Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие

Пример 11.1. Найти коэффициент корреляции между производительно-

стью труда Y (тыс. руб.) и энерговооруженностью труда X (кВт) (в расчете на

одного рабочего) для 14 предприятий региона по следующей таблице:

Таблица 11.1

x

i

2,8 2,2 3,0 3,5 3,2 3,7 4,0 4,8 6,0 5,4 5,2 5,4 6,0 9,0

y

i

6,7 6,9 7,2 7,3 8,4 8,8 9,1 9,8 10,6 10,7 11,1 11,8 12,1 12,4

Решение. Определим вначале средние значения:

586,414

/

)0,90,6...2,28,2(

=

++++=

x

;

493,914

/

)4,121,12...9,67,6(

=

++++=y .

Вычислим далее необходимые суммы:

...)493,99,6()586,42,2()493,97,6()586,48,2())((

14

1

+−⋅−+−⋅−=−−

∑

=i

ii

yyxx

549,41)493,94,12()586,40,9(...

=

−⋅−+ ;

857,40)586,40,9(...)586,42,2()586,48,2()(

222

14

1

2

=−++−+−=−

∑

=i

i

xx ;

349,52)493,94,12(...)493,99,6()493,97,6()(

222

14

1

2

=−++−+−=−

∑

=i

i

yy .

Далее, по формуле (11.2) получим: 898,0

349,52857,40

549,41

=

⋅

=

xy

r , что свидетель-

ствует о тесной связи между переменными.

Пример 11.2. В табл. 11.2 приведены выборочные данные: стоимость квар-

тир z

i

(усл. ден. ед.), общая площадь u

i

(м

2

) и удаленность квартир от областно-

го центра y

i

(км), . )18,...,1( =i

Таблица 11.2

y

i

74 47 92 48 93 72 42 50 64 78 39 96 74 88 55 80 99 85

u

i

56 70 29 69 25 60 71 68 65 49 62 16 58 32 64 49 10 36

z

i

44 69 27 78 30 48 79 65 56 43 80 30 43 29 64 43 19 37

Необходимо исследовать вид связи между стоимостью квартиры, ее общей

площадью и удаленностью от областного центра.

Решение. Построим диаграммы рассеяния для пар признаков (U, Z), (Y, Z):

Рис. 11.8. Диаграммы рассеяния для пар компонентов: а) (U,Z); б) (Y,Z).

Судя по диаграммам рассеяния можно предположить наличие между при-

знаками U и Z сильной положительной связи (возможно нелинейной), а между

141

Y и Z − сильной отрицательной связи. Результаты расчета по формуле (11.2) ко-

эффициентов r

uz

и r

yz

подтверждают это: r

uz

= 0,888, r

yz

= −0,988.

11.3.3. Проверка наличия корреляции. Интервальная оценка r

xy

При оценивании достоверности линейной связи между переменными X и

Y величина коэффициента корреляции проверяется на статистически значимое

отличие от нуля. Иными словами, на уровне значимости α проверяется нулевая

гипотеза H

0

: ρ = 0 при альтернативе H

1

: ρ ≠ 0.

Для больших выборок (n > 25) критическая статистика критерия имеет вид

2

1 r

nr

u

cr

−

=

и в условиях справедливости гипотезы H

0

подчиняется стандарт-

ному нормальному закону распределения N(0, 1). Если для вычисленного по

выборке значения r выполняется неравенство u

calc

> u

1−α/2

, то гипотеза H

0

откло-

няется и коэффициент корреляции можно считать существенным, а связь меж-

ду случайными величинами X и Y достоверной. В противном случае гипотеза

принимается и коэффициент корреляции можно считать незначимо отличным

от нуля.

Для малых выборок критическая статистика критерия имеет вид

2

1

2

r

nr

t

cr

−

=

и в условиях гипотезы H

0

подчиняется распределению Стьюдента

с n−2 степенями свободы. Критическая область t

calc

> t

α/2⋅100%

(n−2), т.е. при вы-

полнении данного неравенства гипотеза H

0

отклоняется, и коэффициент корре-

ляции можно считать существенно отличным от нуля.

Замечание 11.3. Следует отметить, что для пары признаков (X, Y), имею-

щих совместное нормальное распределение, условие ρ = 0 (некоррелирован-

ность признаков) влечет за собой статистическую независимость X и Y. Поэто-

му проверка гипотезы о независимости признаков, совместное распределение

которых является нормальным, сводится к проверке гипотезы H

0

: ρ = 0.

Пример 11.3. Для данных примера 11.2 проверить достоверность линейной

статистической связи между стоимостью квартиры (Z) и ее удаленностью от

областного центра (Y) при уровне значимости α = 0,05.

Решение. Имеем две гипотезы: H

0

: ρ(Y,

Z) = 0, H

1

: ρ(Y,

Z) ≠ 0.

Поскольку n < 25, то критическая статистика имеет вид

2

1

2

yz

cr

r

nr

t

−

=

.

Находим из таблицы критическую границу 12,2)16()2(

%5,2%1002/

==

−

⋅α

tnt . Рас-

четное значение критической статистики равно

07,28

988,01

16988,0

1

2

22

=

−

⋅

=

−

=

r

nr

t

yz

calc

.

142

Поскольку

)2(

%1002/

−

>

⋅α

ntt

calc

, то гипотеза H

0

отклоняется и коэффициент

корреляции можно считать существенно отличным от нуля.

Р. Фишер, используя статистику

r

z

−

+

=

1

ln

2

1

(z

−

преобразование Фишера),

имеющую достаточно близкое к нормальному закону распределение даже при

малых n, построил доверительный интервал для истинного значения коэффи-

циента корреляции в виде

ul

zz thth <ρ<

, (11.3)

где

)3(2

3

1

ln

2

1

2/1

,

−

+

=

α−

n

r

n

u

r

z

ul

m

,

zz

ee

z

−

+

−

=th

− гиперболический тангенс.

Пример 11.4. Для данных примера 11.2 получить интервальную оценку для

коэффициента корреляции ρ(Y,

Z) при уровне значимости 0,05.

Решение. Из (11.3), оценки r

yz

= −0,988 и того, что n = 18 и

, получим:

96,1)475,0(arg

2/05,01

=Φ=

−

u

152

988,0

15

96,1

988,01

ln

2

1

,

⋅

+

−

= m

ul

z

, откуда

z

l

= −3,028, z

u

= −2,016. Вычислив thz

l

и thz

u

, получим: thz

l

= −0,995,

thz

u

= −0,965. Следовательно, −0,995 < ρ(Y, Z) < −0,965.

11.3.4. Оценка тесноты нелинейной связи

Введенный выше коэффициент корреляции, как уже отмечено, является

полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости

между переменными. Однако, часто возникает необходимость в достоверном

измерении степени тесноты связи для любой формы зависимости и для призна-

ков, не имеющих совместного нормального распределения.

Формально соответствующие показатели определяются с помощью соот-

ношения для общей дисперсии σ

y

2

признака Y относительно его математическо-

го ожидания , где − дисперсия функции регрессии ϕ(x) от-

носительно a

222

:

εϕ

σ+σ=σ

yy

a

2

ϕ

σ

y

, − остаточная дисперсия ошибки наблюдения, которая харак-

теризует разницу между значениями y

2

ε

σ

i

и расчетными значениями ϕ(x

i

).

Определение 11.3. Показатель R

yx

, определяемый по формуле

2

1

yy

yx

R

σ

−=

σ

=

ε

ϕ

, (11.4)

называется теоретическим корреляционным отношением или индексом корре-

ляции Y по X.

Вместо R

yx

часто используют коэффициент детерминации .

Его величина показывает, какая доля общей дисперсии признака Y объясняется

дисперсией функции регрессии. Этот коэффициент подробно будет рассмотрен

в § 12.2. Подобно R

222

/1

yyx

R σσ−=

ε

yx

вводится индекс корреляции X по Y

143

2

1

xx

xy

R

σ

−=

σ

=

υ

ψ

, (11.5)

где − полная дисперсия признака X относительно его математического ожи-

дания , − дисперсия функции регрессии ψ(y) относительно

a

2

x

σ

222

:

υψ

σ+σ=σ

xx

a

2

ψ

σ

x

, − остаточная дисперсия ошибки наблюдения, которая характеризует раз-

ницу между значениями x

2

υ

σ

i

и расчетными значениями ψ(y

i

).

Замечание 11.4. Оценивание тесноты связи между переменными по (11.4),

(11.5) затруднено тем, что мы должны заранее знать вид модели (11.1). Иными

словами, априорно должна быть известна с точностью до постоянных коэффи-

циентов форма функции регрессии ϕ(x) или, соответственно, ψ(y).

Если форма функции регрессии нам неизвестна, то вместо R

yx

определяют

эмпирическое корреляционное отношение η

yx

. При этом характер данных (ко-

личество, плотность расположения на диаграмме рассеяния) должен допускать:

-

их группирование относительно объясняющей переменной;

-

возможность подсчета средних значений объясняемой переменной внутри

каждого интервала группирования.

Рассмотрим далее методику вычисления η

yx

. Пусть имеет место выборка

(x

i

, y

i

), (i = 1, … , n). Сгруппируем данные по объясняющей переменной на L

интервалов. Определим далее общую s

y

2

, остаточную (среднюю групповых

дисперсий) s

ε

2

и межгрупповую δ

y

2

дисперсии переменной y по формулам:

∑

=

−=

L

j

jjy

nyy

n

s

1

22

)(

1

,

∑

=

ε

=

L

j

jjy

ns

n

s

1

22

1

, где

∑

=

−=

j

n

i

jji

j

jy

yy

n

s

1

22

)(

1

,

∑

=

−=δ

L

j

jjy

nyy

n

1

22

)(

1

. (11.6)

Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обуслов-

лена изменчивостью X. Остаточная дисперсия характеризует часть вариации Y,

возникшую из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X.

Используя правило сложения дисперсий (10.3), имеющее в данном случае

вид , найдем эмпирическое корреляционное отношение

222

yy

ss δ+=

ε

2

1

yy

y

yx

s

ε

−=

δ

=η

. (11.7)

Эмпирическое корреляционное отношение является показателем разброса

точек диаграммы рассеяния относительно эмпирической линии регрессии.

144

Замечание 11.5. Поскольку при нахождении η не делалось никаких допу-

щений о форме корреляционной связи, то η служит мерой тесноты связи лю-

бой, в том числе и линейной формы.

Величину η

yx

2

называют эмпирическим коэффициентом детерминации.

Она показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X.

Свойства теоретического и эмпирического корреляционных отношений:

1) 0 ≤ η

yx

≤ 1;

2) Если η

yx

= 0, то корреляционная связь между Y и X отсутствует;

3) Если η

yx

= 1, то переменные являются функционально зависимыми;

4) η

yx

≠ η

xy

, т.е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого r

yx

= r

xy

)

при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную

считать объясняющей (независимой), а какую – объясняемой (зависимой).

Корреляционные отношения η и R связаны с коэффициентом корреляции r

следующим образом:

10

≤

η

≤

≤≤ Rr .

Предложение 11.2. В случае парной линейной модели регрессии ϕ(x) ин-

декс корреляции R

yx

= r . #

Пример 11.5. Для данных примера 11.2 получить оценку корреляционного

отношения для пары компонентов (U, Z), между которыми из диаграммы рас-

сеяния можно предположить наличие нелинейной статистической связи.

Решение. Получим оценки эмпирических корреляционных отношений

η

zu

и

η

uz

. Рассмотрим два случая:

1) U – объясняющая переменная, Z – объясняемая переменная;

2) Z – объясняющая переменная, U – объясняемая переменная.

Определим вначале количество групп: L = 5.

Случай 1. Сгруппируем данные относительно объясняющей переменной U.

Оценки

111,49=

z

, . Вычислим по (11.6):

432,356

2

=

z

s

2

z

δ

997,30018]8)111,49375,67(...2)111,495,24[(

222

=⋅−++⋅−=δ

z

.

Таблица 11.3

Номер группы

j

Интервалы групп

по U

Значения z

j

, попавшие в j-ю

группу

j

z

1

10 − 22,2

30, 19 24,5

2

22,2 − 34,4

27, 30, 29 28,667

3

34,4 − 46,6

37 37

4

46,6 − 58,8

44, 43, 43, 43 43,25

5

58,8 − 71

69, 78, 48, 79, 65, 56, 80, 64 67,375

Следовательно, согласно (11.7)

919,0

432,356

997,300

==η

zu

.

