Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Продифференцировав по p равенство , получим
knk
n
k
k
n
n
qpCqp
−
=
∑
=+
0
)(
knk
n
k
k
n
n
qpkCqpn
−−
=
−
∑
=+
1
0
1
)(
.
Умножим обе части последнего равенства на p:
][)(
0
1
ξ==+
−
=
−
∑
MqpkCqpnp
knk
n
k
k
n
n
,
откуда, учитывая, что 1=+ q
p
, получим npqpnpM
n
=+=ξ
−1
)(][.
Пример 2.9. Пусть случайная величина Π имеет пуассоновское распреде-
ление с параметром λ > 0. Определим ее математическое ожидание:
M[Π] =
=
−
λ
λ=
λ
∑∑
∞
=
−
λ−
∞
=
λ−
1
1
0
)!1(!
k
k
k
k
k
ee
k
k
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
λ
+
λ
+λ
λ−
...
!2!1
1
2
e
λ
=
λ
λλ−
ee
.
2.5. Общие свойства математического ожидания
Предложение 2.5. Имеют место свойства:
1) Если случайная величина ξ = ξ(ω) постоянна, то есть, для некоторой кон-
станты c ∈ R имеет место
1})(:{
=
=
ω
ξ
ω c
P
, то c
M
=
ξ
][ ;
2) Если 0, то математическое ожидание )( ≥ωξω∀
][
ξ
M
неотрицательно при
условии, что оно существует;
3)
][][ ξ=ξ cMc
M
для любого c ∈ R;
4) Если
существуют, то
][,],[
1 n
MM ξξ K ][][][
11 nn
MMM
ξ
++ξ
=
ξ
+
+
ξ
KK
;
5) Если
][ξ
M
и ][
η
M
существуют и
)()(
ω
η
≤
ω
ξ
для всех Ω∈
ω
, то ][][
ξ
≤
ξ
M
M
.
Доказательство. Свойства 1), 2) и 3) очевидны. Докажем 4).
∑
Ω∈ω
=
ω
ω
ξ
+
+
ωξ=ξ++ξ )())(...)((]...[
11
PM
nn
][...][)()()()(
11 nn
MMPP
ξ
++ξ
=
ω
ω
ξ
+
+
ω
ωξ=
∑
∑
Ω∈ωΩ∈ω
K
.
Докажем 5). Так как при каждом ω имеет место
][][ η≤
ξ
M
M
, то
∑∑
Ω∈ωΩ∈ω
ω
ωη
≤
ωωξ )()()()( PP
, что влечет
][][
ξ
≤
ξ
M
M
.
Замечание 2.3. Свойства 3) и 4) называются свойствами линейности мате-
матического ожидания.
2.6. Дисперсия случайной величины
Определение 2.9. Дисперсией случайной величины ξ называется число
[
2
][][ ξ−ξ=ξ MMD
&
]
. (2.3)
Очевидно, что дисперсия всегда неотрицательна.
Замечание 2.4. Иногда для вычислений более удобна формула,
22
][][][ ξ−ξ=ξ MMD , (2.4)
31
которая легко выводится из свойств математического ожидания.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины
относительно ее математического ожидания. Если все значения случайной ве-
личины тесно сконцентрированы около ее математического ожидания и боль-
шие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случай-
ная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины
рас-
сеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожида-
ния, то такая случайная величина имеет большую дисперсию. Величина
][ξ=σ
ξ
D
называется средним квадратическим отклонением значений слу-
чайной величины ξ относительно ее математического ожидания.
Пример 2.10. Дисперсия бернуллиевской случайной величины:
()
(
)
1)21(0)(1][)1(0][1][
22
22
=−⋅+−⋅=ξ−−⋅+ξ−⋅=ξ pppMpMpD .
Пример 2.11. Найдем дисперсию пуассоновской случайной величины. Вос-
пользуемся формулой (2.4). Вначале получим формулу для M[Π
2
]:
=
−
λ+−
=
−
λ
=
λ
=Π
∑∑∑
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
110
22
)!1(
]1)1[(
)!1(!
][
k
k
k
k
k
k
k
k
e
k
k
ee
k
kM
=
−
λ
λ+
−
λ
λ=
∑∑
∞
=
−
λ−
∞
=
−
λ−
1
1
2
2
2
)!1()!2(
k
k
k
k
k
e
k
e
λ+λ=λ+λ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
λ
+
λ
+λ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
λ
+
λ
+λ=
λλ−λλ−λ−λ− 22
22
2
...
