Туголуков Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований
Подождите немного. Документ загружается.
(
)
(
)
;,,0,,, zyxfzyxt
=
(11.2)
(
)
()
()
;0,,,0
,,,0
11
=−τα−
∂
τ∂
λ
c
tzyt
x
zyt
(11.3)
(
)
()
()
;0,,,
,,,
22
=−τα+
∂
τ∂
λ
c
tzylt
x
zylt
(11.4)
(
)
()
()
;0,,0,
,,0,
33
=−τα−
∂
τ∂
λ
c
tzxt
y
zxt
(11.5)
(
)
()
()
;0,,,
,,,
44
=−τα+
∂
τ∂
λ
c
tzvxt
y
zvxt
(11.6)
(
)
()
()
;0,0,,
,0,,
55
=−τα−
∂
τ∂
λ
c
tyxt
z
yxt
(11.7)
(
)
()
()
.0,,,
,,,
66
=−τα+
∂
τ∂
λ
c
thyxt
z
hyxt
(11.8)
Здесь t (x, y, z, τ) – искомое температурное поле как функция поперечных координат бруса и време-
ни; а, λ – соответственно коэффициенты
температуропроводности и теплопроводности материала параллелепипеда; α
i
, t
ci
– соответственно ко-
эффициенты теплоотдачи и температуры окружающей среды со стороны наружных поверхностей па-
раллелепипеда.
Решение этой задачи целесообразно представить в виде суммы
(
)
(
)( )
,,,,,,,,,
1c
tzyxSzyxPzyxt ++τ=τ
(11.9)
причем
()
−τ,,, zyxP решение нестационарной задачи с однородными граничными условиями, а
()
−zyxS ,, решение стационарной задачи с неоднородными граничными условиями. Кроме того, для не-
которого упрощения выражений решение задачи целесообразно искать относительно температуры ок-
ружающей среды со стороны одной из граней параллелепипеда.
(
)
(
) ()
;0
,,,,,,
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
zyxS
y
zyxS
x
zyxS
(11.10)
(
)
()
;0,,0
,,0
1
=α−
∂
∂
λ zyS
x
zyS
(11.11)
(
)
()
()
;0,,
,,
22
=−α+
∂
∂
λ
c
TzylS
x
zylS
(11.12)
(
)
()
()
;0,0,
,0,
33
=−α−
∂
∂
λ
c
TzxS
y
zxS
(11.13)
(
)
()
()
;0,,
,,
44
=−α+
∂
∂
λ
c
TzvxS
y
zvxS
(11.14)
(
)
()
()
;00,,
0,,
55
=−α−
∂
∂
λ
c
TyxS
y
yxS
(11.15)
(
)
()
()
,0,,
,,
66
=−α+
∂
∂
λ
c
ThyxS
z
hyxS
(11.16)
где
.
1cicic
ttT −=
(11.17)
Для решения стационарной задачи используем метод конечных интегральных преобразований.
Для исключения координаты x используем интегральное преобразование вида
() ( )()()
,,,,
0
∫
ρ=
l
dxxWxzyxSzyU (11.18)
причем весовая функция ρ(х) = 1, а ядро интегрального преобразования W(x) является решением вспо-
могательной задачи с однородными граничными условиями:
(
)
()
;0
2
2
2
=µ+ xW
dx
xWd
(11.19)
(
)
()
;00
0
1
=α−λ W
dx
dW
(11.20)
(
)
()
.0
2
=α+λ lW
dx
ldW
(11.21)
Решение ищется с точностью до постоянного множителя в виде:
(
)
(
)
,sin
ϕ
+
µ
=
xxW
(11.22)
причем числа µ и φ определяются из граничных условий (11.20), (11.21):
;tg
1
α
µλ
=ϕ a
(11.23)
числа µ определяются как последовательные положительные корни уравнения
(
)
(
)
.0cossin
2
=ϕ+
µ
µ
λ
+
ϕ
+
µ
α
ll (11.24)
Обратный переход выполняется по стандартной формуле
()
(
)()
∑
∞
=
=
1
,
,
,,
n
N
xWzyU
zyxS
(11.25)
где
() () ( )
∫∫
=ϕ+µ=ρ=
ll
dxxdxxWxN
0
2
0
2
sin
()()()()()
.cossincossin
2
1
ϕ+µϕ+µ−ϕϕ+µ
µ
= lll (11.26)
Суммирование в (11.25) ведется по значениям µ
n
.
Переходим к изображениям задачи (11.10) – (11.17).
(
)
() ()
()
;
,,,
2
2
0
2
2
y
zyU
dxxWx
y
zyxS
l
∂
∂
=ρ
∂
∂
∫
(11.27)
(
)
() ()
()
;
,,,
2
2
0
2
2
z
zyU
dxxWx
z
zyxS
l
∂
∂
=ρ
∂
∂
∫
(11.28)
(
)
() () ( )
,,
,,
2
0
2
2
QzyUdxxWx
x
zyxS
l
+µ−=ρ
∂
∂
∫
(11.29)
тогда
(
)
(
)
()
;0,
,,
2
2
2
2
2
=+µ−
∂
∂
+
∂
∂
QzyU
z
zyU
y
zyU
(11.30)
(
)
()
;,0
,0
13
QzU
y
zU
=α−
∂
∂
λ (11.31)
(
)
()
;,
,
24
QzvU
y
zvU
=α+
∂
∂
λ (11.32)
(
)
()
;0,
0,
35
QyU
z
yU
=α−
∂
∂
λ
(11.33)
(
)
()
,,
,
46
QhyU
z
hyU
=α+
∂
∂
λ
(11.34)
где
() ()
;sin
2
2
2
2
ϕ+µ
λ
α
=
λ
α
= lTlWTQ
cc
(11.35)
() () ( )()
;coscos
33
0
331
ϕ+µ−ϕ
µ
α
−=α−=
∫
l
T
dxxWTQ
c
l
c
(11.36)
() () ( )()
;coscos
44
0
442
ϕ+µ−ϕ
µ
α
=α=
∫
l
T
dxxWTQ
c
l
c
(11.37)
() () ( )()
;coscos
55
0
553
ϕ+µ−ϕ
µ
α
−=α−=
∫
l
T
dxxWTQ
c
l
c
(11.38)
() () ( )()
.coscos
66
0
664
ϕ+µ−ϕ
µ
α
=α=
∫
l
T
dxxWTQ
c
l
c
(11.39)
Для исключения координаты у используем интегральное преобразование вида
() ( ) () ()
∫
ρ=
v
dyyKyzyUzM
0
1
,, (11.40)
причем весовая функция ρ
1
(y) = 1, а ядро интегрального преобразования K(y) является решением вспо-
могательной задачи с однородными граничными условиями:
(
)
()
;0
2
2
2
=η+ yK
dy
yKd
(11.41)
(
)
()
;00
0
3
=α−λ K
dy
dK
(11.42)
(
)
()
.0
4
=α+λ vK
dy
vdK
(11.43)
Решение ищется с точностью до постоянного множителя в виде:
(
)
(
)
,sin ξ+η= yyK (11.44)
причем числа η и ξ определяются из граничных условий (11.42), (11.43):
α
ηλ
=ξ
3
tga ; (11.45)
числа η определяются как последовательные положительные корни уравнения
(
)
(
)
.0cossin
4
=
ξ
+
η
η
λ
+
ξ
+
η
α
vv
(11.46)
Обратный переход выполняется по формуле
()
(
)
(
)
∑
∞
=
=
1
,,
m
D
zMyK
zyU
(11.47)
где
() () ( )
∫∫
=ξ+η=ρ=
vv
dyydyyKyD
0
2
0
2
1
sin
() () ( ) ( )()
.cossincossin
2
1
ξ+ηξ+η−ξξ+η
η
= vvv (11.48)
Суммирование в (11.47) ведется по значениям η
m
.
Переходим к изображениям задачи (11.30) – (11.34).
(
)
() ()
()
;
,
2
2
0
1
2
2
zd
zMd
dyyKy
zy
v
∫
=ρ
∂
∂
(11.49)
(
)
() () ()
,
,
2
0
1
2
2
CzMdyyKy
y
zyU
v
+η−=ρ
∂
∂
∫
(11.50)
тогда
(
)
()
()
;0
22
2
2
=+η+µ− CzM
dz
zMd
(11.51)
(
)
()
;0
0
15
CM
dz
dM
=α−λ
(11.52)
(
)
()
,
26
ChM
dz
hdM
=α+λ
(11.53)
где
( ) () ()
()
()
() ( )()
×
ϕ+µ−ϕα+α
µ
+ϕ+µ
λ
α
=
=ρ−+=
∫
lTTlT
dyyKyQQQC
ccc
v
coscos
1
sin
33442
2
0
112
() ( )()
;coscos
1
ξ+η−ξ
η
× v (11.54)
() ()
∫
=ρ=
v
dyyKyQC
0
131
() ( )()()()()
;coscoscoscos
55
ξ+η−ξϕ+µ−ϕ
ηµ
α
−= vl
T
c
(11.55)
() ()
∫
=ρ=
v
dyyKyQC
0
142
() ( )()()()()
.coscoscoscos
66
ξ+η−ξϕ+µ−ϕ
ηµ
α
= vl
T
c
(11.56)
Решением задачи (11.51) – (11.53) является функция
() () ()
22
shch
η+µ
+η+η=
C
zBzAzM . (11.57)
А и В определяются из граничных условий (11.52) и (11.53):
() ()
() ()
;
shch
chsh
22
65
22
5
6
6
1
22
6
2
h
C
h
C
hhC
C
C
A
η
η+µ
αα
+ηλ+η
η+µ
ηλα
+α
η+η
ηλ
α
−
η+µ
α
−
=
(11.58)
.
