Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Доверительная область (12.10) определяет границы, за пределами которых
могут оказаться не более 100α% точек независимой переменной при X = x
p
. Он
шире доверительной области (12.9) для условного математического ожидания.
Анализ построенных доверительных областей (12.9), (12.10) позволяет
сделать следующие выводы:
1. Прогноз значений зависимой переменной Y по уравнению регрессии оп-
равдан, если значение x
p
объясняющей переменной X не выходит за диапазон
ее значений по выборке, т.е.
maxmin
xxx
p
<
<
. Причем, чем ближе x
p
к
x
, тем уже
доверительный интервал (точнее прогноз).
2. Использование регрессионной модели вне обследованного диапазона зна-
чений объясняющей переменной (даже если оно оправдано, исходя из смысла
решаемой задачи) может привести к значительным погрешностям.
Пример 12.2. Для данных из примера 12.1 построить доверительные ин-
тервалы для коэффициентов регрессии для уровня значимости α = 0,05 и оце-
нить их значимость.
Решение. Определим вначале
525,3
10
249,35
10
1
)(
2
1
12
1
2
12
1
2
10
2
===−−
−
=
∑∑
==
ε
ii
ii
exbby
n
s , т.е. s
ε
= 1,714.
Отсюда стандартные ошибки коэффициентов регрессии:
=
−++−
=
−
=
∑
=
ε
2212
1
2
)25,125150(...)25,125107(
714,1
)(
1
i
i
b
xx
s
s
0,0386,
8644,40386,075,15884
10
2
=⋅==
bb
sxs
.
Далее найдем 228,2)10()2(
%5,2%1002/
=
=
−
⋅α
tnt .
Тогда 837,10864,4228,2)10(
0
%5,2
=
⋅=⋅
b
st , 086,00386,0228,2)10(
1
025,0
=
⋅
=
⋅
b
st .
Отсюда доверительные интервалы для параметров β
0
, β
1
при надежности оцен-
ки 1 − α = 0,95 равны: −7,414 < β
0
< 14,260 и 0,850 < β
1
< 1,022.
Т.к. 0 входит в доверительную область для коэффициента β
0
, то он являет-
ся статистически не значимым.
Проверим теперь значимость коэффициентов регрессии по t−критерию:
)10(228,2704,0
864,4
423,3
%5,2
0
tt
b
=<==
, т.е. коэффициент β
0
, является статистиче-
ски не значимым;
)10(228,225,24
0386,0
9361,0
%5,2
1
tt
b
=>==
, т.е. коэффициент β
1
, является статистиче-
ски значимым.
12.2.3. Оценка значимости уравнения регрессии
Проверить значимость уравнения регрессии – значит, установить, соот-
ветствует ли математическая модель, выражающая зависимость между пе-
161
ременными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в урав-
нение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.
Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дис-
персионного анализа.
Для оценки значимости в предположении нормальной однофакторной мо-
дели регрессии вида ϕ(x) проверяется гипотеза о равенстве коэффициентов b
0
,
b
1
, … нулю, H
0
: b
0
= b
1
= … = 0, что эквивалентно гипотезе о равенстве нулю
индекса корреляции, H
0
: R
yx
= 0. Для проверки нулевой гипотезы используется
основное тождество дисперсионного анализа (10.2) о разбиении суммы квад-
ратов на слагаемые.
Общая сумма квадратов отклонений отклика (зависимой переменной)
∑
=
−=
n
i
i
yyQ
1
2
)( относительно его среднего значения
y
разлагается на сумму
Q
X
, характеризующую влияние фактора X, т.е. обусловленную регрессионной
моделью ϕ(x) и остаточную сумму квадратов Q
ε
, характеризующую влияние
неучтенных факторов, т.е. обусловленную случайными ошибками относитель-
но модели регрессии. Формальный вид разложения для однофакторной модели:
[][ ]
ε
===
+=ϕ−+−ϕ=−=
∑∑∑
QQxyyxyyQ
X
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
1
2
1
2
1
2
)()()( . (12.11)
Для проверки гипотезы об адекватности предлагаемой модели ϕ(x) исполь-
зуется F−отношение
[]
[]
2
2
1
2
1
2
1
)(
1
)(
1
1
ε
η
=
=
=⋅
−
−
=
ϕ−
−
−ϕ
−
=
∑
∑
s
s
Q
Q
l
ln
xy
l
n
yx
l
F
XX
n
i
ii
n
i
i
(12.12)
с числом степеней свободы (l − 1, n − l), где l − число коэффициентов модели
ϕ(x) (число связей). По величине F−отношения проверяется гипотеза H
0
. Когда
коэффициенты b
j
отличны от нуля, F−отношение имеет тенденцию к возраста-
нию. При , значения коэффициентов b
),1(
%100
lnlFF −−>
⋅α
j
отличаются от нуля
и регрессионная зависимость значима на уровне значимости α.
