Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах

Подождите немного. Документ загружается.

линейного, так и для нелинейного режимов фильтрации; 3) дано развитие мето-

да С.Н. Нумерова математического моделирования нелинейной фильтрации в

трансверсально-изотропных и ортотропных анизотропных средах и указана его

преемственная связь с методом К.С. Басниева и Н.М. Дмитриева; 4) создан ка-

талог (в приложении 2) тензоров проницаемостей анизотропных сред для ши-

роких серий законов распределения ГНА.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В АНИЗО-

ТРОПНЫХ СРЕДАХ

Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильтра-

ции в анизотропных средах, указываются способы приведения их к канониче-

скому виду и общие методы решения.

2.1. Уравнения неразрывности для пространственных, двумерных и плоско-

параллельных фильтрационных потоков жидкости

Уравнение неразрывности представляет собой математическое выражение за-

кона сохранения массы фильтрующейся жидкости в пористой среде. Закон сохра-

нения массы обязательно учитывается при разработке математических моделей

фильтрации в любых пористых средах (изотропных и анизотропных, однородных

и неоднородных, деформируемых и недеформируемых и др.). В этом параграфе

уравнение неразрывности записывается: 1) для общего пространственного фильт-

рационного течения, 2) специально выводится для двумерного фильтрационного

течения в искривлённом слое переменной толщины и, как частный случай двумер-

ного, 3) приводится для плоскопараллельного фильтрационного течения.

2.1.1. Уравнение неразрывности для трёхмерного пространственного фильтраци-

онного течения

Как известно [16, 24, 41, 78-80, 102 и др.], уравнение неразрывности для

фильтрационного течения жидкости в пористой среде имеет следующий вид:

()

(

)

vdiv =

∂

⋅

∂

+⋅ρ

, (1)

где m – пористость грунта, t – время, а остальные обозначения прежние. Применяя

известную формулу [61, 76, 213 и др.] для вычисления дивергенции, уравнение не-

разрывности (1) в ортогональных криволинейных координатах (ξ, η, ζ) в развёрну-

том виде запишется следующим образом:

()()()

()

VHHVHHVHH

HHH

211332

321

∂

ρ⋅∂













⋅ρ⋅

ζ∂

∂

+⋅ρ⋅

η∂

∂

+⋅ρ⋅

ξ∂

∂

⋅

ζηξ

, (1′)

где H

, H

– параметры Ламе. Для несжимаемой жидкости (ρ = const) уравнение

неразрывности в недеформируемой (пористость m не зависит от времени t) среде

принимает более простой вид:

()

()()()

0VHHVHHVHH

HHH

Vdiv

211332

321













⋅

ζ∂

∂

+⋅

η∂

∂

+⋅

ξ∂

∂

⋅=

ζηξ

. (2)

2.1.2. Уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных течений сжи-

маемой и несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины

Реальные фильтрационные течения жидкости протекают, как правило, в ис-

кривлённых слоях переменной толщины, ограниченных непроницаемыми подош-

вой и кровлей (рис. 3). Поэтому теория двумерной фильтрации в искривлённых

слоях переменной толщины имеет большое практическое значение в задачах водо-,

газо- и нефтедобычи. Исследованием двумерной фильтрации в искривлённых сло-

ях занимались известные учёные-механики [91, 118] П.Я. Полубаринова-Кочина,

О.В. Голубева и её ученики К.Н. Быстров, Ю.А. Гладышев и др.

В диссертации автор предлагает собственный метода для исследования тече-

ний в искривлённых слоях переменной толщины. Метод О.В. Голубевой из пред-

лагаемого в работе вытекает как частный случай.

Перейдём к выводу уравнения неразрывности для двумерной ламинарной

фильтрации сжимаемой жидкости в искривлённом слое переменной толщины

(рис.3). Непроницаемые криволинейные поверхности подошвы и кровли слоя бу-

дем задавать координатными поверхностями ζ = ζ

= const (подошва) и ζ = ζ

const (кровля) некоторой ортогональной криволинейной системы координат ξ, η, ζ.

