Туголуков Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 5.1 Неограниченный N-слойный полый цилиндр
Решение задачи (5.1) – (5.5) с неоднородными граничными условиями также целесообразно пред-
ставить, как сумму стационарной и нестационарной составляющих:
(
)
(
)
(
)
,...,,2,1,,, NirPrSrt
iiiiii
=
τ
+
=
τ
(5.6)
где
()
−
ii
rS решение стационарной задачи с неоднородными граничными условиями
(
)
(
)
;,...,,2,1,0
1
1
2
2
iii
i
ii
i
i
ii
RrRNi
rd
rdS
r
rd
rSd
≤≤==+
−
(5.7)
(
)
()()
;0
1011
1
01
1
=−α−λ
c
tRS
rd
RSd
(5.8)
(
)
()()
;0=−α+λ
cNNNN
N
NN
N
tRS
rd
RSd
(5.9)
() ()
(
)
(
)
.1...,,2,1,;
1
1
11
−=λ=λ=
+
+
++
Nj
rd
RSd
rd
RSd
RSRS
j
jj
j
j
jj
jjjjj
(5.10)
Решение стационарной задачи (5.7) – (5.10) имеет вид:
(
)()
,ln
iiiii
rBArS
+
=
(5.11)
где
() () ()
;
11
lnlnln
1
1
1
1
1
10
1
0
1
1
∑
−
=
+
λ
−
λ
λ+
α
λ
+
λ
λ
−
α
λ
−
−
=
N
k
kk
k
NN
N
N
N
cNc
R
R
R
R
R
tt
B
(5.12)
()
;ln
01
1
0111
α
λ
−−=
R
RBtA
c
(5.13)
;1,...,2,1,
1
1
1
1
−=
λ
λ
=
+
+
NjBB
j
j
(5.14)
()
.1ln
1
11
λ
λ
−+=
+
+
j
j
jjj
RBAA (5.15)
()
−τ,
ii
rP решение нестационарной задачи с однородными граничными условиями:
() ()
(
)
;0,,...,,2,1,
,1,,
1
2
2
2
>τ≤≤=
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
− iii
i
ii
i
i
ii
i
ii
RrRNi
r
rP
r
r
rP
a
rP
(5.16)
(
)
(
)()
;0,
iiiiii
rSrfrP
−
=
(5.17)
(
)
()
;0,
,
011
1
01
1
=τα−
∂
τ∂
λ RP
r
RP
(5.18)
(
)
()
;0,
,
=τα+
∂
τ∂
λ
NNN
N
NN
N
RP
r
RP
(5.19)
() ()
(
)
(
)
.1...,,2,1,
,,
;,,
1
1
11
−=
∂
τ∂
λ=
∂
τ∂
λτ=τ
+
+
++
Nj
r
RP
r
RP
RPRP
j
jj
j
j
jj
jjjjj
(5.20)
Решение задачи (5.16) – (5.20) может быть получено методом конечных интегральных преобразова-
ний. Для исключения координаты r, вдоль которой свойства тела изменяются ступенчато, используется
формула перехода к изображениям:
() () ( ) ( )
∑
∫
=
−
µτρ
λ
=τµ
N
m
R
R
mmmmmm
m
m
m
m
drrWrPr
a
U
1
2
1
,,,,
(5.21)
где
()
−=
ρ
mm
rr весовая функция, являющаяся решением уравнения
(
)
(
)
.0=
ρ
−
ρ
r
r
rd
rd
(5.22)
Обратный переход осуществляется по формуле:
()
(
)( )
,
,,
,
1
∑
∞
=
µτµ
=τ
n
n
niin
ii
Z
rWU
rP
(5.23)
где
()
+
µ
µ
+
µ
µ
+
+
µ
+
µλ
=
=µ
λ
=
∑
∫
∑
=
=
−
m
mn
m
mn
m
mn
m
mn
nmnmm
m
mn
m
mn
nmm
N
m
m
m
R
R
mnmmm
N
m
m
m
n
a
R
Y
a
R
J
a
R
Y
a
R
JDCR
a
R
J
a
R
JCR
a
drrWr
a
Z
m
m
1
1
0
0,,
2
2
1
2
0
2
,
2
1
2
2
1
2
5,0
,
1
−
µ
+
µ
−
−
µ
+
µ
+
−−
−
m
mn
m
mn
nmm
m
mn
m
mn
nmm
a
R
J
a
R
JCR
a
R
Y
a
R
YDR
1
2
1
1
2
0
2
,
2
1
2
1
2
0
2
,
2
5,0
5,0
−
µ
µ
+
µ
µ
−
−−−−
−
m
mn
m
mn
m
mn
m
mn
nmnmm
a
R
Y
a
R
J
a
R
Y
a
R
JDCR
1
1
1
1
1
1
1
1,,
2
1
.5,0
1
2
1
1
2
0
2
,
2
1
µ
+
µ
−
−−
−
m
mn
m
mn
nmm
a
R
Y
a
R
YDR
(5.24)
Здесь
() () () ()
−
xYxYxJxJ
1010
,,, Бесселевы функции первого и второго рода, нулевого и первого порядка
соответственно.
Ядро интегрального преобразования
(
)
µ
,
mm
rW является решением вспомогательной задачи (здесь µ –
параметр):
(
)
(
)
()
;,...,,2,1
,0,
,
1
,
1
2
2
2
2
mmm
mm
mm
mm
m
m
mm
RrRNm
rW
ard
rWd
r
rd
rWd
≤≤=
=µ
µ
+
µ
+
µ
−
(5.25)
(
)
()
;0,
,
011
1
01
1
=µα−
µ
λ RW
rd
RWd
(5.26)
(
)
()
;0,
,
=µα+
µ
λ
NNN
N
NN
N
RW
rd
RWd
(5.27)
() ()
(
)
(
)
.1...,,2,1
,
,,
;,,
1
1
11
−=
µ
λ=
µ
λµ=µ
+
+
++
Nj
rd
RWd
rd
RWd
RWRW
j
jj
j
j
jj
jjjjj
(5.28)
Подставляя решение задачи (5.25)
()
µ
+
µ
=µ
m
mn
nm
m
mn
nmnmm
a
r
YD
a
r
JСrW
0,0,
, (5.29)
в граничные условия (5.26) – (5.28), находим числа
nnmnm
DC µ,,
,,
, причем
n
C
,1
принимаются равными 1:
;
0
1
1
1
1
0
1
01
0
1
010
1
1
1
1
,1
µµλ
−
µ
α
µ
α−
µµλ
=
R
a
Y
a
R
a
Y
R
a
JR
a
J
a
D
nnn
nnn
n
(5.30)
,
1
0
1
0,10,0,
,1
µ
µ
−
µ
+
µ
=
+
+
+
+
j
j
n
j
j
n
njj
j
n
njj
j
n
nj
nj
R
a
Y
R
a
YDR
a
YDR
a
JC
C
;1,...,2,1
−
= Nj (5.31)
→
−
µ
µ
−
µ
+
µ
µ
λ
λ
=
++
++
+
+
j
j
n
j
j
n
j
j
n
njj
j
n
njj
j
n
jj
jj
nj
R
a
YR
a
J
R
a
YDR
a
JCR
a
J
a
a
D
1
1
1
0
1,1,
1
0
1
1
,1
,
1
0
1
1
0,0,
1
1
µ
µ
−
µ
+
µ
µ
−
→
++
+
j
j
n
j
j
n
j
j
n
njj
j
n
njj
j
n
R
a
YR
a
J
R
a
YDR
a
JCR
a
J
(5.32)
−µ
n
n-й положительный корень уравнения
.0
1010
=
µ
α
λµ
−
µ
+
µ
α
λµ
−
µ
N
N
NN
N
N
N
N
N
N
NN
N
N
N
N
a
R
Y
aa
R
YD
a
R
J
aa
R
JC
(5.33)
Применяя преобразование (5.21) к задаче (5.16) – (5.20), переходим к изображениям:
(
)
()
;0,
,
2
=τµµ+
τ
τµ
nn
n
U
d
Ud
(5.34)
() () ()()()
∑
∫
=
−
µ−
λ
=µ
N
m
R
R
mnmmmmmmm
m
m
n
m
m
drrWrSrfr
a
U
1
2
1
.,0,
(5.35)
Решением задачи (5.34) – (5.35) является функция
(
)
(
)
(
)
.exp0,,
2
τµ−µ=τµ
nnn
UU
(5.36)
Таким образом, решение исходной задачи (5.1) – (5.5) имеет вид:
() ()
()
() ()()
.ln
exp
1
ln,
1
0,0,
2
2
0,0,
1
1
∑
∫
∑
=
∞
=
−
µ
+
µ
−−
λ
×
×τµ−
µ
+
µ
++=τ
N
m
R
R
m
m
mn
nm
m
mn
nmmmmmmm
m
m
n
i
in
ni
i
in
ni
n
n
iiiii
m
m
dr
a
r
YD
a
r
JСrBArfr
a
a
r
YD
a
r
JС
Z
rBArt
(5.37)
Средняя температура по слоям равна
() ()
()
()
()
()
() ()()
×−−
λ
τµ−×
×
µ
+
µ
−
µ
+
+
µ
×
µ
+−×
×
−
+−=τ
−
=τ
∫
∑
∑
∫
−
−
=
−−
−
∞
=
−−
−−
m
m
m
m
R
R
mmmmmm
N
mm
m
n
i
in
ni
i
in
ni
i
i
in
ni
i
in
nii
nnn
i
iiii
ii
ii
iiii
R
R
i
ii
i
rBArfr
a
a
R
YD
a
R
JСR
a
R
YD
a
R
JСR
Z
a
RRRLnR
RR
BB
Adrrtr
RR
t
1
1
lnexp
ln
2
,
2
1
2
2
1
1,
1
1,
1
1,
1,
1
1
2
1
2
2
1
22
1
2
1
.
0,0, m
m
mn
nm
m
mn
nm
dr
a
r
YD
a
r
JС
µ
+
µ
×
(5.38)
5.2 Решение задачи нестационарной теплопроводности
для N-слойного сплошного цилиндра
(
)
(
) ()
;0,,...,,2,1
,
,1,,
1
2
2
2
>τ≤≤=
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
− iii
i
ii
i
i
ii
i
ii
RrRNi
r
rt
r
r
rt
a
rt
(5.39)
(
)
(
)
;0,
iiii
rfrt
=
(5.40)
(
)
;0
,0
1
1
=
∂
τ∂
r
t
(5.41)
Рис. 5.2 Неограниченный N-слойный сплошной цилиндр
(
)
()()
;0,
,
=−τα+
∂
τ∂
λ
cNNNN
N
NN
N
tRt
r
Rt
(5.42)
() ()
(
)
(
)
,
,,
;,,
1
1
11
+
+
++
∂
τ∂
λ=
∂
τ∂
λτ=τ
j
jj
j
j
jj
jjjjj
r
Rt
r
Rt
RtRt
.1...,,2,1
−
=
Nj (5.43)
Решение этой задачи получается подстановкой в решения (5.37), (5.38) задачи (5.1) – (5.5) следую-
щих значений чисел, входящих в решение:
L
0
r
R
0
R
1
R
N
1
R
N
t
cN
α
N
λ
N
с
N
ρ
N
λ
2
с
2
ρ
2
ρ
1
с
1
λ
1
λ
N
–
1
с
N
–
1
ρ
N
–
1
,0;0;;0
,10
=
=
=
=
niNci
DBtAR (5.44)
а также исключением членов, содержащих функции
()
.;;ln
1
0
1
1
0
00
µ
µ
a
R
Y
a
R
YR
nn
5.3 Решение задачи теплопроводности для 2-слойного полого цилиндра
(
)
(
)
(
)
;0,,2,1,
,1,,
1
2
2
2
>τ≤≤=
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
− iii
i
ii
i
i
ii
i
ii
RrRi
r
rt
r
r
rt
a
rt
(5.45)
(
)
(
)
;0,
iiii
rfrt
=
(5.46)
(
)
()()
;0,
,
1011
1
01
1
=−τα−
∂
τ∂
λ
c
tRt
r
Rt
(5.47)
(
)
()()
;0,
,
2222
2
22
2
=−τα+
∂
τ∂
λ
c
tRt
r
Rt
(5.48)
()()
(
) ()
.
,,
;,,
2
12
2
1
11
12211
r
Rt
r
Rt
RtRt
∂
τ∂
λ=
∂
τ∂
λτ=τ
(5.49)
Решение задачи (5.45) – (5.49) с неоднородными граничными условиями целесообразно предста-
вить, как сумму стационарной и нестационарной составляющих:
(
)
(
)
(
)
,2,1,,, =
τ
+
=
τ
irPrSrt
iiiiii
(5.50)
где
()
−
ii
rS решение стационарной задачи с неоднородными граничными условиями
(
)
(
)
;,2,1,0
1
1
2
2
iii
i
ii
i
i
ii
RrRi
rd
rdS
r
rd
rSd
≤≤==+
−
(5.51)
(
)
()()
;0
1011
1
01
1
=−α−λ
c
tRS
rd
RSd
(5.52)
(
)
()()
;0
2222
2
22
2
=−α+λ
c
tRS
rd
RSd
(5.53)
() ()
()
()
.;
2
12
2
1
11
11211
rd
RSd
rd
RSd
RSRS λ=λ=
(5.54)
Решение стационарной задачи (5.51) – (5.54) имеет вид:
(
)()
,ln
iiiii
rBArS
+
=
(5.55)
где
;
11
lnln
1022
1
1
2
2
1
0
1
12
1
α
+
α
λ+
λ
λ
+
−
=
RRR
R
R
R
tt
B
cc
(5.56)
()
;ln
01
1
0111
α
λ
−−=
R
RBtA
c
(5.57)
;
1
2
1
2
BB
λ
λ
= (5.58)
()
.1ln
2
1
1112
λ
λ
−+= RBAA
(5.59)
()
−τ,
ii
rP решение нестационарной задачи с однородными граничными условиями:
() ()
(
)
;0,,2,1,
,1,,
1
2
2
2
>τ≤≤=
∂
τ∂
+
∂
τ∂
=
τ∂
τ∂
− iii
i
ii
i
i
ii
i
ii
RrRi
r
rP
r
r
rP
a
rP
(5.60)
(
)
(
)()
;0,
iiiiii
rSrfrP
−
=
(5.61)
(
)
()
;0,
,
011
1
01
1
=τα−
∂
τ∂
λ RP
r
RP
(5.62)
(
)
()
;0,
,
222
2
22
2
=τα+
∂
τ∂
λ RP
r
RP
(5.63)
() ()
(
) ()
.
,,
;,,
2
12
2
1
11
11211
r
RP
r
RP
RPRP
∂
τ∂
λ=
∂
τ∂
λτ=τ
(5.64)
Решение задачи (5.60) – (5.64) получено методом конечных интегральных преобразований. Для ис-
ключения координаты r, вдоль которой свойства тела изменяются ступенчато, используется формула
перехода к изображениям:
() ()()
∑
∫
=
−
µτ
λ
=τµ
2
1
2
1
,,,,
m
R
R
mmmmmm
m
m
m
m
drrWrPr
a
U (5.65)
где
()
−=ρ
m
rr
весовая функция, являющаяся решением уравнения
(
)
(
)
.0=
ρ
−
ρ
r
r
rd
rd
(5.66)
Обратный переход осуществляется по формуле:
()
(
)( )
,
,,
,
1
,
∑
∞
=
µτµ
=τ
n
nm
nmmn
mm
Z
rWU
rP
(5.67)
где
()
+
µ
+
µλ
=
=µ
λ
=
∑
∫
∑
=
=
−
m
mn
m
mn
nmm
m
m
m
R
R
mnmmm
m
m
m
nm
a
R
J
a
R
JCR
a
dxrWr
a
Z
m
m
2
1
2
0
2
,
2
2
1
2
2
2
1
2
,
5,0
,
1
−
µ
+
µ
+
+
µ
µ
+
µ
µ
+
m
mn
m
mn
nmm
m
mn
m
mn
m
mn
m
mn
nmnmm
a
R
Y
a
R
YDR
a
R
Y
a
R
J
a
R
Y
a
R
JDCR
2
1
2
0
2
,
2
1
1
0
0,,
2
5,0
−
µ
µ
+
µ
µ
−
−
µ
+
µ
−
−−−−
−
−−
−
m
mn
m
mn
m
mn
m
mn
nmnmm
m
mn
m
mn
nmm
a
R
Y
a
R
J
a
R
Y
a
R
JDCR
a
R
J
a
R
JCR
1
1
1
1
1
1
1
1,,
2
1
1
2
1
1
2
0
2
,
2
1
5,0
.5,0
1
2
1
1
2
0
2
,
2
1
µ
+
µ
−
−−
−
m
mn
m
mn
nmm
a
R
Y
a
R
YDR
(5.68)
Здесь
() () ()
(
)
−xYxYxJxJ
1010
,,, Бесселевы функции первого и второго рода, нулевого и первого поряд-
ка соответственно.
Ядро интегрального преобразования
(
)
µ
,
mm
rW является решением вспомогательной задачи (здесь µ –
параметр):
() ()
()
;,2,1,0,
,1,
1
2
2
2
2
mmmmm
m
mm
m
m
mm
RrRmrW
ard
rWd
r
rd
rWd
≤≤==µ
µ
+
µ
+
µ
−
(5.69)
(
)
()
;0,0
,0
11
1
1
1
=µα−
µ
λ W
rd
Wd
(5.70)
(
)
()
;0,
,
222
2
22
2
=µα+
µ
λ RW
rd
RWd
(5.71)
() ()
(
) ()
.
,,
;,,
2
12
2
1
11
11211
rd
RWd
rd
RWd
RWRW
µ
λ=
µ
λµ=µ
(5.72)
Подставляя решение задачи (5.69)
()
µ
+
µ
=µ
m
mn
nm
m
mn
nmnmm
a
r
YD
a
r
JСrW
0,0,
,
(5.73)
в граничные условия (5.70) – (5.72), находим числа
nnmnm
DC
µ
,,
,,
, причем
n
C
,1
принимается равным 1: