Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
580
Отсюда получим заряд, наведенный на аждой из обладо:
q = q
1
= –q
2
= – Q.
10.13.29. Заряд Q пластины создаст по обе стороны от нее
элетричесое поле напряженностью E, оторое приведет появле-
нию индуцированных зарядов q
1
и q
2
на обладах онденсатора,
причем q
1
= –q
2
(рис. 10.13.25).
Пусть Q > 0, q
1
= q > 0, q
2
= –q. Тода напряженность элетри-
чесоо поля в зазоре шириной a равна
E
I
= E – E
1
– E
2
= ,
а в зазоре шириной [d – (a + b)]
E
II
= E + E
1
+ E
2
= .
Та а потенциалы ϕ
1
и ϕ
2
равны между собой (облади зао-
рочены), то разности потенциалов между пластиной и обладами:
ϕ – ϕ
1
= ϕ – ϕ
2
,
или
E
I
a = E
II
[d – (a + b)].
Следовательно,
(Q – 2q)a = (Q + 2q) [d – (a + b)],
отуда получим
q = q
1
= –q
2
= Q .
1
4
---
1
2
a
d
b
d
(a + b)
E′
E
E
q
1
Q'
Q"
E
1
E
1
E
1
E
I
E′′ E
2
E
2
E
2
E
II
q
2
Рис. 10.13.25
Q 2q−
2Sε
0
-----------------
Q 2q+
2Sε
0
-----------------
2abd−+
2 db−()
--------------------------
581
Внутри металличесой пластины напряженность E
0
элетриче-
соо поля равна нулю. С друой стороны, можно записать, что
E
0
= E′′ + E + E
1
+ E
2
,
де E′, E′′ — напряженности полей, создаваемых соответственно за-
рядами Q′ и Q′′, находящимися на противоположных поверхностях
пластины, причем Q′ + Q′′ = Q.
Напряженности E′, E′′ создаются одноименными зарядами, по-
этому направлены навстречу дру друу. Следовательно,
E
0
= 0 = E′ + E′′ + E
1
+ E
2
, или 0 = .
Решив систему уравнений:
Q′ + Q′′ = Q, Q′ – Q′′ + 2q = 0,
получим о т в е т:
Q′ = Q , Q′′ = Q .
10.14.2. Если онденсатор расположен та, что линии
напряженности элетричесоо поля E направлены противополож-
но E
0
(рис. 10.14.3, а), то объемная плотность энерии поля между
обладами онденсатора
w
1
= = ,
де E
0
– E = Е
1
— напряженность результирующео поля онденса-
тора в первом случае, а энерия поля
W
1
= w
1
V = Sd,
де V = Sd — объем между обладами.
Q
′
Q
′′
− qq++
2Sε
0
------------------------------------- -
db− a−
db−
----------------------
a
db−
------------
E
0
E
0
E
0
E
E
1
а)
E
E
2
E
0
E
0
+
_
б)
Рис. 10.14.3
ε
0
E
1
2
2
------------ -
ε
0
E
0
E−()
2
2
-------------------------------
ε
0
E
0
E−()
2
2
-------------------------------
582
Если онденсатор расположен та, что ео облади параллель-
ны силовым линиям внешнео поля (рис. 10.14.3, б), то энерия
поля внутри онденсатора
W
2
= w
2
V = Sd,
де = E
2
— напряженность результирующео поля он-
денсатора во втором случае.
Следовательно, нужно совершить работу
A = W
2
– W
1
= ε
0
SdEE
0
.
10.15.6. Элетричесое поле плосости
действует на заряд силой (рис. 10.15.13)
F = qE,
де E — напряженность элетричесоо поля:
E = . По второму заону Ньютона F = ma. За-
ряд начнет двиаться равноусоренно, поэтому ео онечная сорость
v = . Решив систему приведенных уравнений, получим
v = d 1,3 м/с.
О т в е т: v d 1,3 м/с.
10.15.12. При движении заряда в элетричесом поле ео
энерия будет изменяться за счет совершения работы силой
F = qE = qαx.
Та а напряженность поля зависит от оординаты по линей-
ному заону, то работу можно найти по формуле
A = F
ср
l = ql = q .
Изменение инетичесой энерии
∆W = W – W
0
, де W
0
= 0.
По теореме о инетичесой энерии ∆W = A. Следовательно,
W = q = 10
–5
Дж.
