Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Подождите немного. Документ загружается.
300
1)Idet()ППdet()Пdet()Пdet(
TT
===⋅ и, поэтому, )Kdet()ПKПdet()Kdet(
T
′
=
′
=
. Та-
ким образом, определитель матрицы из координат тензора
K
)
является инва-
риантом преобразования координат. В тензорной алгебре этот инвариант
принято обозначать [19] символом
inv)Kdet(I
3
=
=
. Третье – прямым вычис-
лением с помощью формулы (5) можно убедиться, что сумма диагональных
элементов тензора
K
)
тоже инвариант преобразования координат. В тензор-
ной алгебре [19] этот инвариант обозначают символом
invkkk)K(spI
3322111
=++== . Четвертое – ещё одним инвариантом преобразо-
вания координат для тензора
K
)
служит величина, которую принято обозна-
чать [19] как
inv
kk
kk
kk
kk
kk
kk
I
2212
2111
3313
3111
3332
2322
2
=++=
.
П1.4. Законы ортогонального преобразования координат тензоров
третьего и четвёртого рангов
Линейная связь между двумя векторными полями в некоторой матери-
альной среде описывается с помощью тензора второго ранга. Нелинейные
связи между двумя векторными полями описываются при помощи тензоров
3-го, 4-го и более высоких рангов. Так тензоры третьего ранга устанавливают
квадратичную зависимость первого векторного поля
F
r
от второго векторного
поля
v
r
, тензоры четвёртого ранга – кубичную зависимость vотF
r
r
и т.д. Пе-
рейдём к рассмотрению такого рода зависимостей
vотF
r
r
. С целью наглядно-
сти представления уравнений линейной, квадратичной и кубичной связей по-
лей
vиF
r
r
применим векторно-матричный способ записи. В выбранном орто-
нормированном базисе
(
)
T
321
e,e,eE
r
r
r
= линейная связь будет задаваться урав-
нением вида
()
(
)
()
()
3333232131
2323222121
13132121111
evavava
evavava
evavavavF
r
r
r
r
r
⋅⋅+⋅+⋅+
+⋅⋅+⋅+⋅+
+⋅⋅+⋅+⋅=
; (1)
квадратичная связь – задаётся уравнением вида
3
3
2
2
1
1
2
)()()()(evBvevBvevBvvF
TTT
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ; (2)
301
и кубичная связь – в виде уравнения
(
)
()
(
)
(
)
[]
+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
1
133122111
3
evCvvvCvvvCvvvF
TTT
r
()
(
)
(
)
[]
+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+
2
233222211
evCvvvCvvvCvv
TTT
(3)
()
(
)
(
)
[]
3
333322311
evCvvvCvvvCvv
TTT
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ .
В формулах (1) - (3) через v
1
,v
2
,v
3
обозначены координаты вектора
∑
=
=
3
1i
i
i
evv .
Через f
ki
обозначены координаты векторов
()
∑
=
⋅=
3
1i
ikik
efvF
r
r
r
(где k = 1,2,3). Для
матриц-столбиков из координат векторов
k
Fиv
r
r
используются обозначения
V
T
= (v
1
, v
2
, v
3
) и
T
k
F = (f
1k
, f
2k
, f
3k
).
Через a
ij
в формуле (1) обозначены 9 числовых коэффициентов, обра-
зующих тензор 2-го ранга, который принято записывать в виде квадратной
матрицы
()
3
1, =
=
ji
ij
aA .
Через
()
3
1, =
=
ji
ijkk
bB ; k = 1,2,3, в формуле (2) обозначены три квадратных
матрицы (3×3) с элементами b
ijk
. Совокупность из 27 элементов матриц
k
B
образует тензор третьего ранга, который удобно записывать в виде трехмер-
ной [72] матрицы B, представляющей собой столбец из матриц
k
B , т.е.
),,(
321
BBBB
T
= .
Через С
ij
в формуле (3) обозначены девять квадратных матриц (3
×
3) с
элементами
()
3
1, =
=
mk
kmijij
cC . Совокупность 81 элементов c
kmij
образует тензор
четвертого ранга, который в развернутой форме записи удобно представлять
в виде четырехмерной [72] матрицы
(
)
3
1, =
=
ji
ij
CC .