Еще одним показателем качества является коэффициент детерминации
Q
Q
Q
Q
R
X
ε
−== 1
2
, (12.13)
показывающий, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловле-
на вариацией объясняющих переменных.
Чем ближе R
2
к 1, тем лучше подобранная модель описывает анализируе-
мую зависимость, тем выше ее информационная способность. Если R
2
= 1, то
эмпирические точки (x
i
, y
i
) лежат на линии регрессии и между переменными Y и
X существует функциональная зависимость. Если R
2
= 0, то вариация зависимой
переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели пере-
менных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс.
162
Замечание 12.2. Коэффициент R
2
имеет смысл рассматривать только при
наличии в уравнении регрессии свободного члена b
0
, т.к. в противном случае не
будет выполняться равенство (12.11), а, следовательно, и (12.13).
Если известен коэффициент детерминации, то критерий значимости (12.12)
уравнения регрессии (или самого коэффициента R
2
) примет вид:
),1(
1
1
2
2
lnlF
R
R
l
ln
F −−>
−
⋅
−
−
=
α
.
Предложение 12.2. В случае парной линейной регрессионной модели ко-
эффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции,
22
r
R
=
.
Доказательство. Действительно, учитывая (12.5), (12.6), имеем
=
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
==
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
X
yy
n
xx
n
b
yy
xxb
yy
yy
Q
Q
R
1
2
1
22
1
1
2
1
22
1
1
2
1
2
2
)(
1
1
)(
1
1
)(
)(
)(
)(
)
2
2
1
2
22
1
r
s
sb
s
sb
y
x
y
x
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
.
Пример 12.3. Для данных из примера 12.1 оценить значимость уравнения
регрессии для уровня значимости α = 0,05.
Спрогнозировать потребление при доходе x
p
= 160 у.е. и построить довери-
тельный интервал для прогноза.
Решение. Определим согласно (12.13) расчетное значение F−отношения:
=
−++−
−++−
⋅=
−
−
−
−
=
∑
∑
=
=
22
22
10
1
2
10
1
2
)83,143144()58,103102(
)67,12083,143()67,12058,103(
1
10
)(
212
1
)(
12
1
L
K
)
)
i
ii
i
i
yy
yy
F
588,22.
Критическое значение
965,4)10,1(),1(
%5%100
=
=
−
−
⋅α
FlnlF
. Т.к. 588,22 > 4,965,
то полученное уравнение регрессии значимо для α = 0,05.
Для прогнозирования подставим интересуемое нас значение объясняющей
переменной в найденное уравнение регрессии:
199,1531609361,0423,3)(
10
=
⋅
+=+=
pp
xbbxy
)
.
Определим дисперсию
⎢
⎣
⎡
++⋅=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
++=
∑
ε
12
1
1525,3
)(
)(
1
1
2
2
22
i
i
p
y
xx
xx
n
ss
p
=
⎥
⎦
⎤
−++−
−
+
22
2
)25,125150()25,125107(
)25,125160(
L
4,071,
отсюда
070,9071,4228,2071,4)10()2(
%5,2%1002/
=
⋅
=
⋅
=⋅
−
⋅α
tsnt
p
y
.
163
В результате, доверительный интервал для прогнозов индивидуальных
значений y
p
при x
p
= 160 равен: 144,13 < y
p
< 162,27. Видим, что, как и следова-
ло ожидать, доверительный интервал получился слишком большим для досто-
верных прогнозов.
12.3. Общий случай регрессии
Выше мы рассмотрели парную линейную регрессию. Это самый простой
частный случай. В общем случае задача регрессии может быть:
-
множественной линейной при выборе многофакторной линейной модели за-
висимой переменной Y от нескольких объясняющих переменных
;
),,(
1 p
XX K=X
- нелинейной, если рассматривается одно- или многофакторная нелинейная
регрессионная модель.
