Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Номер опыта

150 – 160 °C 160 – 170 °C 170 – 180 °C

1 96 99 103

2 99 100 104

3 97 96 102

72. Выборочные данные (в усл. ед.) по месячным доходам семей

X и еже-

месячными расходами

Y представлены в таблице.

14,4 14,4 18,2 19,2 14,6 6,4 12,6 4,9 13,2 20,6 17,1 13,9

8,4 9,1 11,4 11,2 9,2 5,9 8,4 4,6 8,2 11,6 10,7 8,4

Выполните следующие задания: а) определите степень тесноты связи между

признаками с помощью коэффициента кореляции Пирсона; б) проверьте зна-

чимость найденного коэффициента корреляции при α = 0,1 и постройте довери-

тельный интервал. Сделайте выводы.

73. На основе данных задачи 72 выполните следующие задания:

а). Построить линейную однопараметрическую модель регрессии

y = b

+ b

б) Оценить значимость коэффициентов регрессии и модели при α = 0,05.

3) Построить точечный и интервальный прогнозы среднего значения расходов

для

, превышающего максимальное значение фактора X на 10%.

74. Проводится анализ взаимосвязи количества населения (

X) и количества

практикующих врачей (

Y) в регионе.

Годы 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

X, млн. чел. 10 10,3 10,4 10,55 10,6 10,7 10,75 10,9 10,9 11

Y, тыс. чел. 12,1 12,6 13 13,8 14,9 16 18 20 21 22

Оцените по МНК коэффициенты линейного уравнения регрессии

xbby

Существенно ли отличаются от нуля найденные коэффициенты?

Проверьте значимость полученного уравнения при α

= 0,01.

Если количество населения в 1995 году составит 11,5 млн. чел., каково

ожидаемое количество врачей? Рассчитайте 99%-й доверительный интервал для

данного прогноза.

Рассчитайте коэффициент детерминации.

75. На основе 30 выборочных данных было выяснено, что выборочная доля

дисперсии случайной величины

Y, обусловленная вариацией X, составляет 64%.

Найти длину доверительного интервала для истинного значения коэффициента

корреляции с надежностью 1

– α = 0,9.

191

192

76. Исследовать влияние времени реализации продукции на объем выручки

(млн. руб.). Принять α

= 0,05.

Номер опыта I квартал II квартал III квартал IY квартал

1 149 150 140 153

2 148 149 144 153

77 Выборочные данные (в усл. ед.) по месячным доходам семей

X, сбере-

жениями в банках

Y и ежемесячными расходами Z представлены в таблице.

14,4 14,4 18,2 19,2 14,6 6,4 12,6 4,9 13,2 20,6 17,1 13,9

84 86 102 100 80 34 72 31 76 112 98 72

8,4 9,1 11,4 11,2 9,2 5,9 8,4 4,6 8,2 11,6 10,7 8,4

Выполните следующие задания:

а) определите степень тесноты множественной связи на основе множественного

коэффициента корреляции

z.xy

и коэффициента конкордации рангов Кендалла;

б) проверьте гипотезы о значимости найденных коэффициентов при уровне зна-

чимости α

= 0,05.

Сделайте выводы.

78. На заводе установлено четыре линии по выпуску облицовочной плитки.

С каждой линии случайным образом в течение смены отобрано по 10 плиток и

сделаны замеры их толщины (мм). Отклонения от номинального размера при-

ведены в таблице:

Номер испытания Линия по выпуску

плиток

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,6 0,2 0,4 0,5 0,8 0,2 0,1 0,6 0,8 0,8

2 0,2 0,2 0,4 0,3 0,3 0,6 0,8 0,2 0,5 0,5

3 0,8 0,6 0,2 0,4 0,9 1,1 0,8 0,2 0,4 0,8

4 0,7 0,7 0,3 0,3 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,6

Требуется на уровне значимости α

= 0,05 установить наличие зависимости

выпуска качественных плиток от линии выпуска (фактор

A).

79. Выборочные данные (в усл. ед.) по месячным доходам семей

X и сбе-

режениями в банках

Y представлены в таблице.

14,4 14,4 18,2 19,2 14,6 6,4 12,6 4,9 13,2 20,6 17,1 13,9

84 86 102 100 80 34 72 31 76 112 98 72

Выполните следующие задания: а) определите степень тесноты связи меж-

ду признаками с помощью рангового коэффициента кореляции Спирмена; б)

проверьте значимость найденного коэффициента корреляции при α = 0,05.