!2!1
1...
!2!1
1 eeeeee
.
Теперь
.
λ=λ−λ+λ=Π−Π=Π
2222
)(][][][ MMD
Пример 2.12. Найти дисперсию числа очков, выпавших при бросании иг-
ральной кости.
Решение. Распределение случайной величины ξ – «число очков, выпавших
на игральной кости» и ее математическое ожидание получены в примере 2.4.
Воспользуемся формулой (2.4).
6
91
6
1
6
6
1
5
6
1
4
6
1
3
6
1
2
6
1
1][
22222222
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==ξ
∑
k
k
pkM
.
Теперь
12
35
12
147182
4
49
6
91
2
7
6
91
][][][
2
22
=
−
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=ξ−ξ=ξ MMD .
2.7. Общие свойства дисперсии
Предложение 2.6. Имеют место свойства:
1) Дисперсия не изменится, если к случайной величине прибавить константу:
. В частности, если случайная величина η постоянна, то есть,
η(ω) = c, то D[η] = 0;
][][ ξ=+ξ DcD
32
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя при
этом его в квадрат: D[cξ] = c
2
D[ξ];
3)
, где )
∑∑∑
≤<≤
==
ξξ+ξ=ξ
nji
ji
n
i
i
n
i
i
DD
1
11
),cov(2][][ ,cov(
⋅
⋅
– ковариация, опреде-
ляемая по формуле
[
]
])[])([(),cov(
η
−
η
ξ−ξ=ηξ MMM
&
# (2.5)
Замечание 2.5. Легко видеть, что
][),cov(
ξ
=
ξ
ξ
D
, и что ковариация линей-
на по каждому из своих аргументов, а именно Rcc
∈
∀
21
,:
),cov(),cov(),cov(
22112211
η
ξ
+
η
ξ
=ηξ+ξ cccc
,
),cov(),cov(),cov(
2211211
η
ξ
+
η
ξ=
η
+ηξ cccc
.
Пользуясь свойствами математического ожидания, можно показать, что
ковариацию можно вычислять по формуле
cov(ξ,
η) = M[ξη] − M[ξ]M[η]. (2.6)
Замечание 2.6. Особо отметим, что, в отличие от математического ожида-
ния, дисперсия – это нелинейная операция, как видно из свойств 2) и 3). Ее
можно условно назвать квадратичной функцией по аналогии с квадратичными
формами в линейной алгебре.
2.8. Индикаторы событий
Здесь мы рассмотрим простейшие случайные величины, тесно связанные с
событиями. Они удобны при изучении произвольных случайных величин.
Определение 2.10. Индикатором события A называется случайная величина
⎩
⎨
⎧
∉ω
∈
ω
=ω
.,0
,,1
)(
A
A
I
A
Другими словами, I
A
= 1, если происходит событие A, и I
A
= 0, если событие A
не происходит. Таким образом, I
A
является бернуллиевской случайной величи-
ной (см. определение 2.4).
Замечание 2.7.
)()()0)((0)1)((1][ APAPIPIPIM
AAA
=
∈
ω
=
=
ω
⋅
+=ω⋅=
,
222
)]([)(])[(][][ APAPIMIMID
AAA
−=−= .
Предложение 2.7. Пусть дана последовательность случайных величин
ξ
1
, … , ξ
n
такая что все математические ожидания M[ξ
i
] существуют и
[]
∞<ξ
∑
∞
=1i
i
M . Тогда:
a) – абсолютно сходится} = 1;
∑
∞
=
ωξω
1
)(:{
i
i
P
33
34
]б) существует математическое ожидание ; [
1
∑
∞
=
ξ
i
i
M
в) . #
∑∑
∞
=
∞
=
ξ=ξ
11
][][
i
i
i
i
MM
Предложение 2.8. Пусть D
1
, … , D
n
, … – последовательность несовмест-
ных событий:
∅
=
≠
∀
ji
DDji I
. Рассмотрим случайную величину
∑
=ξ
k
Dk
k
Iy
. (2.7)
Предположим, что
∞
<
∑
k
kk
DPy )(
. Тогда
∑
=
ξ
k
kk
DPyM )(][
.
Доказательство. Данное утверждение есть следствие предложения 2.7.
Действительно, обозначим
k
Dkk
Iy
=
ξ
. Заметим, что . Легко
проверить, что условия предложения 2.7 выполнены, т.е.
.
)(][
kkk
DPyM =ξ
∑
∞
=
ξ=ξ
1
][][
i
i
MM
Замечание 2.8. Обратим внимание на то, что в бесконечной сумме (2.7)
при любом фиксированном ω только одно слагаемое отлично от нуля. Это вы-
текает из несовместности событий D
i
.
2.9. Независимость случайных величин
Определение 2.11. Дискретные случайные величины ξ
1
, … , ξ
n
называются
независимыми, если для всех x
1
, … , x
n
∈ R
{}
{
}
{
}
nnnn
xPxPxxP
=
ξ
=
ξ
==
ξ
=ξ KK
1111
,,
,
т.е.
набор
Rxx
n
∈∀ ,...,
1
}{,...},{
11 nn
xx
=
ξ
=ξ
есть набор независимых событий.
Предложение 2.9. События A
1
, … , A
n
независимы тогда и только тогда,
когда случайные величины
взаимно независимы. #
n
AA
II ,...,
1
Предложение 2.10. Предположим, что:
1) ξ
1
, … , ξ
n
− независимые дискретные случайные величины,
2) Существуют математические ожидания M[ξ
i
].
Тогда ][][][
11 nn
MMM
ξ
ξ=
ξ
ξ KK .
Доказательство. Для простоты рассмотрим лишь случай 2. Обозначим
ξ
=n
1
= ξ, ξ
2
= η. Пусть ξ и η имеют следующие распределения:
ξ
x
1
x
2
…
x
k
…
P p
1
P
2
…
p
k
…
η
z
1
z
2
…
z
k
…
P q
1
q
2
…
q
k
…
Пусть })(:{
jj
xA =
ω
ξω= ,
})(:{
kk
zB
=
ω
η
ω
=
. Имеют место представления
∑
=ξ
j
Aj
j
Ix ,
∑
=
η
k
Bk
k
Iz
. (2.8)
Заметим, что
. Следовательно,
kjkj
BABA
III
I
=⋅
∑∑∑
==ξη
jkj
BAkj
k
BAkj
kjkj
IzxIIzx
,
. (2.9)
Аналогично замечанию 2.8, при любом фиксированном ω в бесконечных
суммах (2.8) содержится не более одного ненулевого слагаемого, так что с про-
изведением рядов в (2.9) нет никаких проблем. Так как, если
),(),( kjkj
′
′
≠
то
∅
=
′′
)()(
kjkj
BABA I
. Поэтому можем воспользоваться доказанным выше пред-
ложением 2.8:
∑
=
ξ
η
kj
kjkj
BAPzxM
,
)(][
. Поскольку ξ и η независимы, то
)()(}{}{},{)(
kjkjkjkj
BPAPzPxPzxPBAP
=
=
η
⋅
=
ξ
=
=η=
ξ
=
.
Следовательно,
∑
∑
∑
ηξ
=
⋅
=
=ξη
kjk
kk
j
jjkjkj
MMBPzAPxBPAPzxM
,
][][)()()()(][
.
Предложение 2.11. Если ξ и η независимы, то cov(ξ, η) = 0.
Доказательство. Действительно, по предложению
][][][
η
ξ
=ξη
M
M
M
в
силу независимости ξ и η. С другой стороны, согласно (2.6) cov(ξ, η) = 0.
2.10. Некоррелированность случайных величин
Определение 2.12. Случайные величины ξ и η называются некоррелиро-
ванными, если cov(ξ, η) = 0.
Замечание 2.9. Соотношение между некоррелированностью и независимо-
стью случайных величин можно записать в виде:
Прямая импликация была установлена в предложении 2.11. Пример некор-
релированных, но зависимых случайных величин будет приведен в § 4.4.
Таким образом, если ковариация отлична от нуля, то это свидетельствует о
зависимости случайных величин. Для того чтобы иметь количественный пока-
затель того, насколько сильно зависят друг от друга случайные величины, часто
используют коэффициент корреляции:
][][
),(
),(
η⋅ξ
ηξ
=ηξρ
DD
Cov
. (2.10)
Оказывается, что всегда
1),(
≤
η
ξ
ρ
. Это можно доказать, применяя хорошо
известное в линейной алгебре неравенство Коши−Буняковского. Более того, из
этого неравенства вытекает, что если
1),(
=
η
ξ
ρ
, то случайные величины ξ и η
линейно зависимы:
.
0:0,,
21
2
2
2
121
=η+ξ>+∈∃ ccccRcc
35
Замечание 2.10. Линейная зависимость случайных величин ξ и η является
частным случаем их функциональной зависимости, то есть зависимости вида
0))(),(( =ωηωξ
f
, где f – некоторая (необязательно линейная) функция двух ве-
щественных переменных. Из вышесказанного следует, что коэффициент корре-
ляции хорошо отражает степень линейной зависимости между случайными ве-
личинами. Вместе с тем, позже будет показано, что коэффициент корреляции
может быть совершенно «нечувствителен» к функциональной зависимости
(см. замечание 4.2).
Замечание 2.11. Если ξ
1
, … , ξ
n
независимы, то .
∑∑
==
ξ=ξ
n
i
i
n
i
i
DD
11
][][
Вытекает из п. 3) предложения 2.6 и предложения 2.11.
Пример 2.13. Рассмотрим схему Бернулли для последовательности из n не-
зависимых испытаний. Введем случайные величины ξ
1
, … , ξ
n
, которые явля-
ются независимыми и имеют бернуллиевское распределение
с вероятностью p,
⎩
⎨
⎧
=ξ
,0
,1
i
с вероятностью 1 – p.
Число успехов в последовательности n независимых испытаний можно запи-
сать в виде
. Тогда математическое ожидание и дисперсия числа
успехов ν
nn
ξ++ξ=ν ...
1
n
будут соответственно равны
npMMM
nn
=
ξ++ξ=ν ][][][
1
K
;
)1(][][][
1
pnpDDD
nn
−
=ξ
+
+
ξ
=
ν
K
.
Пример 2.14. Случайные величины ξ и η независимы. Известны дисперсии
этих величин: D[ξ] = 5; D[η] = 9. Найти дисперсию случайной величины
ϕ = 2ξ − η + 5.
Решение. Используя свойства дисперсии (см. предложение 2.6), получим
29954][)1(][2]52[][
22
=+⋅=η⋅−+ξ⋅=+η−ξ=ϕ DDDD .
Пример 2.15. Доказать, что для независимых случайных величин ξ и η
справедливо равенство: D[ξ − η] = D[ξ] + D[η].
Решение. Воспользовавшись свойствами дисперсии, получим
=
η
⋅
−
+
ξ
=η−+
ξ
=η−ξ ])1[(][)]([][ DDDD
.
][][][)1(][
2
η+ξ=η⋅−+ξ= DDDD
2.11. Предельные теоремы для схемы Бернулли
Выше приведено значительное число точных результатов, относящихся к
последовательности независимых испытаний Бернулли и связанному с ней би-
номиальному распределению. Мы знаем, что число успехов
ν
n
в последова-
тельности из n независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде
, где – независимые одинаково распределенные бернул-
nn
ξ++ξ=ν ...
1 n
ξξ ,...,
1
36
лиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение
ν
n
, а
именно,
knkk
nnpn
ppCkPkP
−
−==ν= )1(}{)(
,
&
,
где p – вероятность успеха в единичном испытании.
Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности P
n,p
(k)
при больших значениях n. Это может вызвать значительные вычислительные
трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов C
n
k
и необходи-
мости возводить числа p и (1 − p) в высокие степени.
Пример 2.16. Определим вероятность получить не менее десяти успехов в
1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность
этого события равна любому из выражений:
∑∑
=
−
=
−
−=
9
0
1000
1000
1000
10
1000
1000
)997,0()003,0(1)997,0()003,0(
k
kkk
k
kkk
CC .
Вычисление даже одного слагаемого в этих выражениях весьма проблематично.
Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиаль-
ное распределение может быть приближено другими распределениями.
2.11.1. Пуассоновское приближение
Рассмотрим последовательность серий:
...};...,,,{};,{};{
21222111 nnnn
EEEEEE
,
в которой события одной серии взаимно независимы между собой и каждое из
них имеет вероятность p
n
, зависящую только от номера серии n.