12.3.1. Множественный линейный регрессионный анализ
Рассмотрим случай несгруппированных данных. Обозначим i-е наблюде-
ние зависимой переменной y
i
, а объясняющих переменных x
i1
, x
i2
, …, x
ip
. Тогда
модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:
ixiipiii
i
yxxxy
ε
+
=
ε
+
β
+
+β
+
β+β= K
22110
, i = 1, 2, …, n, (12.14)
где ε
i
удовлетворяют предпосылкам 1°−5° регрессионного анализа.
Введем обозначения: − вектор-столбец значений зависи-
мой переменной размера n; − вектор-столбец параметров раз-
мера p+1; − вектор-столбец случайных ошибок размера n;
T
n
yyy )...,,,(
21
=y
T
p
)...,,,(
10
βββ=β
T
n
)...,,,(
21
εεε=ε
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
npnn
p
p
xxx
xxx
xxx
K
KKKKK
K
K
21
22221
11211
1
1
1
X
− матрица значений объясняющих переменных размера n×(p+1).
Тогда в матричной форме модель (12.14) примет вид:
y = Xβ + ε. (12.15)
Оценкой модели (12.15) по выборке данных является
y = Xb + e, где
, . Для оценки вектора неизвестных параметров
β применим МНК:
T
p
bbb )...,,,(
10
=b
T
n
eee )...,,,(
21
=e
min)()()(
1
2
1
2
→−−===−=
∑∑
==
ε
XbyXbyee
TT
n
i
i
n
i
ix
eyyQ
i
. (12.16)
Учитывая, что транспонирование произведения матриц равносильно произве-
дению транспонированных матриц, т.е. (
Xb)
T
= b
T
X
T
, получим
XbXbyXbyyXbyXby
TTTTTT
+−=−− 2)()(
.
164
Произведение y
T
Xb есть матрица размера 1×1, т.е. скалярная величина, следо-
вательно, оно не меняется при транспонировании:
y
T
Xb = (y
T
Xb)
T
= b
T
X
T
y. По-
этому условие минимизации (12.16) примет вид:
min2 →+−=
ε
XbXbyXbyy
TTTTT
Q
.
На основании необходимого условия экстремума функции нескольких пе-
ременных ), представляющей (12.16), необходимо прирав-
нять нулю вектор частных производных
,,,(
10 p
bbbQQ K
εε
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
p
b
Q
b
Q
b
Q
b
Q
...,,,
10
. (12.17)
Предложение 12.3. Для вектора частных производных справедливы сле-
дующие формулы:
AbAbb
b
ccb
b
2)(,)( =
∂
∂
=
∂
∂
TT
, где b и c – вектор-столбцы,
A – симметрическая матрица (симметричные относительно главной диагонали
элементы равны). #
Поэтому, полагая
c = X
T
y, A = X
T
X, запишем (12.17) в виде
022 =+−=
∂
∂
ε
XbXyX
TT
b
Q
,
откуда получаем систему уравнений для определения вектора
b:
yXXbX
TT
=
. (12.18)
Найдем матрицы, входящие в систему (12.18):
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
npn
p
p
nppp
n
T
xx
xx
xx
xxx
xxx
K
KKKK
K
K
K
KKKK
K
K
1
221
111
21
12111
1
1
1111
XX
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∑∑∑
∑∑∑
∑
∑
2
1
1
2
11
1
ipipiip
ipiii
ipi
xxxx
xxxx
xxn
K
KKKK
K
K
, (12.19)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∑
∑
∑
ipi
ii
i
n
nppp
n
T
xy
xy
y
y
y
y
xxx
xxx
K
K
K
KKKK
K
K
1
2
1
21
12111
111
YX . (12.20)
В частном случае из системы (12.18) с учетом (12.19), (12.20) для одной
объясняющей переменной (p = 1) нетрудно получить уже рассматривавшуюся
систему нормальных уравнений (12.3) в матричном виде:
165
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∑
∑
∑∑
∑
ii
i
ii
i
xy
y
b
b
xx
xn
1
0
2
.
Для решения системы (12.18) необходимо ввести еще одну предпосылку 6
для множественного регрессионного анализа: определитель матрицы
X
T
X не
должен равняться нулю. Решением системы (12.19) является вектор
)()(
1
yXXXb
TT −
=
.