Сделайте выводы.

193

80. На основе данных задачи 79 выполните следующие задания:

а). Построить линейную однопараметрическую модель регрессии

y = b

+ b

б) Оценить значимость коэффициентов регрессии и модели при α = 0,05.

3) Построить точечный и интервальный прогнозы среднего значения расходов

для

, превышающего максимальное значение фактора X на 10%.

194

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Теория вероятностей

1. Испытания и события.

2. Основные виды событий: достоверное, невозможное, случайное.

3. Статистическое определение вероятности.

4. Независимые, несовместные, противоположные события.

5. Полная группа событий.

6. Классическое определение вероятности.

7. Алгебра событий.

8. Теорема сложения вероятностей независимых событий.

9. Теорема умножения вероятностей.

10. Вероятность появления хотя бы одного события.

11. Формула полной вероятности.

12. Формула Байеса.

13. Формула Бернулли.

14. Дискретные случайные величины.

15. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

16. Функция распределения дискретной случайной величины,ее свойства.

17. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства.

18. Дисперсия дискретной случайной величины. Ее свойства. Формула вычис-

ления дисперсии.

19. Среднее квадратическое отклонение.

20. Вероятность попадания дискретной случайной величины в данный интервал.

21. Биномиальное распределение дискретной случайной величины.

22. Распределение Пуассона.

23. Непрерывные случайные величины.

24. Функция распределения непрерывной случайной величины,ее свойства.

25. Плотность распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.

26. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

27. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в данный интер-

вал.

28. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величи-

ны. Его плотность и функция распределения, их графики.

29. Числовые характеристики случайной величины, подчиненной равномерному

распределению.

30. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Его плотность распределения и функция распределения, их графики.

31. Числовые характеристики случайной величины, подчиненной нормальному

распределению.

32. Вероятность попадания непрерывной случайной величины, подчиненной

нормальному закону распределения, в данный интервал.

33. Функция Лапласа, ее свойства и вычисление.

195

34. Правило «трех сигм».

35. Показательное распределение вероятностей непрерывной случайной вели-

чины. Его плотность распределения и функция распределения, их графики.

36. Числовые характеристики случайной величины, подчиненной показательно-

му распределению.

37. Другие числовые характеристики случайной величины: мода, медиана, кван-

тили, коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса.

38. Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.

39. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины.

40. Закон распределения непрерывной двумерной случайной величины.

41. Числовые характеристики двумерной случайной величины.

42. Корреляционная зависимость двух случайных величин. Коэффициент кор-

релиции.

43. Центральная предельная теорема.

44. Неравенства Чебышева.

45. Теорема Бернулли.

46. Основные распределения, связанные с нормальным: распределение Пирсона

(хи-квадрат), распределение Стьюдента, Распределение Фишера.

47. Теорема о предельных вероятностях Биркгофа–Неймана.

Математическая статистика

1. Выборка. Повторная и бесповторная выборка. Репрезентативная выборка.

2. Вариационные, статистические ряды.

3. Полигон и гистограмма.

4. Эмпирическая функция распределения.

5. Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.

6. Оценка математического ожидания.

7. Оценка дисперсии.

8. Мода, медиана, коэффициент вариации.

9. Выборочные начальные и центральные моменты.

10. Интервальные оценки. Доверительный интервал.

11. Доверительный интервал для математического ожидания нормального рас-

пределения при известном среднем квадратическом отклонении.

12. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально-

го распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

13. Общая схема проверки гипотезы.

14. Критерии согласия.

15. Критерии однородности.

16. Гипотезы о числовых характеристиках случайных величин.

17. Гипотезы о стохастической независимости элементов выборки.

Статистические методы обработки экспериментальных данных

1. Однофакторный дисперсионный анализ.

196

2. Статистическая зависимость, ее виды.

3. Анализ парных и множественных статистических связей между количест-

венными переменными.

4. Ранговая корреляция.

5. Регрессия как частный случай статистической зависимости.

6. Многомерная нормальная модель.

7. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадра-

тов.

8. Коэффициенты регрессии и их свойства. Проверка качества эмпирического

уравнения регрессии.

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Вопросы теста

Вопрос 1. Как в теории вероятностей называется всякий факт, который в

результате опыта может произойти или не произойти?

Варианты ответов:

1. Случайное событие

2. Случайное явление

3. Шанс

Вопрос 2. Как называется набор событий в данном опыте, если в результа-

те опыта непременно должно произойти одно из них?

Варианты ответов

1. Полная группа

2. Набор гипотез

3. Группа независимых событий

4. Группа несовместных событий

Вопрос 3. A, В, С – произвольные события. Что означает событие

D ++=

Варианты ответов:

1. Ни одно из данных событий не произошло

2. Хотя бы одно из этих событий не произошло

3. Произошло ровно одно из трех событий

4. Произошло не более одно из трех событий

Вопрос 4. Для каких двух событий вероятность суммы этих событий равна

сумме вероятностей каждого события?

Варианты ответов:

1. Несовместных

2. Совместных

3. Независимых

4. Зависимых

5. Любых

Вопрос 5. Для каких двух событий вероятность произведения этих собы-

тий равна произведению вероятностей каждого события?

Варианты ответов:

1. Несовместных

2. Совместных

3. Независимых

4. Зависимых

5. Любых

197

198

Вопрос 6. Подбрасывается 5 монет. Найти вероятность того, что выпало

ровно 2 герба.

Варианты ответов:

1. 0,125

2. 0,244

3. 0,312

4. 0,4

Вопрос 7. Как называется всякое соотношение, связывающее возможные

значения случайной величины и соответствующие им вероятности?

Варианты ответов:

1. Закон распределения

2. Функция распределения

3. Функция плотности распределения

4. Числовая характеристика случайной величины

Вопрос 8. Для какого типа случайных величин каждое отдельное ее значе-

ние имеет нулевую вероятность?

Варианты ответов:

1. Дискретных

2. Непрерывных

3. Для любых случайных величин

Вопрос 9. Для какого типа случайных величин их функции распределения

являются разрывными ступенчатыми функциями?

Варианты ответов:

1. Дискретных

2. Непрерывнычх

3. Для любых случайных величин

Вопрос 10. Пусть с – неслучайная, а Х – случайная величины. Какое из ра-

венств является верным?

Варианты ответов:

1. M[cX] = X

2. M[cX] = 0

3. M[cX] = c⋅M[X]

4. M[cX] = c

Вопрос 11. Пусть с – неслучайная величина (константа). Какое из равенств

является верным?

Варианты ответов:

1. D[c] = 1

2. D[c] = 0

3. D[c] = c

Вопрос 12. Задает ли закон распределения дискретной случайной величи-

ны следующая таблица?

6 7 8 9

0,1 0,2 0,3 0,5

Варианты ответов:

1. Да

2. Нет

3. Для ответа на вопрос недостаточно данных

Вопрос 13. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распре-

деления. Найти среднее квадратическое отклонение?

0 1 2

03 0,5 0,2

Варианты ответов:

1. 0,49

2. 1,3

3. 1

4. 0,7

Вопрос 14. Чему равно математическое ожидание случайной величины,

если ее плотность распределения задана функцией

)1(

)(

−

exp

Вопрос 15. Как в математической статистике называется такая оценка не-

ивестного параметра, которая приближается к точному значению этого пара-

метра при увеличении числа опытов?

Варианты ответов:

1. Состоятельная оценка

2. Несмещенная оценка

3. Эффективная оценка

Вопрос 16. Из партии в 2000 деталей отобрано 200, среди них 184 – стан-

дартных. Найте вероятность того, что доля деталей нестандартных деталей во

всей партии отличается от выборочной доли не более чем на 2%.

Варианты ответов:

1. 0,52

2. 0,729

3. 0,92

4. 0,954

199

Вопрос 17. Из теоремы Чебышева следует, что среднее арифметическое

последовательности одинаково распределенных величин сходится по вероятно-

сти к их математическому ожиданию. Каким свойством обязательно должны

обладать эти величины?

Варианты ответов:

1. Они должны быть независимы

2. Они должны быть нормально распределены

3. Слагаемые должны вносить равномерный вклад в сумму

4. Все условия необходимы

Вопрос 18. Какая статистика является несмещенной оценкой генеральной

дисперсии?

Варианты ответов:

∑

−

)(

−

∑

−

)(

Вопрос 19. Какая оценка параметра называется эффективной?

Варианты ответов:

1. Если дисперсия оценки является минимальной

2. Если математическое ожидание оценки равно значению оцениваемого пара-

метра

3. Если оценка приближается к точному значению параметра при увеличении

числа опытов

Вопрос 20. Множественный коэффициент корреляции

8,0

23.1

)

. Какой

процент дисперсии величины x

объясняется влиянием x

и x

Варианты ответов:

28%

32%

64%

4. 80%

200