Васюра Ю.Ф. Математические методы расчета установившихся режимов работы электроэнергетических сетей

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВ Е Р СИТ Е Т "

Кафедра электроэнергетических систем

Ю.Ф.Васюра

А.В.Вильнер

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С ПРИМЕРАМИ И ИЛЛЮСТРАЦИЯМИ

Учебное пособие

Киров 2009

УДК 621.31(07)

В204

Васюра Ю.Ф., Вильнер А.В. Математические методы расчета

установившихся режимов работы электроэнергетических

систем с примерами и иллюстрациями: Учебное пособие. –

Киров: Изд-во Кировский облкомстат, 2009. -146 с.

Учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения одноимен-

ного курса студентами специальности 140205 дневной и заочной формы обучения

В пособии рассматривается применение алгебры матриц и теории графов с

элементами топологии к анализу электроэнергетических систем и сетей. Изложе-

ны основные идеи применения численных методов при решении задач по расчету

установившихся режимов работы систем. Приведены примеры решения задач.

Пособие предназначено для студентов электроэнергетических специально-

стей. Может быть полезно студентам других электротехнических специальностей.

Работа подготовлена на кафедре электроэнергетических систем Вятского

государственного университета

Издание 2-е, исправленное

Компьютерный набор Т.А.Сапожникова

Подписано в печать Усл.печ.л.

Бумага книжно-журнальная. Печать офсетная.

Заказ № Тираж

Текст напечатан с оригинал-макета, предоставленного автором

Изготовление – Кировский областной комитет государственной

статистики, Киров, ул. Горбачева, 40

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................................ 5

1. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ...........................................................7

1.1. Некоторые сведения об электроэнергетических системах...............................7

1.2. Порядок решения научно-технических задач с помощью ЭВМ.................... 10

1.3. Общие сведения о схемах замещения ............................................................. 13

1.4. Система обозначений ....................................................................................... 17

1.5. Применение уравнений законов Кирхгофа ..................................................... 22

1.6. Уравнения узловых напряжений ..................................................................... 24

1.7. Уравнения контурных токов ............................................................................ 29

2. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ МАТРИЦ И ТЕОРИИ ГРАФОВ К РАСЧЕТУ

РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СЕТЕЙ................. 32

2.1. Общие положения ............................................................................................ 32

2.2. Некоторые сведения из алгебры матриц ......................................................... 33

2.3. Схема замещения сети как связанный направленный граф........................... 37

2.4. Матрицы соединений графа электрической сети ........................................... 40

2.4.1. Матрица соединений ветвей графа в узлах (первая матрица инциденции)

............................................................................................................................... 40

2.4.2. Матрица соединений ветвей графа в независимых контурах

(вторая матрица инциденции)............................................................................. 44

2.5. Независимые параметры режима электрической цепи .................................. 47

3. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ..................................................................................... 51

3.1. Обобщенное уравнение состояния .................................................................. 51

3.2. Уравнение узловых напряжений...................................................................... 53

3.3. Уравнение контурных токов ............................................................................ 55

3.4. Обобщенные параметры схем электрических систем .................................... 57

4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ..................................................................................... 58

4.1. Линейные и нелинейные уравнения состояния .............................................. 58

4.2. Особенности систем линейных уравнений и методы их решения................. 58

4.3. Решение уравнений состояния методом Гаусса ............................................. 60

4.3.1. Метод Гаусса с обратным ходом ............................................................. 60

4.3.2. Метод Гаусса без обратного хода (метод Жордана).............................. 62

4.3.3. Сравнительная вычислительная эффективность методов Гаусса с

обратным ходом и без обратного хода .............................................................. 64

4.3.4. Влияние округления и погрешности задания исходных данных на

точность решения методом Гаусса................................................................... 65

4.4. Применение обратных матриц для решения уравнений ................................ 68

4.4.1. Классический метод получения обратной матрицы................................ 69

4.4.2. Получение обратных матриц с помощью метода Гаусса без

обратного хода..................................................................................................... 70

4.4.3. Обращение матрицы коэффициентов методом перестановки

столбцов................................................................................................................ 74

4.4.4. Получение обратной матрицы методом факторизации......................... 77

4.5. Итерационные методы решения систем линейных уравнений...................... 83

4.5.1. Метод простой итерации.......................................................................... 84

4.5.2. Метод Зейделя ............................................................................................ 87

4.6. Методы решения нелинейных систем уравнений .......................................... 92

4.6.1. Причины нелинейности уравнений состояния в расчетах

электроэнергетических систем и сетей ............................................................ 92

4.6.2. Применение метода внешней итерации.................................................... 94

4.6.3. Применение итерационных методов для решения нелинейных

уравнений............................................................................................................... 94

4.6.4. Применение метода Ньютона для решения одного уравнения ............... 96

4.6.5. Применение метода Ньютона для решения систем уравнений

любого порядка ..................................................................................................... 98

4.6.6. Применение метода Ньютона для решения уравнений узловых

напряжений......................................................................................................... 100

5. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ РАСЧЕТОВ РЕЖИМОВ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ....................................................... 103

5.1. Приведение комплексных уравнений к системе действительных

уравнений............................................................................................................... 103

5.2. Учет слабой заполненности матриц коэффициентов уравнений

состояния при расчетах установившихся режимов ............................................. 104

5.3. Эквивалентирование в расчетах установившихся режимов

электрических систем............................................................................................ 106

5.4. Разделение на подсистемы............................................................................. 108

6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТРИЧНЫМИ МЕТОДАМИ ............. 111

6.1. Составление схем замещения электрической сети....................................... 111

6.2. Примеры решения задач ................................................................................ 115

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................ 142

ПРЕДИСЛОВИЕ

Содержание пособия соответствует одному из разделов программы курса

“Применение ЭВМ в электроэнергетике” государственного образовательного

стандарта высшего профессионального образования от 27.03.2000 г. по специаль-

ности 140205 – “Электроэнергетические системы и сети”.

Расчеты установившихся режимов работы электроэнергетических систем и

сетей принадлежат к числу задач, решение которых имеет важное значение как

при эксплуатации систем, так и в ходе их проектирования и исследования. Особое

место этих задач в общем комплексе режимных расчетов определяется тем об-

стоятельством, что они имеют не только самостоятельное значение при определе-

нии потокораспределений, напряжений, токов и потерь мощности в сетях, но и

являются исходными при решении задач оптимизации режимов, при расчетах пе-

реходных электромеханических процессов, при определении токов короткого за-

мыкания.

Настоящее пособие посвящено изложению способов анализа и расчета ус-

тановившихся режимов электроэнергетических систем и сетей, характерных для

современных условий, когда расчеты режимов сложных систем и сетей выполня-

ются с помощью ЭВМ. В этих условиях важное значение приобретает формали-

зация описания каждой задачи таким образом, чтобы ее подготовка к решению и

передача информации в ЭВМ могли бы осуществляться в единой последователь-

ности независимо от конкретных условий решаемой задачи. При этом существен-

но также иметь возможность такого математического описания задачи определе-

ния параметров режима, которое приобретает обозримый вид и позволяет полу-

чить после соответствующего анализа общие выводы, не ограниченные рамками

лишь исследуемой системы. Указанную возможность для расчетов режимов

сложных электроэнергетических систем и сетей открывает применение методов

алгебры матриц в сочетании с некоторыми приемами и положениями теории гра-

фов и элементами топологии цепей.

Для решения алгебраических систем уравнений установившихся режимов

зачастую используются программы стандартного математического обеспечения

ЭВМ. В большинстве случаев при реализации алгоритмов, разработанных для

анализа режимов, применяются специальные программы, в которых решение

уравнений осуществляется теми или иными методами вычислительной математи-

ки. Между тем специфика и эффективность некоторых алгоритмов определяется

сочетанием той или иной формы уравнений, принятых для описания установив-

шегося режима, и метода их решения. Эти соображения определили решение из-

ложить в настоящем пособии в элементарной форме сущность некоторых методов

вычислительной математики, нашедших применение в практике расчетов электро-

энергетических систем.

Учитывая специфику расчетов режимов современных электроэнергетиче-

ских систем и сетей, в пособии авторы уделили определенное внимание приемам,

которые могут быть использованы для преодоления трудностей, возникающих при

расчетах схем большой сложности, таким, как разделение исходных схем на под-

схемы, учет топологии сети и эквивалентирование.

Цель пособия – связать математику как общетеоретическую дисциплину с

практическими ее применениями в работе инженера-электроэнергетика и дать

конкретный практический аппарат для инженерных исследований. Теоретический

материал рассматривается в пособии только в той мере, в какой нужен для реше-

ния поставленных задач.

При написании пособия авторы использовали свой опыт чтения лекций по

указанному курсу в Вятском государственном университете.

В пособии нет библиографических ссылок и указаний на первоисточники и

заимствования, которые при необходимости делались из всех известных авторам

отечественных изданий. Список литературы содержит только указания на допол-

нительные материалы, полезные и доступные студентам при работе с данным по-

собием или необходимые для справок и углубленного изучения отдельных вопро-

сов.

1. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Некоторые сведения об электроэнергетических системах

Под электроэнергетической системой понимают электрическую часть еди-

ной энергетической системы, представляющую собой совокупность элементов,

предназначенных для производства, преобразования, передачи, распределения и

потребления электрической энергии (рис.1.1).

Рис.1.1 Структурная схема энергетической системы

Разумеется, электроэнергетическая часть системы имеет свою специфику,

отличную от теплоэнергетической и гидроэнергетической частей. Например, на

рис.1.2 представлена принципиальная схема относительно простой электроэнерге-

тической системы, содержащей пять электростанций (ТЭЦ-3, ТЭЦ-4, ТЭЦ-5, ГЭС,

АЭС) и четыре понизительные подстанции (одна 220/110 кВ, две 110/10 кВ, одна

110/6 кВ), связанные между собой девятью линиями электропередачи разных но-

минальных напряжений (Л1 – Л9). Суммарная нагрузка потребителей, питающих-

ся от шин низшего напряжения каждой из подстанций, условно обозначена на

рис.1.2 стрелками. К обмотке низшего напряжения автотрансформатора подстан-

ции 220/110 кВ подключен синхронный компенсатор СК.

Электроэнергетическая система включает в себя силовые элементы: генера-

торы, трансформаторы, преобразователи, линии электропередачи, электроэнерге-

тические сети и нагрузки (потребителей электроэнергии). Изменение и регулиро-

вание состояния системы или, как принято говорить, ее режима осуществляется

элементами управления.

Первичные

источники

энергии

Тепловая

энергия

Электроэнергетическая система

Электроэнергетические сети

Средства

распределения

тепловой энергии

Потребители

тепловой энергии

Средства

распределения

электрической

энергии

Потребители

электроэнергии

Электрические

станции

Электрическая

энергия

Преобразователи

первичных

источников энергии

Средства

электри

передачи

преобразования

ческой

энергии

Средства

тепловой энергии

передачи

преобразования

Электроэнергетические сети – это условно выделенные части системы, си-

ловые элементы которых осуществляют преобразование, передачу и распределе-

ние электроэнергии. В зависимости от величин напряжений, на которых они рабо-

тают, различают сети высоких напряжений, средних и распределительные. По-

следние, как правило, выполняются на относительно низкие напряжения. Обычно

сети включают в себя линии электропередачи и трансформаторные подстанции

(рис.1.2).

Рис.1.2 Принципиальная схема электроэнергетической системы

Работа электроэнергетических систем и сетей (ЭЭС) характеризуется их ре-

жимами, отражающими с помощью параметров режимов их состояние в любой

момент времени или на некотором интервале времени. К параметрам режимов от-

носятся напряжения в различных точках ЭЭС, токи в их элементах, углы расхож-

дения векторов ЭДС и напряжений, активные и реактивные мощности и т.д.

При анализе и составлении математических моделей ЭЭС различают три

основных вида их режимов:

- нормальные установившиеся режимы, применительно к которым проек-

тируются ЭЭС и определяются их технико-экономические характеристики;

- послеаварийные установившиеся режимы, наступающие после аварийно-

го отключения какого-либо элемента или ряда элементов ЭЭС; в этих режимах

ЭЭС могут работать с несколько ухудшенными технико-экономическими характе-

ристиками;

ГЭС

АЭС

ТЭЦ-5

ТЭЦ-3

ТЭЦ-4

СК

Сеть

110 кВ

Сеть

220 кВ

П/ст 220/110 кВ

П/ст 110/10 кВ

П/ст 110/6 кВ

П/ст

110/10 кВ

Л1 Л2

Л3

Л4

Л5 Л6

Л7

Л8

Л9

1НГ

2НГ

3НГ

НГ4

- переходные режимы, во время которых ЭЭС переходят от одного состоя-

ния к другому.

В любом случае режим ЭЭС определяется состоянием и процессами, проис-

ходящими в каждом из ее элементов. При этом под установившимися понимают

состояние тех из режимов, при которых параметры режима изменяются незначи-

тельно в течение длительного времени и колеблются, как правило, относительно

некоторой средней величины. Такие режимы иногда называют квазиустановив-

шимися (т.е. “почти установившимися”) режимами или режимами малых колеба-

ний. Математически такие режимы обычно описываются системами линейных и

нелинейных алгебраических уравнений.

