Тырсин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤≤−⋅+

−

.,1

,,arctg

,,0

)(

axa

Найти: 1) постоянные b и c; 2) плотность распределения вероятностей p

(x).

Решение. Для определения b и c воспользуемся свойствами 1) и 2) функции

распределения. Т.к. случайная величина ξ задана на отрезке [−a, a], то должны

выполняться условия:

0)(

−aF

1)(

. В данном случае

)1arctg()( =

−=−⋅+=− cbcbaF

1arctg)( =

+=⋅+= cbcbaF

В результате получаем систему двух уравнений с неизвестными b и c:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

решив которую, найдем

21=b

. Следовательно, случайная величина ξ

характеризуется следующей функцией распределения

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤≤−

−

.,1

,,arctg

,,0

)(

axa

Плотность распределения вероятностей определим, используя следствие

3.2. При a

−< и a

> имеем

0)()(

′

ξξ

xFxp

. При

],[ aa

−

∈

)(

)()(

xFxp

+π

′

ξξ

Итак, случайная величина ξ имеет следующую плотность распределения

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤≤−

+π

−<

.,0

)(

,,0

)(

axa

Пример 3.5. Случайная величина ξ задана плотностью распределения

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

π>

π≤<π

≤

.2/,0

,2/4/,2sin2

,4/,0

)(

Найти функцию распределения F

(x).

Решение. Если x ≤ π/4, то p

(x) = 0, следовательно,

∫∫

∞−∞−

ξξ

=⋅==

dtdttpxF 00)()(.

Если π/4 ≤ x ≤ π/2, то

∫∫

∞−π

−=+⋅=

2cos2sin20)( xtdtdtxF

Если x > π/2, то

()

102cos002sin20)(

=+−=⋅++⋅=

∫∫∫

∞−

xdttdtdtxF

Итак, случайная величина ξ имеет следующую функцию распределения:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

π>

π≤<π−

≤

.2/,1

,2/4/,2cos

,4/,0

)(

3.4. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случай-

ной величины

Определение 3.8. Математическим ожиданием абсолютно непрерывной

случайной величины ξ с плотностью p

(x) назовем число

∫

∞

∞−

=ξ dxxxpM )(][ . (3.3)

По определению, математическое ожидание существует тогда и только то-

гда, когда интеграл (3.3) сходится абсолютно. Формула (3.3) аналогична фор-

муле (2.2) для дискретных случайных величин.

Предложение 3.2. Пусть

→:

− некоторая функция. Имеет место

формула:

. Математическое ожидание

∫

∞

∞−

=ξ dxxpxggM )()()]([

)]([ ξ

сущест-

вует тогда и только тогда, когда этот интеграл сходится абсолютно. #

В частности,

, а дисперсия равна

∫

∞

∞−

=ξ dxxpxM )(][

[]

∫

∞

∞−

ξ−=ξ−ξ=ξ dxxpMxMMD )(])[(][][

, или, учитывая замечание 2.4,

()

)()(][][][

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=ξ−ξ=ξ

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

dxxxpdxxpxMMD . (3.4)

Пример 3.6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной ве-

личины ξ с плотностью распределения

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∉

∈

.)3,0(,0

,)3,0(,

)(

Решение. Используя формулы (3.3), (3.4), получим

)(][

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==⋅==ξ

∫∫∫

∞

∞−

dxxxdxxdxxxpM

;

()

][)(][

=−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=−⋅=ξ−=ξ

∫∫

∞

∞−

xdxxMdxxpxD

Пример 3.7. Найдем математическое ожидание и дисперсию равномерного

распределения с плотностью

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∉

∈

−

.],[,0

,],[,

)(

dcx

Решение. М[ξ] =

∫∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

−

dxdx

xdxdxxxf 0

0)(

−

cd 2

dccd

−

D[ξ] = M[ξ

] − M[ξ]

)(

cddc

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∫

Пример 3.8. Найдем математическое ожидание и дисперсию показательно-

го распределения с плотностью

⎩

⎨

⎧

≥λ

λ−

.0,

,0,0

)(

Решение.

М[ξ] =

[ u = x, du = dx, dv = , v = = − ] =

=λ

∫

+∞

λ−

dxex

dxe

xλ−

∫

λ−

λ dxe

λ−

+−

+∞

λ−

xe =

∫

+∞

λ−

dxe

−

∞+

λ−

e .

Аналогично находим

1][ λ=ξD .

Можно показать, что для случайной величины

ξ, распределенной по нор-

мальному закону

),(

σaN a

][, .

][ σ=ξD

Математическое ожидание и дисперсия являются важнейшими числовыми

характеристиками случайных величин. Однако они хотя и являются самыми

важными, но далеко не исчерпывают всего набора употребимых числовых ха-

рактеристик случайной величины. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что

строго возрастающая функция F(t) есть функция рас-

пределения некоторой

непрерывной случайной величины ξ (рис. 3.3). В даль-

нейшем

α − число между 0 и 1.

Определение 3.9. Квантилью уровня α для распределения, порождаемого

функцией

(t), называется число k

, являющееся решением уравнения

α=

ξ=

ααξ

}{)( kPkF ,

т.е. , где − функция, обратная к функции F. )(

α=

−

Fk RF →

−

)1,0(:

Рис. 3.3.

Замечание 3.4. Квантили часто называют также процентными точками

распределения. Под 100

α%−ной точкой k

100α%

подразумевается квантиль k

1–α

т.е. такое значение случайной величины

ξ, при котором . α=≥ξ

α−

}{

Квантиль k

0,5

случайной величины ξ называется медианой Me[ξ]. Она ис-

пользуется в качестве показателя центра группирования наряду с математиче-

ским ожиданием. Для абсолютно непрерывных случайных величин медиана –

это граница, левее и правее которой находятся значения случайной величины с

вероятностями, равными 0,5.

Для дискретных случайных величин медиана находится на отрезке, кото-

рый определяется из условий:

5,0,5,0

>≤

∑∑

Чаще всего пользуются, кроме медианы

0,5

, квантилями k

0,25

и k

0,75

, кото-

рые называются

квартилями.

Предложение 3.3. Предположим, что ξ − абсолютно непрерывная случай-

ная величина с четной плотностью

p(x), то есть

)()(

−=

∈

∀

. Тогда

1) 1)()(

=−+∈∀

α−α

−

=∈α∀

)1,0( kk

Доказательство. Для определенности считаем, что t ≥ 0. Производя замену

переменных в интеграле и пользуясь четностью плотности, получим цепочку

равенств

==−≤ξ=−

∫

−

∞−

dxxptPtF )(}{)([замена x =

−

z] ==−=

∫∫

+∞+∞

dzzpdzzp )()(

)(1}{1}{

−

≤

−

≥ξ=

Первая часть предложения доказана, вторая вытекает из первой.



Если функция распределения

F(t) удовлетворяет тождеству

1)()(

−

то соответствующее ей распределение называется

симметричным.

Для абсолютно непрерывных распределений в качестве числовой характе-

ристики используют

моду. Модой называется точка локального максимума

функции плотности. Мода случайной величины ξ обозначается Mo[ξ]. Распре-

деления, имеющие одну моду, называются унимодальными, несколько – поли-

модальными.

Замечание 3.5. Для нормального распределения Me[ξ] = Mo[ξ] = M[ξ].

Определение 3.10. Начальным моментом k−го порядка случайной величи-

ны

ξ называется математическое ожидание k−й степени этой величины

][][

M ξ=ν=ξν .

Определение 3.11. Центральным моментом k−го порядка случайной вели-

чины

ξ называется математическое ожидание k−й степени отклонения величи-

ны

ξ от ее математического ожидания

]])[[(][

MM ξ−ξ=µ=ξµ .

Формулы для вычисления моментов для дискретных случайных величин

(принимающих значения

с вероятностями p

) и непрерывных (с плотностью

вероятности

(x)) приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной ве-

личины

ξ есть ее математическое ожидание, т.е.

][

, а при k = 2 второй

центральный момент – дисперсия, т.е.

][

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необ-

ходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специ-

альные характеристики, в частности

асимметрию и эксцесс. Для нормального

распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого

распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно

предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, боль-

шие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от

нормального.

Определение 3.12. Коэффициентом асимметрии теоретического распре-

деления называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу

среднего квадратического отклонения:

σµ=β .

Для симметричного распределения β (и µ

) равен нулю. При β < 0 распре-

деление имеет левостороннюю асимметрию (средняя арифметическая меньше

медианы), при

β > 0 − правостороннюю (рис. 3.4,а).

Рис. 3.4. Зависимость формы плотности распределения вероятности от: а) ко-

эффициента асимметрии; б) коэффициента эксцесса.

Определение 3.13. Коэффициентом эксцесса теоретического распределе-

ния называют характеристику, которая определяется равенством

−σµ=γ

Распределение с более острой вершиной – с крутизной, большей, чем у

нормального распределения, имеет

γ > 0; распределение, более плоское, чем

нормальное, имеет γ < 0. Зависимость формы плотности распределения от γ

приведена на рис. 3.4,б.

Пример 3.9. Случайная величина ξ – годовой доход (в усл. ед.) наугад взя-

того лица, облагаемого налогом. Ее плотность распределения имеет вид

(x) =

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

,5,0

,5,

1,3

где

a – неизвестный параметр.

Требуется: а) определить значение параметра

a; б) найти функцию распре-

деления

(x); в) определить математическое ожидание и среднее квадратиче-

ское отклонение; г) определить размер годового дохода

, не ниже которого с

вероятностью

P = 0,5 окажется годовой доход случайно выбранного налогопла-

тельщика.

Решение. Воспользуемся условием нормировки: . 1)( =

∫

+∞

∞−

dxxp

1,3

∫∫

∞−

+∞

dx , откуда =

∫

+∞

−

1,3

dxxa +=

−

∞+

−

1,2

51,2

1,2

⋅

следовательно,

667,611,25

1,2

=⋅=a

Итак,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

.7,0

,7,

1,324

)(

5,3

Функция распределения

∫

∞−

ξξ

dxxpxF )()(.

Для

x < 5: F

(x) = 0, т.к. при x < 5 p

(x) = 0.

Для

x ≥ 5: ==

∫

∞−

ξξ

dxxpxF )()(

∫∫

∞−

1,3

667,61

∫

−

dxx

1,3

667,61

1,2

667,61

−

5,2

64,129

− .

Итак,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥−

.5,

5,129

,5,0

)(

1,2

==ξ

∫

+∞

∞−

dxxxpM )(][ +⋅

∫

∞−

0 dxx 667,61

667,61

1,3

∫

+∞

x =

∫

+∞

−

1,2

dxx

+∞

−

1,1

667,61

545,9

51,1

667,61

1,1

≈

⋅

+= .

2222

][)(][][][ ξ−=ξ−ξ=ξ

∫

+∞

∞−

MdxxpxMMD

∫

+∞

∞−

dxxpx )(

∫

∞−

+⋅

0 dxx

667,61

1,3

∫

+∞

∫

+∞

−

1,1

dxx

+∞

−

⋅=

1,0

667,61

525

51,0

667,61

1,0

≈

⋅

+= . Следовательно,

D[ξ] = M[ξ

] − M[ξ]

≈ 525 − (9,545)

≈ 433,884; σ

= ][ξD ≈ 20,83.

Т.к. по определению

(x) = P(ξ < x) и P(ξ < x) + P(ξ ≥ x) = 1, то

P(ξ ≥ x) = 1 − P(ξ < x) = 1 − F

(x),

следовательно,

P(ξ ≥ x

) = 1 − F

) = 0,5, откуда F

) = 0,5.

5,0

667,61

1,2

=−

; ;5,05,01

667,61

1,2

=−=

335,123

5,0

667,61

1,2

≈=x

Отсюда

894,9335,123335,123

476,01,2/1

≈==x

3.5. Нормальное распределение

Функция распределения стандартного нормального закона

N(0, 1), ввиду ее

важности имеет специальное обозначение:

∫

∞−

−

dxetF

)(

. (3.5)

Ее график (см. рис. 3.5) называют

нормальной кривой (кривой Гаусса). Плот-

ность стандартного нормального закона обозначают как

ϕ(x).

Рис. 3.5.

Квантили этого распределения (рис. 3.6) будем обозначать как

αα

)(:

uFu .

Функция

(t) не является элементарной, то есть, интеграл в (3.5) не может

быть сведен к табличным и быть композицией элементарных функций. Для

функции

(t) составлены подробные таблицы, ее значения вычисляются мно-

гими прикладными программами. С их помощью, например, можно найти, что

399865,0)3(

99865,00

≈

⇒≈ uF . (3.6)

Согласно

предложению 3.3 имеем тождества

1)()(

−+ tFtF

αα−

−

= uu

. (3.7)

Если

ξ имеет распределение , то ),(

σaN

−

/)( a

− стандартная нормальная

случайная величина. Функция распределения случайной величины

ξ легко за-

писывается через функцию

(t):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

FtF

),(

)(

Рис. 3.6.

Замечание 3.6. Т.к.

5,0)0(

, то F

(t) можно выразить через функцию

Лапласа

Φ(t), равную

∫

−

=Φ

dxet

)(

. А именно, . )(5,0)(

ttF Φ+=

Найдем вероятность попадания в интервал для случайной величины

ξ с

распределением

N(a, σ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−α

Φ+−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

Φ+=α−β=β<ξ<α

FFP 5,05,0)()()(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−α

Φ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−β

Φ=

Откуда

{}

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−δ−

Φ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−δ+

Φ=δ+<δ−=δ<−ξ

aaaa

aaPaP

)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

δ−

Φ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ=

Положив в последней формуле

δ = 3σ, получим

{}

9973,049865,02)3(2

2)33(3 =⋅≈Φ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ=σ+<σ−=σ<−ξ aaPaP

Следовательно,

{

}

0027,09973,013

−

≈

σ>−ξ aP . (3.8)

Вероятность в правой части, пренебрежимо мала для многих практических

применений. Поэтому правило «трех сигм» читают так:

нормальная случайная

величина уклоняется от своего среднего не более чем на три корня из диспер-

сии

. Как видно из (3.8), это правило ошибочно лишь в 0,27% случаев.

Пример 3.10. На станке изготовляются втулки, длина которых L представ-

ляет нормально распределенную случайную величину, причем

М[L] = 20cм,

σ = 0,2 см. Найти: 1) вероятность того, что длина втулки будет отклоняться от

ее среднего значения на величину, меньшую 0,3 см; 2) длину втулки с вероят-

ностью 0,95; 3) длину втулки с вероятностью 0,9973.

Решение. По условию a = 20см, σ = 0,2 см.

{}

8662,04332,02)5,1(2

2,0

3,0

23,0

=⋅≈Φ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ=<− aLP

{}

⇒=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ⇒=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ=δ<−

475,0

2,0

95,0

2,0

2aLP

⇒=

96,1

2,0

⇒=δ⇒ 392,0 20 – 0,392 < L < 20 + 0,392 ⇒ 16,608 < L < 20,392.

Пример 3.11. Фирма занимается выпуском фломастеров. Станок−автомат

контролирует их диаметры

Х, пропуская в упаковки фломастеры с диаметром

10 мм, допуская отклонение от стандарта 0,1 мм. В выпущенной партии было

забраковано автоматом 0,27% фломастеров. Найти интервал, в котором заклю-

чены диаметры выпущенных фломастеров.

Решение. Известно, что средний размер диаметра фломастеров, т.е.

M[Х] = а = 10, среднее квадратическое отклонение σ = 0,1. Вероятность выпус-

ка не бракованных фломастеров составляет 99,73%, т.е. 0,9973.

Воспользуемся формулой:

{}

9973,022 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ⇒

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ=δ<− aXP

Отсюда найдем

δ: 4987,09973,02 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Φ⇒=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

По таблице значений функции Лапласа находим, что

δ/σ = 3, отсюда сле-

дует,

δ = 3σ; δ = 3⋅0,1 = 0,3, δ = 0,3.

Найдем искомый интервал из неравенства:

3,010 <−X ⇒ –0,3 < X – 10 < 0,3 ⇒ 10 – 0,3 < X < 10 + 0,3 ⇒ 9,7 < X < 10,3.

Получили интервал (9,7; 10,3), в котором с вероятностью 0,9973 будут за-

ключены диаметры изготовленных фломастеров.

Глава 4. Совместное распределение случайных величин

Задачи, в которых участвует только одна случайная величина, редки. Как

правило, результат опыта определяется несколькими случайными величинами

(

, … , ξ

), образующими случайный вектор или многомерную случайную вели-

чину

. Формализм для изучения распределений случайных векторов вполне ана-

логичен рассмотрению распределения одной (скалярной) случайной величины.

4.1. Совместная функция и плотность распределения

Как и раньше, наиболее универсальным инструментом являются функции

распределения.

Определение 4.1. Совместной функцией распределения случайных величин

, … , ξ

назовем функцию ), зависящую от n вещественных пе-

ременных, такую, что

,...,(

1...

xxF

ξξ

{

}

nnn

xxPxxF

≤

ξξ

,...,),...,(

111...

Предложение 4.1. Перечислим некоторые свойства функций распределе-

ния нескольких случайных величин:

1),...,(0

1...

≤≤

ξξ n

xxF

2. Монотонность по каждой переменной, например,

),...,,(),...,,(

)2(

1...2

)1(

1...

)2(

)1(

xxxFxxxFxx

ξξξξ

≤<∀

3. Пределы на «минус бесконечности». Если в совместной функции распреде-

ления зафиксировать все переменные, кроме одной, а оставшуюся переменную

устремить к

−∝, то этот предел равен нулю. Например, для фиксированных

xxx ,...,,

0),...,,,(lim

321...

ξξ

−∞→

xxxxF

4. Пределы на «+

∝ или –∝ бесконечности»:

1),...,(lim

1...

...

ξξ

+∞→

xxF

0),...,(lim

1...

...

ξξ

−∞→

xxF

5. Если зафиксируем все переменные, кроме одной, которую устремим к +

∝,

получим функцию распределения меньшего набора случайных величин. На-

пример,

),,...,(),...,(

11...11...

111

∞=

−ξξ−ξξ

−

xxFxxF

. #

Наиболее удобный для теории и очень важный для практических приложе-

ний случай – это случай абсолютно непрерывных распределений.