Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах

Подождите немного. Документ загружается.

230

от отношения проницаемостей

ПЗС и остального пласта. В эксперименте ради-

ус контура питания R = 10 км, радиус ПЗС R

= 10 м., радиус скважин r

= 0,1 м. На

рисунках 63-65 приведены графики зависимости суммарного относительного де-

бита батареи скважин от n и

Вычислительный эксперимент показал, что повышение проницаемости

ПЗС более чем в 20 раз неоправданно. В промысловой практике достаточно

увеличивать проницаемость ПЗС в 5 раз, т.к. дальнейшее увеличение прони-

цаемости уже не столь эффективно.

Кроме того, результаты вычислительных экспериментов, представленные

графически на рисунках 63-65, показали, что ухудшение проницаемости ПЗС

сильнее сказывается на суммарном дебите батареи скважин, чем её увеличение.

Поэтому при эксплуатации скважин необходимо предусматривать меры, пре-

дотвращающие понижение проницаемости ПЗС с течением времени.

5.6. Интерференция скважин с нелинейным режимом фильтрации в приза-

бойных зонах

Особые фильтрационные свойства пласта в ПЗС могут появляться и без

специальных воздействий на околоскважинные области. Это связано с тем, что

с увеличением дебитов скважин скорости течения в ПЗС могут вырасти на-

столько, что в околоскважинной области фильтрация будет подчиняться уже

нелинейному закону Дарси [112]

)v(fPgrad ⋅−= , (1)

где P - приведённое давление, а f(v) – функция, определяемая эксперименталь-

но и характеризующая конкретный закон фильтрации. На практике чаще всего,

кроме линейного закона, распространены квадратичный закон фильтрации и

степенные законы, в частности закон А.А. Краснопольского [112]. Чем больше

дебит, тем больше размеры ПЗС, внутри которой фильтрация будет подчинять-

ся нелинейному закону Дарси. Понятно поэтому, что теория взаимодействия n

231

скважин, в призабойных зонах которых может нарушаться линейный режим

фильтрации, является актуальной для нефтепромысловой практики.

Для исследования влияния призабойных зон с нелинейной фильтрацией

(ПЗНФ) на дебиты скважин

предлагается следующая модель:

1). ПЗНФ для каждой скважины γ

с радиусом r

(m = 1,2,…,n) и с цен-

тром в точке (x

) снова моделируем как круговую с границей (5.1) и с радиу-

сом r

. Подчеркнём, что радиусы ПЗНФ теперь считаются заранее не извест-

ными и подлежащими определению.

2). Будем предполагать, что радиусы r

ПЗНФ малы по сравнению с рас-

стояниями между скважинами и другими характерными размерами области те-

чения. Поэтому течение жидкости в ПЗНФ будем рассматривать как одномер-

ное радиальное. Вследствие последнего удельный дебит

2Q λ⋅π= скважины

будем рассчитывать по формуле Дюпюи для нелинейного режима фильтра-

ции, имеющей вид [112]:

PPdr

−=⋅













∫

, (2)

где f

– функция f

(v), характеризующая конкретный вид закона Дарси в ПЗС

, а остальные обозначения прежние.

3). Фильтрация за пределами каждой ПЗНФ описывается уравнением (1.2),

а удельные притоки Q

к границам C

можно вычислить по методу §5.5.

Если условия 1), 2) и 3) окажутся выполненными, то для расчёта удельных

дебитов скважин, обладающих ПЗНФ, можно воспользоваться системой урав-

нений (5.3), в которой, однако, второе уравнение надо будет заменить на (2).

Кроме того, сейчас появились как неизвестные радиусы r

границ ПЗНФ. Эти

радиусы предлагается определять по значению критического числа Рейнольдса

[112] на границе C

()

σε⋅

⋅

= ,C,f

1кр

, (3)

232

где v – скорость фильтрации, k - проницаемость среды, ν = µ/ρ - коэффициент

кинематической вязкости жидкости,

(

)

σε ,C,f

- некоторая безразмерная функ-

ция, вид которой определяется опытным путём, ε и C

– параметры шерохова-

тости и извилистости поровых каналов среды, σ - коэффициент пористости

среды. Поскольку на границе С

скорость

rr2

= , то уравнение для r

как следует из (3), будет иметь вид

()

крmm1m

Re,C,f

=σε⋅

⋅ν

⋅λ

. (4)

Таким образом, окончательно для расчёта дебитов скважин γ

, обладающих

ПЗНФ, получаем следующую систему нелинейных алгебраических уравнений

() ( )

()











≠=

=σε⋅

⋅ν

⋅λ

−=⋅













−⋅

=∆+∆+ϕ⋅λ+ϕ⋅λ

∫

∑

mi;n,...,2,1m

Re,C,f

PPdr

PPk

yy,xxy,x'

крmm1m

mП0

mmmmmm

mmii

. (5)

Система (5) из 3n уравнений замкнутая, так как число неизвестных λ

, λ

, ….,λ

, P

, … ,P

, r

, …, r

, соответствует числу уравнений. Решив систему (5), оп-

ределим и удельные дебиты и поле давлений, т.е. получим полное решение задачи.

Основные результаты 5-ой главы:

1) разработаны общие математические

модели, описывающие работу в изотропном неоднородном пласте

а) одиночной

скважины, б) группы скважин, в) группы скважин со скачками проницаемо-

стей в ПЗС, г) группы скважин с нелинейным режимом фильтрации в ПЗС

; 2)

предложен метод построения серии точных решений (в постановке для двух-

связных областей) задач фильтрации к круговой скважине с конечным радиу-

сом; 3) предложены вариационные методы расчёта верхних и нижних оценок

дебита одиночной скважины; 4) по предложенным математическим моделям

выполнены вычислительные эксперименты и сделаны выводы.

233

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В

МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

ОБЛАСТИ

В 6-й главе разрабатывается теория расчётов плоскопараллельных

фильтрационных течений в многослойной области G в виде криволинейного

четырехугольника, ограниченного дугами координатных линий

ортогональной изотермической системы координат P, Q. Расчётная область

заполнена многослойной неоднородной анизотропной средой (МС-средой),

границы отдельных слоёв которой совпадают с линиями P = const (или Q =

const). В изотермических P, Q и в декартовых (для прямоугольной области)

координатах x, y расчёт поля в МС-среде осуществляется по алгоритмам,

которые отличаются лишь непринципиальными деталями. Поэтому без

ограничения общности рассматривается область G = {0≤ x ≤ l; 0 ≤ y ≤ h} в

виде прямоугольника MBED (рис.66), заполненного средой с прямолинейной

анизотропией.

6.1. Постановка задачи и принятые обозначения

Пусть требуется рассчитать некоторое векторное поле

j)y,x(i)y,x()y,x(

υ+⋅υ=υ в прямоугольной области G = {0≤ x ≤ l; 0 ≤ y ≤ h}

границы у = 0 и у = h которой назовём прямыми MD и BE соответственно.

Область G считается заполненной материальной средой с прямолинейным

типом анизотропии и физические характеристики которой претерпевают

конечные разрывы во внутренних точках 0 = х

< х

< ... < х

n-1

< x

= l

области G. Такая ситуация типична, например, для кусочно-однородных сред в

теории фильтрации. Главные направления анизотропии (ГНА) в каждой точке

пусть совпадают с осями х и у декартовой системы координат, а собственные

значения Г

(х) и Г

(х) тензора проницаемости, описывающие физические

свойства среды, на каждом из отрезков ∆

= [x

i-1

, x

] равны

,n,...,1i),x(f

Г);x(f

iiii2

2iii1

=⋅γ⋅ε=γ=⋅γ=γ=

∆∈∆∈

где f

(x) - непрерывная положительная на указанном отрезке функция

принимающая н его концах значения

(

)

−ii

xf ,

(

)

iii

= ,

—

положительные постоянные (рис.66). Коэффициент

i1i2

,будем называть

коэффициентом анизотропии i-го слоя [x

i-1

, x

], а τ

– коэффициентом

неоднородности i-го слоя. Безразмерные уравнения, описывающие поле

)у,х(

рассматриваемой кусочно неоднородной среде с прямолинейной анизотропией,

имеют вид

Г,

2у1х

∂

⋅−=υ

∂

⋅−=υ (1)

где ϕ (х, у) – некоторая скалярная функция, называемая потенциалом поля.

Кроме уравнения (1), поле

)у,х(

должно удовлетворять уравнению

неразрывности, имеющему вид

)у(div Ω−=υ

)

(2)

в котором

()

yΩ

)

- плотность источников, определяемая для каждого i-го слоя

через заданные кусочно-непрерывные по у функции ω

(y) формулой

.n,1i),у()у(

]х,х[х

i1i

=ω⋅γ=Ω

−

∈

)

(3)

После подстановки (1) в (2) для искомого потенциала поля ϕ = ϕ (х,у) получаем

следующее уравнение эллиптического типа с кусочно-непрерывными

коэффициентами

[]

)у(

)х(F

)х(F,)у,х(L

Ω=

∂

ϕ∂

⋅⋅ε+













∂

ϕ∂

⋅

∂

≡εϕ

))

(4)

В уравнении (4) через

)х(F,ε

)

и Ω(у) обозначены следующие кусочно-

непрерывные функции, задаваемые на i-ом слое формулами

).у()у();х(f)х(F,|

iх

iii

ω=Ω=ε=ε

∆∈∆∈

∆∈

)

Если значение потенциала ϕ(х, у) послойно перенумеровать, то одно уравнение

(4) с кусочно-непрерывными коэффициентами будет эквивалентно следующей

системе уравнений эллиптического типа

[

]

.n,1i);у()х(f,)у,х(L

iiii

=ω=εϕ (5)

235

Однако в данной работе на систему уравнений (5) мы смотрим не только как на

развёрнутую запись одного уравнения (4). Кроме такой точки зрения на систему

(5), в работе будут рассматриваться и две другие. Первая – если имеется готовый

алгоритм решения системы уравнений (5) (пусть даже для некоторого

ограниченного класса функций f

(x) ), то насколько точно решение уравнения

(4) с непрерывной в G, но сложной для интегрирования функцией F(x) и

постоянной

)

, можно свести к решению системы (5), совокупность простых

функций f

(x) которой будет в некотором смысле эквивалентна F(x). Вторая –

насколько точно расчёт поля в кусочно-непрерывных средах с

характеристиками ε

и f

(x), требующий решения системы уравнений (5), можно

заменить на расчёт поля в сплошной непрерывной среде с эквивалентными в

некотором смысле характеристиками

)

и F(x), требующий решения только

одного уравнения (4). Заметим, что в электротехнике при исследовании полей в

многослойных средах второй из подходов часто, начиная с 1925 г., применялся

Оллендорфом и предложенная им методика анизотропного эквивалентировая

широко внедрилась в практику расчётов несмотря на то, что анализ

погрешности метода и до настоящего времени изучен не достаточно.

6.2. Граничные условия 1-го типа (Дирихле по одной паре

противоположных сторон прямоугольника и смешанные — по другой паре)

Перечислим теперь граничные условия, совместно с которыми решается

система уравнений (1.5). Во –первых, на сторонах ВЕ и MD

задаются условия

Дирихле:

.n,1i);х(Ф)h,х();х(Ф)0,х(

iiii

==ϕ=ϕ

∆∈∆∈

∆

(1)

где Ф

(х) и Ф

(х) – заданные непрерывные на [0, l] функции. На сторонах МВ

и DE могут быть заданы различные условия – либо закон распределения

потенциала (условия Дирихле), либо закон распределения нормальной

составляющей v

. Чтобы одновременно рассмотреть каждый из этих случаев,

запишем граничные условия на сторонах МВ и DE в виде:

236

)у(F

bа);у(F

bа

lх

0х













∂

ϕ∂

+ϕ⋅=













∂

ϕ∂

⋅+ϕ⋅

. (2)

Если в (2) положить

,1аа,0bb

==== то получим случай заданного с

помощью функций F

(y) и F

(y) на границах х = 0 и х = l закона

распределения потенциала. Если же взять

b,bи0аа γτ=γ−=== , то

получим случай заданного на границах МВ и DE закона распределения

нормальной составляющей v

На границах контактов слоёв

друг с другом должны выполняться

условия непрерывности потенциала и нормальных составляющих v

, т.е.

при х = х

i-1

: ϕ

i-1

= ϕ

и .n,2i,

хх

1i1i

∂

ϕ∂

⋅γ=

∂

⋅τ⋅γ

−

−−

(3)

6.3. Передаточные функции. Переход к модельной задаче

Для дальнейшего понадобятся специальные частные решения

однородного уравнения (1.5)

[

]

0)х(f,)у,х(L

iii

=εψ (1)

в областях g

= {x

i-1

< x < x

; 0 < y < h}, которые на границах у = 0 и у = h

удовлетворяют некоторым непрерывным условиям типа Дирихле, а в

вершинах g

принимают заданные значения )n,1i( =

.)h,х(;)0,х(;)h,х(;)0,х(

iEiiiDiiiB1iiiM1ii

ϕ=

ϕ=ψ

−−

(2)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что такими решениями

уравнения (1), удовлетворяющими заданным значениям в вершинах

прямоугольной области g

, являются функции

∫

−

⋅













⋅+













⋅+⋅+=ψ

iii

)х(f

)у,х(

(3)

коэффициенты в которых равны:

,с

,а

iDiBiMiEiiMiBiiMiDiiMi

ϕ−ϕ−ϕ+ϕ=ϕ−ϕ=ϕ−ϕ=ϕ= (4)

237

Функции ψ

(х,у) будем называть передаточными функциями. Из (3) вытекает,

что ψ

(х,у) на сторонах х = х

i-1

и х = х

области g

изменяется по линейному

закону, а на сторонах у = 0 и у = h изменяется непрерывно от ϕ

до ϕ

и от

iВ

до ϕ

iЕ

соответственно - см. рис.67. Если заданные значения ψ

(х,у) в

вершинах области g

определить с помощью условий (2.1) по формулам

= Ф

(х

i-1

); ϕ

= Ф

(х

i-1

); ϕ

= Ф

(х

); ϕ

iЕ

= Ф

(х

), (5)

то функции ψ

(х,у) на границах у = 0 и y = h в точках х

, i = n,0 , будут

принимать значения, совпадающие соответственно со значениями граничных

условий Ф

(х) и Ф

(х). Далее первоначально заданные граничные условия

(2.1) будем заменять на новые приближённые к ним граничные условия

)h,х()h,х();0,х()0,х(

ψ=ϕψ=ϕ

∆∈∆∈

, (6)

в которых коэффициенты функций ψ

(х,у) вычисляются по формулам (4) и

(5). Ели длины частичных отрезков ∆

= [x

i-1

, x

] малы, то функции ψ

(х,у)

достаточно точно передадут (откуда и происходит их название) значения

заданных граничных условий. Если же отрезки ∆

будут велики, то их можно

разбить на более мелкие составные части, добавив ряд новых точек деления.

Постановка задачи и её решение от этого принципиально не меняется. К тому

же из общей теории линейных уравнений эллиптического типа, к которым

относится уравнение (1.4), известно, что краевые задачи Дирихле являются

корректными. Поэтому решение уравнения (1.4) с условиями (2.1) будет мало

отличаться от решения этого же уравнения, но с приближёнными

граничными условиями (6). Количественную оценку в изменении решения

при замене точных граничных условий на приближённые будем определять с

помощью вычислительных экспериментов. Краевую задачу для уравнения

(1.4) с новыми граничными условиями (6) будем называть модельной

задачей.

238

6.4. Формулировка граничных условий в модельной задаче

Решение уравнений (1.5) будем представлять в виде сумм

(x,y) = ψ

(x,y) +w

(x,y), (1)

в которых ψ

(x,y) – передаточные функции (3.3). После подстановки (1) в

(1.5) и учитывая, что ψ

(x,y) удовлетворяют однородному уравнению (3.1),

для функций w

(x,y) получим уравнения

.n,1i);у()]х(f,)у,х(w[L

iiii

=ω=ε (2)

Так как в модельной задаче при у = 0 и у = h выполняются условия (3.6), то

на сторонах MD и BE

функции w

(x,y) должны будут удовлетворять

однородным граничным условиям

(x,0) = w

(x,h) = 0. (3)

На границах контакта

слоёв g

друг с другом должны выполняться условия

(2.3). Подставляя в (2.3) выражения (1) и учитывая формулы (3.3) и (3.4),

граничные условия сопряжения в модельной задаче после преобразований

примут вид: при х = х

i-1

n,2i);у,х(w)у,х(w

1ii1i1i

−−−

(4)

).у(L

1i1i −

−

−−

∂

⋅γ=

∂

⋅τ⋅γ (5)

В формуле (5) через L

i-1

(y) обозначена функция

() ()













∆Φ−∆Φ⋅+∆Φ

⋅γ−













∆Φ−∆Φ⋅+∆Φ

γ=

∫∫

−

−−

−

−−−

−−

)1i(

)i(

i1i

)х(f

)у(L

в которой

)1i(

−

∆Φ и

)i(

∆Φ - приращения функций Ф

(х) и Ф

(х) на отрезках ∆

i-1

и ∆

)х(Ф)х(Фи)х(Ф)х(

1i2i2

)i(

21i1i1

)i(

1 −−

−=∆Φ−Φ=∆Φ (6)

На сторонах MВ и DE,

т.е. при х = 0 и х = l, должны выполняться условия

(2.2). Подставляя в (2.2) функции

111

nnn

w+=

, после

239

преобразований для соответствующих граничных условий в модельной

задаче получим:

)y(F

bwa

111

)













∂

⋅+⋅

∗∗

, (7)

)y(F

bwa

2n2

)













∂

⋅+⋅

∗∗

, (8)

где через

()

)

()

)

обозначены выражения

[]

()

∫

∆Φ−∆Φ+∆Φ

−













Φ−Φ+Φ−=

∗∗

)1(

1121111

)x(f

b)0()0(

)0(a)y(F)y(F

)

(9)

[]

(

)

∫

−

∆Φ−∆Φ+∆Φ

−













Φ−Φ+Φ−=

∗∗

)n(

2121222

)x(f

b)l()l(

)l(a)y(F)y(F

)

(10)

Итак, задача о расчёте поля в многослойной среде (MC-среде) свелась к

решению системы уравнений (2) с граничными условиями (3)-(5),(7) и (8).

6.5. Представление решений w

(x, y) рядами Фурье

Решения системы уравнений (4.2) в модельной задаче будем представлять в

виде тригонометрических рядов Фурье

∑

∞

λ⋅=

kiki

)ysin()x(U)y,x(w , где

=λ

. (1)

Такая форма представления

)y,x(w

выбрана потому, что граничные условия

(4.3) благодаря ей оказываются выполненными. Функции же U

(x) в (1)

подберём так, чтобы при подстановке w

(x,y) в уравнение (4.2) последнее

обратилось в тождество. Предполагая правомочность двукратного

дифференцирования рядов (1) по каждому аргументу, после подстановки (1) в

(4.2) получим:

∑

∞

ω=λ⋅













⋅⋅ε⋅λ−













⋅

).y()ysin()x(U)x(f

)x(dU

)x(f

ikikii

(2)