Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Подождите немного. Документ загружается.
290
218. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О фильтрации в неоднородных средах с
криволинейной анизотропией // Проблемы математики в задачах физики и
техники. Моск. физико – технич. ин-т. – М., 1992. – С.153-155.
219. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О фильтрации в пластах с кольцевыми
неоднородными анизотропными зонами, трещинами и завесами // Докл. АН
СССР. – 1991. – Т.317. – № 3. – С.606-608.
220. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися
трещинами и завесами // Докл. РАН. – 1994. – Т. 338. – № 5. – С.622-624.
221. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О фильтрационных течениях с экранированным
шаровым включением // Изв. РАН. МЖГ. – 2002. – № 4. – С.98-104.
222. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. Об анизотропной модели слоисто – анизотропных
трещиноватых сред при линейной фильтрации // Вычислительная
математика и математическая физика. Моск. гос. пед. ин-т. – М., 1988. –
С.14-17.
223. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. Тензор эффективной проницаемости сильно
неоднородных грунтов // Инженерно – физический журнал БАН и РАН. –
1992. – Т.63. – № 1. – С.18-22.
224. ХОРЬКОВ В.А. Некоторые краевые задачи установившейся фильтрации
жидкости в слоях переменной толщины // Задачи динамических процессов в
сплошных средах: Межвуз. сб. / Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск, 1991. –
С.52-56.
225. ЧЕРНЯЕВ А.П. Фильтрация в искривленных неоднородных пластах с
проводимостью некоторого класса // ПММ. – 1983. – Т.47. – вып. 6. – С.1047-
1049.
226. ШЕЙДЕГГЕР А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. – М.:
Гостоптехиздат, 1960. – 250 с.
227. ШЕШУКОВ Е.Г. О нелинейной фильтрации в анизотропной среде //
Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. – Казань: Изд-во
Казанского ун-та, 1977. – С. 183-194.
291
228. ЩЕЛКАЧЕВ В.Н. Критический анализ исследований, посвященных
определению верхней границы закона фильтрации Дарси // Упругий режим
фильтрации и термодинамика пласта. – М.: Недра, 1972. – С. 3-12.
229. ЩЕЛКАЧЕВ В.Н., ЛАПУК Б.Б. Подземная гидравлика. – Москва-Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 736 с.
230. ЯНКЕ Е., ЭМДЕ Ф., ЛЁШ Ф. Специальные функции. – М.: Наука, 1977. –
342 с.
231. ЯРМИЦКИЙ А.Г. Фильтрационная теорема о двух окружностях // Изв. АН
СССР. МЖГ. – 1986. – № 4. – С.76-82.
232. ALLEN A.J.C. On some problems in the conduction of electricity // Quarterly
Journal of pure and applied mathematics, 1881, vol. 17, p. 65-86.
233. BELTRAMI E. Intorno ad un caso di moto a due coordinate // Rendiconti d.
Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 1878, vol. 11, p. 199-210.
234. BERS L. Theory of pseudo-analytic functions. Lecture notes (mimeographed).
New York University, 1953.
235. BERS L., GELBART A. On the class of functions defined by partial differential
equations. Transactions of the American Mathematical Society, v. 56, № 1, 1944.
236. DACHLER R. Uber Stekerwasserstromungen in geschichtetem Material //
Wasserwirtschaft, 1933, №2, p.15-20.
237. FERRANDON J. Les lois de lécoulement defiltration. Genie Civil, 125, no 24,
1948.
238. HILL M.J. The steady motion of electricity in spherical current sheets. –
Quarterly Journal of pure and applied mathematics, 1879, vol. 16, p. 306-323.
239. IRMEY B. Darcys low for nonisotropicsoils. Proc. Ass. Gen. Bruxelless Ass. Int.
Hydrol. (UGGI), 2, 179, 1951.
240. JONSON W.E., HUGHES R.V. Directional permeability measurements and their
significance. Producers monthly, 1948, 13, p. 17-25.
241. LEVY T. Filtration in a porous fissured rock: influence of the fissures connexity //
Eur. J. Mech. 1990. V.9. № 4. C.309-327.
292
242. LITWINISZIN J. Stationary flows in heterogeneously anisotropic mediums. Ann.
Polon. Math. 1950. 22. 185p.
243. MAAS C. Groundwater flows to a well in a layered porous medium // Water
resources research. 1987. V.23. № 8. C.1675-1681.
244. MARCUS H. The permeability of sample of an anisotropy medium // J. Geophys.
Res. 1962. V. 67. №13, p. 5215-5225.
245. MARCYS H., EVENSON D.E. Directional permeability in anisotropy porous
media // Univ. Calif. Bercely. Water Resources Center contrib. 1961, 31. oct, p.
105.
246. MEEGODA N.J., KING I.P., ARULANDAN K. An expression for the
permeability of anisotropy granular media // Int. J. number. anal. methods in
geomechanics. 1989. V. 13. p. 575-598.
247. MUSKAT M. Physical principles of oil production. New York. McGraw-Hill.
1949. 922 p.
248. MUSKAT M. The flow of homogenous fluids through porous media. Ann.
Arbour. Mich. Edwards. 1946. 736 p.
249. NIKOLAEVSKIJ V.N. Mechanics of Porous and Fractured Media. Singapore:
World Scientific. 1990. 472p.
250. NUMEROV S.N. Non-linear seepage in anisotropy media // Proceedings 15
congress IAHR. 1973. Vol.3. p.39.
251. ODA M. Permeability tensor for discontinuous rock masses // Geotecknique.
1985. V.35. № 4. C.483-495.
252. OLENDORFF F. Potentialfelder der Elektrotechnik. Berlin, 1932. 395 s.
253. PETERSEN J.S., ROCHWER C., ALBERTSON M.L. Effect of well screens on
flow into wells // Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1953, 79, № 365.
254. PIVEN’ V.F. The theory of two-dimensional processes in inhomogeneous
layers with power law of their conductivity variation // J. Appl. Maths. Mechs.
1997, Vol. 61, №4, P. 577-586.
255. PRATS M. Effect of vertical fractures on reservoir behaviour in compressible fluid
case // Soc. Petrol. Eng. Journal. 1961. V.1. № 2. C.105-118.
293
256. SCHAFFERNAK F. Erforschung der physikalischen Gesetze, nach welchem die
Durchsikerung des Wassers eine durch Talsperre oder den Untergrund stattfindet.
Wasserwirtschaft. 1933. №30. s. 10-20.
257. SCHEIDEGGER A. On directional permeability // Geophys. Pura Appl. 1956. V.
33. P. 111.
258. SCHEIDEGGER A.E. The phusics of flow through porous media. Univ. of
Toronto Press. 1974, 3d edition. 353 p.
259. SNOW D.T. Anisotropy permeability of fractured media // Water Resour.
Research. 1969. V.5. № 6. C.1273-1284.
260. ZIJL W., STAM J.M. Modelling permeability in imperfectly layered porous media
// Math. Geol. 1992. V.24. № 8. C.865-883.
294
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
В расчётах тензоров проницаемостей для линейной фильтрации и тензо-
ров фильтрационных свойств для нелинейной фильтрации в анизотропных
средах применяются законы ортогонального преобразования базисов, коор-
динат векторов и тензоров. Поэтому перечислим все относящиеся к назван-
ным законам необходимые сведения из линейной алгебры и тензорного ис-
числения [19, 60, 72, 76]. Кроме того в П1.4 этого приложения приведём век-
торно-матричную форму представления уравнений квадратичной и кубичной
связи одного векторного поля
F
r
от другого векторного поля v
r
. Такая форма
записи уравнений связи физических полей более наглядна по сравнению с
тензорной формой. Кроме того, она позволяет представить законы преобра-
зования тензоров 3-го и 4-го рангов в новой наглядной матричной форме.
П1.1 Закон преобразования базисов
Пусть в области фильтрации выбраны две ортогональные криволиней-
ные системы координат (
ζ
η
ξ ,, ) и (
ζ
′
η
′
ξ
′
,, ), которые с декартовыми коорди-
натами (
z,y,x ) связаны равенствами
ζ=ζ
η=η
ξ=ξ
)z,y,x(
)z,y,x(
)z,y,x(
и
ζ
′
=ζ
′
η
′
=η
′
ξ
′
=ξ
′
)z,y,x(
)z,y,x(
)z,y,x(
, (1)
а друг с другом равенствами
ζ
′
η
′
ξ
′
ζ=ζ
ζ
′
η
′
ξ
′
η=η
ζ
′
η
′
ξ
′
ξ=ξ
),,(
),,(
),,(
(2)
Последние получаются из (1) путем исключения координат
z,y,x . Для
того, чтобы координаты (
ζ
η
ξ
,, ) были ортогональными требуется, как из-
вестно, обращение в нуль скалярных произведений
0
RRRRRR
=
ζ∂
∂
⋅
η∂
∂
=
ζ∂
∂
⋅
ξ∂
∂
=
η∂
∂
⋅
ξ∂
∂
r
r
r
r
r
r
, (3)
295
где kzjyixR
r
r
r
r
++= - радиус-вектор текущей точки )z,y,x(M . Аналогично, что-
бы координаты (
ζ
′
η
′
ξ
′
,,
) были ортогональными, должны обращаться в нуль
скалярные произведения
0
RRRRRR
=
ζ
′
∂
∂
⋅
η
′
∂
∂
=
ζ
′
∂
∂
⋅
ξ
′
∂
∂
=
η
′
∂
∂
⋅
ξ
′
∂
∂
r
r
r
r
r
r
(4)
Всюду ниже считаем, что равенства (1) удовлетворяют в каждой точке
)z,y,x(M условиям (3) и (4). Вектора, образующие локальный декартовый ба-
зис в криволинейной системе координат (
ζ
η
ξ
,, ) будут, как известно, опреде-
ляться по формулам
ζ∂
∂
⋅=
η∂
∂
⋅=
ξ∂
∂
⋅=
R
H
1
e;
R
H
1
e;
R
H
1
e
3
3
2
2
1
1
r
r
r
r
r
r
, (5)
где
222
3
222
2
222
1
zyxR
H
;
zyxR
H;
zyxR
H
ζ∂
∂
+
ζ∂
∂
+
ζ∂
∂
=
ζ∂
∂
=
η∂
∂
+
η∂
∂
+
η∂
∂
=
η∂
∂
=
ξ∂
∂
+
ξ∂
∂
+
ξ∂
∂
=
ξ∂
∂
=
r
r
r
(6)
параметры Ламе системы (
ζ
η
ξ
,, ). Совершенно аналогично определяется ло-
кальный декартовый базис в системе координат
ζ
η
ξ
′
′
′
,, :
ζ
′
∂
∂
⋅
′
=
′
η
′
∂
∂
⋅
′
=
′
ξ
′
∂
∂
⋅
′
=
′
R
H
1
e;
R
H
1
e;
R
H
1
e
3
3
2
2
1
1
r
r
r
r
r
r
, (7)
где
222
3
222
2
222
1
zyxR
H
zyxR
H,
zyxR
H
ζ
′
∂
∂
+
ζ
′
∂
∂
+
ζ
′
∂
∂
=
ζ
′
∂
∂
=
′
η
′
∂
∂
+
η
′
∂
∂
+
η
′
∂
∂
=
η
′
∂
∂
=
′
ξ
′
∂
∂
+
ξ
′
∂
∂
+
ξ
′
∂
∂
=
ξ
′
∂
∂
=
′
r
r
r
. (8)
Вектора локальных декартовых базисов в силу равенств (3) и (4) будут удов-
летворять условиям
ijji
ee
δ
=
),(
rr
и
ijji
ee
δ
=
′
′
),(
r
r
, где
ij
δ
- символ Кронекера
(
0=
ij
δ
, если ji ≠ и 1=
ij
δ
, если ji
=
).
С целью установления связи между векторами «старого»
321
,, eee
r
rr
и «но-
вого»
321
,, eee
′′′
rrr
базисов выполним дифференцирование в формулах (7) с учё-
296
том равенств (2):
.eHeHeH
H
1
RRR
H
1
e
332211
1
1
1
⋅
ξ
′
∂
ζ∂
⋅+⋅
ξ
′
∂
η∂
⋅+⋅
ξ
′
∂
ξ∂
⋅⋅
′
=
=
ξ
′
∂
ζ∂
⋅
ζ∂
∂
+
ξ
′
∂
η∂
⋅
η∂
∂
+
ξ
′
∂
ξ∂
⋅
ξ∂
∂
⋅
′
=
′
rrr
r
r
r
r
Аналогично получаются два других равенства для векторов
2
e
′
r
и
3
e
′
r
. В мат-
ричной форме все три равенства для векторов
21
, ee
′
′
r
и
3
e
′
r
нового базиса можно
записать в виде
EПE
⋅
=
′
, (9)
где
′
′
′
=
′
=
3
2
1
3
2
1
e
e
e
E,
e
e
e
E
r
r
r
r
r
r
,
ζ
′
∂
ζ∂
⋅
′
ζ
′
∂
η∂
⋅
′
ζ
′
∂
ξ∂
⋅
′
η
′
∂
ζ∂
⋅
′
η
′
∂
η∂
⋅
′
η
′
∂
ξ∂
⋅
′
ξ
′
∂
ζ∂
⋅
′
ξ
′
∂
η∂
⋅
′
ξ
′
∂
ξ∂
⋅
′
=
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
H
H
;
H
H
;
H
H
H
H
;
H
H
;
H
H
H
H
;
H
H
;
H
H
П
. (10)
Элементы матрицы перехода П из старого базиса
E
в новый базис
E
′
можно
найти не только по формуле (10), но и через скалярные произведения базис-
ных векторов по формуле
′′′
′′′
′′′
=
)e,e();e,e();e,e(
)e,e();e,e();e,e(
)e,e();e,e();e,e(
П
332313
322212
312111
rrrrrr
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
. (11)
Такой вид (11) матрицы ортогонального преобразования базисов устанавли-
вается известными методами линейной алгебры [60]. Далее с целью сокра-
щения объёма записей элементы матрицы П будем обозначать через α
ij
т.е.
{П}
ij
= α
ij
.
В силу равноправия базисов
E
и
E
′
матрица обратного перехода П
-1
из
E
′
в
E
будет, в соответствии с (10), иметь вид:
EПE
1
′
⋅
=
−
, (12)
где
297
ζ∂
ζ
′
∂
⋅
′
ζ∂
η
′
∂
⋅
′
ζ∂
ξ
′
∂
⋅
′
′
η∂
ζ
′
∂
⋅
′
η∂
η
′
∂
⋅
′
η∂
ξ
′
∂
⋅
′
ξ∂
ζ
′
∂
⋅
′
ξ∂
η
′
∂
⋅
′
ξ∂
ξ
′
∂
⋅
′
=
−
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
1
H
H
;
H
H
;
H
H
H
H
;
H
H
;
H
H
H
H
;
H
H
;
H
H
П
. (13)
Матрица в формуле (13) действительно обратная к П, так как непосредствен-
ное перемножение матриц (10) и (13), как легко проверить, дает единичную
матрицу
I
. Через скалярные произведения базисных векторов матрица пере-
хода из
E
′
в
E
будет, по аналогии с формулой (11), записываться в виде
′′′
′′′
′′′
=
−
)e,e();e,e();e,e(
)e,e();e,e();e,e(
)e,e();e,e();e,e(
П
332313
322212
312111
1
rrrrrr
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
. (14)
Сопоставление формул (11) и (14) показывает, что матрицы П и П
–1
получа-
ются одна из другой с помощью транспонирования, т.е. П
–1
= П
Т
. Последнее
означает, что матрица преобразования базисов ортогональная, что соответст-
вует известному правилу преобразования ортогональных координат в евкли-
довых пространствах [60].
П1.2 Закон преобразования координат векторов
Если в области фильтрации выбраны две криволинейных ортонормиро-
ванных системы координат (
ζ
η
ξ
,, ) и (
ζ
′
η
′
ξ
′
,, ), то вектор v
r
(вектор скорости
фильтрации) может быть разложен как по базису первой системы, так и по
базису второй системы координат:
332211332211
evevevevevevv
′′
+
′
′
+
′
′
=
+
+
=
r
r
r
r
r
r
r
. (1)
В формуле (1) через
321
v,v,v (
321
v,v,v
′
′
′
) обозначены проекции вектора v
r
на
оси векторов
321
e,e,e
r
r
r
(
321
e,e,e
′
′′
r
r
r
). Чтобы установить связь между координатами
вектора
v
r
, запишем разложение (1) в матричном виде:
E)V(EVv
TT
′
⋅
′
=⋅=
r
, (2)
где
)v,v,v(V
321
T
= и )v,v,v()V(
321
T
′′′
=
′
, а E и E
′
- ранее введенные в П1.1 одно-
столбцовые матрицы из базисных векторов
298
′
′
′
=
′
=
3
2
1
3
2
1
e
e
e
E,
e
e
e
E
r
r
r
r
r
r
. (3)
С учётом формулы (1.9), равенство (2) можно переписать в виде
EП)V(EV
TT
⋅⋅
′
=⋅ , откуда получаем: П)V(V
TT
⋅
′
= . После применения к обеим
частям последнего равенства операции транспонирования, найдем, что
VПV
T
′
⋅=
. (4)
Формула (4) позволяет вычислить координаты
V вектора v
r
в старой системе
через его координаты
V
′
в новой. Умножая слева обе части равенства (4) на
матрицу П, получим
VПV
⋅
=
′
. (5)
Формула (5) позволяет вычислить координаты
V
′
вектора v
r
в новой системе
через его координаты
V в старой системе координат.
П1.3 Закон ортогонального преобразования координат тензора 2-го ран-
га
Пусть в области фильтрации имеются два векторных поля
v
r
и B
r
, кото-
рые в старой системе координат (
ζ
η
ξ
,, ) связаны друг с другом линейными
равенствами
++=
++=
++=
3332321313
3232221212
3132121111
BkBkBkv
BkBkBkv
BkBkBkv
, (1)
или в матричном виде
B
K
V
⋅
=
, (2)
где
V и B - одностолбцовые матрицы )B,B,B(B);v,v,v(V
321
T
321
T
== , а
K
-
матрица (3х3) вида
=
333231
232221
131211
kkk
kkk
kkk
K
. (3)
Совокупность 9 элементов матрицы
K
называют тензором 2-го ранга
K
)
, а
299
сами элементы
ij
k - координатами (компонентами) тензора
K
)
в системе ξ, η,
ζ. В новой системе координат равенство (2) имеет аналогичный вид
BKV
′
⋅
′
=
′
, (4)
но, конечно, координаты
K
′
тензора в системе (
ζ
′
η
′
ξ
′
,, ) будут другими. Для
того, чтобы установить связь между старыми и новыми координатами
K
и
K
′
тензора 2-го ранга подставим в формулу (2) координаты B , выраженные с
помощью (2.4) через новые координаты
B
′
. Получим
B)ПK()BП(KV
TT
′
⋅⋅=
′
⋅=
. Если теперь старые координаты V пересчитать в
новые координаты
V
′
по формуле (2.5), то придем к равенству
B)ПKП(B)KП(ППVV
TT
′
⋅⋅=
′
⋅⋅==
′
. Сравнивая последнее равенство с форму-
лой (4), для новых координат
K
′
тензора второго ранга
K
)
получим выраже-
ние
T
П
K
П
K
⋅
⋅
=
′
. (5)
В покомпонентной форме записи закон (5) ортогонального преобразования
тензора второго ранга принимает вид
smjmisij
kk
α
α
=
′
, (5′)
где по повторяющимся индексам s и m идёт суммирование от 1 до 3. Совер-
шенно аналогично устанавливается закон обратного преобразования коорди-
нат тензора
K
)
:
П
K
П
K
T
⋅
′
⋅
=
, (6)
или в покомпонентной форме записи
smmjsiij
kk
′
α
α
=
, (6′)
где снова по повторяющимся индексам s и m идёт суммирование от 1 до 3.
Отметим для дальнейшего некоторые хорошо известные в линейной и
тензорной алгебре важные следствия, вытекающие из формул (5) и (6). Пер-
вое – из (5) следует, что
KПKПППK)ПKП()K(
TTTTTT
′
====
′
, если
K
K
T
=
. Та-
ким образом, если тензор
K
)
симметричен в некоторой одной ортогональной
системе координат, то он будет симметричен и в любой другой ортогональ-
ной системе. Второе – т.к. П - ортогональная матрица, то