Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Подождите немного. Документ загружается.
260
() () ()
()
()
∫
∫
−
−
=−=
i
i
i
x
1x
i
x
1x
i
i
0
i
0
i
0
xf
dx
xf
dx
xp;xp1xg
(12)
При k≠0 для интегрирования уравнения (9) оказалось удобным использовать
подстановку
(
)
()
xf
x
X
i
i
k
i
k
ω
=
. (13)
Относительно новой вспомогательной функции
(
)
x
i
k
ω уравнение (9) примет
более простой вид:
()
()
()
()
(
)
()
0xxf
dx
d
xf
1
dx
xd
i
k
i
2
2
i
i
2
k
2
i
k
2
=ω
+ελ−
ω
(14)
Характеристика изучаемой МС-среды
. Уравнение (14) для некоторых
специально выбранных функций
(
)
xf
i
сводится к уравнению с постоянными
коэффициентами. Будем рассматривать МС-среды, представленные набором
анизотропных слоев (рис. 66), закон изменения проницаемости в которых
определяется тремя типами.
1. Однородно-анизотропная среда.
(
)
(
)
11xf
ii
=τ≡ (15)
2. Анизотропная среда с квадратичным законом
()
(
)
(
)
−
−+−τ
=
−
xx
xxxx
xf
i
i1ii
i
(16)
Если
1
i
=τ то из (16) будет вытекать важный частный случай однородно-
анизотропной среды.
3. Анизотропная среда с экспоненциальным законом
()
τ
−
−
=
−
−
i
1ii
1i
i
ln
xx
xx
expxf
(17)
При этом закон f
i
(x) для i - ой полосы не зависит от того, каким законам
следуют соседние полосы. В частном случае, если для всех полос
261
коэффициенты неоднородности 1
i
=
τ
, то получим МС-среду, являющуюся
кусочно-однородной анизотропной средой.
Функции
()
xg
i
k
,
()
xp
i
k
и их производные. Для вычисления функций
(
)
xg
i
0
и
()
xp
i
0
следует подставить (15)-(17) в (12). Для вычисления
()
xg
i
k
и
(
)
xp
i
k
при
k≠0 подставляем поочередно (15)-(17) в (14). При этом в каждом из трёх
случаев получается дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами. Интегрируя это уравнение и учитывая формулы (10), (11),
(13), получим функции
(
)
xg
i
k
и
(
)
xp
i
k
. Перечислим эти функции для
рассматриваемых законов изменения электропроводимости слоя.
Для среды с квадратичным законом функции
(
)
xg
i
0
и
()
xp
i
0
имеют вид:
()
()
()
xfd
xx
xp
ii
1ii
i
0
−
−τ
=
,
()
(
)
()
xfd
xx
xp
ii
1ii
i
0
−
−τ
=
(18)
где
()
xf
i
определяются по формуле (16). Для однородно-анизотропных сред
функции
()
xg
i
0
и
()
xp
i
0
находятся из (18), но при 1
i
=τ и
()
1xf
i
= .
Для среды с экспоненциальным законом функции
(
)
xg
i
0
и
()
xp
i
0
имеют вид:
()
()
−
τ
−τ
= 1
xf1
1
xg
i
i
i
i
o
;
()
()
−
−τ
τ
=
xf
1
1
1
xp
ii
i
i
o
(19)
где
()
xf
i
определяется по формуле (17).
Функции
()
xg
i
k
и
(
)
xp
i
k
при k≠0 для каждого из трех случаев
записываются одинаково и имеют вид
()
(
)
[
]
()
()
()
()
[
]
()
()
xfdsh
xxsh
xp;
xfdsh
xxsh
xg
iii
k
1ii
k
i
i
k
iii
k
ii
k
i
k
β
−βτ
=
β
−β
=
−
(20)
где
()
xf
i
определяется в зависимости от закона изменения
электропроводности слоя по формулам (15), (16) или (17), а
i
k
β находится по
формуле:
()()
()
()
()
−
τ
=+ελ
ελ
=β
17случаев
d2
lnaгдеa
16и15случаев
i
i
i
2
ii
2
k
i
k
i
k
(21)
262
В граничные условия (5)-(7) входят производные по x. Дифференцируя
указанные в формулах (18)-(20) функции, найдем, что на границах i-го слоя
их производные имеют следующие значения, перечисленные в таблице 6.4.
Таблица 6.4.
производная x=x
i-1
x=x
i
dx
dg
i
0
i
0
α−
i
i
0
τ
α
−
dx
dp
i
0
i
0
α
i
i
0
τ
α
dx
dg
i
k
(
)
ii
k
r δ+−
i
i
k
τ
α
−
dx
dp
i
k
i
k
α
ii
k
r ν−
Вспомогательные постоянные, через которые выражаются производные
в таблице 6.4, перечислены в таблице 6.5.
Таблица 6.5.
Закон изменения проницаемости i-го слоя
Константа
По формуле (15) По формуле (16) По формуле (17)
i
0
α
i
d
1
i
i
d
τ
()
1
a2
i
ii
−τ
τ
δ
i
0
(
)
i
i
d
1
−τ
a
i
ν
i
0
i
i
τ
δ
a
i
Коэффициенты
i
k
α и
i
k
r через
i
k
β из (21) для всех трех случаев вычисляются по
формулам:
()
ii
k
i
k
i
i
k
dsh β
βτ
=α
;
(
)
ii
k
i
k
i
k
dcthr ββ= .
Уравнения для коэффициентов рядов Фурье (8)
. Рассмотрим граничные
условия (5)-(7). Подставляя в (5) потенциал ϕ
i
(x,y) из (8) и учитывая значения
263
функций
()
xg
i
k
,
()
xp
i
k
и их производных на левой стороне i-го слоя (указанные
в формулах (11) и таблице 6.4) получим
()
()
[
]
{
}
(
)
()
∑
∞
=
=λα+δ+−+α+α−
1k
1k
1
k
1
k1
1
k
11
k11
1
0
1
01
1
0
1
011
yFycosBb
~
Arb
~
a
~
Bb
~
Ab
~
a
~
(22)
Аналогично, подставляя потенциал ϕ
n
(x,y) из (8) в (6) и учитывая значения
функций
()
xg
i
k
,
()
xp
i
k
и значение их производных на правой стороне n-го слоя,
получим:
()
[]
() ()
yFycosBrb
~
a
~
A
b
~
B
b
~
a
~
A
b
~
2
1k
k
n
k
nn
k22
k
n
n
n
k2
n
0
n
n
02
2
n
0
n
n
02
=λ
ν−++
τ
α
−+
τ
α
++
τ
α
−
∑
∞
=
(23)
Раскладывая функции F
1,2
(y) в ряды Фурье на отрезке [0,h] по косинусам и
сравнивая затем коэффициенты этих разложений с теми, которые
присутствуют в левых частях формул (22) и (23), относительно A
1
k
, B
1
k
, A
n
k
,
B
n
k
получим следующую систему уравнений:
(
)
()
[]
()
=
=α+δ+−
=α+α−
K,3,2,1k
FBb
~
Arb
~
a
~
FBb
~
Ab
~
a
~
k1
1
k
1
k1
1
k
11
k11
10
1
0
1
01
1
0
1
011
(24)
()
[]
()
=
=ν−++
τ
α
−
=
τ
α
++
τ
α
−
K,3,2,1k
FBrb
~
a
~
A
b
~
FB
b
~
a
~
A
b
~
Sk
n
k
nn
k22
k
n
n
n
k2
0S
n
0
n
n
02
2
n
0
n
n
02
(25)
где
()
∫
=
h
0
s0S
dyyF
h
1
F
() ( )
∫
λ=
h
0
ksSk
dyycosyF
h
1
F
(s = 1, 2).
Подставляя далее потенциалы ϕ
i-1
и ϕ
i
из (8) в условия (7) (с учетом значений
функции
()
xg
i
k
,
()
xp
i
k
и их производных на правой и левой границах (i - 1) - го
26
4
и i-го слоев соответственно) и приравнивая коэффициенты при косинусах
одинаковой кратности, получим систему уравнений, связывающих друг с
другом коэффициенты (i - 1) - го и i-го слоев :
(
)
() ()
αγ+δ−γ−=ν−τγ+αγ−
αγ+αγ−=αγ+αγ−
====
−−−−−−−
−−−−−−
−−
i
k
i
k
ii
k
1i
k
i1i
k
1i1i
k
i1i1i
k
1i
k
1i
i
0
i
0
ii
0
i
0
i1i
0
1i
0
1i1i
0
1i
0
1i
i
k
1i
k
i
0
1i
0
BArBrA
BABA
,3,2,1kn,,3,2i;AB;AB KK
(26)
Таким образом, для отыскания коэффициентов A
i
0
, B
i
0
, и A
i
k
, B
i
k
рядов Фурье
(8), определяющих потенциалы каждого слоя МС-среды, необходимо решить
систему из линейных алгебраических уравнений (24)-(26).
Решение системы линейных алгебраических уравнений (24)-(26)
методом прогонки
. Решение системы перечисленных уравнений
осуществляется раздельно для коэффициентов A
i
0
, B
i
0
, A
i
k
, и B
i
k
(при
k=1,2,3,…) но однотипным для обеих групп коэффициентов способом.
Поэтому подробно опишем решение лишь для коэффициентов A
i
0
, B
i
0
.
Перепишем первое уравнение системы (24) с учетом того, что B
1
0
=A
2
0
(26):
(
)
10
2
0
1
01
1
0
1
011
FAb
~
Ab
~
a
~
=α+α− (27)
Далее подставляя в соответствии с первым уравнением системы (26) в её
третье уравнение вместо
1i
0
B
−
коэффициент
i
0
A и вместо
i
0
B коэффициент
1i
0
A
+
для i=2,3,…(n-1) получим:
(
)
0AA
1i
0
ii1i
0
1i1i
0
1i
0
1i
=αγ+αγ+αγ−
+−−−−−
(28)
При i=n в третьем уравнении системы (26) можно заменить
1n
0
B
−
на
n
0
A , в
результате чего получим:
(
)
n
0
n
0
nn
0
nn1n
0
1n1n
0
1n
0
1n
BAA αγ=αγ+αγ+αγ−
−−−−−
(29)
Таким образом, относительно (n+1)-го неизвестного A
1
0
и B
1
0
получилась
система n уравнений (27)-(29). Последнее, (n+1)-е уравнение, связывающее
друг с другом A
1
0
и B
1
0
, приводится в системе (25). Получившаяся система
(n+1)-го уравнения относительно (n+1)-го неизвестного будет иметь
трехдиагональный вид.
265
В результате аналогичных преобразований относительно
коэффициентов A
i
k
и B
i
k
также получается трехдиагональная система
линейных алгебраических уравнений. Решение таких систем линейных
алгебраических уравнений осуществляется известным способом — методом
прогонки. Выполняя в обоих случаях известные для метода прогонки
операции, приходим к следующему алгоритму для вычисления
коэффициентов ряда Фурье (8).
1. Вычисляем коэффициенты
2
0
m и
2
0
c (при k=0) и
2
k
m и
2
k
c (при k≠0):
()
1
011
1
01
2
0
b
~
~
b
~
m
α−α
α
=
()
()
11
k11
1
k1
2
k
rb
~
~
b
~
m
δ+−α
α
=
()
1
011
10
2
0
b
~
~
F
c
α−α
=
()
()
11
k11
k1
2
k
rb
~
~
F
c
δ+−α
=
2. Вычисляем прогоночные коэффициенты m
i
0
, c
i
0
, и m
i
k
, c
i
k
по
рекуррентным формулам:
()
[]
i
0
ii
0
1i
0
1i
i
0
i
1i
0
1m
m
αγ++αγ
αγ
−=
−−
+
;
i
0
i
1i
0
i
0
1i
0
1i
1i
0
mc
c
αγ
αγ
−=
+−−
+
()()
[]
ii
k
i1i1i
k
1i1ii
k
1i
k
1i
i
k
i
1i
0
rrm
m
δ+γ+ν−τγ+αγ
αγ
−=
−−−−−−
+
;
()
n,,3,2i;
mc
c
i
k
i
1i
k
i
k
1i
k
1i
1i
k
K=
αγ
αγ
−=
+−−
+
3. Вычисляем коэффициенты B
n
0
и B
n
k
()
n
1n
0
n
02
2
n
1n
0
n
02
20
n
0
1mb
~
a
~
cb
~
F
B
τ
+α
+
τ
α
+
=
+
+
;
ν−+
τ
α
⋅+
τ
α
+
=
+
+
nn
k
n
1n
k
n
k
22
n
1n
k
n
k2
k2
n
k
r
m
b
~
a
~
cb
~
F
B
.
4. Вычисляем коэффициенты A
n
k
:
(
)
K,3,2,1,0kcBmA
1n
k
n
k
1n
k
n
k
=+−=
++
5. Вычисляем коэффициенты
1i
k
A
−
:
(
)
K,3,2,1,0kcAmA
i
k
i
k
i
k
1i
k
=+−=
−
При каждом зафиксированном номере k индекс i пробегает значения n,
n-1, n-2, …, 3, 2.
6. Вычисляем коэффициенты B
i
k
по формулам:
266
()
KKK ,2,1,0kAB,,AB,,AB,AB
n
k
1n
k
i
k
1i
k
3
k
2
k
2
k
1
k
=====
−−
Тестовые примеры расчётов поля в МС-средах по разработанной теории
автором представлены в [162].
Основные результаты главы 6.
1). Разработан математический аппарат
расчёта линейной фильтрации в кусочно-неоднородных многослойных средах в
областях, топологически эквивалентных прямоугольнику. 2). С помощью
развитой теории на конкретных примерах выполнены дополнительные
исследования точности расчётов в МС-средах методом интегрального
однородно-анизотропного эквивалентирования. 3). Предложен общий метод,
названный методом многослойной аппроксимации неоднородной изотропной
среды, решения краевых задач для эллиптического уравнения
0
y
)x(f
x
)x(f
x
2
2
=
∂
ϕ∂
⋅+
∂
ϕ∂
∂
∂
с произвольным положительным кусочно-
непрерывным коэффициентом f(x) в прямоугольной области и с широким
набором граничных условий на её сторонах (перечислявшихся выше в этой
главе). 4). На примере разработанной теории указаны общие подходы к расчётам
полей в многослойных средах в других областях - полосе, полуполосе, круге и н.
др., а также в топологических аналогах этих областей в изотермических
системах координат.
267
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В диссертации на основании выполненных исследований разработаны
теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать
как новое крупное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в
искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и
анизотропных средах.
Основные результаты работы, полученные лично автором
1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей для тех
анизотропных сред, у которых главные направления анизотропии известны
априори (к таким относятся распространённые в естественных условиях
трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические,
трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах
фильтрации.
2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений
несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых
пластах конечной переменной и постоянной толщины.
3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых
средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования.
4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных
фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании
течений к одиночным и групповым скважинам.
5. Предложена качественная и точная количественная математическая
модель работы скважины с гравийным фильтром.
6. Предложены математические модели работы основных конструкций
промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин.
7. Предложены качественные математические модели работы скважин при
вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта.
8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в
многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами
координатных линий изотермических систем координат.
268
ЛИТЕРАТУРА
1. АМИРАСЛАНОВ И.А., ЧЕРЕПАНОВ Г.П. Фильтрация жидкости в
криволинейных слоях переменной толщины // ПММ. – 1981. – вып.6. –
С. 1142-1146.
2. АРАВИН В.И. К вопросу о фильтрации в анизотропно-водопроницаемых
грунтах // Тр. Ленинградского индустриального ин-та. – 1937. – вып.2. – № 9.
–С. 3-12.
3. АРАВИН В.И. Расчет плоской фильтрации в грунтах с криволинейной
анизотропией // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. – 1974. Т.104. – С.3-9.
4. АРАВИН В.И. Фильтрация в анизотропно-водопроницаемом грунте // Тр.
Ленинградского индустриального ин-та. – 1940. – вып.1. – № 1. – С.3-14.
5. АРАВИН В.И., НОСОВА О.И. Натурные исследования фильтрации. – Л.:
Энергия, 1969. – 256 с.
6. АРАВИН В.И., НУМЕРОВ С.Н. Теория движения жидкостей и газов в
недеформируемой пористой среде. – М.: Гостехиздат, 1953. – 616 с.
7. АРЬЕ А.Г. Физические основы фильтрации подземных вод. – М.: Недра,
1984. – 101 с.
8. БАРЕНБЛАТТ Г.И. и др. Движение жидкостей и газов в природных пластах
/ Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1984. – 208 с.
9. БАРИНОВА М.Ф. К вопросу о построении фильтрационных течений в
прерывно – однородных пластах // Уч. зап. МОПИ им. Н.К. Крупской. –
1971. – Т.299. – вып.1. – С.38-44.
10. БАСАРЫГИН Ю.М. и др. Заканчивание скважин / Ю.М. Басарыгин,
А.И. Булатов, Ю.М. Проселков. – М.: Недра, 2000. – 670 с.
11. БАСНИЕВ К.С., БЕДРИКОВЕЦКИЙ П.Г., ДЕДИНЕЦ Е.Н. Определение
эффективной проницаемости трещиновато-пористой среды // ИФЖ. – 1988.
– Т.55. – № 6. – С.940-948.
12. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. К определению проницаемости и
фильтрационного сопротивления для анизотропных пористых сред // Изв.
вузов. Нефть и газ. – 1985. – №2. – С. 26, 43, 44.
269
13. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. Обобщенный закон Дарси для
анизотропных пористых сред // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1986. – №5. – С.54-
59.
14. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. Определяющие соотношения для
анизотропных пористых сред, проявляющих ассиметрию фильтрационных
свойств // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1987. – №10. – С. 56-61.
15. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. Соотношения между значениями
направленной проницаемости для анизотропных коллекторов // Изв. вузов.
Нефть и газ. – 1988. – №8. – С. 70-94.
16. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М., РОЗЕНБЕРГ Г.Д. Нефтегазовая
гидромеханика. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2003. – 480 с.
17. БАХВАЛОВ Н.С., ПАНАСЕНКО Г.П. Осреднение процессов в
периодических средах. – М.: Наука, 1984. – 352 с.
18. БАХВАЛОВ Ю.А., ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Качественное
исследование электрического поля в межобмоточных промежутках
высоковольтных трансформаторов // Изв. вузов СССР. Электромеханика. –
1987. – № 9. – С.16-26.
19. БОРИСЕНКО А.И., ТАРАПОВ И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. – М.: «Высшая школа», 1966. – 251 с.
20. БОЯРСКИЙ Б.В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами // ДАН СССР. –
1955. – Т.102. – №4. С.661-664.
21. БРАГИНСКАЯ В.А. Некоторые задачи фильтрации в анизотропном грунте //
ПММ. – 1942. – Т.6. – вып. 2-3.
22. БУЙКИС А.А. Моделирование процессов фильтрации в слоистых средах
методом консервативного осреднения : Дисс. … д-ра физ.-мат. наук. – Рига,
1987. – 358 с.
23. БЫСТРОВ К.Н. Построение течений с точечными особенностями в
искривленных слоях переменной толщины // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1968. –
№ 1. – С.169-175.