Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЦЕНТР ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
А.Н. ТЫРСИН
МАТЕМАТИКА
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебное пособие
Челябинск – 2007
УДК [51:33](076.5)
ББК 22.1я73
А.Н. Тырсин. Математика. Теория вероятностей и математическая стати-
стика: Учебное пособие. Челябинск: Челябинский государственный универси-
тет, 2007, 209 с.
В учебном пособии в соответствии с ГОС высшего профессионального об-
разования раскрыты основные разделы курса «Теория вероятностей и матема-
тическая статистика». Изложение теоретического материала сопровождается
иллюстративными примерами.
Предназначается студентам II
курса экономических и управленческих спе-
циальностей заочной формы обучения.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Челябинского
государственного университета.
Рецензенты: кафедра экономико-математических методов и статистики
Южно-Уральского государственного университета;
Г.А.
Свиридюк, доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой уравнений математической физики Южно-
Уральского государственного университета
© Челябинский государственный университет, 2007.
© А.Н.
Тырсин, 2007.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................. 7
ПРОГРАММА КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА» .......................................................................................................... 8
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ................................................................. 11
Глава 1. События и их вероятности......................................................................... 11
1.1. Определение понятия «вероятность»............................................................... 11
1.2. Конечное вероятностное пространство ........................................................... 12
1.3. Случайные события ........................................................................................... 13
1.4. Операции над событиями.................................................................................. 14
1.5. Простейшие свойства вероятностей................................................................. 15
1.6. Классическое определение вероятности.......................................................... 16
1.6.1. Элементы комбинаторики.............................................................................. 16
1.7. Геометрическая вероятность............................................................................. 17
1.8. Условные вероятности....................................................................................... 19
1.9. Формула полной вероятности и формула Байеса
........................................... 21
1.10. Независимость событий .................................................................................. 23
1.11. Статистическая независимость....................................................................... 24
Глава 2. Дискретные случайные величины ............................................................ 24
2.1. Счетное вероятностное пространство.............................................................. 25
2.2. Дискретные случайные величины.................................................................... 25
2.3. Схема Бернулли.................................................................................................. 25
2.3.1. Распределение числа успехов в n испытаниях............................................. 25
2.3.2. Наиболее вероятное число успехов............................................................... 28
2.3.3. Номер первого успешного испытания .......................................................... 29
2.4. Математическое ожидание................................................................................ 30
2.5. Общие свойства математического ожидания.................................................. 31
2.6. Дисперсия случайной величины....................................................................... 31
2.7. Общие свойства дисперсии............................................................................... 32
2.8. Индикаторы событий
......................................................................................... 33
2.9. Независимость случайных величин ................................................................. 34
2.10. Некоррелированность случайных величин ................................................... 35
2.11. Предельные теоремы для схемы Бернулли ................................................... 36
2.11.1. Пуассоновское приближение....................................................................... 37
2.11.2. Нормальное приближение............................................................................ 39
2.11.3. О применимости предельных теорем в схеме Бернулли .......................... 40
2.12. Неравенства Чебышева.................................................................................... 41
2.13. Теорема Чебышева ........................................................................................... 42
Глава 3. Общие случайные величины ..................................................................... 44
3.1. Общее определение вероятностного пространства........................................ 45
3.2. Случайные величины (общий случай) ............................................................. 45
3.3. Непрерывные случайные величины................................................................. 48
3.3.1. Понятие непрерывной случайной
величины................................................ 48
4
3.3.2. Примеры абсолютно непрерывных распределений .................................... 50
3.4. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины. 52
3.5. Нормальное распределение............................................................................... 57
Глава 4. Совместное распределение случайных величин..................................... 60
4.1. Совместная функция и плотность распределения.......................................... 60
4.1.1. Двумерная случайная величина..................................................................... 61
4.1.2. Условные законы распределения двумерной дискретной случайной вели-