Известные [19, 72, 76] покомпонентные законы преобразования тензо-
ров 2, 3 и 4 рангов в практических расчётах удобно также представлять в
матричной форме. Поэтому специально осуществим вывод матричной фор-
мы законов преобразования тензоров 3-го и 4-го рангов (для тензоров 2-го
ранга такая форма хорошо известна и приведена в П1.3). Эти законы ортого-
302
нального преобразования тензоров 3 и 4 рангов можно получить из инвари-
антности формы уравнений связи (2) и (3).
Для того, чтобы получить компоненты тензора 3-го ранга в новом базисе,
вектор
2
F
r
в формуле (2) разложим по базису Е′. В результате после алгебраиче-
ских преобразований для разложения
2
F
r
в новом базисе получим:
()
∑
=
′
⋅
′
⋅
′
⋅
′
=
3
1
2
i
ii
T
evBvF
r
r
. (4)
В (4) компоненты
()
T
BBBB
321
,,
′′′
=
′
тензора 3-го ранга в новом базисе будут
вычисляться по формуле
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
∗=
′
′
′
T
T
T
ПBП
ПBП
ПBП
П
B
B
B
3
2
1
3
2
1
, (5)
которая и представляет собой матричную форму записи закона преобразова-
ния тензора 3-го ранга при переходе из ортогонального базиса Е в новый ор-
тогональный базис Е′. В (5) точка «·» обозначает произведение числовых
квадратных матриц 3-го порядка, а умножение, отмеченное знаком «звездоч-
ка» *, - это произведение числовой матрицы П на расположенную в (5) спра-
ва от * матрицу-столбик, три элемента которой - числовые квадратные мат-
рицы 3-го порядка. Подчеркнём, что в покомпонентной форме записи фор-
мула (5) принимает вид
psmkmjsipijk
bb
⋅
α
⋅
α
⋅
α
=
′
(5′)
(где по повторяющимся индексам p, s, m идет суммирование от 1 до 3), сов-
падающий с известным [19] законом ортогонального преобразования коор-
динат тензоров 3-го ранга. Совершенно аналогично устанавливаем, что об-
ратное преобразование тензора В третьего ранга в матричной форме записы-
вается следующим образом
⋅
′
⋅
⋅
′
⋅
⋅
′
⋅
∗=
ПBП
ПBП
ПBП
П
B
B
B
T
T
T
T
3
2
1
3
2
1
, (6)
а в покомпонентной форме записи в виде
303
psmmksjpiijk
bb
′
⋅
α
⋅
α
⋅
α
=
, (6′)
где снова по повторяющимся индексам p, s, m идет суммирование от 1 до 3.
Для того чтобы получить компоненты тензора 4-го ранга С в новом ба-
зисе, перейдем в (3) к разложению вектора
3
F
r
по векторам
i
e
′
r
. В результате
после алгебраических преобразований для новых координат
m
f
3
′
вектора
(
)
vF
3
r
r
найдем следующее выражение
(
)
(
)
(
)
vCvvvCvvvCvvf
m
T
m
T
m
T
m
′
⋅
′
⋅
′
⋅
′
+
′
⋅
′
⋅
′
⋅
′
+
′
⋅
′
⋅
′
⋅
′
=
′
3322113
, (7)
в котором
1m
C
′
,
2m
C
′
и
3m
C
′
определяются по формулам
T
TTT
TTT
TTT
П
ПCППCППCП
ПCППCППCП
ПCППCППCП
П
CCC
CCC
CCC
∗
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∗=
′′′
′′′
′′′
333231
232221
131211
333231
232221
131211
;;
;;
;;
;;
;;
;;
. (8)
Формула (8) и представляет развернутый вид записи матричной формы зако-
на ортогонального преобразования тензора С четвертого ранга. Аналогично
выводится формула обратного преобразования компонентов тензора С чет-
вертого ранга при переходе из базиса Е′ в базис Е:
П
ПCППCППCП
ПCППCППCП
ПCППCППCП
П
CCC
CCC
CCC
TTT
TTT
TTT
T
∗
⋅
′
⋅⋅
′
⋅⋅
′
⋅
⋅
′
⋅⋅
′
⋅⋅
′
⋅
⋅
′
⋅⋅
′
⋅⋅
′
⋅
∗=
333231
232221
131211
333231
232221
131211
;;
;;
;;
;;
;;
;;
. (9)
В покомпонентной форме записи формулы (8) и (9) принимают вид
mnprlrkpjnimijkl
cc
⋅
α
⋅
α
⋅
α
⋅
α=
′
(8′)
и
mnprrlpknjmiijkl
cc
′
⋅
α
⋅
α
⋅
α
⋅
α
= , (9′)
(где по повторяющимся индексам m, n, p, r идет суммирование от 1 до 3),
совпадающий с известным [19] классическим законом ортогонального пре-
образования компонентов тензора 4 ранга.
304
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ
ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ ЗАКОНАМИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА
В этом приложении автор 1) кратко описывает разработанные им в [150,
168, 170, 171, 173, 177, 178, 188, 189, 196, 209] методы задания конкретных
серий законов распределения ГНА и 2), приводит примеры расчётов тензоров
проницаемостей для рассматриваемых законов распределения ГНА. В
качестве основной расчётной формулы для определения компонент тензора
проницаемости в линейном законе Дарси (1.3.9) выступает формула (1.3.6),
обоснование которой с позиций линейной алгебры приведено в П1.3 и она
представлена в виде (П1.3.6).
П2.1 Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом
распределения ГНА
Прямолинейным законом распределения ГНА назовем закон,
задаваемый с помощью семейства триортогональных плоскостей
constqconst
p
== , и const
r
= , где
),(),,(),,(
321
RhrRhqRhp
r
r
r
r
r
r
=== . (1)
Здесь
kzjyixR
r
r
r
r
++= - радиус-вектор точки ),,( zyxM в декартовой системе
координат
zy
x
,, , а )c,b,a(h),c,b,a(h),c,b,a(h
333322221111
===
r
r
r
- три заданных
попарно ортогональных единичных вектора;
;1
321
=== hhh
r
r
r
0),(),(),(
323121
=== hhhhhh
r
r
rrrr
. Векторы
321
,, hhh
r
r
r
задают поле ГНА, которое
естественно называть прямолинейным законом распределения ГНА.
Приступим теперь к расчёту тензора проницаемости. Пусть расчетной
системой координат является декартовая:
zyx ≡
≡
≡
ζ
η
ξ
,, . Систему же
координат
ζ
η
ξ
′
′
′
,, совместим с полем ГНА, т.е. rqp ≡
′
≡
′
≡
′
ζ
η
ξ
,, . Тогда
базисными векторами системы ГНА будут:
332211
;; h
r
r
eh
q
q
eh
p
p
e
r
r
r
r
r
=
∇
∇
=
′
=
∇
∇
=
′
=
∇
∇
=
′
. (2)
305
Базисные векторы расчетной системы zy
x
,, совпадают с ортами декартового
базиса:
kejeie
r
r
r
r
r
r
===
321
,, . Поэтому матрица П перехода базиса из
E
в базис
E
′
в соответствии с формулой (П1.1.11) будет иметь вид:
=
333
222
111
cba
cba
cba
П
. (3)
Тензор проницаемости в декартовых координатах для прямолинейного
закона распределения ГНА будет, в соответствии с (1.3.6) и (П1.3.6),
вычисляться по формуле
=
333
222
111
3
2
1
321
321
321
00
00
00
cba
cba
cba
ccc
bbb
aaa
K
λ
λ
λ
, (4)
где
21
,
λ
λ
и
3
λ
- главные проницаемости вдоль направлений
21
, hh
r
r
и
3
h
r
соответственно.
В частности, если
kh
r
r
=
3
, а jih
r
r
r
αα
sincos
1
+= и jih
r
r
r
αα
cossin
2
+−= , то
матрица преобразования базисов примет вид
αα−
αα
=
100
0cossin
0sincos
П
, и,
поэтому, из (4) получим:
=
==+=
=−==
=+=
333
3231
2
2
2
122
23212112
13
2
2
2
111
;0;cossin
;0;sincos)(
;0;sincos
λ
αλαλ
ααλλ
αλαλ
k
kkk
kkk
kk
. (5)
С помощью формул (5) ещё раз убеждаемся, что тензор проницаемости в
ортогональных расчетных координатах симметричен, а его компоненты
ij
k
удовлетворяют уравнениям (1.3.7), и (1.3.8) для инвариантов
21
, II и
3
I .
П2.2 Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим
законом распределения ГНА
Рассмотрим теперь закон распределения ГНА, задаваемый
координатными поверхностями ортогональной цилиндрической системы
306
координат: 1) круговыми цилиндрами с общей осью l ; 2) пучком плоскостей
с осью
l , и 3) семейством параллельных плоскостей, перпендикулярных к
оси
l .
Ось симметрии
l семейства круговых цилиндров зададим как линию
пересечения двух ортогональных плоскостей
1
π
и
2
π
:
(
1
π
): 0)RR(n
01
=−⋅
r
r
r
, (1)
(
2
π
): 0)(
02
=−⋅ RRn
r
r
r
. (2)
В уравнениях (1) и (2)
kzjyixR
r
r
r
r
0000
++= - радиус-вектор некоторой
зафиксированной точки
),,(
0000
zyxM оси l , а ),,(
1111
cban
=
r
и ),,(
2222
cban =
r
-
единичные и ортогональные друг к другу вектора нормалей плоскостей
1
π
и
2
π
:
0;1
2121212121
=++=⋅== ccbbaannnn
r
r
r
r
. (3)
Единичный направляющий вектор
3
n
r
оси l , очевидно, равен векторному
произведению
213
nnn
rr
r
×= . Первое ГНА будет задаваться единичным вектором
1
1
1
H
H
h
r
r
r
=
, где )n,RR(n)n,RR(nH
2021011
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−⋅+−⋅= . (4)
Второе ГНА будет задаваться вектором
2
2
2
H
H
h
r
r
r
=
, где ),(),(
2011022
nRRnnRRnH
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−⋅−−⋅= . (5)
Третье ГНА всюду параллельно оси
l и, следовательно,
33
nh
r
r
= . (6)
Поле направлений
321
,, hhh
r
rr
, определяемых формулами (4), (5), (6) и будем
называть круговым цилиндрическим законом распределения ГНА.
Матрица П перехода из базиса ГНА
321
,, hhh
r
r
r
в базис kji
r
rr
,, расчетной
декартовой системы координат в соответствии с формулой (П1.1.11) будет
иметь вид:
307
=
)k,h()j,h()i,h(
)k,h()j,h()i,h(
)k,h()j,h()i,h(
П
333
222
111
rrrrrr
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
. (7)
После того как матрица (7) будет найдена, тензор проницаемости в
декартовых координатах вычислим по формуле (П1.3.6), в которой
[]
321
λ,λ,λdiagK =
′
имеет диагональный вид.
П2.3 Тензор проницаемости для среды со сферическим законом
распределения ГНА
Теперь рассмотрим закон распределения ГНА, задаваемый
координатными поверхностями ортогональной сферической системы
координат, центр которой находится в точке
),,(
0000
zyxM . Как известно,
координатными поверхностями в сферической системе служат: 1) сферы с
центром в
0
M ; 2) круговые конусы с вершиной в
0
M и с общей осью l ,
проходящей через
0
M ; 3) пучок плоскостей с осью пучка l . Вектора
нормалей к перечисленным поверхностям в каждой точке
),,( zyxM будут
задавать ГНА. Первое из трех главных направлений анизотропии определим
по векторам нормалей к сферам с центром в
0
M . Ясно, что этими векторами
служат радиус-векторы, выходящие из
0
M . Поэтому единичный вектор
1
h
r
первого ГНА будет равен
,
)()()(
)()()(
2
0
2
0
2
0
000
0
0
1
zzyyxx
kzzjyyixx
RR
RR
h
−+−+−
−+−+−
=
−
−
=
r
r
r
rr
r
r
r
(1)
где
kzjyixR
r
rr
r
++= и kzjyixR
r
r
r
r
0000
++= - радиус-вектора точек
M
и
0
M в
декартовой системе
zy
x
,, .
Для определения двух других ГНА предварительно зададим ось
l
семейства круговых конусов с вершинной в
0
M . Ось l удобнее всего задать
как линию пересечения ортогональных друг к другу плоскостей
1
π
и
2
π
:
(
1
π
): 0)()()(
010101
=−
+
−
+
−
zzcyybxxa ; (2)
(
2
π
): 0)()()(
020202
=−
+
−
+
−
zzcyybxxa . (3)
308
Векторы нормалей ),,(
1111
cban
=
r
и ),,(
2222
cban
=
r
ортогональных
плоскостей
1
π
и
2
π
считаем единичными, поэтому
0),(;1
2121212121
=++=== ccbbaannnn
r
v
r
r
. (4)
Направляющий вектор
3
n
r
оси l будет, очевидно, задаваться векторным
произведением
213
nnn
r
r
r
×
=
. (5)
Второе ГНА
2
h
r
в точке ),,( zyxM указывает вектор нормали плоскости
3
π
,
проходящей через точку
M
и ось пучка l . Совершенно очевидно, что этот
вектор будет перпендикулярен к векторам
3
n
r
и
0
RR
r
r
− , которые лежат в
названной плоскости. Поэтому
)(
),(),(
)(
)(
03
021012
03
03
2
RRn
RRnnRRnn
RRn
RRn
h
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
r
r
−×
−⋅−−⋅
=
−×
−×
=
. (6)
Третье ГНА
3
h
r
в точке
M
задается вектором, перпендикулярным к
0
RR
r
r
−
(т.к. это вектор на образующей кругового конуса) и к
2
h
r
(т.к.
3
h
r
будет
располагаться в плоскости
3
π
, у которой вектор нормали
2
h
r
). Поэтому
)(
)(
02
02
3
RRh
RRh
h
rr
r
rr
r
r
−×
−×
=
. Подставляя в последнюю формулу выражение вектора
2
h
r
и
осуществляя преобразования, окончательно для третьего ГНА
3
h
r
получим
выражение
3
3
3
H
H
h
r
r
r
=
, где
[]
[
]
)RR,n(RR,n)RR,n(RR,nH
020101023
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−⋅−−−⋅−= . (7)
Таким образом, если известен центр
),,(
0000
zyxM семейства сфер и ось l
(задаваемая уравнениями (2) и (3)) круговых конусов с вершинами в точке
0
M , то вектора
21
, hh
r
r
и
3
h
r
, вычисляемые по формулам (1), (6) и (7), зададут в
точке
),,( zyxM главные направления анизотропии. Закон распределения ГНА,
задаваемый векторами
321
,, hhh
r
rr
, назовем сферическим законом.
309
Для расчета тензора проницаемости среды со сферическим законом
распределения ГНА вновь потребуется рассчитать матрицу П перехода от
базиса
321
,, hhh
rrr
к базису kji
r
rr
,, :
=
)k,h()j,h()i,h(
)k,h()j,h()i,h(
)k,h()j,h()i,h(
П
333
222
111
rrrrrr
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
(8)
и применить затем формулу (П1.3.6).
П2.4 Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами
распределения ГНА
В качестве следующего закона распределения ГНА рассмотрим тот
случай, когда два семейства поверхностей
constzyxp
=
),,( и constzyxq
=
),,(
представляют собой цилиндрические поверхности, ортогональные друг к
другу, а третье семейство поверхностей
constzyxr
=
),,( , ортогональное к
первым двум – семейство параллельных между собой плоскостей,
перпендикулярных к образующим цилиндрических поверхностей.
Распределения ГНА, определяемые описанной системой триортогональных
поверхностей, назовем цилиндрическими законами. В П2.3 рассматривался
частный случай цилиндрического закона распределения ГНА – круговой
цилиндрический закон. Сейчас рассмотрим общий случай задания
цилиндрических законов распределения ГНА.
П2.4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА
Пусть относительно некоторой зафиксированной декартовой системы
координат
),,(zyx образующие цилиндрических поверхностей constzyxp
=
),,(
и
const)z,y,x(q = параллельны заданному вектору 1};,,{ == snmls
rr
(т.е.
1
222
=++ n
m
l ). Семейства направляющих кривых для цилиндрических
поверхностей в плоскости
xOy зададим как линии уровня функций
),(
00
yxpp = и ),(
00
yxqq = (рис.69). Если функции ),(
0
yxp и ),(
0
yxq будут