Рассматриваем только такие фильтрационные течения, поверхности тока в кото-

рых стационарны и совпадают с координатными поверхностями ζ = const. Это, ко-

нечно, идеализация, но в большинстве случаев реальная схема течения почти во

всём пласте близка к ней. Предложенная схема течения могла бы быть реализована

практически, если бы в пласте удалось построить тонкие непроницаемые поверх-

ности ζ = const. Эти поверхности ζ = const увеличат фильтрационное сопротивле-

ние пласта и, следовательно, расчёты потоков по предлагаемой кинематической

схеме окажутся заниженными против реальных значений. Предположение, что ре-

альные поверхности тока почти во всём пласте близки к координатным поверхно-

стям ζ = const заставляет считать, что V

= V

= 0. Таким образом, в рассматривае-

мой схеме течения поле скоростей фильтрации аппроксимируется выражением

(

)

(

)

et,,,Vet,,,VV

⋅ζηξ+⋅ζηξ=

ηξ

, (3)

в котором

321

e,e,e

- орты базиса в системы ξ, η, ζ. Рассмотрим теперь поток сжи-

маемой жидкости с полем скоростей (3) через боковые грани криволинейного па-

раллелепипеда ξ = const, ξ+dξ = const, η = const, η+dη = const. Сечение ABCD этого

параллелепипеда поверхностью ζ = const показано рис.4. Через грань AB за время

dt в параллелепипед втечёт масса жидкости

( )( )() ()

ζζηξ⋅ηζηξ⋅

∫

ζηξ⋅ζηξρ⋅=

d,,Hd,,Ht,,,Vt,,,dtM

32AB

. (4)

Через противоположную грань из параллелепипеда за время dt вытечет масса жид-

кости

()()()()

ζζηξ+ξ⋅ηζηξ+ξ⋅

∫

ζηξ+ξ⋅ζηξ+ξρ⋅=

d,,dHd,,dHt,,,dVt,,,ddtM

32CD

. (5)

Поэтому за счёт потоков через пару противоположных граней AB и CD внутри па-

раллелепипеда за время dt накопится масса жидкости

()()( )( )

[]

∫

ζ⋅ζηξ⋅ζηξρ⋅ζηξ⋅ζηξ

ξ∂

∂

⋅⋅η⋅ξ=−=

dt,,,Vt,,,,,H,,HdtddMMM

32ABCD1

. (6)

Совершенно аналогично подсчитывается накопленная за время dt масса жидкости

за счёт потоков через противоположные грани AD и BC параллелепипеда:

()()( )( )

[]

∫

ζ⋅ζηξ⋅ζηξρ⋅ζηξ⋅ζηξ

η∂

∂

⋅⋅η⋅ξ=−=

dt,,,Vt,,,,,H,,HdtddMMM

31ADBC2

. (7)

Общее количество массы жидкости, скапливающейся за время dt в параллелепипе-

де ABCD за счёт потоков через боковые грани, равно M = M

+ M

. C другой сто-

роны, это же количество накопленной массы через изменение плотности ρ жидко-

сти и пористости m среды можно подсчитать по формуле

()()()()()

( )( )() () ()

∫

ζζηξ⋅ηζηξ⋅ξζηξ⋅ζηξ⋅ζηξρ−

−

∫

ζζηξ⋅ηζηξ⋅ξζηξ⋅+ζηξ⋅+ζηξρ=−

d,,Hd,,Hd,,Ht,,,mt,,,

d,,Hd,,Hd,,Hdtt,,,mdtt,,,M

321

, (8)

или, применяя частный дифференциал по t, по формуле

()

∫

ζ⋅⋅⋅ρ

∂

⋅⋅η⋅ξ−=

dHHHm

dtddM

321

. (8′)

(Знак «минус» в (8′) поставлен потому, что если жидкость накапливается за время

dt в параллелепипеде ABCD, то сумма потоков через грани должна быть M <0, в то

время как

()

∂

⋅ρ∂

). Поэтому в соответствии с формулами (6), (7) и (8′) равенст-

во M

+ M

= M приводит к соотношению

()()( )( )

[]

∫







ζηξ⋅ζηξρ⋅ζηξ⋅ζηξ

ξ∂

∂

t,,,Vt,,,,,H,,H

()()( )( )

[]

+ζηξ⋅ζηξρ⋅ζηξ⋅ζηξ

η∂

∂

t,,,Vt,,,,,H,,H

(9)

()()()

(

)

,,H,,H,,H

321

=ζ⋅







∂

⋅ρ∂

⋅ζηξ⋅ζηξ⋅ζηξ+

Последнее уравнение (9) и будет уравнением неразрывности в интегральной форме

для двумерных течений сжимаемой жидкости в искривлённом пласте переменной

толщины с деформируемой пористой средой.

