Турковская М.Б. Деньги, кредит, банки. Учебно-методический комплекс

Подождите немного. Документ загружается.

346

Задача 5.11

Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую

ставку сложных процентов.

Ответ: 26%.

Антисипативный метод начисления простых процентов

(простые учетные ставки)

При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предостав-

ления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвра-

щена, т.е. величиной получаемого

кредита считается не получаемая, а наращен-

ная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются

непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за

вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по

учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процент-

ных денег, начисленная по учетной ставке, называется

дисконтом.

Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле

P = S (1 – n d),

где d – простая учетная ставка;

(1 – n d) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не

могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть

отрицательным, т.е. n•d должно быть строго меньше единицы. Значения d, близ-

кие к предельным, на практике не встречаются.

Задача 5.12

Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р.

Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного

банком, при учетной ставке 15% годовых.

Решение:

347

P = 100 000 (1 – 0.25 х 0.15) = 96 250 р.

Дисконт = S – P = 100 000 – 96 250 = 3 750 р.

Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, опреде-

лится по формуле

P = S (1 – d • д / K),

где К – количество дней в году (временная база).

Решите самостоятельно

Задача 5.13

Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полу-

ченного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить

100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.

Ответ: 94 444.44 р.; 5 555.56 р.

На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и

других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое уч-

реждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщи-

ка

) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в кон-

це срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Вла-

делец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вы-

четом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока опла-

ты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.

Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в

размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его

учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следова-

тельно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться

по

формуле

P = S (1 – Δn·d) = S (1 – d·Δд / K),

где Δn = Δд / K – срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;

348

Δд – число дней от даты учета до даты погашения векселя.

Задача 5.14

При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось

80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную

ставку использовал банк при временной базе 360 дней.

Решение:

d = (100 000 – 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.

Решите самостоятельно

Задача 5.15

Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его пога-

шения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную вла-

дельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360

дней.

Ответ: 197 500 р.; 2 500 р.

Задача 5.16

Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых.

Определить срок ссу-

ды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма долж-

на составить 550 тыс. р

. Ответ: 0.61 года.

Антисипативный метод начисления сложных процентов

(сложные учетные ставки)

Введем следующие обозначения:

– сложная учетная ставка;

f – номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении про-

центов по учетной ставке несколько раз в году);

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:

349

P = S (1 - dс)n.

Наращенная сумма через n лет: S = P / (1 - d

)

Здесь 1 / (1 - dс)n – коэффициент наращения по сложной учетной ставке.

При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первона-

чальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. По-

этому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод

начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный – кредитору.

Однако это можно считать

справедливым лишь для небольших процентных ста-

вок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки

разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и

сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.

Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только

строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро

увеличивается с ростом учетной

ставки, стремясь к бесконечности.

Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:

S = P / Π (1 – n

t=1

Здесь n

, n

, … n

– продолжительность интервалов начисления в годах;

, d

, … d

– учетные ставки в этих интервалах;

Если начисление процентов m раз в году, то

S = P / (1 – f/m)

Если провести расчеты S для разных видов процентных ставок (простых и

сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок,

то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по про-

стой учетной ставке.

350

Задача 5.17

Первоначальная сумма долга – 25 тыс. р. Определить наращенную сумму

через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начис-

ления процентов. Годовая процентная ставка – 25%.

Решение:

= 25 000 (1 + 0.25)

= 48 828,125 р.;

= 25 000 (1 – 0.25)

-3

= 59 255,747 р.

Решите самостоятельно

Задача 5.18

Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет вы-

плачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Ответ: 76 800 р

Задача 5.19 .

Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок

при одинаковых начальных условиях: P = 10 000 р., процентная ставка = 10%.

Результаты расчетов свести в таблицу и

сравнить скорости наращения.

Вид ставки и формула расчета S

Срок n = 1 Срок n = 3 Срок n = 6

Простая ссудная: S = P (1 + in) 11 000 13 000 16 000

Сложная ссудная: S = P (1 + i

)

Непрерывный способ начисления %%

S = P · e

j n

11 044

Простая учетная: S = P / (1 – dn)

Сложная учетная: S = P / (1 – d)

Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращен-

ных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и

шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.

В формуле расчета для непрерывного начисления процентов e – основание

натурального логарифма. Для n = 1: S = 10 000 х 2.7

0.1 х 1

= 11 044.

351

Эквивалентные процентные ставки

Эквивалентные процентные ставки – это такие ставки разного вида,

применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые фи-

нансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность вы-

бора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного

сравнения различных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения

эквивалентности. Выбирается

величина, которую можно рассчитать при исполь-

зовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании

равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквива-

лентности, из которого путем соответствующих преобразований получается со-

отношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного

вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной про-

стой

ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид

P (1 + ni) = P/ (1 – nd) или (1 + ni) = 1 / (1 – nd),

т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения.

