Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Подождите немного. Документ загружается.
250
образом, однородно-анизотропное эквивалентирование МС-сред будет
оправдано, в основном, в задачах расчёта потоков в слоистых средах, когда
максимальная толщина отдельных слоёв не превышает 2% от характерного
размера области. К аналогичному выводу приводят исследования и в 3-ей
главе диссертации.
Таблица 6.1
Число слоёв Q
MD
δ
Q
(%) φ (5,5) δ
φ
(%)
2 331,312 179,4 23,491 473,8
4 208,995 76,3 6,000 46,6
6 144,955 22,2 9,543 133,1
8 120,550 1,7 4,690 14,6
10 112,495 -5,1 6,822 66,6
12
*
110,548 -6,8 4,376 6,9
14 110,745 -6,6 5,857 43,1
16 111,590 -5,9 4,258 4,0
18 112,550 -5,1 5,384 31,5
20 113,427 -4,3 4,201 2,6
50 117,730 -0,7 4,495 9,8
70 118,156 -0,4 4,373 6,8
80 118,250 -0,3 4,101 0,2
100 118,350 -0,2 4,099 0,1
N = ∞
анизотр.
среда
118,578
относ.
погреш.
(%)
4,094
относ.
погреш.
(%)
2). В столбике со значениями потока Q
MD
видно, что когда на стороне
MD укладывается 12 слоёв, поток Q
MD
минимален. Это объясняется тем, что
в этом случае линии тока поля, преломляясь на границах раздела слоев,
выстраиваются в линии наибольшей длины. Анизотропная модель не
251
содержит информации о числе n слоёв и, поэтому в ней линии тока имеют
одну и ту же геометрию для различного значения n. Именно, главным
образом поэтому, анизотропная модель не может передать какие-то
«глубинные» свойства МС-среды, почему и требуется развитие
самостоятельной теории расчёта полей в слоистых средах.
6.8.2 Расчёт полей в изотропных неоднородных средах методом
многослойного эквивалентирования. Ещё одним практическим приложением
теории расчёта полей в МС-средах служит возможность её применения для
исследования полей в сплошных неоднородных средах. Пусть, например,
область G на рис.66 заполнена изотропной средой (Г
1
= Г
2
= Г) с
проницаемостью
Г(х) = γ·f (x), (7)
где γ = const, а f(x) - некоторая положительная дифференцируемая функция.
Тогда уравнение (1.4) для потенциала φ = φ (х, у) примет вид
)y(
y
)x(f
x
)x(f
x
2
2
Ω=
∂
ϕ∂
⋅+
∂
ϕ∂
∂
∂
(8)
Доведение решений краевых задач для уравнения (8) с произвольной
функцией f(x) до числовых результатов приводит к серьёзным
математическим трудностям. Для их преодоления будем моделировать среду
с проницаемостью Г(х) некоторой эквивалентной многослойной изотропной
средой. С этой целью границу MD области G разбиваем произвольным
образом точками деления 0 = x
0
< x
1
< x
2
< …< x
n
= ℓ на частичные отрезки ∆
i
= [x
i-1,
x
i
],
n,1i =
c единственным требованием: в пределах каждого ∆
i
функция f (x) должна меняться монотонно. Затем на каждом из частичных
отрезков ∆
i
среду с заданной проницаемостью Г(х) заменяем на слой g
i
новой
изотропной МС-среды, проницаемость которой выберем изменяющейся по
экспоненциальному закону
τ⋅
−
−
⋅γ=γ
′
−
−
i
1ii
1i
ii
ln
xx
xx
exp)x(
(9)
252
Параметры γ
i
и τ
i
, характеризующие проницаемость i-го слоя МС-модели
находим из условия интегральной эквивалентности (3) на отрезке ∆
i
первоначально заданной среды и слоя g
i
. После подстановки (9) в (3),
получаем систему уравнений
(
)
(
)
()()
∫
⋅
γ
=⋅
γ
=
γ⋅τ⋅τ
−τ⋅−
∫
⋅γ=⋅γ=
τ
−τ⋅−γ
−
−
−
−
i
1i
i
1i
x
x
iii
i1ii
x
x
i
i1iii
B
1
)x(f
dx1
ln
1xx
Adx)x(f
ln
1xx
(10)
Решение системы (10) сводится к отысканию корня τ
i
трансцендентного
уравнения
()
2
1ii
ii
2
i
i
i
xx
BA
Qгде,Q
ln
11
−
−
⋅
==
τ
−τ
⋅
τ
(11)
и последующему вычислению γ
i
по формуле
B
A
i
i
⋅τ
⋅γ=γ
(12)
В силу известного в математическом анализе неравенства [213]
()
2
1ii
x
x
x
x
xx
)x(f
dx
dx)x(f
i
1i
i
1i
−
−≥
∫
⋅
∫
−−
вытекает, что в уравнении (11) Q
i
≥ 1. Именно при
таких значениях Q
i
уравнение (11) имеет два положительных корня τ
1i
и τ
2i
,
произведение которых равно единице τ
1i
⋅τ
2i
= 1. Большему корню отвечает
случай монотонного возрастания γ′
i
(x) на отрезке ∆
i
, а меньшему – случай
монотонного убывания. Поэтому из двух возможных корней уравнения (11)
выбираем тот, который соответствует возрастанию или убыванию на отрезке
∆
i
заданной функции f(x). В результате описанной процедуры локального
эквивалентирования заданной среды на каждом частичном отрезке ∆
i
новой
средой с проницаемостью (9), получаем МС-среду из n слоёв и с
характеристиками γ
i
, τ
i
, ε
i
= 1. Подчеркнём, что полученная МС-среда
обладает не только локальными свойствами интегральной эквивалентности
по отдельным слоям, но и глобальной интегральной эквивалентностью с
253
заданной средой во всей области G. Последнее непосредственно проверяется
с помощью (3) при а = х
0
= 0 и b = x
n
= ℓ.
Приведём теперь пример 2, на котором продемонстрируем
предлагаемую методику расчёта поля в неоднородной изотропной среде.
Пусть проницаемость (7) заданной среды определяется законом
Г(х) = γ⋅(х + а)
2
, (13)
и источники в G отсутствуют, т.е. Ω(у) = 0. Требуется рассчитать потенциал
φ = φ(х,у) при граничных условиях
0
xhy0y
=ϕ=ϕ=ϕ
=== l
(14)
и
∑
=
=
π
⋅α=ϕ
N
1k
k
0x
h
ky
sin
, (15)
где
const
k
=α . В этом контрольном примере точное решение уравнения (8) с
условиями (14) и (15) имеет вид:
∑
=
π
⋅
π
−π
⋅α⋅
+
=ϕ
N
1k
k
h
ky
sin
h
k
sh
h
)x(k
sh
ax
a
)y,x(
l
l
. (16)
Значения φ в МС-модели среды (13) (все слои в которой выбирались
одинаковыми по размерам) и найденные по теории для МС-сред, сравнивались с
точным решением (16). Результаты расчетов (для ℓ = h = 10, a = 1, α
1
= 10, N = 1)
представлены в таблице 6.2. Вычислительный эксперимент показал, что в этом
опыте, начиная с пяти слоёв (т.е. когда толщина отдельного слоя составляет 20%
и менее от размера участка монотонности Г(х)) расчёт φ для МС-модели
отличается от точного значения менее чем на 0,5%.
В следующем примере 3 расчёт потенциала φ(х, у) в неоднородной
среде (13) проводится на той же самой МС-модели, но при других граничных
условиях:
0
x
)x(,
h2
y
sin,0,1
x
0x0yhy
=
∂
ϕ∂
⋅Γ
π
=ϕ=ϕ=ϕ
=
===
l
(17)
25
4
Таблица 6.2.
у \ х x = 2 x = 5 x = 7
5
слоёв
1,043 0,196 0,069
10
слоёв
1,041 0,195 0,069
20
слоёв
1,040 0,195 0,069
y = 2
50
слоёв
1,040 0,195 0,069
Точное
решение
1.040 0.195 0.069
5
слоёв
1,774 0,333 0,118
10
слоёв
1,770 0,332 0,118
20
слоёв
1,770 0,332 0,118
y = 5
50
слоёв
1,770 0,332 0,118
Точное
решение
1.770 0.332 0.118
5
слоёв
1,435 0,270 0,096
10
слоёв
1,432 0,269 0,095
20
слоёв
1,432 0,269 0,095
y = 7
50
слоёв
1,432 0,269 0,095
Точное
решение
1.432 0.269 0.095
255
Точное решение краевой задачи (17) для уравнения (8), когда Ω(у) = 0, имеет
вид
S
)ax(
a2
h
y
)y,x( ⋅
+π
+=ϕ ,
где
π
⋅
π
⋅⋅−
π
⋅
+π
+
−π
⋅−
=
∑
∞
=
+
h
ky
sin
h
k
chk)1k4(
h
kx
sh
)a(k
h
h
)x(k
ch)1(
S
1k
2
1k
l
l
l
(18)
Точные, найденные из (18), и приближённые, найденные по развитой в этой
главе теории расчётов полей в слоистых средах, значения потенциала φ
представлены в таблице 6.3 (при ℓ = h = 10, а = 1). Вычислительный
эксперимент показал, что и в этом опыте, начиная с 5 слоёв, расчёт φ для
МС-модели практически совпадает с точным решением (относительная
ошибка 0,8% и менее).
Таким образом, метод МС-эквивалентирования изотропных
неоднородных сред приводит к практически точному решению, если:
1). Толщина отдельных слоёв на участках монотонного изменения
проницаемости составляет не более 20% от размера участка монотонности и,
2) краевые условия на торцевой части МС-модели (т.е. при у = 0 и у = h) –
постоянные величины. В заключении к данному пункту отметим, что в ряде
случаев расчёт потенциала поля в изотропных неоднородных средах
получается с приемлемой для практики точностью даже тогда, когда
интегральное эквивалентирование осуществляется глобально, ко всей
расчётной области, а не локально по отдельным слоям, как было сделано в
примерах 2 и 3. Числовые эксперименты, подтверждающие это, приведены в
статьях автора [208-210].
256
Таблица 6.3.
y \ х x = 2 x = 5 x = 7
2
слоя
0,225 -1,7% 0,205 0,2% 0,202 0,8%
5
слоёв
0,221 0,1% 0,205 0,2% 0,202 0,8%
10
слоёв
0,221 0,1% 0,205 0,2% 0,202 0,8%
y = 2
Точ.
реш.
0,2213
Относ.
пог.(%)
0,2055
Относ.
пог.(%)
0,2036
Относ.
пог.(%)
2
слоя
0,545 -1,2% 0,508 0,3% 0,504 0,5%
5
слоёв
0,538 0,1% 0,508 0,3% 0,504 0,5%
10
слоёв
0,538 0,1% 0,508 0,3% 0,504 0,5%
y = 5
Точ.
реш.
0,5388
Относ.
пог.(%)
0,5097
Относ.
пог.(%)
0,5063
Относ.
пог.(%)
2
слоя
0,738 -0,7% 0,707 0,1% 0,703 0,3%
5
слоёв
0,733 0,1% 0,707 0,1% 0,703 0,3%
10
слоёв
0,733 0,1% 0,707 0,1% 0,703 0,3%
y = 7
Точ.
реш.
0,7336
Относ.
пог.(%)
0,7080
Относ.
пог.(%)
0,7052
Относ.
пог.(%)
257
6.9. Граничные условия 2 – го типа (Неймана по одной паре
противоположных сторон прямоугольника и смешанные по другой паре)
В этом параграфе даётся дальнейшее развитие теории расчёта
стационарных фильтрационных течений в многослойных средах. В отличие
от §§1-7, сейчас границы BE и MD многослойной области на рис.66
рассматриваются как непроницаемые. Кроме того, считается, что в области
MBED отсутствуют источники (стоки). В остальном исходные положения
сохраняются прежними и поэтому решение рассматриваемой здесь задачи
приведём в краткой форме.
Общая постановка задачи.
Имеется прямоугольная область
плоскопараллельной фильтрации несжимаемой жидкости
MBED (рис. 66),
состоящая из n отдельных слоёв с размерами
n21
d,,d,d K по оси x и с
одинаковыми высотами h. (Здесь и далее параметры характеризующие i-ю
полоску, будут снабжаться верхним индексом
i , по нижнему индексу будет
осуществляться суммирование. При возведении в степень индексированного
параметра этот параметр записывается в скобках). Стороны
MD и BE
непроницаемы. На сторонах
BM и ED задаются некоторые стационарные
граничные условия (например, известно распределение потенциала).
Требуется рассчитать потенциал и скорость фильтрации в данной области.
Уравнения и граничные условия.