Предложение 2.12. (Предельная теорема Пуассона). Пусть при
таким образом, что
0→
n
p
∞→n
λ
→
n
np
, где 0>
λ
– заданное число. Тогда для лю-
бого фиксированного k
0
!
)(
,
→
λ
−
λ−
e
k
kP
k
pn
n
.
Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные веро-
ятности P
n,p
(k) аппроксимируются пуассоновским распределением.
Доказательство. Для краткости будем считать
npn
n
/, λ=
∞
→
. Тогда
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ+−−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
=
−−
λ
knkknk
k
n
n
n
nnk
knnn
nn
CkP 1
!
)1)...(1(
1)(
,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
−
+−−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
−⋅
λ
=
−k
k
n
k
n
n
knnn
nk
1
)1)...(1(
1
!
λ−
−
λ
→
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
−⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ
−⋅
λ
= e
knn
k
nnk
k
kn
k
!
1
1
1...
1
111
!
,
поскольку выражение в квадратных скобках стремится к единице, если k фик-
сировано, а
.
∞→n
37
Пользуясь данной теоремой, можно приближенно посчитать вероятность
получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероят-
ностью успеха 0,003 из примера 2.13. Поскольку n = 1000 «велико», а p = 0,003
«мало», то, взяв λ = np = 3, можно написать
==−≈−
∑∑∑
∞
=
−
=
−
=
−
10
3
9
0
3
9
0
1000
1000
!
3
!
3
1)997,0()003,0(1
k
k
k
k
k
kkk
e
k
e
k
C
= табличное значение Π
2
(10) ≈ 0,001. (2.11)
Замечание 2.12. Приведенная формулировка теоремы Пуассона ничего не
говорит о скорости сходимости биномиального распределения к предельному
пуассоновскому закону. Осталось решить, достаточно ли n = 10
3
«велико», а,
p = 0,003 «мало», чтобы заменить точную вероятность P(v
n
= k) на приближен-
ное значение
λ−
λ
e
k
k
!
. Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими
двумя вероятностями.
Ответ на этот вопрос можно дать, воспользовавшись следующей теоремой.
Предложение 2.13. (Теорема Пуассона с оценкой погрешности).
Пусть }...,,2,1,0{ n
A
⊆ − произвольное множество целых неотрицательных
чисел, v
n
− число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью ус-
пеха p, λ = np. Тогда
n
npe
k
ppCe
k
AvP
Ak
k
Ak
knkk
n
Ak
k
n
2
2
!
)1(
!
)(
λ
=≤
λ
−−=
λ
−∈
∑∑∑
∈
λ−
∈
−
∈
λ−
#
Данная теорема предоставляет нам возможность самим решать, достаточно
ли n «велико», а p «мало», руководствуясь полученной величиной погрешно-
сти. Какова же погрешность в (2.11)? Имеем:
≤−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−≥
∑∑∑
∞
=
−
=
−
∞
=
−
10
3
9
0
1000
1000
10
3
1000
!
3
)997,0()003,0(1
!
3
)10(
k
k
k
kkk
k
k
e
k
Ce
k
vP
.
009,0
2
=≤ np
Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001). Во всяком случае,
можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем
0,01 = 0,001 + 0,009.
Пример 2.17. База отправила в магазин 500 изделий, вероятность повреж-
дения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того, что в пути будут повреж-
дены 5 изделий.
Решение. По условию n = 500 – велико, p = 0,002 – мало, поэтому восполь-
зуемся пуассоновским приближением. Имеем λ = np = 500⋅0,002 = 1, k = 1. Сле-
довательно искомая вероятность равна, Р
500; 0,002
(5) ≈
=
−1
5
!5
1
e
.003,0
!5
1
≈
⋅e
38
2.11.2. Нормальное приближение
Рассмотрим случай, когда число испытаний в схеме Бернулли растет
(
), а вероятность успеха в единичном испытании p фиксированна.
∞→n
Предложение 2.14. (Локальная теорема Муавра–Лапласа). Если вероят-
ность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и
1, то вероятность P
n,p
(k) того, что событие A произойдет k раз в достаточно
большом числе n независимых испытаниях, приближенно равна:
)1(
)(
)(
,
pnp
tf
kP
pn
−
≈ , (2.12)
где
2
2
2
1
)(
t
etf
−
π
= ,
)1( pnp
npk
t
−
−
= . #
Пример 2.18. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холо-
дильники. Найти, используя локальную формулу Муавра–Лапласа (2.12) веро-
ятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.
Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна p = 80/100
= 0,8. Отсюда получим:
5,2
2,08,0400
8,0400300
−=
⋅⋅
⋅
−
=t ,
0175,0
2
1
)5,2()(
2
5,2
2
≈
π
=−=
−
eftf
,
0022,0
8
0175,0
2,08,0400
0175,0
)300(
8,0;400
≈=
⋅⋅
≈P .
Пусть в условиях данного примера необходимо найти вероятность того,
что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по
теореме сложения вероятность искомого события
)360()301()300()360300(
8,0;4008,0;4008,0;4008,0;400
PPPkP
+
+
+
=≤≤ K .
Непосредственный расчет ввиду большого числа слагаемых достаточно
громоздок. В таких случаях используется следующая теорема.
Предложение 2.15. (Интегральная теорема Муавра–Лапласа). Если веро-
ятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от
0 и 1, то вероятность того, что число v
n
наступления события A в n независимых
испытаниях заключено в пределах от c до d, при
∞
→n
:
()
)()(
1020,
tFtFdvcP
npn
−→≤≤ , (2.13)
где
)1(
1
pnp
npc
t
−
−
= ,
)1(
2
pnp
npd
t
−
−
= ,
∫
∞−
−
π
=
t
x
dxetF
2
0
2
2
1
)(
− кривая Гаусса, зна-
чения которой определяются из таблиц. #
39
Замечание 2.13. Предел (2.13) является универсальным, т.к. он не зависит
от параметра p, который имеется в допредельном выражении. На самом деле,
эта теорема является частным случаем другой, еще более универсальной, цен-
тральной предельной теоремы, которую рассмотрим в § 5.2.
Замечание 2.14. В предельном переходе «
∞
→n
, p фиксировано» каждая
«индивидуальная» вероятность P
n,p
(k) стремится к нулю. Асимптотика этого
стремления описывается локальной предельной теоремой, которую можно най-
ти в большинстве учебников. Что же касается интегральной предельной теоре-
мы Муавра-Лапласа, то можно сказать, что она описывает предельное поведе-
ние сумм большого числа таких малых вероятностей. Действительно,
∑
−+≤≤−+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≤
−
−ν
≤
)1()1(
,
)(
)1(
pnpdnpkpnpcnp
pn
n
kPd
pnp
np
cP
,
таким образом, в последней сумме содержится много (порядка
n ) слагаемых.
Пример 2.19. По данным примера 2.18 вычислить вероятность того, что от
300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.
Решение. Применяем интегральную теорему Муавра–Лапласа:
5,2
2,08,0400
8,0400300
1
−=
⋅⋅
⋅
−
=t ,
0,5
2,08,0400
8,0400360
2
=
⋅⋅
⋅
−
=t ,
00621,0
2
1
)5,2(
5,2
2
0
2
=
π
=−
∫
−
∞−
−
dxeF
x
,
0,1
2
1
)0,5(
0,5
2
0
2
=
π
=
∫
∞−
−
dxeF
x
,
()
99379,000621,01)5,2()0,5(360300
008,0;400
=
−
=
−
−
≈≤≤ FFvP
n
.
2.11.3. О применимости предельных теорем в схеме Бернулли
Следует различать ситуации, когда к схеме Бернулли можно применить
пуассоновскую, а когда нормальную аппроксимации. Из формулировок теорем
Пуассона и Муавра-Лапласа можно вывести следующие общие правила:
• если n велико
, а np не велико, следует пользоваться пуассоновским
приближением;
• если n велико и np(1−p) велико, то можно применять нормальное при-
ближение.
На практике в ситуации, когда n имеет порядок сотен, поступают следую-
щим образом: если np ≤ 10, то применяют пуассоновское приближение; если же
np(1−p) ≥ 20, то пользуются нормальной аппроксимацией.
Пример 2.20. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 1/4. Како-
ва вероятность того, что: а) среди 300 грибов белых будет 75; б) белых грибов
будет не менее 50 и не более 100?
40