Для несжимаемой жидкости и недеформируемой в пласте пористой среды

уравнение неразрывности принимает более простой вид

()()( )

[]

()()( )

[]

0dt,,,V,,H,,Ht,,,V,,H,,H

3132

=ζ⋅

∫













ζηξ⋅ζηξ⋅ζηξ

η∂

∂

+ζηξ⋅ζηξ⋅ζηξ

ξ∂

∂

ηξ

(10)

Отметим два важных частных случая, вытекающих из общего двумерного

уравнения неразрывности (10) – уравнение неразрывности в теории

О.В. Голубевой и уравнение неразрывности для плоскопараллельных течений.

2.1.3. Уравнение неразрывности для двумерных течений несжимаемой жидкости в

теории О.В. Голубевой

В приближении О.В. Голубевой искривлённые слои переменной толщины

считались настолько тонкими, что изменениями параметров Ламе по толщине слоя

(по координате ζ) пренебрегали и считали, что

()() ()() ()

()

13321221111

,,HH;,h,,HH;,h,,HH

ζ−ζ

=ζηξ=ηξ=ζηξ=ηξ=ζηξ=

. (11)

Поэтому, предполагая справедливыми равенства (11), из (10) как частный случай

получим уравнение неразрывности в теории О.В. Голубевой

()() ( )

[]

()() ( )

[

]

0t,,V,H,ht,,V,H,h

=ηξ⋅ηξ⋅ηξ

η∂

∂

+ηξ⋅ηξ⋅ηξ

ξ∂

∂

ηξ

. (12)

Функцию H(ξ, η) в теории О.В. Голубевой считали заданной и называли толщиной

слоя. Это связано с тем, что в случае (11) длина ζ - координатной дуги от подошвы

до кровли слоя оказывается равной H(ξ, η).

2.1.4. Уравнение неразрывности для плоскопараллельного фильтрационного тече-

ния. Функция тока плоскопараллельного течения

В теории фильтрации важную роль играют плоскопараллельные течения,

происходящие параллельно некоторой зафиксированной плоскости. Если в плос-

кости течения выбраны ортогональные криволинейные координаты ξ, η, а прямо-

линейная ось ζ будет всюду направлена перпендикулярно к плоскости течения, то

= V

(ξ, η), V

= V

(ξ, η), V

= 0, H

(ξ, η), H

= H

(ξ, η), H

= 1, и поэтому

уравнение неразрывности (10) для плоскопараллельной фильтрации несжимаемой

жидкости в пористой недеформируемой среде примет хорошо известный вид

(

)

(

)

0VHVH

η∂

∂

ξ∂

∂

ηξ

. (13)

Вместо параметров Ламе в уравнение (13) часто вводят коэффициенты 1-ой квад-

ратичной формы [40, 43, 61, 76, 117]

= и GH

= ортогональной криволи-

нейной системы координат ξ и η, поэтому (13) записывают также в виде

(

)

(

)

0VEVG =

η∂

∂

ξ∂

∂

ηξ

. (13′)

Уравнение (13′) будет тождественно выполнено, если

VG и

VE выра-

зить через производные от одной и той же функции

,VE,VG

ξ∂

∂

−=

η∂

ψ∂

ηξ

или, что одно и то же,

ξ∂

∂

−=

η∂

∂

ηξ

. (14)

Введённую на основании уравнения неразрывности функцию

),( ηξψ называют

функцией тока [86]. Основной её физический смысл в том, что вдоль траектории

плоскопараллельного движения жидких частиц const

[16, 43, 78, 86, 102, 108,

117 и др.]. Это свойство функции тока позволяет также сделать заключение о виде

граничного условия на контуре непроницаемого тела. Т. к. контур l непроницаемо-

го тела сам является траекторией движения жидких частиц, скользящих вдоль не-

го, то

const=ψ

. Вторым важным свойством функции тока является то, что с её

помощью просто вычисляется поток П

АВ

вектора V через любую ортогональную к

плоскости течения цилиндрическую поверхность единичной высоты. А именно,

если АВ – линия сечения этой цилиндрической поверхности с плоскостью течения,

то тогда [16, 43, 173 и др.]

АВ

ψ−ψ=













∫

, т.е. поток вектора V через ли-

нию, соединяющую точки А и В, равен разности значений функции тока на концах

линии.

2.2. Уравнения линейной двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в

анизотропных искривлённых слоях переменной толщины

Впервые потенциальные движения идеальной несжимаемой жидкости, проис-

ходящие параллельно некоторой криволинейной поверхности, стали изучаться с

1878-1881 гг. в работах Е. Бельтрами [233], М. Хилла [238], А. Аллена [232],

Н.А. Умова [211] и др. Работы этих авторов показали, что вопрос о потенциальном

движении жидкости в весьма тонком слое постоянной толщины, расположенном

на криволинейной поверхности, сводится с помощью конформного отображения к

вопросу о потенциальном движении жидкости, параллельном плоскости. Через 70

лет начала заложенной в трудах этих авторов теории получили в 1950-х годах

дальнейшее развитие и главным образом практические применения к задачам под-

земной гидромеханики в работах О.В. Голубевой [43] и П.Я. Полубариновой-

Кочиной [107]. Далее теория двумерных течений жидкости в искривлённых беско-

нечно тонких слоях постоянной и переменной толщины с приложениями к задачам

подземной гидромеханики стала развиваться трудах учеников О.В. Голубевой:

К.Н. Быстрова [23], Ю.А. Гладышева [32-34], М.И. Хмельника [214, 215],

А.П. Черняева [255], В.Ф. Пивня [100, 101] и др. Независимо от школы

О.В. Голубевой фильтрация жидкости в круговых конических, параболоидальных

и сферических весьма тонких пластах постоянной толщины изучалась

В.П. Пилатовским [102], а также с позиций построения новых эффективных мето-

дов интегрирования системы уравнений двумерной фильтрации

И.А. Амираслановым и Г.П. Черепановым [1]. Все процитированные работы объе-

диняет то, что толщина искривлённого пласта в них считается бесконечно малой

(по сравнению с наименьшим из главных радиусов кривизны подошвы слоя), а сам

пласт – изотропным.

В диссертации впервые уравнения двумерной фильтрации жидкости выводят-

ся для анизотропных искривлённых пластов постоянной и переменной конечной (а

не бесконечно малой) толщины. Если в выведенных автором уравнениях толщину

слоя устремить к нулю, то в пределе получаются уравнения движения, совпадаю-

щие с уравнениями теории О.В. Голубевой. Другая новизна, вытекающая из пред-

лагаемой уточнённой теории двумерных фильтрационных течений в том, что не во

всех однородных изотропных искривлённых пластах постоянной толщины (как это

получается в процитированных работах) движения жидкости можно описать мето-

дами теории аналитических функций комплексного переменного.

2.2.1. Вывод уравнений двумерной фильтрации в ортогональных криволинейных

системах координат общего вида. Будем моделировать непроницаемые подошву и

кровлю искривлённого слоя переменной толщины, в котором изучается двумерная

фильтрация несжимаемой жидкости, координатными поверхностями ζ = ζ

= const

и ζ = ζ

= const некоторой ортогональной расчётной системы координат (РСК) ξ, η,

ζ соответственно (рис. 3). Сам слой считается заполненным пористой анизотроп-

ной (в частном случае – изотропной) средой, у которой одно из ГНА всюду на-

правлено по касательным к ζ - координатным линиям, а два других ГНА относи-

тельно ξ - и η - координатных линий имеют произвольную ориентацию. Требова-

ние, чтобы одно из ГНА среды совпадало с ζ - координатными линиями, приводит

к тому, что в РСК ξ, η, ζ симметричный тензор проницаемости примет вид













2212

1211

k00

0kk

К . (1)

Если все три ГНА среды будут совпадать соответственно с ξ - , η - и ζ - ко-

ординатными линиями, то тогда тензор К будет диагональным: k

=0, если i≠j и

=λ

. Анизотропная среда с тензором (1), у которой главные проницаемости λ

, λ

= k

вдоль ξ-, η-, ζ- координатных линий соответственно удовлетворяют усло-

вию λ

≠λ

=λ

, может представлять модель слоистого грунта, со слоями, располо-

женными перпендикулярно к ζ - координатным поверхностям ζ=const. Если глав-

ные проницаемости удовлетворяют условию λ

=λ

≠λ

, то тензор К снова будет

диагональным, причём k

= k

= λ

, а k

= λ

. В этом случае анизотропная среда

может представлять модель другого слоистого грунта, слои которого расположены

на ζ - координатных поверхностях. В дальнейших выкладках исходим из тензора

проницаемости общего вида (1) и считаем, что его компоненты в РСК (ξ, η, ζ) за-

даны.

Тензорный закон Дарси (1.3.9) для анизотропной среды с тензором проницае-

мости (1) приводит к следующему распределению проекций скорости фильтрации:

ζ∂

∂

η∂

∂

ξ∂

∂

η∂

∂

ξ∂

∂

. (2)

Подчеркнем, что компоненты тензора проницаемости k

, k

и параметры

Ламе Н

, Н

и Н

в формулах (2) в общем случае зависят от всех координат ξ, η, ζ.

Поскольку сейчас рассматриваются двумерные течения, для которых ζ - коорди-

натные поверхности представляют поверхности тока, то проекция скорости v

=0 и,

следовательно,

ζ∂

∂

. Таким образом, одно из условий возможности существо-

вания двумерных течений в искривлённых анизотропных слоях переменной тол-

щины заключается в том, что функция Ф, а значит и приведённое давление Р,

должны зависеть только от координат ξ и η, т.е.

),(ФФ

. Предполагая последнее

выполненным, из (2) получим следующее распределение проекций скорости

фильтрации в искривлённом слое:











η∂

∂

ζηξ

ξ∂

∂

ζηξ

η∂

∂

ζηξ

ξ∂

∂

ζηξ

),,(H

),,(kФ

),,(H

),,(k

),,(H

),,(kФ

),,(H

),,(k

. (3)

Кроме уравнений (3), поле скоростей несжимаемой жидкости

2211

e),,(ve),,(vv

ηξ+

ηξ= должно удовлетворять уравнению неразрывности (1.2).

Если после подстановки (3) в (1.2) получится уравнение, не содержащее координа-

ты ζ, т.е. уравнение для функции только двух переменных ),(Ф ηξ , то это будет оз-

начать, что рассматриваемые двумерные течения действительно существуют в

строгом математическом смысле. Но течения с заранее заданными поверхностями

тока встречаются крайне редко – это лишь случаи плоскопараллельных течений и

течений в сферическом слое [41], граничные поверхности которого имеют общий

центр. Поэтому будем считать, что условие существования математически точных

двумерных течений с заданными поверхностями тока ζ=const не выполняется. В

связи с этим вместо (1.2) применим интегральное по толщине криволинейного

слоя уравнение неразрывности (1.10). Подставляя в него выражения (3), для функ-

ции

),(Ф ηξ получим уравнение:

HHФ

12312311

=ζ

























η∂

∂

⋅

ξ∂

∂

⋅

η∂

∂













η∂

∂

⋅+

ξ∂

∂

⋅

ξ∂

∂

∫

. (4)

Выполняя в левой части (4) почленное интегрирование и учитывая независимость

от ζ производных

ξ∂

∂Ф

η∂

∂

, а также считая, что функции

12311

;kH;k

имеют непрерывные частные производные во всей облас-

ти фильтрации (вследствие чего операции дифференцирования по ξ, η и интегри-

рования по ζ будут перестановочными [61, 213]), для

),(Ф η

получим следующее

уравнение:

),(T

22121211













η∂

∂

ηξ+

ξ∂

∂

ηξ

η∂

∂













η∂

∂

ηξ+

ξ∂

∂

ηξ

ξ∂

∂

. (5)