= 0,47 Ом/км,

Л3 -

l

= 10 км, х

l

= 0,45 Ом/км;

· силовые трансформаторы:

123

Т1 - S

ном

= 1,6 МВ·А, U

BН

= 35 кВ, U

НН

= 11 кВ, u

к

= 6,5 % ;

Т2 - S

ном

= 0,4 МВ·А, U

BН

= 10 кВ, U

НН

= 0,4 кВ, u

к

= 4,5 % ;

Т3 - S

ном

= 0,63 МВ·А, U

BН

= 10 кВ, U

НН

= 0,4 кВ, u

к

= 5,5 % ;

· нагрузки: НГ1 S

НГ 1

= 0,3 МВ·А;

НГ2 S

НГ 2

= 0,35 МВ·А;

НГ3 S

НГ 3

= 0,5 МВ·А;

НГ4 S

НГ 4

= 1,0 МВ·А.

Решение:

1. Расчет схемы замещения

Схема замещения сети приведена на рис. 6.8.

По условиям задачи активными сопротивлениями схемы замещения и поте-

рями холостого хода трансформаторов пренебрегаем.

Реактивные сопротивления элементов имеют следующие значения:

· для линий электропередачи в соответствии с (6.8):

х

Л

1

2

3

0 42 20 8 4

0 47 5 2 35

045 10 45

=

×

=

= ×=

, ,

(Ом),

(Ом).

Рис. 6.8. Схема замещения сети

· для силовых трансформаторов в соответствии с (6.9):

х

Т

1

2

3

2

65

100

35

16

498

45

100

10

04

11 25

55

100

10

0 63

8 73

= × =

,

, ,

,

, ,

,

, .

Ом

Для нагрузок в соответствии с (6.10) получим:

124

I

У

1

2

3

4

03

3 10

0 0173

0 35

3 04

0 505

05

3 04

0 722

10

3

35

0 0165

=-

×

=-

×

=-

×

=-

×

=-

,

, ,

,

кА

кА,

кА.

Следует отметить, что для источников (генератор, синхронный компенса-

тор, система) задающие токи будут иметь знак "+".

Перед составлением уравнений приведем параметры элементов схемы за-

мещения к одному напряжению. С этой целью за основную ступень напряжения

примем ступень 35 кВ. В этом случае реактивное сопротивление линий Л1 и на-

грузки НГ4, работающих в сети напряжения 35 кВ, имеют истинные значения и не

требуют пересчета. При расчете реактивного сопротивления трансформатора Т1

использовано напряжение U

BН

= 35 кВ, поэтому сопротивление х

Т1

также не тре-

бует пересчета.

При приведении реактивных сопротивлений линий Л2 и Л3, работающих в

сети 10 кВ, а также трансформаторов Т2 и Т3, для расчета реактивных сопротив-

лений которых было использовано напряжение 10 кВ, может быть использовано

следующее выражение:

х хn

Т

o

=×( ),

1

2

где n

Т1

- коэффициент трансформации трансформатора Т1:

n

Т1

35

11

3 18= = ,.

Тогда приведенные значения параметров схемы замещения будут равны:

х х

Л Л Т Л

Т Т Т Т

х n

o

o o

2 2 1

2

3 3 1

2

3

2

2 2 1

2

3 3 1

2

3

2

2 35 318 23 76

4 5 3 18 45 51

11 25 3 18 113 76

8 73 3 18 88 28

= × = × =

, , , , ,

, ,, , ,

, , , , ,

, , , , .

Ом

Для тока нагрузки НГ1, включенной также в сети 10 кВ, получим:

I

o

У

Т

n

=

1

,

I

o

У 1

0 017

3 18

0 0053 53=

-

=- -

,

, , кА= А .

Узлы нагрузки НГ2 и НГ3 включены в сети 0,4 кВ и отделены от основной

ступени трансформаторами Т1 и Т2, Т3. Поэтому для них формула приведения то-

ка будет содержать два коэффициента трансформации:

125

n n

Т Т2 3

10

04

25

10

04

25= = = =

,

;

,

.