чины ............................................................................................................................ 63
4.2. Математическое ожидание функции от случайных величин........................ 64
4.3. Независимость случайных величин ................................................................. 64
4.4. О некоррелированных зависимых случайных
величинах ............................. 65
4.5. Преобразования случайных величин ............................................................... 66
4.5.1. Преобразования одной случайной величины............................................... 66
4.5.2. Композиция законов распределений............................................................. 68
4.6. Многомерное нормальное распределение....................................................... 70
Глава 5. Предельные законы теории вероятностей ............................................... 72
5.1. Закон больших чисел ......................................................................................... 73
5.2. Центральная предельная теорема..................................................................... 73
Глава 6. Цепи Маркова ............................................................................................. 75
6.1. Основные понятия теории марковских цепей................................................. 75
6.2. Теорема о предельных вероятностях ............................................................... 77
6.3. Области применения цепей Маркова............................................................... 78
РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.............................................. 80
Глава 7. Основы
выборочного метода .................................................................... 81
7.1. Общие сведения о выборочном методе ........................................................... 81
7.2. Вариационные ряды и их характеристики....................................................... 82
7.2.1. Вариационные ряды и их графическое изображение.................................. 82
7.2.2. Средние величины........................................................................................... 83
7.2.3. Показатели вариации и формы распределения............................................ 84
7.3. Понятие оценки параметров.............................................................................. 86
7.3.1. Среднее арифметическое выборочных значений как оценка математиче-
ского ожидания.......................................................................................................... 87
7.3.2. Свойства оценки дисперсии........................................................................... 88
7.3.3. Сравнение оценок............................................................................................ 89
7.4. Оценка функций распределения и
плотности................................................. 90
Глава 8. Точечные и интервальные оценки параметров распределений............. 94
8.1. Методы построения точечных оценок............................................................. 94
8.1.1. Метод моментов .............................................................................................. 94
8.1.2. Метод максимального правдоподобия ......................................................... 96
8.1.3. Метод наименьших квадратов ....................................................................... 98
8.2. Неравенство Рао–Крамера–Фреше................................................................... 99
8.3. Интервальные оценки числовых характеристик случайных величин........ 101
8.3.1. Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при известной дисперсии ............................................................. 102
5
8.3.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального
распределения при неизвестной дисперсии ......................................................... 103
8.3.3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения .. 104
Глава 9. Проверка статистических гипотез .......................................................... 105
9.1. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки.................................. 105
9.2. Критерии согласия ........................................................................................... 108
9.2.1. Критерий согласия χ
2
−Пирсона................................................................... 108
9.2.2. Критерий согласия Колмогорова−Смирнова ............................................. 111
9.3. Критерии однородности .................................................................................. 113
9.3.1. Критерий однородности Смирнова............................................................. 113
9.3.2. Критерий Вилкоксона−Манна−Уитни........................................................ 114
9.4. Гипотезы о числовых характеристиках случайных величин ...................... 117
9.4.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при из-
вестных математических ожиданиях .................................................................... 117
9.4.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий случайной величины при неиз-
вестных математических ожиданиях .................................................................... 118
9.4.3. Проверка гипотез
о равенстве математических ожиданий случайных ве-
личин при известных дисперсиях.......................................................................... 119
9.4.4. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий случайных ве-
личин при неизвестных дисперсиях...................................................................... 120
9.5. Проверка гипотез о стохастической независимости элементов выборки.. 122
9.5.1. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий ...................................... 122
9.5.2. Критерий стохастической независимости Аббе ........................................ 123
РАЗДЕЛ 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕН-
ТАЛЬНЫХ ДАННЫХ............................................................................................. 125
Глава 10. Дисперсионный анализ .......................................................................... 126
10.1.
