Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах

Подождите немного. Документ загружается.

()

(

)

ρ+⋅λλ

−=

⋅λλ

−=Φ⋅λλ=ηξϕ

ghpP

2121

. (3)

Система уравнений (3.4) в рассматриваемом случае I

= λ

= const совпадает с

системой (1). Поэтому систему (1) можно привести к каноническому виду с помо-

щью перехода к новым независимым переменным ξ

, η

, которые выбираются из

частных решений самой же системы (1). Каноническая форма (3.6′) системы (1)

ввиду постоянства инварианта I

и равенства (3) принимает вид условий Коши-

Римана

1111

;

ξ∂

ψ∂

−=

η∂

ϕ∂

η∂

ψ∂

ξ∂

ϕ∂

. Поэтому все решения ϕ(ξ, η) и ψ(ξ, η) системы (1)

выражаются через аналитические функции

ϕ(ξ, η) + i⋅ψ(ξ, η) = w(ζ) (4)

комплексного переменного ζ = ξ

+ i⋅η

, где ξ

и η

- некоторые частные решения

самой же системы (1). Такой вывод о решениях системы (1), являющейся в ввиду

тождества a⋅c – b

≡ 1 системой Бельтрами, совпадает с общей теорией этих систем

[20]. Далее аналитическую функцию w(ζ) называем комплексным потенциалом

плоскопараллельного течения в однородной анизотропной среде.

В заключение отметим, что если комплексный потенциал течения w(ζ) найден

и, тем самым, функции ϕ(ξ, η) и ψ(ξ, η) определены, то тогда поле скоростей

фильтрации вычислим через ϕ(ξ, η) по формулам (3.3), которые с учётом равенств

(2) и (3) перепишутся в виде

η∂

∂

ξ∂

∂

η∂

∂

ξ∂

ϕ∂

ηξ

, (5)

а через ψ(ξ, η) - по формулам (1.14).

2.5. Комплексные потенциалы плоскопараллельных фильтрационных тече-

ний в анизотропно-однородных средах со специальными законами распреде-

ления ГНА

2.5.1. Теорема о комплексном потенциале для специальной серии законов распре-

деления ГНА. Выберем в плоскости плоскопараллельного фильтрационного тече-

ния в однородной анизотропной среде изотермические криволинейные координа-

ты ξ и η. Такие координаты задаются при помощи некоторой аналитической

функции ω(z) комплексного переменного z = x + i⋅y (где x и y – декартовые коор-

динаты) формулой [41, 44]

(

)

(

)

(

)

zy,xiy,x

⋅

. (1)

Одно из ГНА пористых сред, в которых изучаются течения жидкости, по-

прежнему расположено перпендикулярно к плоскости течения, а законы рас-

пределения двух других ГНА определим при помощи семейств попарно-

ортогональных кривых p(ξ, η) = const и q(ξ, η) = const. Эти функции p(ξ, η) и

q(ξ, η), определяющие всевозможные законы распределения ГНА, будем зада-

вать при помощи равенств

,d)(H),(p

∫

ηηβ−αξ=ηξ

∫

α+βξ=ηξ

)(H

),(q

, (2)

где α и β - произвольные одновременно не равные нулю постоянные, а H(η)- про-

извольная положительная непрерывная функция, геометрический смысл которой в

том, что она определяет угол γ пересечения линий q(ξ, η) = const с координатными

линиями η = const:

)(Htg η

−=γ . (3)

Для данного класса анизотропных сред компоненты тензора проницаемости в изо-

термических координатах

);(

ξ примут, согласно формуле (1.3.6), значения

()

постоянныеи;constkkk)(k

)(H

),(k

)(H

))((H

kk),(k

)(H

2121

12221122

222

211211

222

−λλ=λλ=−η=

ηβ+α

λα+ληβ

η=

ηβ+α

λ−ληαβ

==η=

ηβ+α

ληβ+λα

. (4)

Комплексные потенциалы плоскопараллельных фильтрационных течений в анизо-

тропно-однородных средах представляют собой, как доказано в §2.4, аналитиче-

ские функции комплексного переменного ζ = ξ

+ i⋅η

, действительная ξ

и мнимая

части которого удовлетворяют системе уравнений (4.1). Решения системы урав-

нений (4.1) благодаря тому, что компоненты тензора проницаемости (4) зависят

только от одной переменной η и

const

=λλ , удаётся построить с помощью опе-

рации Σ - интегрирования Берса и Гельбарта [234, 235]. В частности, как легко

проверить, решениями ξ

и η

системы (4.1) будут функции

(

)

()

∫

λα+ληβ

λ−ληαβ

−ξ

∫

=η

−ξ=ξ

)(H

))((H

(5)

()

∫∫

λα+ληβ

ηβ+αλλ

=η

λλ

=η

)(H

))(H(

222

(6)

Полученный результат сформулируем в виде следующей

теоремы: аргумент

+ i

⋅η

комплексных потенциалов

(

)

(

)()

⋅

w,i, плоскопараллель-

ных фильтрационных течений в однородных анизотропных средах, законы

распределения ГНА в которых задаются формулами (2), определяется по фор-

мулам(5) и (6).

Формулы (5) и (6) исчерпывают весь запас известных случаев

(В.И. Аравин [2-6], Е.С. Ромм [120, 121], Г.К. Михайлов [90], Н.Р. Рабинович

[113] и др.), когда плоскопараллельные течения в анизотропно-однородных

средах исследуются методами аналитических функций комплексного перемен-

ного с помощью «изотропизирующих» подстановок.

Отметим ряд следствий, вытекающих из сформулированной теоремы.

2.5.2.

Следствие 1. Конгруэнтные законы распределения ГНА

Определение 1. Средами с конгруэнтными законами распределения ГНА будем на-

зывать грунты, в которых все кривые одного из двух семейств линий, определяю-

щих ГНА, пересекают любую прямую

из некоторого семейства L параллельных

прямых под одним и тем же углом

)(l

Плоскопараллельную фильтрацию в этих средах будем изучать в декартовой

системе координат x, y, ось x которой совмещена с одной из прямых

l из семейства

L. Поэтому функцию ω(z) в (1) задаём в виде ω(z) = z и, следовательно, ξ = x и η =

y. Уравнения p(x, y)= const и q(x, y)= const ортогональных ГНА сред с конгруэнт-

ной анизотропией в декартовой системе координат в соответствии с (2) определя-

ются при помощи формул

() () ()

()

∫∫

α+β=Ηβ−α=

xy,xq;dyyxy,xp

. (7)

Эти формулы обобщают закон распределения ГНА, именуемый прямолинейной

анизотропией, который получается из (7) при H(y) = 1. Формулы (5) и (6), опреде-

ляющие аргумент ζ= ξ

+ i⋅η

комплексного потенциала для сред с конгруэнтными

законами распределения ГНА, дадут выражения

()

(

)

()

[

]

()

∫∫

λΗβ+λα

Ηβ+αλλ

=η

λΗβ+λα

λ−λΗαβ

+=ξ

222

;dy

x . (8)

2.5.3.

Следствие 2. Центрально-симметричные законы распределения ГНА

Определение 2.

Средами с центрально-симметричными законами распределения

ГНА будем называть грунты, в которых все кривые одного из двух семейств линий

ГНА, сходясь в некоторой точке C, пересекают любую окружность с радиусом r

и с центром в C под одним и тем же углом

(

)

Плоскопараллельную фильтрацию в этих средах удобно изучать в полярной

системе координат r, θ полюс которой совмещен с точкой C. Именно поэтому

функцию (1) сейчас зададим в виде ω(z)=i⋅

ln z и, следовательно, ξ = −θ, а η = ln r.

Учитывая, что в рассматриваемом случае

θ−=ξ=η ddа,

d , уравнения (4) ортого-

нальных криволинейных линий

(

)

(

)

const,rqиconst,rp

ГНА в полярных коор-

динатах примут вид

()

(

)

()

∫∫

αθ+

β=θβθ−

α=θ

,rq;dr

,rp . (9)

(Постоянные в (2) для удобства были сейчас переобозначены по схеме: α, β в (2) →

β, −α в (9)

, что, конечно, не существенно). Формулы (5) и (6) (с учётом принятой

схемы переобозначений постоянных α, β) для аргумента ζ= ξ

+ i⋅η

комплексного

потенциала течений в средах с центрально-симметричными законами распределе-

ния ГНА дадут выражения

()( )

()

[]

()

[

]

()

[]

∫∫

λ⋅β+λ⋅α⋅

⋅β+α⋅λλ

=ηθ−

λ⋅β+λ⋅α⋅

⋅λ−λ⋅⋅αβ

=ξ

222

rHr

drrH

;

rHr

drrH

. (10)

Однако комплексные потенциалы w(ζ) плоскопараллельных течений в рассматри-

ваемых средах удобнее строить не с помощью аргумента ζ, а с помощью вспомо-

гательного комплексного переменного Z(ζ), которое определим равенством

ζ⋅−

⋅=

erZ . С учётом формул (10) для аргумента ζ = ξ

+ i⋅η

вспомогательное пе-

ременное

ζ⋅−

⋅=

erZ будет определяться по формуле

(

)

(

)

θω⋅

⋅=

,ri

erRZ , (11)

где

()

[

]

()

[]

()

()( )

()

[]

∫∫

λ⋅β+λ⋅Ηα⋅

⋅λ−λ⋅Ηαβ

−θ=θω













λ⋅β+λ⋅Ηα⋅

⋅β+Ηαλλ

⋅=⋅=

222

drr

,r;

drr

exprerrR

.(12)

Удобство применения в решении конкретных задач комплексного переменного Z

объясняется тем, что на окружности x

+ y

= r

переменное Z совпадает с обыч-

ным комплексным переменным x + i⋅y, т.е.

θ⋅

⋅=

erZ

, что непосредственно сле-

дует из (11) и (12). Итак, комплексные потенциалы плоскопараллельных течений в

средах с центрально-симметричными законами распределения ГНА (9) будут оп-

ределяться по формуле ϕ(r, θ) + i⋅ψ(r, θ) = w(Z), где w(Z) – произвольная аналити-

ческая функция комплексного переменного Z, определяемого формулами (11) и

(12).

2.5.4. Следствие 3. Изотермические законы распределения ГНА

Определение 3.

Средами с изотермическими законами распределения ГНА будем

называть грунты, в которых ГНА в каждой точке (x, y) направлены по касатель-

ным к линиям уровня двух сопряжённых [78] гармонических функций p(x, y) и q(x,

y).

В соответствии с определением 3 задание конкретного изотермического зако-

на распределения ГНА определяется выбором некоторой аналитической функции

p(x, y) + i⋅q(x, y) = ω(z) (13)

комплексного переменного z = x + i⋅y. Плоскопараллельную фильтрацию в средах

с изотермическими законами распределения ГНА удобно изучать в криволинейной

системе координат (ξ, η), совмещённой с ГНА (13). Совмещение системы коорди-

нат (ξ, η) с ГНА (13) достигается выбором в формулах (2) функции

1)(H

и по-

стоянных α = 1, β = 0 и η

=0. Тогда )y,x(p

и )y,x(q

. Для построения ком-

плексных потенциалов плоскопараллельных фильтрационных течений в рассмат-

риваемых средах остаётся определить аргумент ζ= ξ

+ i⋅η

. В соответствии с фор-

мулами (5) и (6) в рассматриваемом случае получаем, что ξ

= ξ = p(x, y) и

()

y,xq

⋅

=η⋅

=η

. Таким образом, комплексные потенциалы плоскопарал-

лельных течений в средах с изотермическими законами распределения ГНА (13)

будут определяться по формуле

ϕ(x, y) + i⋅ψ(x, y) = w(ζ) , где

() ()

y,xqiy,xp

⋅

⋅+=ζ

. (14)

