Туголуков Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований
Подождите немного. Документ загружается.
Решение задачи (7.1) – (7.6) также может быть получено методом конечных интегральных преобра-
зований, примененных последовательно по линейной и цилиндрической координате.
Для исключения координаты х используем формулу перехода к изображениям
() ( )( )
∫
µτ=τ
l
dxxSrxtrT
0
,,,,,
(7.7)
где
()
−
µ
xS , ядро интегрального преобразования, являющееся решением задачи с однородными гранич-
ными условиями:
(
)
()
;
2
2
xS
xd
xSd
µ−= (7.8)
(
)
()
;00
0
1
=α−λ S
dx
dS
(7.9)
(
)
()
.0
2
=α+λ lS
xd
lSd
(7.10)
Задача (7.8) – (7.10) с точностью до постоянного множителя имеет решение:
(
)
(
)
,sin ϕ
+
µ
=
xxS
(7.11)
где
,arctg
1
α
λµ
=ϕ
(7.12)
−µ
n
n-й положительный корень уравнения
(
)()
.0cossin
3
=ϕ+µ
µ
λ
+
ϕ
+
µ
α
ll (7.13)
Обратный переход может быть выполнен по формуле
()
(
)( )
,
,,
,,
1
∑
∞
=
µτ
=τ
n
n
n
N
xSrT
rxt
(7.14)
где
()
∫
=µ=
l
nn
dxxSN
0
2
,
( ) ( ) () ()()
.cossincossin
1
5,0
ϕϕ−ϕ+µϕ+µ
µ
−=
nnnnnn
n
lll
(7.15)
В изображениях задача (7.1) – (7.6) имеет вид:
(
)
(
) ()
()
,,
,1,,
2
2
2
τµ+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
rT
r
rT
rr
rT
a
rT
(7.16)
() ()()()
;,,0,
0
0
dxxStrxfrT
l
c
µ−=
∫
(7.17)
(
)
()()()
;0,
,
00
0
=τ−τα−
∂
τ∂
λ URT
r
RT
(7.18)
(
)
()()()
,0,
,
1
1
=τ−τα+
∂
τ∂
λ WRT
r
RT
c
(7.19)
где
() ( )()()
;,,
0
0
dxxStxtU
l
cv
µ−τ=τ
∫
(7.20)
() ( )()()
.,,
0
0
dxxStxtW
l
cc
µ−τ=τ
∫
(7.21)
Теперь возможно исключение координаты r путем использования следующего интегрального пре-
образования:
() ( ) ( )
,,,
1
0
drrPrrTV
R
R
ητ=τ
∫
(7.22)
с обратным переходом по формуле
()
(
)()
,
,
,
1
∑
∞
=
ττη
=τ
k
k
k
Z
VP
rT
(7.23)
причем
()
rP ,η является решением задачи
(
)
(
)
()
;0
1
2
2
2
=η++ rP
dr
rdP
r
dr
rPd
(7.24)
(
)
()
;0
00
0
=α−
∂
∂
λ RP
r
RP
(7.25)
(
)
()
.0
1
1
=α+
∂
∂
λ RP
r
RP
c
(7.26)
Это решение с точностью до постоянного множителя имеет вид:
,)()()(
00
rAYrJrP η
+
η
=
(7.27)
где
)()(
)()(
00001
00001
RYRY
RJRJ
A
ηα+ηηλ
ηα+ηηλ
−=
, (7.28)
а −η
k
k-й положительный корень уравнения
(
)
(
)
() ()
()
(
)
() ()
.
00001
00001
1011
1011
RYRY
RJRJ
RYRY
RJRJ
c
c
ηα+ηλη
ηα+ηλη
−=
ηα+ηλη−
ηα−ηλη
(7.29)
Тогда
()
() ( )()()()()
()
−η+η+η+η=
==
∫
2
1111
2
1010
2
1
2
2
1
0
RYARJRYARJ
R
drrPrZ
kkkkkk
R
R
k
() ( )()()()()
(
)
.
2
2
0101
2
0000
2
0
RYARJRYARJ
R
kkkkkk
η+η+η+η− (7.30)
Применяя преобразование (7.22) к задаче (7.16) – (7.19), переходим к новым изображениям:
(
)
() ()() ()()
;
1
2
1
0
2
00
22
τ
λ
α
+τ
λ
α
−=τη+
τ
τ
WRP
R
URP
R
Va
d
Vd
c
k
(7.31)
() ( )()()()
∫∫
−=
1
0
0
0
.,0
R
R
l
c
drdxrrPxStrxfV
(7.32)
Решением задачи (7.31) – (7.32) является функция
()
()
()()()()
() ( )()()
()
∫∫
∫∫
τ
+ττη−τ
λ
α
−
−−τη−=τ
00
22
00
0
2
0
0
0
22
exp,
,exp
1
0
l
kcv
R
R
l
ck
ddxaxStxtRP
Ra
drdxrrPxStrxfaV
() ( )()()
()
.exp,
00
22
01
1
2
ττη−τ
λ
α
+
∫∫
τ l
kcc
c
ddxaxStxtRP
Ra
(7.33)
Возврат к оригиналам выполняется по формуле
()
(
)
(
)()
∑∑
∞
=
∞
=
τ
=τ
11
.,,
nk
kn
ZN
xSrPV
rxt
(7.34)
При расчете температурного поля элементарной области аппаратов, имеющих трубчатые элементы,
целесообразно использовать рассмотренную задачу в упрощенной постановке, соответствующей усло-
виям работы трубчатого элемента. В этом случае
() () () ()
,
,,1,,,,,,
2
2
2
2
2
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
r
rxt
r
r
rxt
x
rxt
a
rxt
;0,,0
10
>
τ
≤
≤
≤
≤
RrRlx (7.35)
(
)
(
)
;,0,,
0c
trxfrxt
−
=
(7.36)
(
)
;0
,,0
=
∂
τ∂
x
rt
(7.37)
(
)
;0
,,
=
∂
τ∂
x
rlt
(7.38)
(
)
()()()
;0,,,
,,
000
0
=+τ−τα−
∂
τ∂
λ
cv
txtRxt
r
Rxt
(7.39)
(
)
()()()
.0,,,
,,
01
1
=+τ−τα+
∂
τ∂
λ
ccc
txtRxt
r
Rxt
(7.40)
Методика решения остается прежней, но ряд формул приобретает упрощенный вид.
Формула (7.9):
(
)
.0
0
=
∂
∂
x
S
(7.41)
Формула (7.10):
(
)
.0=
∂
∂
x
lS
(7.42)
Формула (7.11):
(
)
(
)
.cos xxS
µ
=
(7.43)
Формула (7.12):
ϕ = 0. (7.44)
Формула (7.13):
.
l
n
n
π
=µ
(7.45)
Формула (7.15):
() ()()
.cossin
1
5,0,
0
2
µµ
µ
+=µ=
∫
llldxxSN
nn
n
l
nn
(7.46)
Формула (7.17):
() ()( )
∫
µ=
l
dxxSrxfrT
0
.,,0,
(7.47)
Формула (7.20):
() ( ) ( )
.,,
0
dxxSxtU
l
v
µτ=τ
∫
(7.48)
Формула (7.21):
() ( ) ( )
.,,
0
dxxSxtW
l
c
µτ=τ
∫
(7.49)
Формула (7.32):
() ( ) () ()
∫∫
=
1
0
0
.,0
R
R
l
drdxrrPxSrxfV
(7.50)
Формула (7.33):
()
()
()()()
() ( )()
()
∫∫
∫∫
τ
+ττητ
λ
α
−
−τη−=τ
00
22
0
0
2
0
0
22
exp,
,exp
1
0
l
kv
R
R
l
k
ddxaxSxtRP
Ra
drdxrrPxSrxfaV
() ( )()
()
.exp,
00
22
1
1
2
ττητ
λ
α
+
∫∫
τ l
kc
c
ddxaxSxtRP
Ra
(7.51)
8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СОСТАВНОГО
КОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА
Решение задачи может быть использовано для расчета
стационарных температурных полей и тепловых потоков в составных
цилиндрических изделиях, в составных цилиндрических элементах
аппаратов, конструкций и сооружений, в цилиндрических
образцах, у которых скачкообразно изменяются теп-
лофизические параметры или граничные условия на боковой
поверхности.
Задача теплопроводности для составного тела (рис. 8.1) может
быть решена следующим образом. Решаются соответствующие
задачи теплопроводности для каждого из контактирующих тел
независимо друг от друга при произвольных температурах на
поверхности контакта или произвольных тепловых потоках через
поверхность контакта. Затем, из граничных условий 4-го рода на
поверхности контакта, опре- деляются функции, первоначально
0
t
c4
α
4
x
r
R
l
t
c1
t
c3
α
1
α
3
.
.
.
.
h
y
α
2
t
c2
Рис. 8.1 Составной
конечный цилиндр
х
l
h
0
y
t
t
t
r
R
t
α
α
α
α
заданные как произвольные.
В данном случае для упрощения математических выражений целесообразно выбрать координаты
так, как показано на рисунке. Выбранное расположение координат определяет знаки тепловых потоков
в постановке задачи.
(
)
(
)
(
)
;0,0,0
,1,,
1
2
1
2
2
1
2
Rrlx
r
rxt
r
r
rxt
x
rxt
≤≤≤≤=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(8.1)
(
)
(
) ()
;0,0
,1,,
2
2
2
2
2
2
2
hy
r
ryt
r
r
ryt
y
ryt
≤≤=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(8.2)
(
)
()()
;0,
,
313
1
1
=−α+
∂
∂
λ
c
trlt
x
rlt
(8.3)
()
;0),(
),(
111
1
1
=−α+
∂
∂
λ
c
tRxt
r
Rxt
(8.4)
(
)
;0
0,
1
=
∂
∂
r
xt
(8.5)
(
)
()()
;0,
,
424
2
2
=−α+
∂
∂
λ
c
trht
y
rht
(8.6)
(
)
()()
;0,
,
222
2
2
=−α+
∂
∂
λ
c
tRyt
r
Ryt
(8.7)
(
)
;0
0,
2
=
∂
∂
r
yt
(8.8)
(
)
(
)
;,0,0
21
rtrt
=
(8.9)
(
) ()
.
,0,0
2
2
1
1
y
rt
x
rt
∂
∂
λ−=
∂
∂
λ
(8.10)
Будем считать произвольным тепловой поток через стыковую поверхность тел. Вследствие осевой
симметрии он будет являться только функцией радиальной координаты.
Тогда стационарное температурное поле первого тела является решением задачи:
(
)
(
)
(
)
;0,0,0
,1,,
1
2
1
2
2
1
2
Rrlx
r
rxt
r
r
rxt
x
rxt
≤≤≤≤=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(8.11)
(
)
()()
;0,
,
313
1
1
=−α+
∂
∂
λ
c
trlt
x
rlt
(8.12)
(
)
()()
;0,
,
111
1
1
=−α+
∂
∂
λ
c
tRxt
r
Rxt
(8.13)
(
)
;0
0,
1
=
∂
∂
r
xt
(8.14)
(
)
()
.
,0
1
1
rm
x
rt
−=
∂
∂
λ
(8.15)
Решение задачи (8.11) – (8.15) может быть получено методом конечных интегральных преобразова-
ний. Для исключения координаты "r" используется формула перехода к изображениям:
() ()()()
∫
µρ=µ
R
drrPrxtrxT
0
1
,,,,
(8.16)
где
()
−=ρ rr весовая функция, являющаяся решением уравнения
(
)
(
)
.0=
ρ
−
ρ
r
r
dr
rd
(8.17)
Ядро интегрального преобразования
(
)
µ
,rP является решением вспомогательной задачи (здесь µ –
параметр):
(
)
(
)
()
;0,
,1,
2
2
2
=µµ+
µ
+
µ
rP
dr
rdP
r
d
r
rPd
(8.18)
(
)
()
;0,
,
11
=µα+
µ
λ RP
dr
RdP
(8.19)
(
)
.0
,0
=
µ
dr
dP
(8.20)
Решение задачи (8.18) – (8.20) с точностью до постоянного множителя имеет вид:
(
)
(
)
,,
0
rJrP µ
=
µ
(8.21)
здесь µ – последовательные положительные корни уравнения
(
)()
.0
1101
=µ
λ
µ
−
µ
α
RJRJ (8.22)
Обратный переход осуществляется по формуле:
()
(
)( )
,
,,
,
1
1
∑
∞
=
µµ
=
n
n
nn
Z
rPxT
rxt
(8.23)
где
( ) ( ) () ()
()
.5,0,,
2
1
2
0
2
0
2
0
0
2
RJRJRdrrrJdrrrPZ
nn
R
n
R
nn
µ+µ=µ=µ=
∫∫
(8.24)
Здесь
() ()
−xJxJ
10
, Бесселевы функции первого рода, нулевого и первого порядка соответственно.
Применяя преобразование (8.16) к задаче (8.11) – (8.15), переходим к изображениям:
(
)
()
;0,
,
2
2
2
=µµ−
µ
xU
dx
xUd
n
(8.25)
(
)
()
;0,
,
31
=+µα+
µ
λ SlU
dx
ldU
(8.26)
(
)
,
,0
1
M
dx
dU
=
µ
λ
(8.27)
где
(
)
(
)
;,, KxUxT
+
µ
=
µ
(8.28)
()
;
0
2
1
11
RJ
tR
K
c
µ
µλ
α
= (8.29)
()
;
1
3
3
µ
µ
−α= RJ
tR
KS
c
(8.30)
() ( )
∫
µ−=
R
drrJrrmM
0
0
.
(8.31)
Решение задачи (8.25) – (8.27) имеет вид:
(
)
(
)()
,chsh, xBxAxU µ
+
µ
=
µ
(8.32)
где A и B определяются из граничных условий (8.26) – (8.27):
;
1
µλ
=
M
A
(8.33)
,
D
MCS
B
+
−=
(8.34)
здесь
() ()
;shch
1
3
llC µ
µλ
α
+µ=
(8.35)
(
)()
.shch
13
llD µµ
λ
+
µ
α
=
(8.36)
Теперь можно записать решение задачи (8.11) – (8.15):
()
(
)
() ()
.chsh,
1
1
0
1
+µ
+
−µ
µλ
µ
=
∑
∞
=
nn
n
nnn
n
n
n
n
n
n
Kx
D
CMS
x
M
Z
rJ
rxt
(8.37)
Стационарное температурное поле второго тела является решением задачи, аналогичной задаче
(8.11) – (8.15):
(
)
(
)
(
)
;0,0,0
,
1
,,
2
2
2
2
2
2
2
Rrhy
r
ryt
r
r
ryt
y
ryt
≤≤≤≤=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(8.38)