О т в е т: W = 10
–5
Дж.
ε
0
E
0
2
E
2
+()
2
-------------------------------
E
0
2
E
2
+
12
l
F
E
Рис. 10.15.13
σ
2ε
0
-------- -
2al
qσl
ε
0
m
---------- -
αx
max
αx
min
+
2
-----------------------------------------
αl
2
2
---------
αl
2
2
---------
583
10.15.14. Пусть m — масса частицы, тода ее сорость v = .
Напряжение на обладах онденсатора U = , а напряженность
поля внутри онденсатора E = = . Усорение, с оторым час-
тица будет двиаться одной из обладо,
a = = .
Время полета частицы в онденсаторе t = = l . За это вре-
мя частица сместится вдоль оси Y на расстояние и не упадет на
пластину, если это расстояние меньше , т.е.
> = = ,
отуда следует l < d .
О т в е т: l k d .
10.15.15. В онденсаторе элетрон будет лететь по параболе.
В системе оординат XOY (рис. 10.15.14) заон движения элетро-
на имеет вид
2W
m
----------
Q
C
----
U
d
----
Q
Cd
--------
Eq
m
--------
Qq
Cdm
-------------
l
v
---
m
2W
----------
at
2
2
---------
d
2
---
d
2
---
at
2
2
---------
Qgl
2
m
2
4dCmW
----------------------- -
Qgl
2
4dCW
------------------
2CW
Qq
--------------
2CW
Qq
--------------
Рис. 10.15.14
X
d
1
d
2
Экран
Y
O
l
m, –e
d
h
v
α
FE
v
x
v
y
v
0
Рис. 10.15.14
x = v
0
t,
y = ,
1
2
---
at
2
2
---------
584
де v
0
— начальная сорость элетрона: v
0
= ; a — усорение
элетрона: a = ; t — время ео движения внутри онденсатора:
t = . Тода смещение элетрона по оси Y при вылете из онденса-
тора равно
d
1
= a = = .
От рая онденсатора до эрана элетрон будет двиаться пря-
молинейно и равномерно, поэтому
d
2
= h tg α,
де α — уол, оторый можно найти а
tg α = = = .
Следовательно, смещение элетрона на эране равно
∆y = d
1
+ d
2
= (l + 2h).
10.15.26. На шари в произвольный
момент будут действовать: сила тяжести
mg, сила натяжения нити T и сила F
эл
= qE
(рис. 10.15.15).
Уравнение движения шариа в проеции
на ось X:
= T + mg cos α – F
эл
cos α.
Для определения сорости v шариа в
данном положении воспользуемся теоремой
о полной механичесой энерии:
W
2
– W
1
= A(F),
де W
1
= 0, W
2
= mgh + mv
2
— соответственно начальная и онеч-
ная механичесие энерии шариа, F = T + F
эл
, A(F) — работа
внешних сил.
2W
m
e
----------
eE
m
e
-------
l
v
0
------
1
2
---
l
2
v
0
2
------
eEl
2
2m
e
v
0
2
------------------
eEl∆ϕ
4dW
----------------- -
v
y
v
x
----- -
at
v
0
----- -
eEl
mv
0
2
-----------
el∆ϕ
4dW
--------------
E
h
T
F
0
l
m, q
mg
X
0
Рис. 10.15.15
mv
2
l
-----------
1
2
---
585
При движении шариа сила T работы не совершает. Работа си-
лы F
эл
:
A(F) = A(F
эл
) = F
эл
h = qEh.
Следовательно,
mgh + mv
2
= qEh,
и уравнение движения шариа примет вид
= T – (qE – mg) cos α,
отуда
T = (qE – mg) (3 cos α – 2 cos α
0
),
де учтено, что
h = l (1 – cos α
0
) – l (1 – cos α) = l (cos α – cos α
0
).
Полученный результат имеет смысл, если qE > mg.
О т в е т: T = (qE – mg)(3 cos α – 2 cos α
0
) при qE j mg.
10.16.8. Работа силы трения
A = –2F
тр
s,
де F
тр
= μmg.
Изменение энерии системы тел
∆W = – ,
де k = 9 · 10
9
м/Ф.
По заону сохранения энерии A = ∆W.
Из приведенных уравнений получим
s = – .
Сорость аждоо тела будет масимальна в тот момент, ода
F
эл
= F
тр
, т. е.
= μmg.(1)
Запишем заон сохранения энерии:
–2μmgx = – + 2 . (2)
Решив систему уравнений (1), (2), находим
v
max
= при условии, что μ < .
1
2
---
2 qE mg−()h
l
------------------------------------
kq
2
d 2s+
--------------- -
kq
2
d
---------
kq
2
2μmgd
--------------------
d
2
---
kq
2
d 2x+()
2
------------------------ -
kq
2
d 2x+
---------------- -
kq
2
d
---------
mv
2
2
-----------
kq
2
md
---------
2kq μg
m
----------------------
−μgd+
kq
2
mgd
2
---------------
586
10.16.24. Кинетичесую энерию W
1
перво-
о освобожденноо шариа найдем из заона со-
хранения энерии (рис. 10.16.12):
kq
2
+ + ... + + + + ...
... + + ... = W
1
+ kq
2
+ + ...
... + + ... + + ... + + ... ,
де k — элетричесая постоянная, a
i–j
— расстояния между заря-
дами с номерами i и j.
Для второо шариа
kq
2
+ + ... + + ... + + + ... + + ... =
= W
2
+ kq
2
+ + ... + + ...
... + + + ... + + ... .
Учтем, что a
1–2
= a
2–3
; a
1–3
= a
2–4
; a
1–4
= a
2–5
и т. д.
Теперь можем записать:
∆W = W
1
– W
2
= = ,
отуда находим
q = = 2,3 · 10
–7
Кл.
О т в е т: q = 2,3 · 10
–7
Кл.
10.16.27. 1. Система частица—ольцо замнута, поэтому вы-
полняется заон сохранения импульса:
mv + Mu – mv
0
= 0. (1)
В начальный момент энерия системы тел равна инетичесой
энерии частицы
W
1
= m ,
а в момент, ода частица находится в центре ольца,
W
2
= mv
2
+ Mu
2
+ W
вз
,
N–1
N–2
1
2
3
4
N
Рис. 10.16.12
⎝
⎛
1
a
12−
-------------
1
a
13−
-------------
1
a
1 N−
--------------
1
a
23−
-------------
1
a
24−
-------------
1
a
2 N−
--------------
⎠
⎞
⎝
⎛
1
a
23−
-------------
1
a
24−
-------------
1
a
2 N−
--------------
1
a
34−
-------------
1
a
3 N−
--------------
-
⎠
⎞
⎝
⎛
1
a
23−
-------------
1
a
24−
-------------
1
a
2 N−
--------------
1
a
34−
-------------
1
a
35−
-------------
1
a
3 N−
--------------
-
⎠
⎞
⎝
⎛
1
a
34−
-------------
1
a
35−
-------------
1
a
3 N−
--------------
1
a
45−
-------------
1
a
46−
-------------
1
a
4 N−
--------------
-
⎠
⎞
kq
2
a
1 N−
--------------
kq
2
a
---------
a∆W
k
------------- -
1
2
---
v
0
2
1
2
---
1
2
---
587
де W
вз
— энерия взаимодействия частицы с ольцом:
W
вз
= qϕ.
Потенциал ϕ, создаваемый ольцом в центре, определим, раз-
бив заряд Q на элементарные заряды ∆Q, аждый из оторых мож-
но считать точечным. Та а все заряды ∆Q находятся на равных
расстояниях от центра ольца, то потенциал, создаваемый ими,
ϕ = = ,
де R — радиус ольца.
Следовательно,
W
2
= mv
2
+ Mu
2
+ ,
и заон сохранения энерии примет вид
W
1
= W
2
, или = + + . (2)
Выразив сорость ольца u из заона сохранения импульса (1):
u = ,
и подставив ее в заон сохранения энерии (2), получим
= + + , (3)
отуда находим
v = ± .(4)
Для тоо чтобы частица пролетела свозь ольцо, ее сорость
v должна быть больше сорости u ольца. Очевидно, что частица
доонит удаляющееся от нее ольцо, если относительная сорость
v
отн
= v – u l 0, или с учетом (1) и (4):
v
отн
= v – + = ± – .
Лео видеть, что условию v
отн
l 0 соответствует перед радиа-
лом зна «+». Следовательно,
v = + . (5)
k∆Q
R
----------- -
∑
kQ
R
------- -
1
2
---
1
2
---
kqQ
R
-----------
mv
0
2
2
-----------
mv
2
2
-----------
Mu
2
2
------------ -
kqQ
R
-----------
mv
0
v−()
M
------------------------- -
mv
0
2
2
-----------
mv
2
2
-----------
m
2
v
0
2
2v
0
v− v
2
+()
2M
----------------------------------------------------
kqQ
R
-----------
mv
0
Mm+
-----------------
M
2
v
0
2
Mm+()
2
------------------------ -
2kqQM
mM m+()R
-------------------------------- -
−
mv
0
M
-----------
mv
M
--------
mv
0
M
-----------
Mm+
M
-----------------
M
2
v
0
2
Mm+()
2
------------------------ -
2kqQM
mM m+()R
-------------------------------- -
−
mv
0
M
-----------
mv
0
Mm+
-----------------
M
2
v
0
2
Mm+()
2
------------------------ -
2kqQM
mM m+()R
-------------------------------- -
−
588
2. Если ольцо зареплено, то, полаая M . m, из (5) получаем
v = + d . (6)
О т в е т: 1) см. (4); 2) см. (6).
10.17.2. При отлонении маятниа
на уол α от положения равновесия ре-
зультирующая действующих на маят-
ни сил mg, F
= Eq
0
, F
н
направлена
положению равновесия (рис. 10.17.7).
По второму заону Ньютона
ma = (mg + Eq
0
)(–sin α).
Усорение a = l(α)′′, де (α)′′ — вто-
рая производная ула α по времени.
Учитывая, что для малых улов sin α d α, получаем дифферен-
циальное уравнение:
mlα′′ = –(mg + Eq
0
)α,
оторое описывает армоничесие олебания с циличесой частотой
ω = .
Находим о т в е т : период олебаний
T = = .
10.17.7. До тоо а на пластины онденсатора было подано
напряжение, верхняя пластина находилась в равновесии под дей-
ствием силы тяжести mg и силы упруости пружины F
упр 1
= kx
1
(рис. 10.17.8):
mg – F
упр 1
= 0 ⇒ mg – kx
1
= 0 ⇒ x
1
= , (1)
де x
1
— удлинение пружины в положении равновесия.
mv
0
M
-----------
v
0
2
2kqQ
mR
---------------
−
v
0
2
2kqQ
mR
---------------
−
mq,
0
í
E
F
ê
F
mg
Рис. 10.17.7
mg q
0
E+
ml
------------------------- -
2π
ω
------ -
ml
gq
0
E+
------------------- -
mg
k
--------
F
F
упр 1
mg
x
F
упр 2
F
упр
mg
mg
F
0
X
O
d – A
A
d
Положение
равновесия
Рис. 10.17.8
589
После тоо а на онденсатор подали постоянное напряжение U,
ео облади стали притяиваться дру друу с силой
F = |q|E,
де E — напряженность элетричесоо поля между пластинами.
При этом изменилось положение равновесия верхней пластины.
В этом положении равновесия
mg – F
упр 2
+ F
0
= 0 ⇒ mg – kx
2
+ F
0
= 0 ⇒
⇒ x
2
= , (2)
де x
2
— удлинение пружины в новом положении равновесия, F
0
—
сила взаимодействия между пластинами онденсатора. Следова-
тельно, амплитуда олебаний
A = x
2
– x
1
,
или с учетом (1), (2)
A = . (3)
При движении верхней пластины емость онденсатора будет
изменяться, будут изменяться напряженность элетричесоо поля
и сила взаимодействия между пластинами. Если расстояние между
пластинами станет равным b, то
E = , F = |q| = C = = .
Следовательно, в положении равновесия (b = d – A)
F
0
= ,
отуда с учетом (3)
kA = . (4)
Рассмотрим движение верхней пластины. В неоторый момент
пластина будет смещена из положения равновесия, например вверх,
на величину x. По второму заону Ньютона
ma = –mg – F + F
упр
,
или
ma = –mg – + k(x
2
– x),
mg F
0
+
k
----------------------
F
0
k
------
U
b
----
U
b
----
U
2
b
-------
ε
0
SU
2
bb
------------------
ε
0
SU
2
b
2
------------------
ε
0
SU
2
dA−()
2
---------------------
ε
0
SU
2
dA−()
2
---------------------
ε
0
SU
2
dA− x+()
2
-------------------------------