Ранее конкретные задачи линейной плоскопараллельной фильтрации, главным об-

разом, в средах с прямолинейной (

z)z(

) и радиальной ( zln)z( =ω ) анизотропией

рассматривались в работах В.И. Аравина [2-6], В.А. Брагинской [21],

О.В. Голубевой [39, 40, 44, 45], А.Т. Горбунова [47], В.С. Козлова [67],

Г.К. Михайлова [88-90], П.Я. Полубариновой-Кочиной [106], Ю.Л. Соломко [130],

С.Е. Холодовского [216, 218-223], Х. Маркуса и Д.Е. Ивентона [245],

И. Литвинишина [242] и др. Доказанная в п. 2.5.1. теорема и её следствия 1, 2, 3

указывают способ описания плоскопараллельных фильтрационных течений в ани-

зотропных средах с самыми разнообразными законами распределения ГНА. Все

рассматриваемые ранее другими авторами законы распределения ГНА и соответ-

ствующие им виды комплексных потенциалов из этой теоремы и её следствий вы-

текают как частные случаи.

2.5.5 Типичные граничные условия для комплексных потенциалов плоскопа-

раллельных течений в анизотропных средах. Перечислим наиболее часто

встречающиеся на практике ситуации и выпишем соответствующие им гранич-

ные условия для комплексных потенциалов фильтрационных течений.

В §2.1 уже было отмечено одно из граничных условий: на контуре

l непро-

ницаемого тела функция тока сохраняет постоянное значение

const=ψ

. (15)

На практике часто встречаются ситуации, когда в области фильтрации быва-

ют известны линии С, вдоль которых известно распределение приведённого дав-

ления Р. Как правило, эти линии являются границами областей питания или же

границами эксплутационных и нагнетательных скважин. Так как давление Р связа-

но с

зависимостью (4.3), то вдоль упомянутых линий С известно распределение

значений ϕ. Поэтому ещё одно граничное условие имеет вид :

)M(f

=ϕ , где

−

∈

f,CM заданная функция. (16)

Другой часто встречающейся на практике ситуацией является та, когда

фильтрация происходит в двух (или более) кусочно-однородных средах (рис.8). В

этом случае фильтрация описывается двумя комплексными потенциалами w

(ζ) и

(ζ) в 1-ой и 2-ой средах соответственно, а на границе S их раздела требуют не-

прерывность давления и нормальной составляющей вектора скорости фильтрации,

т. е.

PP = и

n2n1

. С помощью функций ϕ и ψ условие сопряжения комплекс-

ных потенциалов w

(ζ) и w

(ζ) на границе S раздела двух кусочно-однородных

анизотропных сред записывается следующим образом [45, 143, 154, 173]:

2221

1211

; ψ=ψ

λλ

. (17)

2.6. Комплексные потенциалы плоскопараллельных течений в однородных

средах с прямолинейной анизотропией при произвольной ориентации ГНА

В предыдущих параграфах §2.3 и §2.4 рассматривались уравнения для плос-

копараллельных фильтрационных течений в анизотропных пластах с плоскими и

параллельными друг другу подошвой и кровлей, когда одно из ГНА пласта было

всюду перпендикулярно подошве и кровле. В этом параграфе доказывается, что

плоскопараллельная фильтрация в однородных пористых средах с прямолинейной

анизотропией вне зависимости от ориентации ГНА относительно подошвы и кров-

ли слоя тоже описывается комплексными потенциалами, представляющими собой

аналитические функции.

Если ГНА {

e,e,e

} и соответствующие им постоянные главные проницае-

мости λ

, λ

среды с прямолинейной анизотропией будут заданы, то компонен-

ты тензора проницаемости в расчетной декартовой системе координат (x, y, z) с

ортами

ke,je,ie

321

=== найдутся по формуле (1.3.6). Пусть для конкретности в

подошве (кровле) плоскопараллельного слоя, заполненного средой с прямолиней-

ной анизотропией, меняются координаты х и у, а ось z направлена по толщине

слоя. Распределение скорости фильтрации в такой среде в декартовых координатах

согласно тензорному закону Дарси (1.3.9) найдем из уравнений











∂

333231z

232221y

131211x

, (1)

