Туголуков Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований
Подождите немного. Документ загружается.
.0sincos =
ϕ+
µ
α+
ϕ+
µµλ
N
N
N
NN
N
N
N
N
a
R
a
R
a
(4.30)
Применяя преобразование (4.19) к задаче (4.14) – (4.18), переходим к изображениям:
(
)
()
;0,
,
2
=τµµ+
τ
τµ
nn
n
U
d
Ud
(4.31)
() () ()()()
∑
∫
=
µ−
λ
=µ
N
m
R
mnmmmmmm
m
m
n
m
dxxWxSxf
a
U
1
0
2
.,0, (4.32)
Решением задачи (4.31) – (4.32) является функция
(
)
(
)
(
)
.exp0,,
2
τµ−µ=τµ
nnn
UU (4.33)
Таким образом, решение исходной задачи (4.1) – (4.5) имеет вид:
()
()
∑
∑
∑
∞
=
=
=
→
×
λ
×
λ
τµ−
ϕ+
µ
+
++=τ
1
2
,
1
2
1
,
2
2
,,
5,0
expsin
,
n
nm
N
m
m
m
N
m
nm
m
m
nni
i
in
ni
iiiii
C
a
С
a
a
x
С
BxAxt
()()
()()()
.
cossincossin
sin
,,,,
0
,
ϕϕ−
ϕ+
µ
ϕ+
µ
µ
−×
ϕ+
µ
−−×
→
∫
nmnmnm
m
mn
nm
m
mn
n
m
m
R
mnm
m
mn
mmmmm
a
R
a
Ra
R
dx
a
x
BxAxf
m
(4.34)
Средняя температура по слоям равна
() ()
()
()
→
×
λ
×τµ−
ϕ+
µ
−ϕ
µ
+
++=τ=τ
∑
∑
∫
∞
=
=
1
2
,
1
2
2
,,,
0
5,0
expcoscos
5,0,
1
n
nm
N
m
m
m
nni
i
in
ni
n
i
ni
iii
R
iii
i
i
C
a
a
Ra
С
BRAdxxt
R
t
i
()()
()()()
.
cossincossin
sin
,,,,
1
0
,,
2
ϕϕ−
ϕ+
µ
ϕ+
µ
µ
−×
ϕ+
µ
−−
λ
×
→
∑
∫
=
nmnmnm
m
mn
nm
m
mn
n
m
m
N
m
R
mnm
m
mn
mmmmmnm
m
m
a
R
a
Ra
R
dx
a
x
BxAxfС
a
m
(4.35)
В случае применения данного решения для локальной временной области интегралы в числителях
правых частей формул (4.34) и (4.35) могут быть вычислены аналитически, так как начальным распре-
делением
()
mm
xf является температурный профиль, определяемый формулой (4.34) для момента време-
ни, соответствующего концу предыдущей области.
Индекс "b" далее указывает, что параметр относится к предыдущей области.
Для этого решение (4.34) можно записать в виде:
()
()
∑
∞
=
τµ−
ϕ+
µ
++=τ
1
2
,,
,expsin,
n
nni
i
in
niiiiii
a
x
HBxAxt
(4.36)
где
()()
()()()
.