Значимость множественной регрессии проверяется аналогично критерию
(12.12) для одномерного случая. Отличие заключается в том, что число связей
множественной регрессии l = p + 1 > 2.
12.3.2. Нелинейные модели регрессии
Многие экономические процессы не являются линейными по сути. Их мо-
делирование линейными уравнениями не даст положительного результата. Так,
например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимо-
сти между объемом произведенной продукции и основными факторами произ-
водства), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и
их ценами или доходом) и т.д. Примером нелинейной модели является произ-
водственная функция Кобба–Дугласа Y = AK
α
L
β
, где Y – объем выпуска; K, L –
затраты капитала и труда; α, β – параметры модели.
Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, но ли-
нейные по оцениваемым параметрам.
2. Регрессии, нелинейные относительно оцениваемых параметров.
Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.
Первый подход основан на линеаризации модели. Он заключается в том, что с
помощью подходящих преобразований зависимой и объясняющих переменных
исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между
преобразованными переменными.
Второй подход применяется, если не удается подобрать соответствующее
линеаризующее преобразование.
Нелинейные регрессионные модели и другие аспекты регрессионного ана-
лиза подробно рассматриваются в курсах «Статистика» и «Эконометрика».
166
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Случайные события. Алгебра событий
1.1. Имеем событие A. Найти: 1) А + Ω; 2) А + ∅; 3) А + A; 4) А⋅А; 5) А⋅Ω; 6) А⋅∅;
7)
A
A
+ ; 8)
A
A
⋅ ; 9)
A
.
1.2. Доказать, используя графическое представление событий A и B в виде диа-
грамм Эйлера–Венна формулы де Моргана:
B
A
B
A
+
=
+
,
B
A
B
A
+=⋅ .
1.3. Имеем события
A, B. Верны или нет равенства: 1)
A
B
B
A
⋅
=
⋅
;
2)
B
A
A
+⊂
; 3)
B
A
A
+⊆
; 4)
B
A
A
⋅
⊆
; 5)
A
B
A
⊆
⋅
; 6)
B
A
B
A
+
⊆⋅
;
7)
B
A
B
A
⋅⊆+
.
2. Классическое определение вероятности. Основные теоремы
2.1. В ящике имеется 4 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность, что нау-
дачу вынутый шар: а) окажется белым; б) окажется черным?
2.2. Брошены две монеты. Какова вероятность, что на обеих монетах выпадут
гербы?
2.3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того,
что среди взятых наудачу 5 билетов: а) 1 выигрышный; б) 2 выигрышных; в)
хотя бы 1 выигрышный?
2.4. Среди 22 сотрудников фирмы 10 менеджеров, 5 агентов по рекламе, 7 – по
маркетингу. Какова вероятность, что среди наугад отобранных 15 сотрудников
окажется 8 менеджеров, 2 агента по рекламе, 5 – по маркетингу?
2.5. На полке в кабинете в случайном порядке расставлены 12 учебников по
математике, среди которых 7 по теории вероятностей. Студент берет наугад 4
учебника. Какова вероятность, что хотя бы 1 учебник окажется по теории веро-
ятностей?
2.6. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,75, а для вто-
рого – 0,85. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстре-
лу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?
2.7. На перевозку груза направлены четыре автомобиля. Вероятность нахожде-
ния каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность то-
го, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.
167
168
2.8. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта,
каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того,
что любой из контрактов не «лопнет», равна 0,8. Какова вероятность того, что
по истечении контрактов предприниматель, по меньшей мере, ничего не поте-
ряет?
2.9. На склад 3/4 комплектующих элементов поступает с первого предприятия,
на котором вероятность выпуска годной продукции равна 0.98 и 1/4 элементов
– со второго предприятия, на котором вероятность выпуска годной продукции
равна 0.96. Какова вероятность того, что полученный со склада элемент ока-
жется годным?
2.10. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлич-
но; 4 - хорошо; 2 - посредственно; 1 - плохо. В экзаменационных билетах име-
ется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20
вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на
5.Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса.
Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо?
2.11. 1/3 ламп производится на первом заводе, 1/4 – на втором, остальные – на
третьем. Вероятности брака в продукции первого, второго и третьего заводов
соответственно равны 0,2, 0,15 и 0,05. Найдите вероятность того, что бракован-
ная лампа произведена; а) на первом заводе; б) на втором заводе; в) на третьем
заводе.