где все k

=const, а

−=Φ

. Выясним, когда течение (1) будет плоскопараллель-

ным относительно подошвы и кровли слоя. Для этого, очевидно, проекция скоро-

сти фильтрации v

должна быть равна нулю, т.е. согласно (1) должно выполняться

условие

333231z

∂

= . (2)

Будем рассматривать (2) как уравнение первого порядка относительно Ф. Ре-

шая (2) известными методами [59], найдем, что

)Y,Х(ФФ = - произвольная функция от z

yY;z

⋅−=⋅−= . (3)

Подставляя теперь (3) в первые два уравнения системы (1), для проекций ско-

рости фильтрации v

и v

найдем следующие выражения:

bv;

∂

⋅+

∂

⋅=

∂

⋅+

∂

⋅= . (4)

В (4) через a, b и с – обозначены постоянные с размерностью проницаемости,

имеющие вид

2313

kc;

kb;

ka −=

⋅

−=−=

. (5)

Кроме обобщённого на рассматриваемый случай закона Дарси поле скорости

фильтрации должно удовлетворять уравнению неразрывности несжимаемой жид-

кости. С учетом того, что v

=0, уравнение неразрывности будет, как известно,

иметь вид:

∂

. Формулы (3) и (4) показывают, что v

и v

– сложные

функции, с промежуточными аргументами X и Y, т.е.

)Y,X(vv

и )Y,X(vv

Подставляя v

и v

в уравнение неразрывности, получим для него новое выражение

∂

, из которого следует существование функции Ψ=Ψ(X, Y), позволяю-

щей выразить стандартным для гидродинамики способом скорости v

и v

через Ψ:

∂

−=

∂

= . (6)

Сравнивая теперь формулы (4) и (6), получаем следующую систему уравне-

ний, описывающую плоскопараллельную фильтрацию в плоскости xoy в однород-

ной среде с прямолинейной анизотропией при произвольной ориентации ГНА:











∂

Ψ∂

−=

∂

⋅+

∂

⋅

∂

Ψ∂

∂

⋅+

∂

⋅

ХY

. (7)

Если вместо Ф ввести в рассмотрение функцию

⋅−⋅

−=⋅−⋅=ϕ

Рbca

Фbca

, (8)

то система уравнений (7) примет вид











∂

Ψ∂

−=

∂

ϕ∂

⋅+

∂

ϕ∂

⋅

∂

Ψ∂

∂

ϕ∂

⋅+

∂

ϕ∂

⋅

ХY

, (9)

где

bac

−

. (10)

Но поскольку

1bca

000

=−⋅ , то система уравнений (9) будет системой уравне-

ний Бельтрами. На основании свойств [20, 28] системы Бельтрами вытекает, что

всевозможные её решения можно построить с помощью аналитической функции

w(ζ) комплексного переменного ζ=ϕ

+iψ

по формуле

)(w)Y,X(i)Y,X(

, (11)

в которой ϕ

и ψ

любое конкретное частное решение исходной системы (9). Такое

решение при постоянных а

, b

и c

легко найти. Например, частное решение сис-

темы (9) дают функции

⋅=Ψ⋅−=ϕ . (12)

Выполненные расчёты позволяют сформулировать

алгоритм построения

всевозможных частных решений, описывающих плоскопараллельную фильтра-

цию несжимаемой жидкости в однородных средах с прямолинейной анизотро-

пией и с произвольной ориентацией ГНА. 1). По полю ГНА и главным прони-

цаемостям вычисляем по формуле (1.3.6) компоненты тензора проницаемости.

При этом оси х и у располагаем в плоскости течения (в подошве (кровле) плос-

копараллельного слоя). 2). По формулам (3) и (5) записываем выражение для

комплексного переменного

bac

⋅

−

⋅+⋅−=ζ . (13)

3). Выбираем при решении обратных задач (или вычисляем при решении

прямых задач по заданным граничным условиям) некоторую аналитическую

функцию w(ζ) – комплексный потенциал течения, и по её действительной части