Толпаев В.А. Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах
Подождите немного. Документ загружается.
191
Дебит скважины с одиночной горизонтальной трещиной
Для подсчёта на ЭВМ дебита скважины с непроницаемым стволом, приток
нефти к которой осуществляется через одиночную ГТ, введём следующие безраз-
мерные переменные:
;
r
R
R
0
0
= ;
r
b
b
0
0
= ;
r
r
1x
0
1
+=
(
)
;
r
b
y
0
1
l
−
=
0
2
r
y
l
= ;
()
y2
x1n2
n
⋅+
π
=τ ;
(
)
y2
1n2
q
n
+
π
=
()
()
(
)
() ()
n1n1
n0n0
n
qK;qI
K;I
y,xW
τ−τ
=
;
()
(
)()
() ()
n1n1
n1n1
n
qK;qI
K;I
y,xw
ττ
=
.
I
0
, I
1
– по – прежнему обозначают модифицированные функции Бесселя, а К
0
и К
1
-
функции Макдональда. Через
(
)
y,xS обозначим сумму ряда
()
(
)
()()
∑
∞
=
⋅+
=
0n
n
3
n
y,xw1n2
y,xW
y,xS
, (12)
а через S
1
и S
2
– её значения
S
1
= S(x, y
1
) ; S
2
= S(x, y
2
) . (13)
Тогда дебит Q = Q
1
+ Q
2
скважины с одной ГТ в безразмерных величинах будет
вычисляться по формуле
() ()
x
yS16
x
R
ln
Rln
b
y
x
yS16
x
R
ln
Rln
b
y
1
Q
Q
3
22
0
0
0
2
3
11
0
0
0
2
0
⋅π
⋅⋅
+
⋅
+
⋅π
⋅⋅
+
⋅
−
=
. (14)
В (14) через Q
0
обозначен дебит совершенной скважины, принятый за базисную
величину и вычисляемый по формуле Дюпюи
(
)
()
0
ПЩ
0
Rln
b2
Q
⋅ϕ−ϕ⋅π
=
. (15)
Вычислительные эксперименты, выполненные с помощью формулы (14), показа-
ли, что: 1). Максимальный дебит достигается при расположении трещины в сере-
дине пласта. 2). Если размер трещины больше мощности пласта (r
1
> b), то распо-
ложение трещины внутри пласта вдоль ствола скважины практически не играет
роли. Иными словами, в последнем случае гидроразрыв можно осуществлять в
любом месте ствола скважины – эффект от ГГРП практически будет всегда одина-
ков.
192
Дебит скважины с несколькими горизонтальными трещинами.
Интерференция горизонтальных трещин.
Рассмотрим ситуацию, когда в пласте создали N горизонтальных трещин, рав-
номерно распределённых вдоль ствола скважины – рис.56. Чтобы подсчитать
суммарный дебит такой гирлянды ГТ понадобится частный случай формулы (14) –
случай серединного положения ГТ. Для серединного положения
l = b/2 и, следова-
тельно, y
1
= y
2
= b
0
/2. С учётом этого, из (14) для дебита Q
ГТ
одиночной серединной
горизонтальной трещины получим значение
(
)
,
x
bS
~
8
x
R
ln
b2
Q
3
00
ПЩ
ГТ
π
⋅⋅
+
⋅ϕ−ϕπ
=
.
2
b
,xSS
~
где
0
=
(16)
Подчеркнём, что формула (16) относится к случаю, указанному на рис.55. Для под-
счёта же дебита одной трещины применительно к ситуации на рис.56 в (16) нужно
заменить b на b/N и b
0
на b
0
/N. Тогда после сложения дебитов отдельных трещин,
для их суммарного дебита Q
∑
получим выражение
(
)
,
xN
bS
~
8
x
R
ln
Rln
Q
Q
3
00
0
0
⋅⋅π
⋅⋅
+
=
∑
где .
N2
b
,xSS
~
0
⋅
=
(17)
В качестве базисной величины Q
0
по – прежнему выступает значение (15). Вычис-
лительные эксперименты, выполненные с помощью формулы (17), показали, что
для повышения производительности скважины выгоднее создавать одну крупную
ГТ в середине пласта, чем множество мелких трещин в гирлянде на рис.56. Под-
тверждением этого вывода служит следующий показательный результат расчётов:
одна серединная трещина с r
1
/r
0
= 300 даёт дебит в 1,8 раза больший, чем суммар-
ный дебит 20 мелких трещин r
1
/r
0
= 30. (Расчёт приведён для случая R/r
0
= 2000 и
b/r
0
= 400).
К таким же выводам приводят исследования эффективности ГГРП, получен-
ные экспериментально методом электролитического моделирования [112]. Это со-
гласование расчётных данных с экспериментальными подтверждает достоверность
результатов, получаемых по представленной математической модели горизонталь-
ного гидроразрыва пласта. Кроме того, ещё раз позволяет рекомендовать модифи-
193
цированный метод СВП в качестве простого оценочного метода в практических
инженерных расчётах.
Основные результаты главы 4:
1) автор доказал, что классическая постановка
задачи о течении к скважине, когда поверхность её ствола принимается за эквипо-
тенциальную, может приводить к заметным ошибкам в расчёте дебита, если не
учесть по приведённому в диссертации критерию возможность перехода в ПЗС
плоскорадиального течения в осесимметричное; 2) доказана необходимость учёта
при расчёте дебитов скважин возможного перехода в ПЗС линейного режима
фильтрации к нелинейному; 3) доказано, что расчёт сложных трёхмерных фильт-
рационных течений в ПЗС с приемлемой точностью можно выполнить методом
СВП; 4) проведены расчёты и даны практические рекомендации по оптимальному
соотношению проницаемостей ПЗС и пласта, по техническим параметрам приме-
няемых фильтров и по количеству и размерам искусственно создаваемых трещин
гидроразрыва.
193
ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К
ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ
СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ ФИЛЬТРАЦИИ
В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции нефте-
добывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких же
задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков проницаемости и,
во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нелинейному.
5.1. Расчёт дебита и поля давления для одиночной скважины
5.1.1. Методом функций Грина
Плоскопараллельная линейная напорная фильтрация несжимаемой жид-
кости к скважине в неоднородном пласте с проницаемостью
(
)
(
)
y,xkky,xK
0
⋅
=
, (1)
где
0
k - константа с размерностью проницаемости, а
()
yxk , - безразмерная
функция декартовых координат x, y плоскости течения описывается [108] эл-
липтическим уравнением
()
[]
() ()
0
y
y,xk
yx
y,xk
x
y,xL =
∂
ϕ∂
⋅
∂
∂
+
∂
ϕ∂
⋅
∂
∂
≡ϕ , (2)
в котором через
()
yx,
ϕ
обозначен потенциал скорости фильтрации
()
()
µ
ρ
+⋅
−=ϕ
ghpk
y,x
0
. Уравнение (2) решается совместно с граничными усло-
виями
constconst
C
C
П
П
=ϕ=ϕ=ϕ=ϕ и , (3)
где П – граница контура питания в области фильтрации D, а С – круговой кон-
тур скважины. Если потенциал скорости фильтрации ϕ(x, y) будет найден, то по
нему определим поле давления, а по закону Дарси – проекции скорости фильт-
рации на оси x и y:
() ()
y
y,xkv;
x
y,xkv
yx
∂
ϕ
∂
⋅=
∂
ϕ
∂
⋅= . (4)
Удельный дебит Q скважины с контуром C находится по формуле
19
4
()
∫∫
⋅
∂
ϕ
∂
⋅−=⋅−=
CC
n
ds
n
y,xkdsvQ
, (5)
где v
n
- нормальная к контуру C составляющая скорости фильтрации, а ds -
дифференциал длины дуги контура C. Для некоторых конкретных видов облас-
ти D и частных случаев законов изменения проницаемости (1) известны точные
аналитические решения задачи (2), (3). Например, для круговой области с кон-
кретными частными случаями проницаемости (1) такие решения приведены в
[35-38]. Для однородных грунтов и произвольной формы границы П задача (2),
(3) в [48] сведена к решению сингулярного интегрального уравнения, с помо-
щью которого находится параметр двухсвязности области D, а затем дебит
скважины Q. Л.В. Старшинова для решения задач разработки нефтяных место-
рождений стала применять методы коллокации [132] и конечных разностей
[133]. Г.Г. Вахитов
1
и М.Г. Алишаев
2
(с соавторами) предложили при примене-
нии метода сеток скважину моделировать как особый узел сетки. Такой способ
моделирования скважины в методе сеток даёт удовлетворительные результаты
главным образом для однородных изотропных пластов. Для неоднородных
грунтов разностные методы со скважиной в виде особого узла требуют приме-
нения сеток с шагом, на один-два порядка меньше, чем для однородных, что
делает их применение в этих случаях затруднительным. В этой работе для ре-
шения краевой задачи (2), (3) тоже предполагается использование численных
методов, но скважину предлагается моделировать при помощи 1-го фундамен-
тального решения уравнения (2), описывающего, как известно [23], течение от
точечного источника. В связи со сказанным перечислим некоторые конкретные
примеры фундаментальных решений g(x,y,x
0
,y
0
) [23, 32, 38, 101, 224 и др.]:
()()
Cyyxxln)y,x,y,x(g;constk
2
0
2
000
+−+−−== (6)
()
(
)
()
()()
;Cyyxxln
y,xk
y,xk
)y,x,y,x(g;0)y,x(k
2
0
2
0
00
00
+−+−⋅−==∆ (7)
1
Вахитов Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных месторождений. М.,Недра, 1970.
2
М.Г. Алишаев, М.Д. Розенберг, Е.В. Теслюк. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений.
М., Недра. 1985.
195
()
(
)
(
)()
()()
.yyxxr
;CarKsinryaexp)y,x,y,x(g;ay2exp)y,x(k
2
0
2
0
0000
−+−=
+⋅θ
⋅
−
−
=
=
где
(8)
Функция (6) отвечает однородному грунту; (7) – серии законов (1), когда k(x,y)
представляет собой квадрат гармонической функции; (8) – закону экспоненци-
ального изменения неоднородности, K
0
(ar) - функция Макдональда; x
0
,y
0
- ко-
ординаты точечного стока (скважины); С – некоторая аддитивная постоянная.
Замечание 1.
Перечисленные в (6) – (8) потенциалы точечных стоков
имеют нормированный удельный дебит, равный 2π единиц, так как для них ин-
тегралы
()
∫
π=⋅
∂
∂
⋅−
C
2ds
n
g
y,xk
. Поэтому, чтобы получить потенциал точечного
стока с другим значением дебита Q, соответствующую функцию в (6) – (8) надо
будет умножить на Q/2π.
Перейдём теперь к задаче о фильтрации жидкости к одиночной скважине
в неоднородном грунте (1) с произвольным контуром питания П.
Для расчёта потенциала ϕ(x,y) исследуемого течения предварительно по-
строим функцию Грина ϕ
0
(x,y), равную [135]
ϕ
0
(x,y) = g(x,y,x
0
,y
0
) + f(x,y) , (9)
где g(x,y,x
0
,y
0
) - известное фундаментальное решение уравнения (2), а f(x,y) –
решение вспомогательной краевой задачи с условиями Дирихле
()
[]
(
)
(
)
П
00
П
y,x,y,xgy,xf;0y,xfL −== (10)
без особых точек в области фильтрации D. Решение задачи (10) для частных
случаев областей D и законов изменения проницаемости (1) можно получить с
помощью точных аналитических методов, а в общем случае - с помощью како-
го – либо численного метода (например, метода конечных разностей или мето-
да конечных элементов). Функция Грина (9) будет удовлетворять вследствие
(10) краевому условию
(
)
.0y,x
П
0
=ϕ (11)
После того как функция Грина ϕ
0
(x,y) будет построена, потенциал течения к
скважине с удельным дебитом Q найдётся, с учётом замечания 1, по формуле
196
() ()
Ay,x
2
Q
y,x
0
+ϕ⋅
π
=ϕ , (12)
где Q и A – неопределённые постоянные. Эти постоянные находятся из гранич-
ных условий (4):
()
Ay,x
2
Q
;A
CC0С
С
П
П
+ϕ⋅
π
=ϕ=ϕϕ==ϕ . При записи условия на
скважине воспользовались общепринятым в теории фильтрации допущением о
возможности замены кругового контура скважины С на эквипотенциаль, про-
ходящую через какую – либо точку (x
c
,y
c
) на С. Теперь из последних двух ра-
венств находим искомое значение удельного дебита
(
)
()
.
y,x
2
Q
CC0
ПC
ϕ
ϕ
−
ϕ
⋅
π
= (13)
Поскольку вспомогательное решение f(x,y) внутри D не имеет особенностей, то
без принципиальных затруднений приемлемая точность в расчёте дебита Q и
поля давления p получается при применении известных конечно-разностных
методов на сетках с относительно крупным шагом.
5.1.2. Построение серий точных решений полуобратных граничных задач о де-
бите круговой скважины в однородных изотропных средах в постановке для
двухсвязных областей
Для однородных изотропных грунтов точные решения задачи о дебите
круговой скважины, в постановке для двухсвязных областей, получены для ог-
раниченного числа случаев в [41, 48, 87, 102, 103 и др.]. Между тем любое точ-
ное решение имеет самостоятельную ценность хотя бы потому, что его можно
применять для тестирования приближённых решений. Именно поэтому автор
приводит предлагаемый им простой метод построения серии точных решений
полуобратных граничных задач о расчёте дебита круговой скважины.
Уравнение (2) для однородного изотропного грунта будет уравнением Ла-
пласа. Его решения, удовлетворяющие на круговом контуре C скважины с ра-
диусом r
0
условию (3), будем строить с помощью преобразования обратных ра-
диус-векторов [123] по формуле
197
() ()
c
r
r
uru
r
rQ
r
ϕ
π
ϕ
+
Θ−Θ+
−=Θ ,,ln
2
,
2
0
0
, (14)
в которой u(r,θ) – пока произвольная гармоническая функция, не имеющая при
r > r
0
особых точек, а Q – неопределённая постоянная. Если теперь в формуле
(14) задавать конкретные гармонические функции, точечные особенности кото-
рых расположены за пределами окружности
0
rz = , то получим какое-то точное
решение задачи о дебите скважины в постановке для двухсвязной области. Ос-
тается лишь найти контур питания П. Для его отыскания строим эквипотенциа-
ли течения по формуле
()
const,r
=
Θ
ϕ , одну из которых можно принять за грани-
цу контура питания. Конкретный вид контура питания найдем в соответствии с
(14) из уравнения
()
A
r
r
uru
r
r
=
Θ−Θ+
,,ln
2
0
0
, (15)
в котором A>0 - некоторая безразмерная наперед заданная постоянная. Значе-
ние потенциала скорости фильтрации ϕ
П
на контуре питания (15) будет, в соот-
ветствии с (14) и (15), равно
cП
A
Q
ϕ
π
ϕ
+−=
2
, откуда для удельного дебита сква-
жины получим точное значение
(
)
A
Q
ПC
ϕ
ϕ
π
−
=
2
. (16)
В практических приложениях гармоническую функцию
()
Θ,ru в потенциале
(14) удобно представлять в виде ряда Фурье
() () ()
∑
∞
=
Θ
+Θ
+=Θ
1
00
0
sincos
2
,
n
n
n
n
n
n
r
r
n
r
r
ru
βα
α
, где α
0
, α
n
, β
n
– неопределённые без-
размерные коэффициенты. Тогда потенциал скорости фильтрации (14) иссле-
дуемого течения можно будет представить в виде:
198
() () ()()
Cnn
n
n
n
nn
r
r
r
r
r
rQ
r
ϕβα
π
ϕ
+
Θ+Θ
−
+
−=Θ
∑
∞
=
sincosln
2
,
1
0
00
. (17)
Уравнение контура питания (15) можно теперь представить в более удобной
для расчётов форме
() ()()
∑
∞
=
=Θ+Θ
−
+
1
0
00
sincosln
n
nn
n
n
Ann
r
r
r
r
r
r
βα
. (18)
Задавая в формуле (18) конкретные значения безразмерных коэффициентов α
0
,
α
n
, β
n
, будем получать отвечающие им различные формы контура питания.
Приведем конкретные примеры применения изложенного метода.
Пример 1.
Выберем в (18) безразмерные коэффициенты α
n
и β
n
следующим об-
разом: α
n
= β
n
=0 при n≥2, α
1
= α, β
1
= 0. Тогда уравнение контура питания
можно будет записать в виде
A=Θ
−+ cos
1
ln
τ
τατ
, где
0
r
r
=
τ
, 1>
τ
. Выразив от-
сюда
Θcos , получим удобную для построения контура питания форму записи
его уравнения:
()
1
ln
cos
2
−
−
=Θ
τα
τ
τ
τ
A
. (19)
Поскольку
Θcos - четная функция, то контур питания, определенный уравнени-
ем (19) будет симметричен относительно оси Ox. Для определения общего вида
этого контура можно задать две характеристические точки (так как имеется
только два параметра A и α). В качестве таких характеристических точек кон-
тура (19) можно взять его точки пересечения с осью Oy и с положительной ча-
стью оси Ox. Пусть при θ = 0 величина τ = τ
0
, а при
2
π
±=Θ величина τ = τ
1
. То-
гда относительно A и α получим уравнения
()
0
1
ln
2
1
111
=
−
−
τα
τ
τ
τ
A
и
()
1
1
ln
2
0
000
=
−
−
τα
τ
τ
τ
A
, из
которых находим что
199
;ln
1
τ
=
A
1
ln
2
0
1
0
0
−
=
τ
τ
τ
τ
α
. (20)
Уравнение контура питания через характеристические точки τ
0
и τ
1
запишется в
виде
0
0
1
1
2
2
0
ln
ln
1
1
cos
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
⋅
⋅
−
−
=Θ
. (21)
Для более полного представления о форме исследуемого контура питания най-
дем еще абсциссу точки пересечения τ
2
с отрицательной частью оси Ox. Из (21)
для отыскания τ
2
получаем уравнение:
1
ln
ln
1
1
0
2
0
1
2
1
2
2
2
0
−=⋅
⋅
−
−
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
. (22)
Уравнение (22) решалось комбинированным методом хорд и касательных. Най-
денные значения координат дополнительной характеристической точки τ
2
для
пяти частных случаев показаны на рис.57. С его помощью можно наглядно
представить общий вид овального контура питания с расположенной в нём в
начале координат круговой скважиной. Точное значение дебита скважины в
пластах с рассматриваемыми контурами питания находится, в соответствие с
(16) и (20), по формуле:
(
)
1
ПC
ln
2
Q
τ
ϕ
−
ϕ
π
= . (21)
Формула (21) применялась в вычислительном эксперименте по выбору опти-
мального варианта моделирования овального контура питания. А именно, как
точнее рассчитать дебит скважины: моделируя овал круговым контуром с ра-