Тогда для токов нагрузок НГ2 и НГ3 будем иметь:

I I

I

o

У У

У

Т Т

n n

2 2

2

1 2

0 505

3 18 25

0 0064 64=

×

=

-

×

=- -,

,

, ,, кА= А

I I

I

o

У У

У

Т Т

n n

3 3

3

1 3

0 722

3 18 25

0 0091 91=

×

=

-

×

=- -,

,

, ,. кА= А

Схема замещения, приведенная к ступени напряжения 35 кВ, с указанием

параметров ее элементов показана на рис. 6.9.

Рис. 6.9. Схема замещения

2. Расчет напряжений в узлах электрической сети

Обобщенное уравнение состояния для разомкнутой сети в соответствии с

(3.5) имеет вид:

уРв

II ×= С .

Пронумеруем ветви и узлы схемы замещения, присвоив балансному узлу

(узлу источника) последний номер, и зададимся произвольными направлениями

токов ветвей. Получим направленный граф, приведенный на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Граф сети

Для рассматриваемой задачи матрица С

р

имеет вид:

126

1 2 3 4 5 6

узлы

ветви

1

2

3

4

5

6

6 74 4 44 84444

С

р

=

------

--- --

- -

-

- -

-

é

ë

ê

ù

û

ú

ü

ý

ï

þ

ï

111111

1110 11

010010

0 10000

001001

00 1000

Матрица I

o

У

для рассматриваемой задачи имеет вид:

I

o

У

=

é

ë

ê

ù

û

ú

=

é

ë

ê

ù

û

ú

-

1

2

3

4

5

6

53

64

91

165

0

,

А .

Определим токи ветвей:

I I I

o oo

в Ув

=× =

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

------

--- --

- -

-

- -

-

×

-

С

р

,

= А

111111

111011

0 100 10

010000

001001

001000

53

64

91

165

0

373

208

64

91

.

Далее найдем матрицу-столбец напряжений ветвей U

в

путем умножения

матрицы сопротивлений Z

в

на матрицу-столбец токов ветвей I

в

:

(

)

0

=

-

×

=

в

ЕЕIZU ,

где Z

в

- диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны соот-

ветствующим сопротивлениям ветвей:

Z

o

в

=

é

ë

ê

ù

û

ú

840 0 0 0 0

0 498 0 0 0 0

0 0 23 76 0 0 0

0 0 0 113 76 0 0

0 0 0 0 45 51 0

0 0 0 0 0 88 28

,

Ом

.

127

U Z U

o ooo

в вв в

=× =

é

ë

ê

ù

û

ú

×

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

I,

,

= В

840 0 0 0 0

04980 0 0 0

0 0 23 76 0 0 0

00 0 113 76 0 0

00 0 045510

00 0 0 0 88 28

373

208

64

91

313 32

1035 84

152 06

728 06

414 14

803 35

.

Таким образом,

U

o

в

=

é

ë

ê

ù

û

ú

=

é

ë

ê

ù

û

ú

1

2

3

4

5

6

313 32

1035 84

152 06

728 06

414 14

803 35

В.

,

Используя С

р

, можно определить напряжения узлов относительно базисно-

го U

o

D

по следующему выражению:

U

С

U

D

=

×

р t в

,

где С

р t

- матрица, транспонированная по отношению к С

р

:

U С U

o

D

= ×

р t

в

, U

o

D

=

é

ë

ê

ù

û

ú

-

----

-- --

-

---

-- -

1

0

111100

110011

100000

111000

110010

·

= В.

313

32

1035 84

152 06

728 06

414 14

803 35

1349

16

2229 28

2566 65

313 32

1501 22

1763 3

,

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

-

В этом случае матрицу напряжений узлов получим следующим образом:

U n U

У б

U= ×+ ×3

D

,

где U

б

= 37,5 кВ - напряжение базисного узла,

n =

é

ë

ê

ù

û

ú

1

- единичная матрица.

Тогда

128

U

o

У

=

37500 3

1

×

é

ë

ê

ù

û

ú

+

-

é

ë

ê

ù

û

ú

é

ë

ê

ù

û

ú

1349

16

2229 28

2566 65

313 32

1501 22

1763 3

35163

2

33638 8

33054 4

36957 3

34899 8

34445 9

,

= В.