Под переходными понимают режимы, при которых параметры режима в те-

чение непродолжительного времени имеют значительные изменения. Среди этих

режимов выделяют нормальные переходные режимы (процессы) и аварийные:

- нормальные переходные процессы сопровождают нормальные рабочие

изменения в схемах ЭЭС или в режимах работы их электрооборудования; они

обусловлены изменениями нагрузки ЭЭС и реакцией на них регулирующих уст-

ройств; возникают при обычных эксплуатационных операциях: включении и от-

ключении трансформаторов, а также отдельных линий электропередачи, нормаль-

ных эксплуатационных изменениях схемы коммутации ЭЭС, включении и отклю-

чении отдельных генераторов и нагрузок или изменениях их мощностей; при нор-

мальных переходных процессах отклонения параметров режимов от их устано-

вившихся значений часто настолько невелики, что для описания ЭЭС можно при-

менить линейные дифференциальные уравнения;

- аварийные переходные процессы сопровождают какие-либо значитель-

ные аварийные изменения режимов ЭЭС: при коротких замыканиях элементов

ЭЭС и последующем их отключении; аварийном изменении схем соединения

ЭЭС, например, случайном (аварийном) отключении агрегатов или линий элек-

тропередачи, несущих значительные нагрузки; эти изменения в математической

теории ЭЭС называют большими возмущениями или воздействиями, они при-

водят к значительным отклонениям параметров режимов от их исходного состоя-

ния, для их исследования привлекается аппарат линейных и нелинейных диффе-

ренциальных уравнений, аппарат дифференциальных уравнений в частных произ-

водных и др.

Анализ параметров режимов ЭЭС и их элементов в зависимости от создав-

шейся в ЭЭС ситуации, поиск оптимальных законов текущего и перспективного

регулирования и управления ими, а также проектирование ЭЭС с позиций обеспе-

чения надежного электроснабжения потребителей являются важнейшими задача-

ми строительства и эксплуатации ЭЭС, требующими широкого применения мате-

матических методов и имитационного математического моделирования.

При проведении расчетов установившихся режимов ЭЭС основными зада-

чами являются нахождение распределения в них потоков мощностей, токов и на-

пряжений, а также условий достижения ими оптимальных величин. Для решения

этих задач применяется матричная запись систем линейных и нелинейных алгеб-

раических уравнений с использованием методов теории графов и элементов топо-

логии цепей; установившиеся режимы рассчитываются как при детерминирован-

ных, так и при вероятностных условиях; при реализации расчетов используются

методы численного решения систем алгебраических уравнений и численные ме-

тоды поиска оптимальных решений.

Основными задачами исследования переходных процессов ЭЭС является

определение их устойчивости или устойчивости их отдельных элементов в экс-

тремальных условиях. Целями этих исследований являются: проверка способно-

сти ЭЭС восстанавливать исходный установившийся режим или практически

близкий к нему после какого-либо его изменения; проверка способности элемен-

тов ЭЭС работать в условиях воздействия на них больших токов короткого замы-

кания или перенапряжений; определение условий работы устройств противоава-

рийной автоматики и средств защиты, обеспечивающих предотвращение развития

возникающих аварийных ситуаций; решение указанных задач требует применения

методов анализа процессов с помощью исследования характеристик описываю-

щих их линейных дифференциальных уравнений или применения численных ме-

тодов интегрирования линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и

др.

1.2. Порядок решения научно-технических задач с помощью ЭВМ

В современных условиях при проектировании, эксплуатации и исследовании

режимов работы сложных ЭЭС расчеты их установившихся режимов являются

наиболее часто встречающимися видами расчетов. Так, при проектировании ЭЭС

эти расчеты производятся с целью выбора и уточнения параметров элементов

ЭЭС. В процессе эксплуатации результаты расчетов режимов используются для

оперативного управления и прогнозирования работы ЭЭС на разных уровнях ав-

томатизированной системы диспетчерского управления (АСДУ). Их целью явля-

ется оценка допустимости режима по техническим условиям работы электрообо-

рудования и нахождение режимов, оптимальных по техническим критериям. Кро-

ме этого, расчеты установившихся режимов производятся при получении исход-

ных данных для нахождения токов короткого замыкания, исследования статиче-

ской и динамической устойчивости и т.д.

Среди важнейших особенностей задач расчета установившихся режимов

ЭЭС необходимо отметить их нелинейность, которая выражается в том, что, во-

первых, искомые параметры режима (напряжения и токи) связаны между собой

через мощности как произведения комплексных величин либо как выражения, со-

держащие тригонометрические функции фаз токов и напряжений, во-вторых,

мощности генераторов и нагрузок часто могут быть представлены как нелинейные

зависимости от других параметров режима (например, напряжения и частоты).

Нелинейность уравнений, описывающих установившиеся режимы ЭЭС, приводит

к необходимости использования для решения итерационных методов, которые