Отсюда d = i / (1 + ni) и i = d / (1 – nd).

Задача 5.20

Срок уплаты по долговому обязательству – полгода, простая учетная став-

ка – 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой став-

ки ссудных процентов?

Решение:

i = 0.18 / (1 – 0.5 х 0.18) = 0.198 = 19.8%.

Для нахождения эквивалентности между собой

годовой сложной ссудной

ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения:

S = P (1 + i

)

и S = P (1 + j/m)

, т.е. (1 + i

)

= (1 + j/m)

Отсюда i

= (1 + j/m)

– 1.

352

Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номиналь-

ной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее

необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процен-

тов, когда используются разные интервалы начисления.

Задача 5.21

Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная

ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.

Решение:

= (1 + 0.24 / 12)

– 1 = 0.268 = 26.8%.

Задача 5.22

Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал

в 10 000 тыс. р. на 5 лет:

а) под простую ссудную ставку 20% годовых;

б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начис-

лении процентов.

Решение:

Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различ-

ных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала

. Достаточно,

например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной

ставке, т.е. использовать формулу

i = [(1 + j / m)

– 1] / n = [(1 + 0.12 / 4)

– 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.

Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинако-

вый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже

предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее пер-

вый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).

Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:

а) S = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;

б) S = 10 000 (1 + 0.12 / 4)

= 18 061 тыс. р.

353

Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что

первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При

этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.

Решите самостоятельно

Задача 5.23

Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке

20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов,

определяющей

доходность операции учета.

Ответ: 21.1%.

Задача 5.24

Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эк-

вивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.

Ответ: 18%.

Задача 5.25

Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% го-

довых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на

полгода.

Ответ: 14.5%.

Задача 5.26

По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые

ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку

сложных процентов.

Ответ: 11.84%.

354

Задача 5.27

Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой

ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке

процентов.

Ответ: 12.68%.

Можно сделать следующие выводы:

1. Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпа-

дают они при m = 1.

2. Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок

(поскольку

наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быст-

рее).

3. Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины

первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).

4. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительно-

сти периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности

между собой сложных процентных ставок разного вида (если период

начисления

один и тот же).

Тема 6. Цена кредитных ресурсов

Задача 6.1

Определить среднюю реальную стоимость вкладов:

а) без учета инфляции;

б) с учетом инфляции.

Исходные данные: Норма обязательного резервирования – 10%;

уровень инфляции – 20%.

Банк имеет рублевые вклады до востребования и срочные вклады в сле-

дующем соотношении:

Виды ресурсов по срокам Рыночная ставка, %

Удельный вес, %

355

Вклады до востребования 6 50

Срочные депозиты до 30 дней 18 25

Срочные депозиты от 31 до 90 дней 22 20

Срочные депозиты свыше 90 дней 24 5

ИТОГО

– 100

Решение:

Реальную стоимость ресурсов без учета инфляции определим по формуле

реал

= i

рын

/ (1– r),

где i

реал

= реальная стоимость ресурсов, десятичная дробь;

рын

= ставка привлечения (рыночная стоимость ресурсов), десятичная

дробь;

r – норма обязательного резервирования, десятичная дробь.

По вкладам до востребования: i

реал

= 6 / (1 – 0.1) = 6.67%;

по срочным депозитам до 30 дней: i

реал

= 18 / (1 – 0.1) = 20%;

по срочным депозитам от 31 до 90 дней: 22 / (1 – 0.1) = 24.44%

по срочным депозитам свыше 90 дней: 24 / (1 – 0.1) = 26.67%.

Средняя реальная стоимость вкладов без учета инфляции определяется

по формуле средневзвешенной (с учетом удельного веса каждого вида вкладов):

6.67 • 0.5 + 20 • 0.25 + 24.44• 0.20 + 26.67 • 0.5 = 14.56%.

Для определения реальной стоимости ресурсов с учетом инфляции ис-

пользуем следующую формулу: i

реал

+ i

реал

• τ + τ = i

рын

/ (1– r),

откуда: i

рын

– τ (1– r)

реал

= ——————— , где τ = уровень инфляции.

(1 + τ) (1– r)

Таким образом, реальная цена вкладов до востребования:

0.06 – 0.2 (1 – 0.06)

реал

= ————————— = – 0.0887 = – 8.87%.

(1 + 0.2) (1 – 0.06)

Аналогично получаем:

реальная цена срочных депозитов до 30 дней = – 0.02033 = – 2.03%;

от 31 до 90 дней = – 0.0641 = –

6.41%;