Действительные напряжения узлов будут равны:

U

n

U

У

Т

1д 1д

= = =

o

1

35 163

3 18

11 057,

,

, (кВ),

U

n n

U

У

Т

2д 2д

=

×

=

×

=

o

2

1

2

33 639

3 18 25

0 423,

,

, (кВ),

U

n n

U

У

Т

3д 3д

=

×

=

×

=

o

3

1

3

33 054

3 18 25

0 416,

,

, (кВ),

U U U

У

4д 4д

= =

o

4

36 957, , (кВ),

U

n

U

У

Т

5д 5д

= = =

o

5

1

34 899

3 18

10 97,

,

, (кВ),

U

n

U

У

Т

6д 6д

= = =

o

6

1

34 446

3 18

10 83,

,

, (кВ).

Задача 3. Рассчитать режим токов и напряжений, используя уравнения уз-

ловых напряжений и обращение матрицы коэффициентов с помощью метода Га-

усса без обратного хода. Схема сети представлена на рис. 6.11. Активными сопро-

тивлениями элементов схемы замещения и потерями холостого хода трансформа-

тора пренебречь. Расчет выполнить по полным значениям мощностей.

Рис. 6.11. Схема электрической сети

Исходные данные:

· линии электропередачи: Л1 -

l

= 50 км, х

l

= 0,4 Ом/км,

Л2 -

l

= 40 км, х

l

= 0,42 Ом/км,

Л3 -

l

= 30 км, х

l

= 0,41 Ом/км;

· трансформатор Т: S

ном

= 16 МВ·А, U

ВН

= 220 кВ, U

НН

= 35 кВ, u

к

= 10 % ;

129

· нагрузки: НГ1 S

НГ 1

= 7 МВ·А,

НГ2 S

НГ 2

= 8 МВ·А,

НГ3 S

НГ 3

= 5 МВ·А;

· источник И: S

И

= 6 МВ·А.

Решение:

1. Расчет схемы замещения

Схема замещения сети приведена на рис. 6.12.

Рис. 6.12. Схема замещения сети

По условиям задачи активными сопротивлениями схемы замещения и поте-

рями холостого хода трансформатора пренебрегаем. Поскольку наиболее разветв-

ленной является сеть 35 кВ, то приведем схему замещения именно к этой ступени.

Реактивные сопротивления элементов имеют следующие значения:

· линии электропередачи в соответствии с (6.8):

х

Л

1

2

3

0 4 50 20

0 42 40 16 8

0 41 30 12 3 (Ом).

=

×

=

= ×=

,

, ,

(Ом),

· силовой трансформатор в соответствии с (6.9):

х

Т

= × =

10

100

35

16

7 66

2

, . Ом

Токи нагрузок и источника в соответствии с (6.10):

I

У

1

2

3

7

3 35

0 116

8

3 35

0 132

5

3

35

0 082

=-

×

=-

×

=-

×

=-

, ,

,

кА

кА,

I

У 4

6

3

35

0 099=

×

= , . кА

Узел связи рассматриваемой сети с системой будем считать балансным по

току и базисным по напряжению. Напряжение этого узла, приведенное к основной

ступени, будет равно:

U Un U

б

б T

б

o

= × = × =, ,230

35

220

36 59 кВ.

130

Схема замещения с указанием параметров ее элементов приведена на

рис.6.13.

59,36=

б

U

o

кВ

Рис. 6.13. Схема замещения

2. Расчет напряжений в узлах электрической сети

Уравнение узловых напряжений при отсутствии ЭДС ветвей в соответствии

с (3.7) будет иметь вид:

У

IUY

=

×

D

.

Присвоив балансному узлу последний номер, граф сети получим в виде, по-

казанном на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Граф сети

В соответствии с графом (рисунок 6.14) и схемой замещения (рис. 6.13)

имеем:

М М=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

1001

1110

0 0 10

0 100

1 100

0101

0 1 10

1000

t

,

Z Z

в в

=

é

ë

ê

ù

û

ú

=

é

ë

ê

ù

û

ú

-

200 0 0

01680 0

0 01230

00 0 7 66

0050 0 0

00060 0

0 00080

0 0 0 0 13

1

,

МZ× =

-

é

ë

ê

ù

û

ú

×

é

ë

ê

ù

û

ú

=

-

é

ë

ê

ù

û

ú

-

в

1

100 1

1110

0 0 10

0 100

0050 0 0

00060 0

0 00080

0 0 0 0 13

0 05 0 0 0 13

0 05 0 06 0 08 0

0 0 0080

0 0060 0

,

, ,

, , ,

,

Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

Подождите немного. Документ загружается.