3. Дискретные случайные величины
3.1. Вероятность покупки бракованного комплекта посуды равна 0,1. Найти ве-
роятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будет без брака.
3.2. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4
варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность
правильного ответа на два, три и четыре вопроса теста для неподготовленного
человека (выбор ответа наудачу).
3.3. Вероятность изготовления годного изделия равна 0.8. Найти вероятность
того, что из 100 изготовленных изделий годными окажутся 75 шт.
3.4. 30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто
приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероят-
ность, что 4 из них – высшего сорта.
3.5. Пусть случайная величина
ξ имеет биномиальное распределение.
P(v
n
= k) = C
k
p
k
(1−p)
n
−
k
, k = 0, 1, … , n. Определть ее дисперсию.
3.6. Вероятность поломки одного из пяти работающих независимо друг от дру-
га станков равна 0,2. Если происходит поломка, станок до конца дня работает.
Какова вероятность того, что: а) 2 станка сломаются в течение дня; б) не менее
одного станка будут работать исправно?
3.7. В пачке из 10 накладных имеется 6 правильных. Наудачу отобраны 3 на-
кладных. Составить закон распределения числа правильных накладных среди
отобранных.
3.8. Закон распределения
P(X = x) приведен в таблице. Требуется:
а) определить математическое ожидание
M[X], дисперсию D[X] и среднее
квадратическое отклонение
σ
X
случайной величины X;
б) построить график функции распределения.
X
0 1 2 3 4 5
P
0,16 0,35 0,31 0,12 0,03 0,03
3.9. В среднем на телефонной станции заказывают три телефонных разговора в
течение пяти минут. Какова вероятность, что в течение пяти минут будет зака-
зано разговоров: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4; е) больше четырех?
3.10. Завод получает сырье на автомашинах от трех независимо работающих
поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна
0,2, от второго – 0,3, от третьего – 0,1. Составить распределение числа прибыв-
ших машин. Найти математическое ожидание и дисперсию полученной слу-
чайной величины. Построить график функции распределения.
4. Непрерывные случайные величины
4.1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
ξ, за-
данной плотностью распределения
p
ξ
(x). Найдите интегральную функцию рас-
пределения, постройте графики
p
ξ
(x), F
ξ
(x).
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
ξ
.4,0
,40,
8
,0,0
)(
x
x
x
x
xp
4.2. Функция распределения случайной величины ξ имеет вид
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
ξ
.11
,10
,00
)(
3
xnpu
xnpuax
xnpu
xF
Найдите значение коэффициента а и плотность распределения вероятностей.
169
170
4.3. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с М[ξ] = 10,
D[ξ] = 4. Найти вероятность того, что случайная величина ξ попадет в интерва-
лы: а) (12; 14); б) (8; 12).
4.4. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с М[ξ] = 10.
Найти P(0 < ξ < 10), если известно, что P(10 < X <20 ) = 0,3.
4.5. При измерении детали возникают случайные ошибки, подчиненные нор-
мальному закону со средним квадратическим отклонениемв 10 мм. Найти веро-
ятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.
4.6. Работа машины, расфасовывающей сахар, подчиняется правилам нормаль-
ного распределения со стандартным отклонением σ = 20 гр. Машина может
быть настроена на любой средний вес упаковки с точностью до грамма. В дан-
ном случае требуемый вес упаковки составляет 1000 гр.Упаковка сахара долж-
на удовлетворять трем условиям:
-
средний вес упаковки – не менее 1000 гр.;
-
вес не более чем 2,5% упаковок, может быть меньше 975 гр.;
-
вес не более чем одной из 10000 упаковок, может быть меньше 950гр.
На данный момент машина налажена на средний вес упаковки - 1010 гр.
а) Какова доля упаковок, содержащих менее 975 гр?
б) Какова доля упаковок, содержащих менее 950 гр?
4.7. Найти вероятность попадания в интервал (а, b) случайной величины ξ, рас-
пределенной по показательному закону с параметром λ.
5. Многомерные случайные величины
5.1. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано
таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффи-
циент корреляции ρ(X, Y).
X
Y
0,1 0,2 0,3
6,7 0,15 0,1 0,02
14 0,06 0,25 0,08
26 0,01 0,03 0,3
5.2. Случайная величина Х имеет распределение, заданное таблицей.
X
i
-2 0 4 5
p
i
0,1 0,4 0,3 0,2