Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
560
9.14.19. Давление смеси азов в трубе (заон Дальтона)
p = p
1
+ p
2
,(1)
де p
1
=p
н
— давление насыщенных паров воды, p
2
— давление е-
лия.
Та а столби смеси азов находится в равновесии, то давле-
ние воды уравновешивает давление смеси:
p = p
0
+ ρgx.(2)
Из уравнения Клапейрона—Менделеева для пара и елия:
p
н
V = RT, p
2
V = RT
и уравнений (1), (2) получим
m
1
==0,43м, m
2
==4,85м.
О т в е т: m
1
= 0,43 м; m
2
= 4,85 м.
9.15.9. Выделившееся оличество теплоты
Q = E
1
– E
2
,
де E
1
=8σ · πd
1
2
— энерия поверхностноо натяжения одной ма-
леньой апли. E
2
= σ
.
πd
2
2
— энерия поверхностноо натяжения
большой апли, d
2
— ее диаметр.
При слиянии 8 апель в одну 8V
1
= V
2
, де V
1
= π , V
2
=
= π — объемы апель соответственно.
Решив систему приведенных уравнений, получим о т в е т:
Q =4πσ =6мДж.
m
1
μ
1
--------
m
2
μ
2
--------
p
н
Vμ
1
RT
---------------- -
Vμ
2
p
0
p
н
−ρgx+()
RT
---------------------------------------------------
1
6
---
d
1
3
1
6
---
d
2
3
d
1
2
561
Ч АСТЬ 3
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Г л а в а 10. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
10.1.16. Шарии будут взаимодействовать с силой
F = , (1)
де k = 9
.
10
9
м/Ф — элетричесая постоянная.
По условию задачи шарии притяиваются. Следовательно, за-
ряды шариов разноименные, а суммарный заряд
Q = q
1
+ q
2
.(2)
Решив систему уравнений (1), (2), получим о т в е т:
|q
1
| = Q + = 4,26 · 10
–4
Кл;
|q
2
| = – Q + = 2,6 · 10
–5
Кл.
10.1.25. На подвижный шари действуют (рис. 10.1.7): сила
тяжести mg, сила натяжения нити T и сила Кулона F
К
. Та а ша-
ри находится в равновесии, то
T + mg + F
К
= 0.
«Треуольни сил» подобен треуоль-
ниу ABC, оторый является равносторон-
ним, следовательно, F
К
= mg. С друой сто-
роны F
К
= , поэтому
q = l = 8,08 · 10
–7
Кл.
О т в е т: q = 8,08 · 10
–7
Кл.
kq
1
q
2
r
2
----------------------
1
2
---
Q
2
4
------ -
r
2
F
k
----------
+
1
2
---
Q
2
4
------ -
r
2
F
k
----------
+
T
A
B
C
m
g
F
Ê
Рис. 10.1.7
kq
2
l
2
---------
mg
k
--------
562
10.2.2. После сообщения ша-
риам одинаовых зарядов q меж-
ду ними вознинут силы отталива-
ния: F
1
— между средним и райни-
ми шариами F
1
= ,
F
2
— между райними шариами: F
2
= . В результате пру-
жины будут растяиваться (рис. 10.2.10). В положении равновесия
аждая пружина растянется на . При этом в пружине возни-
нет сила упруости
F
упр
= k ,
де k — жестость пружины.
В положении равновесия на рассматриваемый шари будут дей-
ствовать силы F
1
, F
2
и F
упр
, направленные та, а поазано на ри-
суне. Условие равновесия шариа:
F
упр
= F
1
+ F
2
.
Решив систему приведенных уравнений, получим о т в е т:
q = l .
10.2.12. Та а заряды находятся на равных расстояниях
дру от друа и заряды равны между собой, то между любыми дву-
мя из них будет действовать сила отталивания
F = ,
де a — расстояние между двумя про-
извольными зарядами (рис. 10.2.11).
Рассмотрим один из зарядов. Со сто-
роны соседних зарядов на нео будут
действовать две равные силы:
F
1
= и F
2
= ,
qqq
F
1
F
2
F
óïð
l
Рис. 10.2.10
⎝
⎛
q
2
4πε
0
l/2()
2
------------------------------
⎠
⎞
⎝
⎛
q
2
4πε
0
l
2
------------------
⎠
⎞
ll
0
−
2
-------------
ll
0
−
2
-------------
2
5
--- πε
0
kl l
0
−()
a
a
a
q
q
q
Q
F
1
F
2
F
3
F
4
Рис. 10.2.11
q
2
4πε
0
a
2
-------------------
q
2
4πε
0
a
2
-------------------
q
2
4πε
0
a
2
-------------------
563
результирующая оторых
F
3
= 2 cos α,
де α = 30°. Сила F
3
направлена по диаонали параллелорамма, по-
строенноо на веторах F
1
и F
2
. Таие же силы будут действовать и
на остальные два заряда. Поэтому для равновесия системы в ео-
метричесом центре треуольниа необходимо поместить отрица-
тельный заряд Q, оторый будет притяивать аждый из зарядов q
с силой
F
4
= F
3
= ,
де r = — расстояние между зарядами q и Q.
Следовательно,
= ,
отуда
Q = = –5,8 · 10
–7
Кл.
О т в е т: заряд Q = – 5,8 · 10
–7
Кл следует поместить в еометри-
чесом центре треуольниа.
10.4.7. Возьмем произвольную точу на данной прямой (рис.
10.4.5). Напряженность результирующео поля
E
x
= E
1
+ E
2
⇒ E
x
= 2E cos α,
де E = E
1
= E
2
= , r = (x
2
+ a
2
)
1/2
и cos α = .
Из системы приведенных уравнений полу-
чим
E
x
= .
Исследуем фунцию E
x
на эстремум:
= 0,
= 0.
q
2
4πε
0
a
2
-------------------
qQ
4πε
0
r
2
------------------ -
a
2 αcos
---------------- -
q
2
αcos
2πε
0
a
2
--------------------
qQcos
2
α
πε
0
a
2
-------------------------- -
q
2 αcos
---------------- -
kq
r
2
------
x
r
---
Рис. 10.4.5
rr
x
aa
+q +q
E
1
E
2
E
2kqx
x
2
a
2
+()
32/
-------------------------------
dE
x
dx
---------- -
d
dx
------ -
⎝
⎛
2kqx
x
2
a
2
+()
32/
-------------------------------
⎠
⎞
564
Та а постоянные и знаменатель производной не равны ну-
лю, то равен нулю тольо числитель производной:
( + a
2
)
3/2
– 2x
0
.
( + a
2
)
1/2 .
2x
0
= 0.
После соответствующих преобразований получим x
0
= . Сле-
довательно, масимальное значение напряженности
E
max
= E
x
(x
0
) = .
О т в е т: E
max
= .
10.4.8. Напряженность поля в точе A
равна веторной сумме трех напряжен-
ностей (рис. 10.4.6):
E = E
1
+ E
2
+ E
3
,
де E
1
— напряженность поля заряда q
1
;
E
2
— напряженность, поля заряда q
2
;
E
3
— напряженность поля заряда q
3
(q
1
=
= q
2
= q
3
= q).
Находим равнодействующую этих
трех веторов. Равнодействующая напря-
женностей E
1
и E
3
направлена по диаонали параллелорамма и
совпадает по направлению с E
2
. Поэтому
E
p
= ;
E = E
p
+ E
2
= + E
2
;
E
1
= E
3
= ; E
2
= , r = = a ,
де k — элетричесая постоянная.
Решив данную систему уравнений, получим
E = + = 535 В/м.
О т в е т: E = 535 В/м.
x
0
2
3
2
---
x
0
2
a
2
-------
4kq
33a
2
----------------- -
4kq
33a
2
----------------- -
r
a
a
a
a
A
q
1
E
1
E
3
E
ð
E
2
q
2
q
3
Рис. 10.4.6
E
1
2
E
3
2
+
E
1
2
E
3
2
+
kq
a
2
------
kq
r
2
------
a
2
a
2
+ 2
kq
a
2
------
⎝
⎛
2
1
2
---
-
⎠
⎞
565
10.4.15. Разобьем ольцо на элементы ∆l, аждый из оторых
будет иметь заряд ∆q, рассматриваемый а точечный. Тода на оси
ольца на расстоянии x от ео центра таой заряд создаст элетри-
чесое поле напряженностью
∆E = ,
де k — элетричесая постоянная, r = — расстояние от
заряда ∆q до рассматриваемой точи A (рис. 10.4.7). Заряд ∆q′ =
= ∆q, расположенный на одном диаметре с зарядом ∆q, в точе A со-
здаст таое же поле, причем суммарное поле обоих зарядов будет
направлено по оси OZ.
Веторы напряженности ∆E элетричесих полей, создавае-
мых всеми зарядами ∆q в точе A, будут расположены по боовой
поверхности онуса (рис. 10.4.8). При этом суммы проеций ве-
торов ∆E на оси OX и OY будут равны нулю, а на ось OZ
∆E
Z
= ∆E cos α = · .
Следовательно, напряженность элетричесоо поля заряжен-
ноо ольца в точе A
E = = ∆q = .
Результирующая напряженность элетричесоо поля в точе A
E
A
= E – E
d
,
k∆q
r
2
-----------
R
2
x
2
+
∑∑
k∆q
r
2
-----------
∑
x
r
---
E
EE
Z
A
l
′
q
′q
l
O′
rr
x
R
Рис. 10.4.7
E
E
Y
X
Z
A
O
Рис. 10.4.8
∑
k∆qx
R
2
x
2
+()
32/
--------------------------------
kx
R
2
x
2
+()
32/
--------------------------------
∑
kqx
R
2
x
2
+()
32/
--------------------------------
566
де E
d
— напряженность поля, создаваемоо
элементом ольца длиной d (рис. 10.4.9):
E
d
= = .
Следовательно, если ольцо содержит воздуш-
ный зазор, то напряженность элетричесоо
поля в точе A равна
E
A
= ,
E
A
= d
d 4 · 10
3
В/м
и направлена под улом β оси ольца:
β = arcsin sin α d 0,036°.
О т в е т: E
A
d 4 · 10
3
В/м; β d 0,036°.
10.6.4. Минимальная работа по перемеще-
нию заряда (рис. 10.6.4) из точи 1 в точу 2:
A = Fl cos β,
де F — минимальная сила, оторая равна по мо-
дулю силе элетростатичесоо взаимодействия
заряда с полем плосости:
F
э
= qE;
E — напряженность поля плосости: E = ; β — уол между си-
лой и направлением перемещения: β = 90° – α.
Решив систему приведенных уравнений, получим
A = = 0,24 Дж.
О т в е т: A = 0,24 Дж.
E
A
E
d
q
d
E
Z
A
r
x
R
Рис. 10.4.9
k∆qd
r
2
---------------
kqd
2πRR
2
x
2
+()
------------------------------------ -
E
2
E
d
2
2EE
d
αcos−+
kq
R
2
x
2
+()
------------------------
x
2
R
2
x
2
+
--------------------
d
2
4π
2
R
2
-----------------
2xd
2πRR
2
x
2
+()
12/
---------------------------------------------
−+
⎝
⎜
⎛
E
d
E
A
-------
⎠
⎟
⎞
F
1
2
q
Рис. 10.6.4
σ
2ε
0
-------- -
q σ l αsin
2ε
0
------------------------- -
567
10.6.5. Элетричесое поле между пласти-
нами можно считать однородным (рис. 10.6.5).
Напряженность поля, создаваемая первой пласти-
ной,
E
1
= ,
де σ
1
= — поверхностная плотность зарядов
этой пластины.
Напряженность поля, создаваемая второй пластиной,
E
2
= ,
де σ
2
= — поверхностная плотность зарядов этой пластины.
Посольу напряженности E
1
и E
2
между пластинами направ-
лены в противоположные стороны, то напряженность результирую-
щео поля
E = |E
1
– E
2
| = ;
теперь найдем разность потенциалов:
∆ϕ = Ed = .
10.7.10. Та а элетричесое поле неподвижных зарядов по-
тенциально, то работа A по перемещению заряда q
0
из точи C в
точу B не будет зависеть от формы траетории, по оторой переме-
щают частицу, и
A = W
C
– W
B
,
де W
C
— энерия заряда q
0
в онечном состоянии:
W
C
= q
0
(ϕ
1C
+ ϕ
2C
);
W
B
— энерия заряда q
0
в начальном состоянии:
W
B
= q
0
(ϕ
1B
+ ϕ
2B
);
ϕ
1
, ϕ
2
— потенциалы поля соответственно зарядов q
1
и q
2
в точах
расположения зарядов:
ϕ
1C
= , ϕ
2C
= , ϕ
1B
= , ϕ
2B
= .
q
4q
E
1
E
2
Рис. 10.6.5
σ
1
2ε
0
-------- -
q
S
--- -
σ
2
2ε
0
-------- -
4q
S
-------
3q
2ε
0
S
-------------
3qd
2ε
0
S
-------------
kq
1
dla++
---------------------
kq
2
la+
-----------
kq
1
dl+
-----------
kq
2
l
---------
568
Решив систему приведенных уравнений, получим о т в е т :
A = –kq
0
a + .
10.7.13. В случае трех точечных зарядов энерия системы
W = (q
1
ϕ
1
+ q
2
ϕ
2
+ q
3
ϕ
3
),
де потенциалы в точах 1, 2 и 3
(рис. 10.7.6) соответственно равны:
ϕ
1
= – ,
ϕ
2
= – ,
ϕ
3
= + ;
l
1–2
= l
2–3
= a, l
1–3
= а — расстояния между зарядами, распо-
ложенными в точах 1—2, 2—3 и 1—3 соответственно. Следова-
тельно,
ϕ
1
= – , ϕ
2
= 0, ϕ
3
= + ;
находим энерию системы зарядов:
W = q(ϕ
1
– ϕ
3
) = – .
10.7.14. Из принципа суперпозиции элетричесоо поля по-
тенциал в точе O (рис. 10.7.7):
ϕ = ϕ
1
+ ϕ
2
+ ϕ
3
+ ϕ
4
.
Та а расстояния от аждоо заряда до точи O
равны r = , то
ϕ
1
= ϕ
2
= ϕ
3
= ϕ
4
= = ,
де k — элетричесая постоянная.
⎝
⎛
q
1
dl+()dla++()
-------------------------------------------
q
2
ll a+()
------------------
-
⎠
⎞
1
2
---
1
2
3
a
O
q
q
q
a
Y
X
Z
Рис. 10.7.6
q
4πε
0
l
12−
-------------------------
q
4πε
0
l
13−
-------------------------
q
4πε
0
l
12−
-------------------------
q
4πε
0
l
23−
-------------------------
q
4πε
0
l
13−
-------------------------
q
4πε
0
l
23−
-------------------------
2
q
4πε
0
a
-----------------
q
4πε
0
a 2
------------------------ -
q
4πε
0
a 2
------------------------ -
q
4πε
0
a
-----------------
1
2
---
q
2
22πε
0
a
------------------------ -
r
l
O
q
q
q
q
Рис. 10.7.7
l
2
-------
kq
r
------
2kq
l
---------------
569
Следовательно, потенциал поля в центре вадрата
ϕ = 4ϕ
1
= .
10.7.19. Потенциал внутри сферы равен потенциалу поверхности:
ϕ
0
= , (1)
де k — элетричесая постоянная, q — заряд сферы, R — ее ра-
диус.
Вне сферы потенциал
ϕ = ,
де r — расстояние от центра сферы
до данной точи. Та а r =R+ l
(рис. 10.7.8), то в точе A потенциал
ϕ = . (2)
Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим
= ,
отуда найдем радиус сферы:
R = l = 30 см.
10.7.23. Внутри равномерно заряженной сферы радиусом R
сзарядом Q потенциал поля
ϕ = , (1)
а вне сферы на расстоянии r от ее центра
ϕ = . (2)
В области 0 m r m R
1
потенциал будет равен алебраичесой сум-
ме потенциалов полей, создаваемых обеими сферами во внутренних
областях. Используя формулу (1), получаем
ϕ (0 m r m R
1
) = + . (3)
42kq
l
-------------------
kq
R
------
l
O
R
A
Рис. 10.7.8
kq
r
------
kq
Rl+
------------
ϕ
0
ϕ
----- -
Rl+
R
------------
ϕ
ϕ
0
ϕ−
--------------- -
Q
4πε
0
R
-----------------
Q
4πε
0
r
--------------- -
q
1
4πε
0
R
1
--------------------
q
2
4πε
0
R
2
--------------------