Основные понятия дисперсионного анализа............................................... 126
10.2. Однофакторный дисперсионный анализ ..................................................... 127
10.2.1. Аддитивная модель однофакторного дисперсионного анализа............. 127
10.2.2. Базовая таблица однофакторного дисперсионного анализа................... 128
10.3. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе ................................ 131
10.3.1. Модель данных при независимом действии двух факторов .................. 131
10.3.2. Базовая таблица двухфакторного дисперсионного анализа при независи-
мом действии факторов .......................................................................................... 132
10.3.3. Модель данных при взаимодействии факторов....................................... 133
Глава 11. Корреляционный анализ........................................................................ 134
11.1. Типы признаков и их классификация .......................................................... 134
11.2. Виды зависимостей между количественными переменными ................... 135
11.2.1. Функциональные и статистические зависимости.................................... 135
11.2.2. Типы корреляционных зависимостей ....................................................... 136
11.3. Анализ парных статистических связей между количественными перемен-
ными.......................................................................................................................... 137
11.3.1. Диаграмма рассеяния. Эмпирическая линия регрессии.......................... 137
11.3.2. Измерение тесноты парной связи. Коэффициент корреляции............... 139
11.3.3. Проверка наличия корреляции. Интервальная оценка r
xy
....................... 142
6
11.3.4. Оценка тесноты нелинейной связи............................................................ 143
11.4. Анализ множественных количественных связей........................................ 147
11.4.1. Множественный коэффициент корреляции ............................................. 148
11.4.2. Частный коэффициент корреляции........................................................... 149
11.5. Ранговая корреляция...................................................................................... 149
11.5.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена ....................................... 150
11.5.2. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла ........................................ 151
11.5.3. Анализ множественных ранговых связей................................................. 153
Глава 12. Регрессионный анализ ........................................................................... 154
12.1. Основные положения регрессионного анализа........................................... 154
12.1.1. Задачи регрессионного анализа ................................................................. 155
12.1.2. Многомерная нормальная регрессионная модель ................................... 155
12.1.3. Выбор общего вида
функции регрессии................................................... 156
12.1.4. Оценивание параметров функции регрессии ........................................... 156
12.2. Парная линейная регрессионная модель ..................................................... 157
12.2.1. Линейная одномерная модель регрессии.................................................. 157
12.2.2. Оценка точности регрессионной модели.................................................. 159
12.2.3. Оценка значимости уравнения регрессии ................................................ 162
12.3. Общий случай регрессии............................................................................... 164
12.3.1. Множественный линейный регрессионный анализ ................................ 164
12.3.2. Нелинейные модели регрессии.................................................................. 166
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ .............................................. 167
Ответы к задачам для самостоятельной работы .................................................. 177
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА..................................................................................... 179
ВОПРОСЫ ДЛЯ
САМОКОНТРОЛЯ.................................................................... 194
ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ............................................................................. 197
Вопросы теста.......................................................................................................... 197
Ответы на тест ......................................................................................................... 201
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................................... 202
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ ............................................................ 203
7
ВВЕДЕНИЕ
Общие сведения.
Математика – система наук, изучающих количественные отношения и
пространственные формы реальности. Математика является одной из важ-
нейших составных частей подготовки современного экономиста и менеджера.
Цели и задачи изучений дисциплины.
Цель изучения данной дисциплины – приобретение студентами теоретиче-
ских знаний и практических навыков по основным понятиям теории вероятно-
стей и
математической статистики.
Задачи курса:
1. Овладение студентами основными понятиями и методами теории веро-
ятностей и математической статистики, что дает возможность использовать эти
методы и понятия при изучении на последующих курсах учебных дисциплин,
использующих математические методы.
2. Овладение студентами навыками применения основных математических
понятий и методов теории вероятностей и математической статистики при
ис-
следовании конкретных экономических и управленческих задач, что дает им
возможность применять эти методы и понятия в будущей профессиональной
деятельности.
Связь с другими учебными дисциплинами.
Базовыми для данного курса являются дисциплины «Микроэкономика»,
«Макроэкономика», «Математика».
Знания, полученные при изучении данного курса, могут найти применение:
- при изучении курсов «Экономическая теория», «
Общая и экономическая
статистика», «Математические модели в экономике и управлении», «Эконо-
митрика» и т.д.,
- при изучении ряда прикладных экономических дисциплин, например «Пла-
нирование и прогнозирование в условиях рынка», «Теория фирмы», «Эко-
номический анализ», «Логистика», «Методы принятия управленческих ре-
шений» и т.д.,
- в курсовом и дипломном проектировании.
ВЫПИСКА
ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Специальности «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и ау-
дит»:
Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные события; часто-
та и вероятность; основные формулы для вычисления вероятностей; случайные
величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных ве-
8
личин; нормальный закон распределения; генеральная совокупность и выборка;
оценки параметров; корреляция и регрессия.
Специальности «Менеджмент организации», «Государственное и муници-
пальное управление»:
Теория вероятностей и математическая статистика. Сущность и условия приме-
нимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Веро-
ятностное пространство. Случайные величины и способы их описания. Модели
законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-
экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций
от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чи-
сел и его следствие. Особая роль
нормального распределения: центральная пре-
дельная теорема. Цепи Маркова и их использование в моделировании социаль-
но-экономических процессов. Статистическое оценивание и проверка гипотез,
статистические методы обработки экспериментальных данных.
ПРОГРАММА КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Третий семестр
Теория вероятностей
1. Предмет теории вероятностей.
Значение теории вероятностей для экономической науки. Сущность и ус-
ловия применимости теории вероятностей. Понятие теоретико-вероятностного
эксперимента (испытания). Конечное вероятностное пространство.
2. Случайные события и их вероятности.
Понятие события. Алгебра событий. Свойства операций над событиями.
Геометрическая иллюстрация. Простейшие свойства вероятностей. Вероятность
произведения
и суммы событий.
3. Понятие вероятности.
Классическое определение вероятности. Частотная трактовка вероятности
случайного события. Геометрическая вероятность. Понятие условной вероятно-
сти. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериор-
ные вероятности гипотез, их применение в экономике. Независимость событий.
Статистическая независимость.
4. Дискретные случайные величины.
Последовательности испытаний. Схема Бернулли. Пуассоновское и нор-
мальное приближения
формулы Бернулли. Понятие закона распределения дис-
кретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия дискрет-
ной случайной величины. Дискретные распределения. Биномиальное распреде-
ление, распределение Пуассона. Неравенство и теорема Чебышева.
5. Непрерывные случайные величины.
9
ике.
Общее определение вероятностного пространства. Непрерывные случай-
ные величины. Функция распределения, плотность распределения, их свойства.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывные
распределения. Равномерное и показательное распределения. Нормальное рас-
пределение. Функция Лапласа и ее свойства. Использование функции Лапласа
для определения вероятностей событий, связанных с нормально распределен-
ной случайной величиной.
6. Многомерные случайные величины.
Система случайных величин. Совместная функция распределения, плот-
ность распределения. Независимость и некоррелированность случайных вели-
чин. Преобразования случайных величин. Функции от случайных величин. По-
нятие о хи-квадрат-распределении, распределении Стьюдента и распределении
Фишера. Применение нормального и связанных с ним распределений в
эконом
7. Предельные законы теории вероятностей.
Понятие о законе больших
чисел. Устойчивость относительных частот и
устойчивость средних. Понятие о центральной предельной теореме. Значение
предельных теорем для решения экономических задач.
8. Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-
экономических процессов.
Основные понятия теории марковских цепей. Теорема о предельных веро-
ятностях Биркгофа–Неймана. Области применения цепей Маркова.
Математическая статистика
9. Предмет математической
статистики.
Область применения математической статистики. Задачи математической
статистики.
10. Основные понятия выборочного метода.
Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборка.
Репрезентативная выборка. Понятие оценки параметров. Эмпирическая функ-
ция и плотность распределения. Гистограмма частот.
11. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения.
Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоя-
тельность и эффективность оценок.
Методы получения точечных оценок (метод
моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадра-
тов). Определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао–Крамера–
Фреше. Интервальное оценивание числовых характеристик случайных величин.
Доверительная вероятность и доверительный интервал. Интервальная оценка
математического ожидания нормального распределения при известном и при
неизвестном среднеквадратическом отклонении этого распределения. Довери-
тельный интервал
дисперсии нормального распределения.
12. Проверка статистических гипотез.
10
Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Ста-
тистический критерий проверки гипотез. Уровень значимости. Мощность кри-
терия. Общая схема проверки гипотезы.
Критерии согласия. Критерии однородности. Гипотезы о числовых харак-
теристиках случайных величин. Гипотезы о стохастической независимости эле-
ментов выборки.
Статистические методы обработки экспериментальных данных
13. Основы дисперсионного анализа.
Задачи и основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дис-
персионный анализ. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.
14. Корреляционный анализ.
Задачи корреляционного анализа. Классификация переменных по виду
шкалы принимаемых значений. Статистическая зависимость, ее виды. Анализ
парных и множественных статистических связей между количественными пе-
ременными. Ранговая корреляция.
15. Элементы регрессионного анализа.
Задачи регрессионного анализа. Регрессия
как частный случай статистиче-
ской зависимости. Многомерная нормальная модель. Определение параметров
линейной регрессии методом наименьших квадратов. Коэффициенты регрессии
и их свойства. Проверка качества эмпирического уравнения регрессии.