cossincossin
sin
5,0
,,,,
0
,
2
,
1
2
1
,
2
,
,
ϕϕ−
ϕ+
µ
ϕ+
µ
µ
−×
ϕ+
µ
−−×
→
→
×
λ
×
λ
=
∫
∑
∑
=
=
nmnmnm
m
mn
nm
m
mn
n
m
m
R
mnm
m
mn
mmmmm
nm
N
mm
m
N
m
nm
m
m
ni
ni
a
R
a
Ra
R
dx
a
x
BxAxf
C
a
С
a
С
H
m
(4.37)
Тогда
()()
=
ϕ+
µ
−−=
∫
m
R
mnm
m
mn
mmmmmnm
dx
a
x
BxAxfI
0
,,
sin
()
()
=
ϕ+
µ
−−τ=
∫
m
R
mnm
m
mn
mmmkmbm
dx
a
x
BxAxt
0
,
sin,
() ()
()
=
ϕ+
µ
ϕ+
µ
τµ−+
+
ϕ+
µ
−+
ϕ+
µ
−=
∫
∑
∫∫
∞
=
m
mm
R
mkm
m
mk
bnm
bm
mbn
bbnbkm
k
R
mnm
m
mn
mmbm
R
mnm
m
mn
mbm
dx
a
x
a
x
H
dx
a
x
xAAdx
a
x
BB
0
,,
2
,
1
0
,
0
,
sinsinexp
sinsin
()()
() ()
()
∫
∑
ϕ+
µ
ϕ+
µ
τµ−+
+
ϕ+
ϕ+
µ
µ
−
ϕ+
µ
µ
−+
+
ϕ+
µ
−ϕ
µ
−=
∞
=
m
R
mkm
m
mk
bnm
bm
mbn
bbnbkm
k
nmnm
m
mn
n
m
nm
m
mn
n
m
mbm
nm
m
mn
nm
n
m
mbm
dx
a
x
a
x
H
a
Ra
a
RR
AA
a
Ra
BB
0
,,
2
,
1
,,
2
2
,
,,
.sinsinexp
sinsincos
coscos
(4.38)
В свою очередь
(
()
−
ϕ+
µ
ϕ
µ
µ×
×
µ−µ
=
ϕ+
µ
ϕ+
µ
∫
bnm
bm
mbn
km
m
mk
bmk
bmkmbn
mbm
R
mnk
m
mk
bnm
bm
mbn
a
R
a
R
a
aa
aa
dx
a
x
a
x
k
,,
2222
0
,,
sincoscos
sinsin
()
()
()
()() ()())
,cossincossin
sinsinsin
sincoscos
sinsinsin
,,,,
,,
,,
,,
kmbnm
bmk
bnmkmm
bn
km
m
mk
bnm
bm
mbn
m
bn
km
m
mk
bnm
bm
mbn
m
bn
bnm
bm
mbn
km
m
mk
bmk
aa
a
R
a
R
a
a
R
a
R
a
a
R
a
R
a
ϕϕµ+ϕϕµ−
−
ϕ+
µ
ϕ
µ
µ+
+
ϕ+
µ
ϕ
µ
µ−
−
ϕ+
µ
ϕ
µ
µ−
(4.39)
если
0
2222
≠µ−µ
bmkmbn
aa ,
иначе
m
k
bm
bn
aa
µ
=
µ
,
в этом случае
(
()
()
()
+ϕ+ϕ
µ
µ
−
−ϕ−ϕ
µ
µ
−
−ϕ−ϕµ
µ
=
=
ϕ+
µ
ϕ+
µ
∫
bnmkm
m
mk
m
mk
m
bnmkm
m
mk
m
mk
m
bnmkmkm
k
R
mkm
m
mk
bnm
bm
mbn
a
R
a
R
a
a
R
a
R
a
R
dx
a
x
a
x
m
,,
,,
,,
0
,,
sincoscos
coscossin
cos
2
1
sinsin
(
)
)
.sin
,, bnmkmm
a
ϕ
+
ϕ
+
(4.40)
4.1 Решение задачи теплопроводности для двухслойной
неограниченной пластины
(
)
(
)
;0;2,1;
,,
2
2
ii
i
ii
i
ii
Rxi
x
xt
a
xt
≤≤=
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
(4.41)
(
)
(
)
;0,
iiii
xfxt
=
(4.42)
(
)
()
()
;0,0
,0
11
1
1
1
=−τα−
∂
τ∂
λ
ci
tt
x
t
(4.43)
(
)
()()
;0,
,
2222
2
22
2
=−τα+
∂
τ∂
λ
c
tRt
x
Rt
(4.44)
(
)
(
)
;
,0,
2
2
2
1
11
1
x
t
x
Rt
∂
τ∂
λ=
∂
τ∂
λ
(4.45)
(
)
(
)
.,0,
211
τ
=
τ
tRt (4.46)
Решение получено методом конечных интегральных преобразований, примененных по линейной
координате х
i
, вдоль которой теплофизические свойства тела меняются ступенчато.
В окончательном виде решение задачи (4.41) – (4.46) имеет вид:
()
()
(
)
()
;,
1
in
n
n
n
iiii
xS
N
T
xPxt
τ
+=τ
∑
∞
=
(4.47)
()
()
()
.