Случай 2. Сгруппируем данные относительно объясняющей переменной Z:

145

Таблица 11.4

Номер группы

j

Интервалы групп

по Z

Значения u

j

, попавшие в j-ю

группу

j

u

1

19 − 31,2

29, 25, 16, 32, 10 22,4

2

31,2 − 43,4

49, 58, 49, 36 48

3

43,4 − 55,6

56, 60 58

4

55,6 − 67,8

65, 68, 64 65,667

5

67,8 − 80

70, 69, 71, 62 68

Оценки

389,49=u

, . Вычислим по (11.6):

238,368

2

=

u

s

2

u

δ

136,33218]4)389,4968(...5)389,494,22[(

222

=⋅−++⋅−=δ

u

.

Следовательно, согласно (11.6)

950,0

238,368

136,332

==η

uz

.

Полученные результаты свидетельствуют о следующем:

1) η

zu

≠ η

uz

, причем разница составляет по модулю 0,95−0,919 = 0,031 или 3,4%;

2) Оба эмпирических корреляционных отношения оказались существенно

больше (в среднем более чем на 5%) коэффициента корреляции, равного 0,888.

Это говорит о нелинейности статистической связи между переменными U и Z.

Проверка значимости эмпирического корреляционного отношения η осно-

вана на том, что распределение статистики

)1)(1(

)(

2

−η−

−η

=

L

Ln

F

(11.8)

в условиях выполнения гипотезы H

0

: η = 0 с ростом n стремится к

F−распределению Фишера с k

1

= L − 1 и k

2

= n − L степеням свободы. Поэтому

η значимо отличается от нуля, если

),1(

%100

LnLFF

calc

−

>

⋅α

.

Индекс корреляции R двух переменных значим, если значение статистики

2

1

)2(

R

nR

F

−

=

больше табличного

)2,1(

%100

−

⋅α

nF

.

Пример 11.6. Для оценки

950,0

=

η

uz

, полученной в примере 11.5, прове-

рить значимость нелинейной статистической связи между переменными U и Z

для уровня значимости α = 0,01.

Решение. Определим по формуле (11.8) расчетное значение критической

статистики:

083,30

4)9025,01(

139025,0

)15()95,01(

)518(95,0

2

=

⋅−

⋅

=

−⋅−

−⋅

=

calc

F

.

Критическое значение равно F

cr.u

=

205,5)13,4(),1(

%1%1

=

−

FLnLF

. По-

скольку F

calc

> F

cr.u

, то нелинейная корреляционная связь между переменными

U и Z является значимой.

Расхождение между η

2

и R

2

(или r

2

для парной линейной модели) может

быть использовано для проверки линейности корреляционной зависимости.

Рассмотрим частный случай парной линейной модели.

146

Проверка значимости линейной корреляционной зависимости основана на

том, что распределение статистики

)2)(1(

))((

2

22

−η−

−−η

=

L

Lnr

F

(11.9)

подчиняется F−распределению с k

1

= L−2 и k

2

= n−L степеням свободы. Значи-

мое F−отношение (11.9) соответствует значимому отклонению от линейности.

Пример 11.7. Для оценок η

uz

= 0,950, r

uz

= 0,888, полученных для данных

примера 11.2, проверить гипотезу о нелинейности связи между стоимостью

квартир и общей площадью на уровне значимости α = 0,05.

Решение. Имеем n = 18, L = 5. По формуле (11.9) расчетное значение кри-

тической статистики равно:

065,5

)25)(95,01(

)518)(888,095,0(

2

22

=

−−

=

calc

F

.

Критическое значение

411,3)13,3()518,25(

%5%5.

=

−

=

FFF

ucr

. Т.к.

F

calc

> F

cr.u

, то отклонение от линейности значимо.

11.4. Анализ множественных количественных связей

Экономические явления чаще адекватно описываются многофакторными

моделями. Поэтому обобщим рассмотренную выше двумерную корреляцион-

ную модель на случай нескольких переменных.

Определение 11.4. Пусть имеется совокупность случайных переменных

X

1

, … , X

m

, имеющих совместное нормальное распределение. Матрицу

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ρρ

=

1

21

221

112

K

LLLL

K

mm

m

Q

,

составленную из парных коэффициентов корреляции ρ

ij

= ρ(X

i

, X

j

),

(i, j = 1, … , m), называют корреляционной матрицей.

Основная задача многомерного корреляционного анализа состоит в оценке

корреляционной матрицы Q

m

по выборке. Эта задача решается определением

матрицы выборочных коэффициентов корреляции:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

1

21

221

112

K

LLLL

K

mm

m

rr

R

.

В многомерном корреляционном анализе рассматриваются две типовые задачи:

-

определение тесноты связи одной из переменных с совокупностью осталь-

ных m−1 переменных;

147

- определение тесноты связи между переменными при фиксировании или ис-

ключении остальных переменных.

11.4.1. Множественный коэффициент корреляции

Множественный (или совокупный) коэффициент корреляции ρ

i.12…m

явля-

ется мерой тесноты линейной связи между одной случайной переменной X

i

и

совокупностью других m−1 переменных. Выборочный множественный коэф-

фициент корреляции R

i.12…m

, являющийся оценкой ρ

i.12…m

равен

ii

m

mi

R

−= 1

12. K

, (11.10)

где

m

R − определитель матрицы R

m

, R

ii

− алгебраическое дополнение элемента

r

ii

матрицы R

m

. В частности, для трех переменных формула (11.10) примет вид

2

22

.

1

2

jk

jkikijikij

jki

r

rrrrr

R

−

⋅⋅−+

=

. (11.11)

Свойства множественного коэффициента корреляции:

1) 0 ≤ R

i.12…m

≤ 1, т.е. позволяет оценить тесноту связи, но не ее направление;

2) Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного ко-

эффициента корреляции с таким же первичным индексом;

3. Величина показывает, какую долю вариации исследуемой переменной

объясняет вариация остальных переменных.

2

12. mi

R

K

Можно показать, что множественный коэффициент корреляции значимо

(на уровне значимости α) отличается от нуля, если значение статистики

),1(

)1)(1(

)(

%100

2

mnmF

mR

mnR

F

−−>

−−

−

=

⋅α

. (11.12)

Пример 11.8. Для данных примера 11.2 получить оценку множественного

коэффициент корреляции R

z.yu

между переменной Z и совокупностью перемен-

ных Y и U. Проверить значимость множественной статистической связи между

переменными для уровня значимости α = 0,05.

Решение. Имеем три переменные (m=3). Определим все парные коэффици-

енты корреляции r

uz

= 0,888, r

yz

= −0,988, r

yu

= −0,908 и подставим их в (11.11):

988,0

)908,0(1

908,0988,0888,02888,0)988,0(

2

22

.

=

−−

⋅⋅⋅−+−

=

yuz

R .

Из (11.11) находим расчетное и критическое значения статистики:

18,312

)13()988,01(

)318(988,0

)1)(1(

)(

2

=

−⋅−

−⋅

=

−−

−

=

mR

mnR

F

calc

,

68,3)15,2(),1(

%5%100.

=

−−=

⋅α

FmnmFF

ucr

.

Условие (11.12) выполняется, т.е. значимость множественная статистическая

связь между переменными значима при α = 0,05.

148

11.4.2. Частный коэффициент корреляции

Иногда в практических ситуациях не удается интерпретировать на содер-

жательном уровне выявленную парную связь между исследуемыми перемен-

ными. Причиной часто является опосредованное влияние на исследуемые пе-

ременные некоторого третьего фактора – неучтенных переменных. Необходимо

введение измерителей корреляционной связи, «очищенных» от такого влияния.

В качестве измерителя степени тесноты связи между переменными X и Y

при фиксированных значениях других переменных используются частные ко-

эффициенты корреляции.

Определение 11.5. Пусть имеется совокупность случайных переменных

X

1

, … , X

m

, имеющих совместное нормальное распределение. Выборочным ча-

стным коэффициентом корреляции между переменными X

i

и X

j

при фиксиро-

ванных значениях остальных (m − 2) переменных называется выражение

jjii

ij

mij

RR

R

r

⋅

−

=

K12\

, (11.13)

где R

ij

, R

jj

− алгебраические дополнения элемента r

ij

, r

jj

матрицы R

m

. В частно-

сти, для трех переменных (m = 3) формула (11.13) примет вид:

)1)(1(

22

\

jkik

jkikij

kij

rr

rrr

r

−−

⋅−

=

. (11.14)

Частный коэффициент корреляции , как и парный коэффициент

корреляции r

mij

r

K12\

ij

, может принимать значения от −1 до 1. Кроме того, для исходной

многомерной выборки объема n, он имеет такое же распределение, что и r

ij

, вы-

численный по n − m + 2 наблюдениям. Поэтому значимость частного коэффи-

циента корреляции оценивают так же, как и коэффициента корреляции

r

mij

r

K12\

ij

, полагая n’ = n − m + 2.

Пример 11.9. Для данных примера 11.2 определить степень тесноты част-

ной связи между стоимостью квартиры и удаленностью ее от областного центра

при фиксированном значении площади квартир.

Решение. Воспользуемся выражением (11.14):

943,0

)888,01)(908,01(

888,0)908,0(988,0

)1)(1(

2222

\

−=

−−

⋅−−−

=

−−

⋅−

=

zuyu

zuyuyz

uyz

rr

rrr

r

.

Зависимость стоимости квартиры от ее удаленности от областного центра

без учета площади квартиры оказалась ниже (r

yz

= −0,988). Это можно объяс-

нить тем, что площадь квартиры весьма существенно влияет на ее цену.

11.5. Ранговая корреляция

149

Ранговые коэффициенты корреляции могут использоваться для измерения

связи как порядковых, так и количественных признаков. При этом анализ кон-

кретных значений признаков не проводится, используется лишь информация об

их взаимной упорядоченности типа «больше−меньше», которая не меняется

при замене единиц измерений. Исходные данные представляется упорядоче-

ниями (ранжировками) n объектов (выборок) по некоторым свойствам.

Ранги – это порядковые номера значений признака, расположенных в по-

рядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют

одинаковую количественную оценку, то ранги называют связными, а их значе-

ние считаем равным средней арифметической по всей данной группе.

11.5.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена между переменными X и Y

находится по формуле

∑

=

−

−=ρ

n

i

iiyx

sr

nn

1

2

3

/

)(

6

1 , (11.15)

где r

i

и s

i

− ранги i-го объекта по переменным X и Y, n − число пар наблюдений.

Формула (11.15) справедлива при отсутствии в ранжировках связных ран-

гов. Если они имеются, то коэффициент Спирмена определяют в виде:

)()(

6

1

)(

1

3

1

2

/

sr

n

i

ii

yx

TTnn

sr

+−−

−

−=ρ

∑

=

, (11.16)

где

∑

=

−=

r

m

i

ririr

ttT

1

3

)(

12

1

,

∑

=

−=

s

m

i

sisis

ttT

1

3

)(

12

1

, (11.17)

m

r

, m

s

− число групп одинаковых рангов у переменных X и Y,

t

ri

, t

si

− число рангов, входящих в i-ю группу неразличимых рангов пере-

менных X и Y.

Очевидно, что ρ

x/y

= ρ

y/x

. Если ранги всех объектов равны (r

i

= s

i

, i = 1, … , n), то

ρ

x/y

= 1 (случай полной прямой связи). При полной обратной ранговой связи

ранги объектов расположены в обратном порядке. Во всех остальных случаях

. При проверке значимости

11

/

<ρ<−

yx yx /

ρ

исходят из того, что в случае

справедливости гипотезы H

0

об отсутствии корреляционной связи между пере-

менными (при n > 10) статистика

2

/

1

2

yx

n

t

ρ−

−ρ

=

(11.18)

имеет распределение Стьюдента с k = n − 2 степенями свободы. Поэтому

yx /

ρ

значим на уровне значимости α, если расчетное значение

)2(

%1002/

−

>

⋅α

ntt

calc

.

Пример 11.10. Для данных примера 11.2 определить с помощью коэффи-

циента Спирмена зависимость между стоимостью квартиры и ее удаленностью

от областного центра. Проверить значимость связи для α = 0,05.

Решение. Составим таблицу:

150

Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.