1
22
5
1
η+µ
α
+
ηλ
=
C
ACB
(11.59)
Таким образом, решение задачи (11.10) – (11.16), все составляющие которого полностью определе-
ны, имеет вид:
()
(
)
(
)()
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
,
.,,
nm
mn
nmmn
DN
zMyKxW
zyxS
(11.60)
Другая составляющая решения (11.9) задачи (11.1) – (11.8), функция Р (х, у, z, τ), является решением
нестационарной задачи с однородными граничными условиями:
() ()()()
,
,,,,,,,,,,,,
2
2
2
2
2
2
2
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
z
zyxP
y
zyxP
x
zyxP
a
zyxP
;0,0,0,0 >
τ
≤
≤
≤
≤
≤
≤
hzvylx (11.61)
(
)
(
)
(
)
;,,,,0,,,
1c
tzyxSzyxfzyxP −−=
(11.62)
(
)
()
;0,,,0
,,,0
1
=τα−
∂
τ∂
λ zyP
x
zyP
(11.63)
(
)
()
;0,,,
,,,
2
=τα+
∂
τ∂
λ zylP
x
zylP
(11.64)
(
)
()
;0,,0,
,,0,
3
=τα−
∂
τ∂
λ zxP
y
zxP
(11.65)
(
)
()
;0,,,
,,,
4
=τα+
∂
τ∂
λ zvxP
y
zvxP
(11.66)
(
)
()
;0,0,,
,0,,
5
=τα−
∂
τ∂
λ yxP
z
yxP
(11.67)
(
)
()
.0,,,
,,,
6
=τα+
∂
τ∂
λ hyxP
z
hyxP
(11.68)
Решение этой задачи может быть выполнено методом конечных интегральных преобразований по
трем пространственным координатам как одновременно, так и последовательно.
В данном случае последний вариант предпочтительнее, так как для исключения координат x и у мо-
гут быть применены преобразования, использованные при решении стационарной задачи (11.10) –
(11.16):
( ) ( )() ()
∫
ρτ=τ
l
dxxWxzyxtzyR
0
.,,,,, (11.69)
Обратный переход выполняется по формуле
()
(
)()
∑
∞
=
τ
=τ
1
,
,,
,,,
n
N
xWzyR
zyxt
(11.70)
где значение N определяется формулой (11.26).
Функция W(х) является решением (11.22) задачи (11.19) – (11.21).
Переходим к изображению задачи (11.61) – (11.68):
() () ()
()
;,,
,,,,,,
2
2
2
2
2
2
τµ−
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
zyR
z
zyR
y
zyR
a
zyR
(11.71)
()()()()
()
()
∫
−−==
l
c
dxxWtzyxSzyxfzyFzyR
0
1
;,,,,,0,,
(11.72)
(
)
()
;0,,0
,,0
3
=τα−
∂
τ∂
λ zR
y
zR
(11.73)
(
)
()
;0,,
,,
4
=τα+
∂
τ∂
λ zvR
y
zvR
(11.74)
(
)
()
;0,0,
,0,
5
=τα−
∂
τ∂
λ zR
z
yR
(11.75)
(
)
()
.0,,
,,
6
=τα+
∂
τ∂
λ hzR
z
hyR
(11.76)
В свою очередь, задача (11.71) – (11.76) может быть решена с использованием конечного инте-
грального преобразования по координате у:
() ( )()()
∫
ρτ=τ
v
dyyKyzyRzV
0
1
,,,, (11.77)
с весовой функцией ρ
1
(у) = 1 и формулой обратного перехода
()
(
)()
∑
∞
=
τ
=τ
1
,
,
,,
k
D
yKzV
zyR
(11.78)
где
() ()
∫
ρ=
v
dyyKyD
0
2
1
. (11.79)
Функция K(у) является решением вспомогательной задачи (11.41) – (11.43).
Переходим к изображению задачи (11.71) – (11.76).
(
)
(
)
()
()
;,
,,
22
2
2
2
τη+µ−
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
zV
z
zV
a
zV
(11.80)
() ()() ()()
()
() ()
∫∫∫
−−==
vl
c
v
dxdyyKxWtzyxSzyxfdyyKzyFzV
00
1
0
;,,,,,0,
(11.81)
(
)
()
;0,0
,0
5
=τα−
∂
τ∂
λ V
z
V
(11.82)
(
)
()
.0,
,
6
=τα+
∂
τ∂
λ hV
z
hV
(11.83)
В свою очередь, задача (11.80) – (11.83) может быть решена с использованием конечного инте-
грального преобразования по координате z:
() ( ) () ()
∫
ρτ=τ
h
dzzLzzVG
0
2
,, (11.84)
с весовой функцией ρ
2
(z) = 1 и формулой обратного перехода
()
(
)
(
)
∑
∞
=
τ
=τ
1
,,
k
E
zLG
zV
(11.85)
где
() ()
∫
ρ=
h
dzzLzE
0
2
2
.
(11.86)
Функция L(z) является решением вспомогательной задачи
(
)
()
;0
2
2
2
=ψ+ zL
dz
zLd
(11.87)
(
)
()
;00
0
5
=α−λ L
dz
dL
(11.88)
(
)
()
.0
6
=α+λ hL
dz
hdL
(11.89)