,
1
ni
n
n
n
iii
Z
N
T
xQt
τ
+=τ
∑
∞
=
(4.48)
Здесь
()
;
1
1
11
1
11 c
tW
x
xP +
α
+
λ
=
(4.49)
()
;
1
2
11
1
2
2
22 c
tW
Rx
xP +
α
+
λ
+
λ
=
(4.50)
()
;
1
2
1
11
1
11 c
tW
R
xQ +
α
+
λ
=
(4.51)
()
;
1
2
2
11
1
2
2
22 c
tW
RR
xQ +
α
+
λ
+
λ
=
(4.52)
;
11
11
1
2
2
2
12
α
+
λ
+
λ
+
α
−
=
RR
tt
W
cc
(4.53)
()
;coscos
,,,
ϕ+
µ
−ϕ
µ
=
ni
i
n
ni
in
i
ni
a
R
R
a
Z
(4.54)
(
)
(
)
;exp
2
τµ−=τ
nnn
DT
(4.55)
() ()()
;sin
0
,
2
1
∫
∑
ϕ+
µ
−
λ
=
=
i
R
inii
i
n
iiiii
i
i
i
n
xdx
a
xPxfC
a
D
(4.56)
µ
n
– положительные корни уравнения
() ()
;0cossinsincos
211
1
211
112
21
=ϕ
ϕ+
µ
+ϕ
ϕ+
µ
λ
λ
R
a
R
aa
a
(4.57)
;arctg
11
1
1
α
µλ
=ϕ
a
(4.58)
;arctg
22
2
2
22
α
µλ
−
µ
−=ϕ
aa
R
(4.59)
()
;sin
,,
ϕ+
µ
=
nii
i
n
niin
x
a
CxS
(4.60)
()
;
sin
sin
;1
,2
,11
12
,2,1
n
n
n
nn
R
a
CC
ϕ
ϕ+
µ
==
(4.61)
()
.2sin2sin
2
1
,,
2
1
2
ϕ−
ϕ+
µ
−
µλ
=
∑
=
ninii
i
n
i
i
n
i
i
i
i
n
R
a
R
a
C
a
N (4.62)
4.2 Решение задачи нестационарной теплопроводности
для однослойной неограниченной пластины
с функциональным источником
(
)
(
)
(
)
;0,0,
,,
2
2
>τ≤≤
ρ
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
Rx
c
xq
x
xt
a
xt
(4.63)
(
)
(
)
;0, xfxt
=
(4.64)
(
)
()()
;0,0
,0
11
=−τα−
∂
τ∂
λ
c
tt
x
t
(4.65)
(
)
()()
.0,
,
22
=−τα+
∂
τ
∂
λ
c
tRt
x
Rt
(4.66)
Решение целесообразно искать в виде
(
)
(
)
(
)
,,, τ
+
=
τ
xPxSxt
(4.67)
где
()
−xS решение стационарной задачи с неоднородными граничными условиями;
()
−
τ,xP решение не-
стационарной задачи с однородными граничными условиями:
(
)
;0
2
2
=
xd
xSd
(4.68)
(
)
()()
;00
0
11
=−α−λ
c
tS
xd
Sd
(4.69)
(
)
()()
.0
2
=−α+λ
c
tRS
xd
RSd
(4.70)
Решение стационарной задачи (4.68) – (4.70) имеет вид:
(
)
,BxAxS
+
=
(4.71)
где
;
11
21
12
α
+
λ
+
α
λ
−
=
R
tt
A
cc
(4.72)
.
1
1
AtB
c
α
λ
−=
(4.73)
(
)
(
)
(
)
;0,0,
,,
2
2
>τ≤≤
ρ
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
Rx
c
xq
x
xP
a
xP
(4.74)
(
)
(
)()
;0, xSxfxP
−
=
(4.75)
(
)
()
;0,0
,0
1
=τα−
∂
τ∂
λ P
x
P
(4.76)
(
)
()
.0,
,
2
=τα+
∂
τ∂
λ RP
x
RP
(4.77)
Решение задачи (4.74) – (4.77) получено методом конечных интегральных преобразований. Для ис-
ключения координаты х, вдоль которой свойства тела изменяются ступенчато, используется формула
перехода к изображениям:
() ()()
.,,,
0
∫
µτ=τµ
m
R
dxxWxPU
(4.78)
Весовая функция, равная 1, опущена.
Обратный переход осуществляется по формуле
()
(
)( )
,
,,
,
1
∑
∞
=
µτµ
=τ
n
n
nn
Z
xWU
xP
(4.79)
где
()
()()
() ()
()
,cossincossin
2
1
,
0
2
nnnnnnn
n
R
nn
RRR
dxxWZ
ϕϕ+ϕ+µϕ+µ−µ×
×
µ
=µ=
∫
(4.80)
а ядро интегрального преобразования
()
µ
,xW является решением вспомогательной задачи (здесь µ – па-
раметр):
(
)
()
;0,0,
,
2
2
2
RxxW
xd
xWd
≤≤=µµ+
µ
(4.81)
(
)
()
;0,0
,0
1
=µα−
µ
λ W
xd
Wd
(4.82)
(
)
()
.0,
,
2
=µα+
µ
λ RW
xd
RWd
(4.83)
Подставляя решение задачи (4.81) (с точностью до постоянного множителя)
(
)
(
)
nnn
xxW ϕ+µ=µ sin,
(4.84)
в граничные условия (4.82) – (4.83), находим числа
nn
µ
ϕ
, :
;arctg
1
α
µλ
=ϕ
n
n
(4.85)
−µ
n
n-й положительный корень уравнения
()()
.0sincos
2
=ϕ+µ+ϕ+µ
µλ
NNNN
RR
a
(4.86)
Применяя преобразование (4.78) к задаче (4.74) – (4.77), переходим к изображениям:
(
)
()
;0,
,
2
=−τµµ+
τ
τµ
QUa
d
Ud
nn
n
(4.87)
( ) () ()()()
∫
µ−=µ
R
nn
dxxWxSxfU
0
;,0,
(4.88)
()
()
∫
µ
ρ
=
R
n
dxxW
c
xq
Q
0
.,
(4.89)
Решением задачи (4.87) – (4.88) является функция
() ( )
()
.exp0,,
2
2
2
n
n
n
nn
a
Q
a
a
Q
UU
µ
+τµ−
µ
−µ=τµ
(4.90)
5 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ N-СЛОЙНОГО ПОЛОГО И
СПЛОШНОГО ЦИЛИНДРОВ
Решение нестационарной задачи теплопроводности для N-слойных полого и сплошного неограни-
ченных цилиндров (рис. 5.1, 5.2.) с произвольным начальным распределением, граничными условиями
4-го рода на поверхностях контакта слоев и неоднородными несимметричными граничными условиями
3-го рода на внешних границах представлено ниже.
Решение задачи может быть использовано для расчета нестационарных температурных полей и те-
пловых потоков в многослойных цилиндрических изделиях, цилиндрических элементах аппаратов, кон-
струкций и сооружений, в цилиндрических образцах, у которых теплофизические параметры функцио-
нально зависят от температуры, а также для определения условий протекания теплообменных
процессов в перечисленных выше случаях по измеренным температурным полям.
5.1 Решение задачи нестационарной теплопроводности
для N-слойного полого цилиндра
() ()
(
)
;0,,...,,2,1,
,1,,
1
2
2
2
>τ≤≤=
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
− iii
i
ii
i
i
ii
i
ii
RrRNi
r
rt
r
r
rt
a
rt
(5.1)
(
)
(
)
;0,
iiii
rfrt
=
(5.2)
(
)
()()
;0,
,
1011
1
01
1
=−τα−
∂
τ∂
λ
c
tRt
r
Rt
(5.3)
(
)
()()
;0,
,
=−τα+
∂
τ∂
λ
cNNNN
N
NN
N
tRt
r
Rt
(5.4)
() ()
(
)
(
)
.1...,,2,1,
,,
;,,
1
1
11
−=
∂
τ∂
λ=
∂
τ∂
λτ=τ
+
+
++
Nj
r
Rt
r
Rt
RtRt
j
jj
j
j
jj
jjjjj
(5.5)
L
0
r
R
0
R
1
R
N
1
R
N
α
N
t
cN
t
c
1
α
1
ρ
1
λ
1
c
1
λ
N
c
N
ρ
N