Плоскопараллельное поле
() () ()
y
i
yx
i
x
i
ey,xvey,xvy,xv
r
r
r
⋅+⋅= скорости фильтрации в i - ом слое, главные
направления анизотропии (ГНА) которого совпадают с направлениями осей
x и y , описывается законом Дарси
() ()
µ
=ϕ
∂
ϕ∂
⋅γ−=
∂
ϕ∂
⋅γ−=
i
i
i
i
y
i
y
i
i
x
i
x
P
;
y
~
y,xv;
x
~
y,xv
(1)
(где P
i
– приведённое давление в i-ом слое) и уравнением неразрывности:
0
y
v
x
v
vdiv
i
y
i
x
i
=
∂
∂
+
∂
∂
=
. (2)
В формулах (1)
()
y,x
i
ϕ —потенциал скорости фильтрации;
i
x
~
γ и
i
y
~
γ — главные
проницаемости i - го слоя вдоль ГНА, которые зависят от координаты x
258
рассматриваемых МС - сред следующим образом:
()
(
)
xf
~
;xf
~
iiii
y
iii
x
γε=γγ=γ
где
i
ε — коэффициент анизотропии;
i
x
i
y
i
~
~
γ
γ
=ε
,
(
)
xf
i
— безразмерная функция,
принимающая значения
(
)
1xf
1i
=
−
и
(
)
ii
xf τ= ,
i
τ коэффициент неоднородности
i-го слоя вдоль оси x. Подставляя (1) в (2), для потенциала
()
y,x
i
ϕ получим
следующее уравнение:
() ()
0
y
xf
x
xf
x
2
i2
ii
i
i
=
∂
ϕ∂
ε+
∂
ϕ∂
⋅
∂
∂
(3)
Рассмотрим теперь граничные условия, совместно с которыми необходимо
интегрировать систему n уравнений (3). Во-первых, так как рассматривается
случай, когда стороны MD и BE многослойного прямоугольника
непроницаемы, то в каждой полосе на указанных сторонах
0v
i
y
= т.е.
()
n,,2,1i0
yy
hy
i
0y
i
K==
∂
ϕ∂
=
∂
ϕ∂
==
(4)
Во-вторых, на сторонах MB и ED могут быть заданы различные условия —
либо закон распределения потенциала, либо закон распределения
нормальной составляющей скорости фильтрации. Чтобы одновременно
рассмотреть каждый из этих случаев, запишем граничные условия на
сторонах MB и ED в виде:
()
yF
x
b
~
a
~
1
0x
1
1
1
1
=
∂
ϕ∂
+ϕ
=
(5)
()
yF
x
b
~
a
~
2
x
n
2
n
2
=
∂
ϕ∂
+ϕ
=l
(6)
Если в (5) и (6) положить
0b
~
b
~
21
== а 1a
~
a
~
21
=
=
то получаем случай заданного
на границах x=0 и x=l закона распределения потенциала. Если же взять
0a
~
a
~
21
== ,
1
1
b
~
γ−= ,
nn
2
b
~
τ⋅γ−= , то получаем случай заданного на границах МВ
и ED закона распределения нормальной составляющей скорости фильтрации.
Однако в последнем случае нужно еще учитывать то, что функции F
1
(y) и
259
F
2
(y) не могут быть произвольными. В самом деле, так как в силу уравнения
неразрывности количество поступающей в область фильтрации жидкости за
единицу времени должно быть равно количеству вытекающей из неё
жидкости за то же время, то F
1
(y) и F
2
(y) должны удовлетворять требованию:
() ()
∫∫
=
h
0
2
h
0
1
dyyFdyyF
.
В-третьих, на границах контакта полос друг с другом должны выполняться
условия непрерывности давления и нормальных составляющих скорости
фильтрации, т.е.
()
n,,3,2i;
xx
;:xxпри
i
i
1i
1i1ii1i1i
K=
∂
ϕ∂
γ=
∂
ϕ∂
τγϕ=ϕ=
−
−−−−
. (7)
Решение системы (3) методом Фурье.
Решение каждого из уравнений
системы (3), удовлетворяющее граничным условиям (4) будем искать
методом Фурье. Осуществляя стандартные для этого метода выкладки,
получим
() () ()()
∑
∞
=
λ+=ϕ
1k
k
i
k
i
0
i
ycosxXxXy,x (8)
где
h
k
k
π
=λ
, а
()
xX
i
k
—решение уравнений
()
()
( ) () () ( )
n,,2,1i,2,1,0k;0xXxf
dx
xdX
xf
dx
d
i
k
ii
2
k
i
k
i
KK ===ελ−
. (9)
В дальнейшем для простоты удовлетворения граничным условиям (7), общее
решения уравнений (9) удобно представить в виде суммы
(
)
(
)
(
)
xpBxgAxX
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
+= (10)
где
i
k
A и
i
k
B — пока произвольные постоянные, а
(
)
xg
i
k
и
()
xp
i
k
— частные
решения (9), удовлетворяющие краевым условиям
(
)
1xg
1ii
k
=
−
,
(
)
0xg
ii
k
= ,
(
)
0xp
1ii
k
=
−
,
(
)
1xp
ii
k
= (11)
При k=0 функции
()
xg
i
0
и
(
)
xp
i
0
, удовлетворяющие условиям (11), из
уравнения (9) находятся при помощи квадратур и имеют вид: