Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

где − верхняя процентная точка t−распределения Стьюден-

та, определяемая по статистическим таблицам. Т.к. t−распределение симмет-

рично, то нижняя и верхняя критические точки симметричны относительно 0.

)2(

21%1002/

−+

⋅α

nnt

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

)1()1(

snsn

⋅

−+

−+−

−

calc

= (9.10)

Если выполняется условие ψ

cr.l

≤ ψ

расч

≤ ψ

cr.u

, то гипотеза H

принимается. В про-

тивном случае H

отвергается с ошибкой первого рода α.

Замечание 9.8. Данный алгоритм проверки гипотез о равенстве a

и a

можно использовать и при отклонении распределения случайных величин ξ и η

от нормального, но при условии, что n

и n

больше 30.

Пример 9.9. Для данных примера 9.4 проверить для α = 0,01 гипотезу о ра-

венстве математических ожиданиях a

и a

, если дисперсии неизвестны.

Решение. Оценки математических ожиданий и несмещенные оценки дис-

персий определим по исходным выборкам:

84,17

)

65,17

)

55,8

==σ

ξ x

)

, 30,8

==σ

η y

)

Находим, используя таблицу процентных точек t−распределения, верхнюю

и нижнюю критические границы:

cr.u

62,2)108(

005,0

, ψ

cr.l

= −2,62. Опреде-

ляем по (9.10) расчетное значение критической статистики:

calc

065,0

108

30,85455,854

65,1784,17

⋅+⋅

−

Поскольку условие ψ

cr.l

≤ ψ

calc

≤ ψ

cr.u

выполняется, то H

не отвергается.

Пример 9.10. Коммерческий банк заказал маркетинговое исследование по

выявлению эффекта «премирования» как стимула для открытия счета в банке.

Для проверки случайным образом было отобрано 200 «премированных» посе-

тителей и 200 «непримированных». В результате выяснилось, что 89% посети-

телей, которым предлагалась премия, и 79% посетителей, которым не предла-

галась премия, открыли счет в банке в течение 6 месяцев.

Используя эти данные, проверьте гипотезу о том, что доля «премирован-

ных» посетителей, открывших счет в банке, существенно отличается от удель-

ного веса «непремированных» посетителей, открывших счет в банке. Принять

уровень значимости α = 0,05.

Решение. Проверим гипотезу о равенстве математических ожиданий

удельных весов случайных величин при неизвестных дисперсиях. Расчетное

значение

t-статистики определяется по формуле

121

calc

)1()1(

snsn

⋅

−+

−+−

−

где

200

== nn 89,0=

, 79,0

y . Определим дисперсии долей:

0979,011,089,0)1(

=⋅=−= xxs

, 1659,021,079,0)1(

=⋅=−= yys

В результате расчетное значение

t-статистики равна

calc

753,2

200200

2200200

1659,0)1200(0979,0)1200(

79,089,0

⋅

−+

⋅−+⋅−

−

Критические значения статистики определим по таблице:

cr.u

966,1)398()2(

%5,221%1002/

−+

⋅α

tnnt

; ψ

cr.l

= −1,966.

Поскольку условие ψ

cr.l

≤ ψ

calc

≤ ψ

cr.u

не выполняется, то H

отвергается. Со ста-

тистической надежностью 0,95 можно считать, что доля «премированных» по-

сетителей, открывших счет в банке, существенно отличается от удельного веса

«непремированных» посетителей, открывших счет в банке.

9.5. Проверка гипотез о стохастической независимости элементов

выборки

Прежде чем приступить к статистической обработке результатов наблюде-

ний, необходимо убедиться в том, что элементы выборки образуют случайную

последовательность (являются случайными и независимыми).

9.5.1. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий

В критерии «восходящих» и «нисходящих» серий предварительно форми-

руется последовательность серий «+» и «−». Для этого в исходной выборке

(

, … , x

) на месте i-го элемента ставят «+», если , и «−», если

xx >

+1 ii

Если

, то в серии ничего не проставляется. Полученная последователь-

ность «+» и «−» может характеризоваться количеством серий ν(

n) и длиной са-

мой длинной серии τ(

n). Под серией понимается последовательность подряд

идущих «+» или «−». Длина серии − количество подряд идущих «+» или «−».

xx =

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез:

− элементы выборки являются стохастически независимыми,

− элементы выборки не являются стохастически независимыми.

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование двумерной критической статистики

= . Предельное распределение статистики ψ

)}(),({ nnv τψ

является двумер-

ным с частными предельными распределениями ν(

n) и τ(n).

4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек распределения

122

cr.u

= ν

(n) =

2916

)12(

2/1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−−

α−

(9.11)

cr.l

= τ

(n) = (9.12)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

.1170153,7

,15326,6

,26,5

5-й шаг. Определение расчетных значений критической статистик ν

calc

(n),

которая равна количеству серий в последовательности «+» и «−», и τ

calc

(n) −

длина самой длинной очереди. Если одновременно выполняются условия

⎩

⎨

⎧

τ≤τ

≥

,)()(

nvnv

crcalc

(9.13)

то

принимается с ошибкой первого рода α. В противном случае элементы

выборки нельзя считать стохастически независимыми.

Замечание 9.9. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий улавливает

смещение оценки математического ожидания монотонного и периодического

характера. Данный критерий является ранговым и применим для выборки с лю-

бым законом распределения.

Пример 9.11. Для выборки (x

, … , x

) из примера 9.5 проверить гипотезу о

стохастической независимости элементов выборки для уровня значимости

= 0,05 с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.

Решение. Построим последовательность серий

− + − + − + − + − + + − + − + − − − − + − + − − +.

Получим ν

calc

(27) = 20; τ

calc

(27) = 4. Найдем из (9.11), (9.12) ν

(n) и τ

(n):

(27) = 6; ν

(n) =

52,13

292716

96,1)1272(

−⋅

−−⋅

Поскольку условия (9.13) выполняются, то

не отвергается и элементы вы-

борки можно считать случайными и независимыми.

9.5.2. Критерий стохастической независимости Аббе

Если выборка (x

, … , x

) принадлежит нормальной генеральной совокуп-

ности, то для выяснения вопроса о ее случайности предпочтительнее восполь-

зоваться

критерием Аббе. Критерий Аббе позволяет обнаружить систематиче-

ское смещение среднего в ходе выборочного обследования.

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез:

− элементы выборки являются стохастически независимыми,

− элементы выборки не являются стохастически независимыми.

2-й шаг. Задание уровня значимости α.

3-й шаг. Формирование критической статистики ψ

= , где

/)(

nq σ

∑

−

)(

. При 60

≤

n предельное распределение критиче-

123

ской статистики затабулировано и представлено в статистических таблицах

для различных значений α.

)(n

4-й шаг. Определение нижней критической точки осуществляется двумя

способами. Если

, то ψ

60>

cr.l

)1(5,0

2/1

α−

. При ψ60≤n

cr.l

находится по статистическим таблицам критерия Аббе.

)(n

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

calc

)(

, где s

− несмещенная оценка дисперсии выборки. Если

calc

≥ ψ

cr.l

, то гипотеза H

о стохастической независимости элементов выборки

принимается с ошибкой первого рода α. В противном случае элементы выборки

нельзя считать случайными и независимыми.

Пример 9.12. Для выборки (x

, … , x

) из примера 9.5 проверить гипотезу о

стохастической независимости элементов выборки для уровня значимости

α = 0,05 с помощью критерия Аббе.

Решение. Поскольку n ≤ 60, то с помощью таблицы для α = 0,05 получим

cr.l

= .

69,0

)27(

05,0

=γ

Вычислим по выборке оценки: s

= 23,89, q

(n) = 30,31. Следовательно,

calc

= 30,31 / 23,89 = 1,27. Т.к. ψ

calc

≥ ψ

cr.l

, то H

не отвергается и элементы вы-

борки можно считать случайными и независимыми.

124

РАЗДЕЛ 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

В предыдущих главах были даны основные понятия и определения теории

вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей и математи-

ческая статистика представляют лишь теоретический фундамент для изучения

статистических зависимостей, но не ставят своей целью установление причин-

ной связи. Эти вопросы решаются с помощью статистических методов обра-

ботки экспериментальных данных. Общая схема основных этапов статистиче-

ского анализа изображена на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Общая схема основных этапов статистического анализа.

125

Экономические процессы носят вероятностный (а часто, неопределенный)

характер. Поэтому возрастает роль вероятностно-статистических методов в

изучении экономики. В связи с этим, представляется целесообразным закон-

чить изучение данного курса рассмотрением основных методов статистическо-

го анализа, получивших наибольшее распространение при изучении экономики.

126

В данном разделе приведено описание основных методов, используемых в

статистическом анализе социально-экономических явлений.

Глава 10. Дисперсионный анализ

В § 9.4 была рассмотрена проверка значимости различия выборочных

средних двух совокупностей. На практике часто возникает необходимость

обобщения задачи на случай нескольких (более чем двух) совокупностей. Эта

проблема решается с помощью дисперсионного анализа. Идея дисперсионного

анализа, как и сам термин «дисперсия», принадлежит английскому статистику

Р. Фишеру. Метод был разработан в 1920-х годах.

Дисперсионный анализ позволяет оценивать влияние на количественный

отклик Y неколичественных факторов (X

, … , X

) с целью выбора среди них

наиболее важных. Такими качественными факторами могут быть тип оборудо-

вания или технологического процесса, вид сырья, способ обработки и другие

условия, влияющие на выходные характеристики изделия.

10.1. Основные понятия дисперсионного анализа

Определение 10.1. Дисперсионный анализ – метод статистического анали-

за, позволяющий определить достоверность гипотезы о различиях в средних

значениях на основании сравнения дисперсий распределений.

В процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы

произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фак-

тора (например, определенный температурный режим, выбранное оборудова-

ние или материал) называется уровнем фактора или способом обработки. Мо-

дель дисперсионного анализа с фиксированными (или систематическими)

уровнями факторов называют моделью I, модель со случайными факторами –

моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние

на величину отклика. В настоящее время общая теория дисперсионного анализа

разработана для моделей I.

Пример 10.1. Пусть необходимо выяснить, имеются ли существенные раз-

личия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т.е. прове-

рить влияние на качество одного фактора – партии изделий. Если включить в

исследование все партии изделий, то влияние уровня такого фактора система-

тическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным

партиям, которые привлекались для исследования; если же включить только

отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II).

Дисперсионный анализ основан на разложении общей дисперсии (вариа-

ции) отклика на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует

влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Оценив влияние фак-

торов, дисперсионный анализ позволяет выбрать среди них наиболее важные.

В зависимости от количества факторов, включенных в анализ, различают

одно- и многофакторный дисперсионный анализ.

10.2. Однофакторный дисперсионный анализ

10.2.1. Аддитивная модель однофакторного дисперсионного анализа

Пусть измеряются размеры Y однотипных деталей, изготавливаемых на па-

раллельно работающем оборудовании. Все наблюдения отклика представляют-

ся в виде матрицы наблюдений (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Уровни фактора A (способы обработки)

Номер на-

блюдения

1 2

…

1 y

…

2 y

…

… … … … … … …

…

… … … … … … …

…

Здесь n – число станков или уровней фактора A, влияние которого на раз-

меры деталей Y исследуется при дисперсионном анализе. На каждом j-м уровне

производится m наблюдений. Заметим, что в общем случае объемы выборок на

каждом уровне могут не совпадать.

Для описания данных матрицы наблюдений при дисперсионном анализе

используется аддитивная модель. Каждое наблюдение отклика y

представля-

ется в виде суммы вклада воздействия фактора a

и независимой от вклада фак-

тора случайной величины (возмущения) ε

),...,1,,...,1(, njmiay

ijjijjij

ε+τ+

=ε+= . (10.1)

Величина

a τ+μ

является средним значением отклика (размера дета-

лей) для j-го уровня фактора (j-го станка). Эта неслучайная величина – резуль-

тат действия соответствующего способа обработки.

Величина μ является общим средним уровнем отклика

∑

=μ

Величина μ−

a − отклонение от среднего уровня при j-й обработке,

или эффект, обусловленный влиянием j-го фактора, .

=τ

∑

Предложение 10.1. Основные предпосылки дисперсионного анализа:

1. Математическое ожидание возмущения ε

M[ε

] = 0 для любых j.

2. Возмущения ε

взаимно независимы.

3. Дисперсия переменной Y (или возмущения ε) постоянна для любых i, j.

4. Переменная Y (или возмущение ε) имеет нормальный закон распределения. #

127

Одинаково распределенные случайные величины ε

отражают присущую

наблюдениям внутреннюю изменчивость. Они характеризуют эффект случай-

ности или влияние неучтенных аддитивной моделью (10.1) факторов. Таким

образом, общая вариация отклика

−

может быть разложена на составляю-

щую

, которая характеризует влияние фактора и случайную часть от воздейст-

вия неучтенных факторов.

Стратегия дисперсионного анализа заключается в следующем.

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии эффектов обработки

. Если H

0...:

210

=τ==τ=τ

справедлива, то все данные матрицы наблюде-

ний принадлежат одному и тому же распределению, т.е. данные однородны:

. Различие между столбцами (для разных станков или уровней

фактора) объясняется лишь эффектом случайности. На этом однофакторный

дисперсионный анализ заканчивается.

aaa === K

Если H

отвергается, то принимается альтернативная гипотеза

– различие в средних значениях отклика обусловлено не

только эффектом случайности, но и действием исследуемого фактора. В этом

случае строятся доверительные интервалы для воздействий фактора

0...:

211

=τ≠≠τ≠τ

, (j = 1, … , n).

10.2.2. Базовая таблица однофакторного дисперсионного анализа

Пусть

∑∑

−=

yyQ

)(

– общая (полная) сумма квадратов отклонений

отдельных наблюдений отклика y

относительно общей средней

, где

∑∑

является оценкой общего среднего μ,

≈

. После ряда преоб-

разований можно получить следующее основное тождество дисперсионного

анализа о разбиении величины Q на слагаемые:

443442144344214434421

∑∑∑∑∑

=====

−+−=−

jij

yyyymyy

)()()(

, (10.2)

где

∑

ijj

− средние значения столбцов матрицы наблюдений, т.е. сред-

няя арифметическая m наблюдений j-го уровня. Замена индекса точкой означа-

ет результат суммирования по этому индексу. Величина

y является оценкой

воздействия фактора на j-м уровне a

≈

Слагаемое Q

в (10.2) − сумма квадратов между группами наблюдений, ха-

рактеризует расхождения между уровнями фактора a

, (j = 1, … , n), т.е. вклад в

общую сумму квадратов, обусловленный рассеянием за счет исследуемого

фактора. Этот вклад можно считать обусловленным введенной моделью.

128

Слагаемое Q

− сумма квадратов внутри групп наблюдений (или остаточ-

ное рассеяние), характеризует случайную изменчивость наблюдений внутри

групп за счет неучтенных факторов.

Результаты вычислений представляют в виде базовой таблицы однофак-

торного дисперсионного анализа:

Таблица 10.2

Источник дисперсии Сумма квадратов

Число степеней

свободы

Средний квадрат

(оценка диспер-

сии)

Между группами

(фактор A)

n−1

−

Внутри групп (оста-

точное рассеяние)

n(m−1)

)1(

−

Полная (общая)

Q = Q

+ Q

nm−1

−

Число степеней свободы в общем случае равно числу независимых наблю-

дений, уменьшенному на число параметров, оцениваемых по этим наблюдени-

ям при вычислении статистики. Например, при вычислении Q

число наблюде-

ний равно nm, число оцениваемых параметров

y равно n, поэтому число сте-

пеней свободы равно n(m–1). Зная суммы квадратов Q, Q

и Q

и их число сте-

пеней свободы, вычисляются соответствующие дисперсии: общую s

, меж-

групповую s

и внутригрупповую s

, причем

222

+= sss

. (10.3)

Для проверки нулевой гипотезы H

используется критическая статистика,

называемая F–отношением, равная

σσ

. (10.4)

Предложение 10.2. Предельное распределение статистики ψ

как случай-

ной величины в случае справедливости проверяемой гипотезы H

стремится к

F−распределению Фишера с n

),(

nnF

и n

числом степеней свобо-

ды , где n

)1,1()(lim

−−=

∞→

nnFxF

= n–1, n

= n(m–1). #

Чем сильнее нарушается гипотеза H

, тем большую тенденцию к возраста-

нию проявляет F–отношение. Для уровня значимости α находится критическое

значение F

. При расчетном значении F–отношения ψ

calc

> F

α⋅100%

(n–1, n(m–1))

гипотеза H

отвергается и делается вывод о существенном влиянии фактора A.

F–отношение (10.4) позволяет обнаружить, значимо ли различаются способы

обработки. Если гипотеза H

отклонена, то дальнейший анализ связан с оцени-

ванием воздействий a

, (j = 1, … , n) фактора A. Только вычислив доверитель-

ные границы для воздействий фактора, можно сказать, пересекаются ли неко-

торые из интервалов, и упорядочить по значениям воздействия a

129

Их точечными оценками являются внутригрупповые средние

y , которые

имеют распределения , где

. )/,(

maN

j ε

εε

≈ s

Статистика

−

подчиняется распределению Стьюдента с

k = n(m − 1) степенями свободы. Тогда доверительный интервал для a

при уров-

не значимости α имеет вид:

)()(

%1002/%1002/

yakt

jjj ⋅α

⋅α

−<<−

Если доверительные интервалы для всех a

не пересекаются, можно ранжи-

ровать способы обработки по степени их влияния на размеры деталей Y.

Пример 10.2. Имеются четыре партии сырья для текстильной промышлен-

ности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на

определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены

в таблице 10.3.

Таблица 10.3

Значения разрывной нагрузки (кг/см

)

Номер партии

Номер образца

1 2 3 4

1 200 190 230 150

2 140 150 190 170

3 170 210 200 150

4 145 150 190 170

5 165 150 200 180

Необходимо выяснить для уровня значимости α = 0,05, существенно ли

влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

Решение. Имеем m = 5, n = 4. Найдем средние значения разрывной нагруз-

ки

y для каждой партии:

1645/)165145170140200(

(кг/см

) и

аналогично

170

202

164

(кг/см

Общее среднее значение разрывной нагрузки

всех образцов равно:

17520

)180170150...170140200(

++++=y (кг/см

Сумма квадратов между группами наблюдений Q

согласно (10.2) равна:

49809965])175164(...)175164[(5)(5

=⋅=−++−=−=

∑

yyQ

Сумма квадратов внутри групп наблюдений Q

равна:

+−++−=−=

∑∑

)164165(...)164200()(

jij

yyQ

+−++−+−++−+

2222

)202200(...)202230()170150(...)170190(

7270)164180(...)164150(

=−++−+

Тогда полная сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений составит

Q = Q

+ Q

= 4980 + 7270 = 12250.

Соответствующие числа степеней свободы для этих сумм составят:

n − 1 = 3; n(m–1) = 4⋅(5–1) = 16; nm−1 = 4⋅5–1 = 19.

130