Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Подождите немного. Документ загружается.
91
находим поле давлений в области фильтрации. На этом этапе применяем формулы
(8) и (11):
))(wRe(
Рbca
Фbca
2
2
ζ=
µ
⋅−⋅
−=⋅−⋅=ϕ . (14)
4). После того, как из формулы (14) будет найдена функция Ф, по формулам
(4) вычисляем поле скоростей фильтрации, а затем и потоки через заданные по-
верхности.
Вопрос о существовании и способах расчёта плоскопараллельной фильтрации
в средах с иными законами распределения ГНА остается не исследованным и ждёт
своего изучения.
Основные результаты 2-ой главы:
1). Выведено интегральное по толщине ис-
кривлённого слоя уравнение неразрывности для двумерных течений. 2). Выведены
общие уравнения двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых
слоях с конечной толщиной. 3). Указана связь общих уравнений двумерной фильт-
рации в анизотропных (однородных и неоднородных) средах с теорией обобщён-
ных аналитических функций Г.Н. Положего и плоскопараллельной фильтрации в
однородных анизотропных средах с теорией аналитических функций комплексно-
го переменного. 4). Указан широкий класс законов распределения ГНА в анизо-
тропно-однородных средах, для которого «изотропизирующие» подстановки нахо-
дятся при помощи квадратур по выведенным в диссертации формулам. 5). Указан
новый ранее не исследованный класс точных решений уравнений плоскопарал-
лельной фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией.
92
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В
СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВА-
НИЯ
В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слоистых сре-
дах методами однородно-анизотропного эквивалентирования. Впервые проводить
расчёты потенциальных полей в слоистых средах методом однородно-
анизотропной аппроксимации предложил
≈
в 1932 г. немецкий физик-
электротехник Ф. Оллендорф [252]. Несмотря на широкое применение этого мето-
да в электротехнических и в фильтрационных (В.И. Аравин [2-6], Е.С. Ромм [120-
122] и др.) расчётах, исследования его точности (В.Н. Острейко [97], В.А. Толпаев
[185, 208, 210], С.Е. Холодовский [222] и др.) далеки от завершения и требуют це-
ленаправленного продолжения. Поэтому в третьей главе ставились задачи:
1) исследовать погрешность фильтрационных расчётов в многослойных средах
(МС-средах) методом однородно-анизотропного эквивалентирования и 2) дать ре-
комендации по его применению. Для этого выполнялись сопоставительные расчё-
ты течений в слоистой среде и в её анизотропных моделях, к которым приводят
конкретные методы эквивалентирования (локальный, интегральный и др.).
Во избежание недоразумений заметим, что в этой главе и далее анизотропная
среда с конкретным законом распределения ГНА ради сокращения её названия
именуется средой с конкретным типом анизотропии (например, средой с ради-
альным типом анизотропии, если ГНА распределены по координатным линиям
полярной системы координат и т.п.).
3.1. Исследования точности расчётов дебита центральной скважины в
слоистой круговой области методом анизотропного эквивалентирования
В §3.1 исследуется погрешность расчёта дебита скважины в слоистой среде
(рис. 9 и 10) методами 1) локального и 2) интегрального однородно-анизотропного
эквивалентирований. Поскольку погрешности находятся из сопоставительных
расчётов для слоистой среды и её анизотропной модели, то предварительно вы-
93
числим дебиты скважины в круговой анизотропной области с конкретными зако-
нами распределения ГНА.
3.1.1. Обобщение формулы Дюпюи для сред с центрально-симметричными зако-
нами распределения ГНА. Плоскопараллельные течения жидкости в средах с цен-
трально-симметричными законами распределения ГНА (2.5.9) (сокращённо, в сре-
дах с центральной анизотропией) и с главными проницаемостями
λ
1
вдоль
q = const и
λ
2
вдоль p = const описываются согласно (2.4.3) и (2.4.4) комплексными
потенциалами
()
Zwi =ψ
+
ϕ , где
µ
⋅λλ
−=ϕ
P
21
, а Z находится по формулам (2.5.11)
и (2.5.12). Рассмотрим в качестве конкретного потенциала аналитическую функ-
цию
(
)
FZlnDZw
+
⋅
=
, (1)
где D и F- действительные постоянные. Выделяя в (1) действительные и мнимые
части, для ϕ и ψ получим выражения
()
()( )
()
[]
λβ+λΗα
λ−λΗαβ
+θ=ψ+⋅=ϕ
∫
r
r
2
2
1
22
21
0
rr
drr
D;FrRlnD
. (2)
С помощью функции тока (2) по формулам (2.1.14) найдем распределение скоро-
стей в потоке:
(
)
(
)
()
[]
2
2
1
22
21
r
rr
rD
r
v;
r
D
r
1
v
λβ+λΗα
λ−λ
Η
α
β
−=
∂
ψ
∂
−==
θ∂
ψ
∂
=
θ
. (3)
Формулы (3) показывают, что в начале координат при D> 0 имеем источник, а при
D < 0- сток. Решим теперь задачу следующего характера: пусть на окружностях
r = r
0
и r = R
П
заданы приведённые давления P
0
и P
П
соответственно. Требуется оп-
ределить количество жидкости, стекающей в скважину r= r
0
за единицу времени-
удельный дебит скважины с радиусом r
0
и с центром в начале координат. Для ре-
шения задачи по заданным условиям с помощью (2) записываем систему уравне-
ний
94
()
[]
()
[]
FrRlnD;FRRlnD
0
021
П
П21
+=
µ
Ρλλ
−+=
µ
Ρλλ
−
,
из которой с учётом формулы (2.5.12) находим D:
(
)
()
[]
()
[]
∫
λβ+λΗα
β+Ηαλλ
µ
Ρ−Ρλλ
−=
П
0
R
r
2
2
1
22
222
21
0П21
rr
drr
D
. (4)
Теперь, когда D известно, из (3) для дебита Q получим:
D2dvrQ
2
0
r
π=θ=
∫
π
, т.е. де-
бит центральной скважины в средах с центральной анизотропией равен
(
)
()
[]
()
[]
∫
λβ+λΗα
⋅β+Ηαλλ
µ
Ρ−Ρ⋅λλ⋅π
=
П
0
R
r
2
2
1
22
222
21
0П21
rr
drr
2
Q
. (5)
Формула (5) является обобщением формулы Дюпюи [7, 8, 24 и др.] на рассматри-
ваемые анизотропные среды.
3.1.2. Постановка задачи и численные расчёты дебита центральной скважины
в круговых анизотропных пластах. Точный аналитический расчёт поля давления и
дебита центральной круговой скважины в круговой анизотропной области в самом
общем случае представляет серьёзные математические трудности. Они обусловле-
ны тем, что после осуществления «изотропизирующих» подстановок вида (2.5.5) и
(2.5.6) задача о дебите центральной круговой скважины в круговом пласте сводит-
ся к отысканию конформного отображения некоторой двухсвязной области на
круговое кольцо. Граница же этой двухсвязной области в плоскости «изотропизи-
рующего» комплексного переменного
ζ
=
ξ
1
+ i
⋅η
1
имеет всегда достаточно слож-
ный вид, что делает практически безнадежной задачу поиска функции, реализую-
щей указанное конформное отображение. В связи с этим становится необходимой
разработка приближённых методов расчёта дебитов круговых скважин в анизо-
тропных пластах. В этом пункте рассматриваются расчёты дебитов центральных
95
скважин в круговых пластах с прямолинейной и радиальной анизотропией (рис.11
и 12) численными конечно-разностными методами.
Течение к скважине описывается с помощью комплексного потенциала
(2.4.4), действительная часть которого
(
)
[]
),r(),r(wRe
21
ΘΦ⋅λ⋅λ=Θϕ=ζ
(6)
в полярных координатах
),r(
Θ
(с полюсом, совмещённым с центром скважины)
удовлетворяет уравнению, вытекающему из системы (2.4.1):
0
r
),r(c
r
),r(b),r(b
r
r),r(a
r
=
Θ∂
ϕ∂
⋅
Θ
+
∂
ϕ∂
⋅Θ
Θ∂
∂
+
Θ∂
ϕ∂
⋅Θ+
∂
ϕ∂
⋅⋅Θ
∂
∂
. (7)
Здесь
),r(c),,r(b),,r(a Θ
Θ
Θ - компоненты безразмерного тензора проницаемости, ко-
торые находятся через заранее задаваемый закон распределения ГНА пласта и
проницаемости
1
λ
и
2
λ
вдоль ГНА по формулам (1.3.6) и (2.4.2). Задача о дебите
центральной круговой скважины в круговом анизотропном пласте сводится к ин-
тегрированию эллиптического уравнения (7) при граничных условиях
1211rr
1
Φ⋅λ⋅λ=ϕ=ϕ
=
и
2212rr
2
Φ⋅λ⋅λ=ϕ=ϕ
=
, (8)
где
Φ
1
и
Φ
2
– постоянные, вычисляемые по заданным значениям приведённого
давления на контуре питания r = r
2
= R и на границе скважины r = r
1
=r
C
. При раз-
работке алгоритма численного решения задачи были введены безразмерные пере-
менные
x и ),x(
Θ
ν по формулам
;rrxx1;rrx
1201
=
≤≤
=
1
0
12
)],x(x[ln
xln
),r( ϕ+Θν+⋅
ϕ
−
ϕ
=Θϕ . (9)
При этом на безразмерную функцию
),x(
Θ
ν
налагается требование
0
0
xx1x
=ν=ν
==
, (10)
необходимость которого вытекает из граничных условий (8). Подставляя (9) в (7),
для определения функции
),x(
Θ
ν получаем уравнение
Θ∂
∂
⋅+
∂
∂
−=
Θ∂
ν∂
⋅+
∂
ν∂
⋅
Θ∂
∂
+
Θ∂
ν∂
⋅+
∂
ν∂
⋅⋅
∂
∂
b
x
1
x
a
x
c
x
bb
x
xa
x
. (11)
96
После отыскания функции ),x(
Θ
ν
, а значит и
ϕ
(r,
Θ
), с помощью формул (2.4.5)
найдём проекции скорости фильтрации на радиальное и трансверсальное направ-
ления:
,
x
c
xx
1
b
v
v
;
x
b
xx
1
a
v
v
00
r
Θ∂
ν∂
⋅+
∂
ν∂
+⋅=
Θ∂
ν∂
⋅+
∂
ν∂
+⋅=
Θ
(12)
где
01
12
0
xlnr
)(
v
⋅
ϕ−ϕ
=
. Удельный дебит Q, приходящийся на единицу длины ствола
скважины, вычисляем с помощью интеграла
∫
π
Θ⋅=
2
0
r
rdvQ
по любой окружности
радиуса r, охватывающей скважину и располагающейся в области фильтрации.
После перехода в интеграле к безразмерным переменным, получим
Θ⋅
Θ∂
ν∂
⋅+
∂
ν∂
⋅⋅+⋅
π
=
∫
π
db
x
xaa
2
1
Q
Q
2
0
0
, (13)
где
(
)
⋅µ
−⋅λ⋅λ⋅π
=
С
СП21
0
r
R
ln
PP2
Q
.
Пример 1. Численный расчёт дебита центральной скважины в круговом пласте с
прямолинейной анизотропией.
Для пласта с прямолинейной анизотропией (рис.11), ГНА которого совмеще-
ны с осями x и y декартовой системы координат, а главные проницаемости равны
λ
1
=
λ
x
=
λ
max
и
λ
2
=
λ
y
=
λ
min
, составляющие нормированного безразмерного тензо-
ра проницаемости в полярных координатах вычисляются по формулам (1.3.6) и
(2.4.2) и имеют вид:
Θ⋅ε+Θ⋅
ε
=ΘΘ⋅
ε
−ε⋅=ΘΘ⋅
ε
+Θ⋅ε=Θ
2222
cossin
1
)(c;2sin)
1
(
2
1
)(b;cos
1
sin)(a , (14)
где через ε обозначено отношение
max
min
λ
λ
=ε . (Конкретные примеры расчётов
тензоров проницаемостей по заданному закону распределения ГНА приведены в
97
приложении 2). Симметрия закона распределения ГНА позволяет интегрировать
уравнение (11) не во всём кольце, а только в его четвертой части по углу
Θ
от 0 до
2
π
. При этом, однако, к граничным условиям (10) надо будет присоединить усло-
вия
,0
2
0
=
Θ∂
ν∂
=
Θ∂
ν∂
π=Θ
=Θ
(15)
смысл которых состоит в том, что лучи
0
=
Θ
и
2
π
=
Θ
являются линиями тока
фильтрационного течения. Интеграл (13) в рассматриваемом случае можно упро-
стить, так как первое слагаемое интегрируется непосредственно:
.d),x(
d
db
x
x)(a
2
2
1
Q
Q
2
0
0
Θ
Θν⋅
Θ
−
∂
ν∂
⋅⋅Θ⋅
π
+
ε
ε+
=
∫
π
(16)
Далее использовали стандартные для метода сеток преобразования: уравнение (11)
и граничные условия (10) и (15) записывали в виде конечно-разностных соотно-
шений. Получающуюся систему линейных алгебраических уравнений относи-
тельно значений
),x( Θν в узлах сетки решали экстраполяционным методом Либ-
мана [131, 135]. После отыскания значений
),x(
Θ
ν
в узлах сетки интеграл (16), не
зависящий от выбора в расчётной области безразмерного радиуса x дуги окружно-
сти интегрирования, вычислялся по квадратурной формуле Симпсона [61, 213]. В
программе было предусмотрено вычисление интеграла (16) по двадцати равно-
мерно распределенным в расчётной области окружностям, охватывающим сква-
жину. В качестве величины Q/Q
0
принималось среднее арифметическое вычис-
ленных на этих 20 окружностях значений интегралов (16). По величине макси-
мального отклонения интегралов (16) от их среднего арифметического определя-
лась относительная (в процентах) ошибка в значении Q/Q
0
. Часть полученных ре-
зультатов расчёта дебита и их относительные (в процентах) погрешности приве-
дены в таблице 3.1 и представлены графически на рис.13.
Расчёты показывают, что 1) дебит центральной круговой скважины в круго-
вых пластах с прямолинейной анизотропией больше дебита такой же скважины в
98
изотропном пласте с проницаемостью
21
λλ
⋅
, 2) с увеличением отношения
C12
r/Rrr = влияние анизотропии на дебит скважины убывает.
Таблица 3.1
Результаты численного расчета дебита Q/Q
0
центральной круговой скважины (рис.11) в среде с
прямолинейной анизотропией (числители) и относительные (в процентах) погрешности вычис-
лений (знаменатели)
r
2
/r
1
ε
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 6,0 11,0 21,0 51,0
0,10
20,0
726,1
23,0
701,1
27,0
672,1
28,0
643,1
57,1
622,1
77,3
378,1
31,4
301,1
05,6
258,1
87,7
182,1
0,05
15,0
319,2
20,0
267,2
25,0
210,2
28,0
156,2
44,1
117,2
37,4
670,1
33,5
525,1
78,7
422,1
45,7
314,1
0,01
04,0
931,4
10,0
755,4
16,0
582,4
24,0
422,4
30,1
302,4
84,1
873,2
10,4
391,2
72,4
068,2
36,7
705,1
Приведенные в таблице 3.1 результаты можно использовать для оценки по-
грешности различных приближенных формул, обобщающих формулу Дюпюи для
сред с прямолинейной анизотропией. Например, попытка расчёта дебита цен-
тральной круговой скважины в круговом пласте с прямолинейной анизотропией
ранее была предпринята в [130]. Однако предложенная в [130] приближённая
формула ошибочна, так как значения безразмерного дебита
0
Q/Q , вычисленные по
ней, оказываются меньше единицы, чего, как видно из таблицы 3.1, быть не мо-
жет.
Пример 2. Численный расчёт дебита центральной скважины в круговом пласте с
радиальной анизотропией
В случае пласта с радиальной анизотропией (рис. 12) составляющие норми-
рованного безразмерного тензора проницаемости в полярных координатах соглас-
но (1.3.6) и (2.4.2) имеют вид:
99
,cos
1
sincos2
xx1
D
1
),x(c
;
1
sincos
x
D
1
),x(b
;sin
1
coscos2
xx
D
1
),x(a
22
00
0
22
00
Θ
ε
+Θε+
Θ+⋅⋅
ε
=Θ
ε
−ε⋅Θ⋅
Θ+−=Θ
Θ
ε
+Θε+
Θ+⋅
⋅ε=Θ
ll
l
ll
, (17)
где λ
1
и λ
2
указаны на рис.12, ε = λ
1
⁄ λ
2
, а
100
2
0
r/и1cos)/x(2)/x(D llll =+Θ⋅+= .
Симметрия закона распределения ГНА позволяет интегрировать уравнение (11)
только в половине кольцевой области по углу
Θ
от 0 до
π
. При этом к граничным
условиям (10) присоединяются условия
,0
0
=
Θ∂
ν∂
=
Θ∂
ν∂
π=Θ=Θ
смысл которых в том,
что лучи
Θ
= 0 и
Θ
=
π
являются линиями тока течения. В остальном вся процеду-
ра вычисления дебита скважины в пласте с радиальной анизотропией, полностью
повторяет описанную в предыдущем случае. Изменения были только в задании
тензора проницаемости, угловом размере области интегрирования и вместо (16)
вычислялся интеграл (13). Результаты расчётов для значения
6
r
r
1
2
= представлены
в таблице 3.2 и для наглядности в виде графиков на рис.14 и рис.15.
При
0=l
рассматриваемый тип анизотропии представляет частные случаи
центральной, моделирующие изображённые на рис.9 и 10 ситуации. Точные зна-
чения дебита скважины в этих частных случаях вычисляются по формуле (5) при
α=0 и β=1, еслиλ
1
< λ
2
или при α=1 и β=0, если λ
1
> λ
2
. В первом случае получаем
формулу
ε
=
=
1
Q
Q
0
0
l
, а во втором
ε=
=0
0
Q
Q
l
, которые и дополняют представлен-
ные в таблице 3.2 и на рис.14 и 15 результаты. Для дальнейшего отметим, что обе
эти формулы для дебита центральной скважины в однородном круговом пласте с
радиальной анизотропией, представляющей модель слоистых сред на рис. 9 и 10,
можно записать в одном и том же виде
100
(
)
⋅µ
−
⋅
λ
⋅
π
=
С
СПr
r
R
ln
PP2
Q
, (18)
где
λ
r
– значение главной проницаемости вдоль радиального направления.
Таблица 3.2
Результаты численного расчёта дебита Q/Q
0
центральной круговой скважины (рис.12) в
среде с радиальной анизотропией (числители) и относительные (в процентах) погрешности вы-
числений (знаменатели). (В вычислительном эксперименте r
2
/r
1
= 6. В клетках, помеченных *,
результат соответствует значению
l
/r
1
= 1,022).
l
/r
1
ε
0,1 0,5 0,9 1,025 2,11 3,11 4,11 12 30
0,10
04,0
318,0
23,0
352,0
13,0
407,0
09,0
427,0*
77,0
685,0
55,0
047,1
48,3
285,1
13,0
348,1
14,0
355,1
0,05
09,0
266,0
51,0
257,0
320,0
306,0
38,0
325,0
48,1
604,0
03,1
161,1
69,0
506,1
22,0
625,1
23,0
634,1
0,01
48,0
102,0
45,0
125,0
02,2
155,0
37,2
168,0
11,5
455,0
88,2
737,0
8,1
647,2
41,0
914,2
44,0
938,2
10
00,0
158,3
01,0
043,3
08,0
686,2
25,0
427,2*
14,3
606,1
38,4
452,1
09,5
364,1
29,0
361,1
-
20
00,0
465,4
01,0
291,4
09,0
736,3
33,0
293,3
77,4
972,1
22,7
746,1
53,6
650,1
- -
100
00,0
984,9
01,0
573,9
11,0
233,8
45,0
058,7
48,7
628,3
60,12
075,3
37,9
941,2
- -
Расчёты показали, что 1) при
∞
→
1
r/l значение Q/Q
0
для скважины в круго-
вом пласте со смещённой радиальной анизотропией стремится к Q/Q
0
для такого
же пласта с прямолинейной анизотропией. Это подтверждает и сравнение данных
таблицы 3.2 с данными таблицы 3.1 при
6/
12
=
rr ; 2) дебит скважины в пласте со
смещённой радиальной анизотропией существенно зависит от расположения цен-
тра радиальной анизотропии только в случае, когда
00
x
<
l
. Если же центр ради-
альной анизотропии находится за контуром питания (то есть
00
x>l ), то дебит