Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

ν=

. (2.1.18)

Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ω è ÷àñòîòà ν ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

ω= πν=

. (2.1.19)

Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè òî÷êè ïî

îêðóæíîñòè ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ

òîëüêî ïî íàïðàâëåíèþ. Óñêîðåíèå ïðè

ýòîì íàïðàâëåíî ïî ðàäèóñó ê öåíòðó îê-

ðóæíîñòè è íàçûâàåòñÿ öåíòðîñòðåìèòåëü-

íûì, èëè íîðìàëüíûì óñêîðåíèåì:

==ω=ω

aRv

. (2.1.20)

Ïðè íåðàâíîìåðíîì äâèæåíèè òî÷êè

ïî îêðóæíîñòè ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ íå

òîëüêî ïî íàïðàâëåíèþ, íî è ïî àáñîëþò-

íîìó çíà÷åíèþ. Â ýòîì ñëó÷àå âåêòîð

ï î ë í î ã î ó ñ ê î ð å í è ÿ ñîñòîèò èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ: öåíò-

ðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ

è òàíãåíöèàëüíîãî óñêîðåíèÿ

íàïðàâëåííîãî ïî êàñàòåëüíîé âäîëü ñêîðîñòè ïðè óñêîðåííîì äâè-

æåíèè èëè ïðîòèâ — ïðè çàìåäëåííîì è õàðàêòåðèçóþùåãî èçìå-

íåíèå òîëüêî ìîäóëÿ ñêîðîñòè òî÷êè:

=ε

aR. (2.1.21)

Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè =

Èç ðèñ. 2.1.5. âèäíî, ÷òî ìîäóëü âåêòîðà ïîëíîãî óñêîðåíèÿ

aaa. (2.1.22)

Õàðàêòåðèñòèêè è óðàâíåíèÿ êèíåìàòèêè ïîñòóïàòåëüíîãî

è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé ñîïîñòàâëåíû â òàáë. 2.1.1.

§ 2.2. ÄÈÍÀÌÈÊÀ

Â äèíàìèêå êàæäîå òåëî õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàññîé. Ìàññà òåëà

îïðåäåëÿåò èíåðöèîííûå è ãðàâèòàöèîííûå ñâîéñòâà ìàòåðèè.

Îáùàÿ ìàññà ñèñòåìû òåë ðàâíà ñóììå ìàññ ñîñòàâëÿþùèõ åå òåë.

Ðèñ. 2.1.5. Íàïðàâëåíèÿ

âåêòîðîâ íîðìàëüíîãî

a ,

òàíãåíöèàëüíîãî

a è ïîë-

íîãî

óñêîðåíèé

§ 2.2. Äèíàìèêà

Ò à á ë è ö à 2.1.1

Êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè è óðàâíåíèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî

è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé

Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå

— ðàäèóñ-âåêòîð

— ïóòü =ϕSR

— óãîë

— ñêîðîñòü

=ωvR

— óãëîâàÿ ñêîðîñòü

— óñêîðåíèå

=ε

;

=ω

— óãëîâîå óñêîðåíèå

Ôîðìà óðàâíåíèÿ

Äèôôåðåí-

Èíòåãðàëüíàÿ

Äèôôåðåí-

Èíòåãðàëüíàÿ

öèàëüíàÿ öèàëüíàÿ

()

() d

rt r v t=+

∫

rrr

()tϕ

() d

ttϕ=ϕ+ω

∫

rrr

()

() d

vt v a t=+

∫

rrr

()

ω=

() d

ttω=ω+ε

∫

rrr

()

()at

()

ωϕ

ε= =

()tε

Ðàâíîìåðíîå

rr vt=+

tϕ=ϕ +ω

rr r

Ðàâíîïåðåìåííîå

vv at=+

rr r

tω=ω +ε

rr r

rr vt at=+ +

rr r r

ttϕ=ϕ +ω + ε

rr r r

Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì â êëàññè÷åñêîé è íåðåëÿòèâèñò-

ñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå.

Íåìàëîâàæíóþ ðîëü èãðàþò è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè òåë, íà-

ïðèìåð ðàçìåð, ôîðìà è èõ èçìåíåíèå ïðè ðàçëè÷íûõ âçàèìîäåé-

ñòâèÿõ. Êîãäà òàêîâûå íå ñóùåñòâåííû, óäîáíî ââîäèòü ïîíÿòèå

ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, òî åñòü îáúåêòà, ëèøåííîãî ðàçìåðîâ è ôîð-

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

ìû, íî èìåþùåãî ìàññó. Ðàçáèâàÿ óñëîâíî êàæäîå òåëî íà ÷àñòè,

ðàçìåðû êîòîðûõ ïðåíåáðåæèìî ìàëû, ìîæíî ïðåäñòàâèòü òåëî

êàê ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.

Êîëè÷åñòâåííîé ìåðîé âçàèìîäåéñòâèÿ òåë ÿâëÿåòñÿ ñèëà. Ñèëà

ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé è õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèåì, íà-

ïðàâëåíèåì è òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ. Åñëè ê ìàòåðèàëüíîé òî÷êå ïðè-

ëîæåíî íåñêîëüêî ñèë

, , ... , ,

FF F

rr r

òî èõ äåéñòâèÿ ìîæíî çàìå-

íèòü äåéñòâèåì ñèëû

êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé

è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíóþ ñóììó äàííûõ ñèë:

=+++=

∑

rrr r r

FFF F F. (2.2.1)

Åñëè ìû èìååì äåëî íå ñ òî÷êîé, à ñ ìàòåðèàëüíûì òåëîì, òî

äåéñòâèå íåñêîëüêèõ ñèë â îáùåì ñëó÷àå íåëüçÿ ñâåñòè ê äåéñòâèþ

îäíîé ñèëû. Îäíàêî ýòî äåéñòâèå ìîæíî ñâåñòè ê äåéñòâèþ îäíîé

ñèëû è îäíîé ïàðû ñèë (ìîìåíòà ñèëû), âûçûâàþùèõ ïîñòóïà-

òåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ñîîòâåòñòâåííî.

Òåëà âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì ñèëîâûõ ïîëåé. Ñèëîâîå

ïîëå — ýòî îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé íà òåëî

äåéñòâóåò ñèëà, çàâèñÿùàÿ îò ñâîéñòâ òåëà.

Ìåòîäû èçìåðåíèÿ ìàññû è ñèëû ñëåäóþò èç îñíîâíûõ çàêî-

íîâ äèíàìèêè. Âèä îñíîâíûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè çàâèñèò îò ñè-

ñòåìû îòñ÷åòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå.

Çàêîíû äèíàìèêè ôîðìóëèðóþòñÿ äëÿ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì, õà-

ðàêòåðèçóþùèõñÿ òåì, ÷òî â òàêèõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà òåëî ñîõðàíÿ-

åò ñîñòîÿíèå ïîêîÿ èëè ðàâíîìåðíîãî ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ,

ïîêà íà íåãî íå ïîäåéñòâóåò êàêàÿ-ëèáî ñèëà. Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè

0F èëè =

∑

F òî

constv

èëè

0.v

(2.2.2)

Ýòî îïðåäåëåíèå èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ç à ê î í î ì

èíåðöèè, èëè ïåðâûì çàêîíîì Íüþòîíà.

Îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè ôîðìóëèðóåòñÿ âî â ò î ð î ì ç à -

ê î í å Í ü þ ò î í à: óñêîðåíèå, êîòîðîå ïðèîáðåòàåò ìàòåðèàëü-

íàÿ òî÷êà ìàññîé m ïîä äåéñòâèåì ñèëû

ïðÿìî ïðîïîðöèî-

íàëüíî ñèëå è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ìàññå òî÷êè:

(2.2.3)

Ñîãëàñíî ò ð å ò ü å ì ó ç à ê î í ó Í ü þ ò î í à, ïðè âçàèìî-

äåéñòâèè äâóõ òåë ñèëû, äåéñòâóþùèå íà íèõ, ðàâíû ïî çíà÷åíèþ

è ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ:

§ 2.2. Äèíàìèêà

=−

12 21

FF. (2.2.4)

Èçìåðèâ óñêîðåíèÿ, ïîëó÷åííûå òåëàìè ïðè âçàèìîäåéñòâèè,

ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîøåíèÿ èõ ìàññ, òî åñòü ñðàâíèòü ëþáóþ ìàñ-

ñó ñ ýòàëîííîé. Â ÑÈ ýòàëîíîì ìàññû ÿâëÿåòñÿ êèëîãðàìì (êã).

Èçìåðÿÿ óñêîðåíèÿ, ïðèäàâàåìûå îäíîé è òîé æå ìàññå ðàçëè÷-

íûìè ñèëàìè, ìîæíî èçìåðÿòü ñèëû. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà òðåõ

çàêîíîâ Íüþòîíà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âñå âõîäÿùèå â íèõ íåêè-

íåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíû, ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé è ïîëíîé.

Çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ñèëû ïðèíÿò íüþòîí (Í) — ñèëà, êîòî-

ðàÿ ìàññå 1 êã ïðèäàåò óñêîðåíèå 1 ì/ñ

[]

F = Í = êã•ì/ñ

Èìïóëüñîì òåëà ìàññîé m, äâèæóùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ

v, íàçû-

âàåòñÿ âåêòîð

Pmv

. (2.2.5)

Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà,

d( ) dmv F t=

(2.2.6)

èëè

∆= − =

∫

rr r r

() () d

PPt Pt Ft

, (2.2.7)

ãäå ∆

P — èçìåíåíèå èìïóëüñà òåëà;

∫

— èìïóëüñ ñèëû, äåéñò-

âóþùèé íà òåëî çà âðåìÿ

∆= −

tt t. Åäèíèöà èçìåðåíèÿ èìïóëü-

ñà:

[]

P = êã•ì/ñ.

Èìïóëüñîì ñèñòåìû òåë íàçûâàåòñÿ âåêòîðíàÿ ñóììà èìïóëüñîâ

âñåõ òåë, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó:

11 22

nn ii

Mv m v m v m v m v

=++…+ =

∑

rr r r r

. (2.2.8)

Â ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìàññàìè

…

,,,

mm m ñóùåñòâóåò

òî÷êà, êîòîðîé ìîæíî ïðèïèñàòü ïîëíóþ ìàññó ñèñòåìû =

∑

è ïîëíûé èìïóëüñ

Mv m v

∑

. Òàêàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ öåíòðîì

ìàññ, èëè öåíòðîì èíåðöèè ñèñòåìû. Åñëè ðàäèóñ-âåêòîð i-é òî÷êè

ðàâåí

, òî ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ ðàâåí:

∑

. (2.2.9)

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

Ç à ê î í ñ î õ ð à í å í è ÿ è ì ï ó ë ü ñ à: åñëè íà ñèñòåìó òåë

íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû (òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ çàìêíó-

òîé), òî âíóòðåííèå ñèëû íå ìîãóò èçìåíèòü èìïóëüñ ñèñòåìû,

è îí îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì:

ïðè

const

PMv mv== =

∑

. (2.2.10)

Åñëè òåëî äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû

, òî ðàáîòîé, ñîâåð-

øàåìîé ñèëîé

ïðè ïåðåìåùåíèè íà âåëè÷èíó

∆

, íàçûâàåòñÿ

ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñèëû è ïåðåìåùåíèÿ:

cosAF r F r=⋅∆=⋅∆⋅ α

, (2.2.11)

ãäå α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

Ðàáîòà ñèëû

çà âðåìÿ

∆= −

tt t ñîñòàâëÿåò:

∫

AFr. (2.2.12)

Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ äæîóëü

(Äæ) — ðàáîòà, êîòîðóþ ñîâåðøàåò ñèëà â 1 Í íà ïóòè â 1 ì:

[]

A =

= Äæ = Í•ì.

Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ñèëîé

â åäèíèöó âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ

ìîùíîñòüþ

dd() d

cos

dd d

AFSFS

NFvFv

tt t

⋅

== = =⋅=⋅⋅α

, (2.2.13)

ãäå α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

Åäèíèöåé ìîùíîñòè ÿâëÿåòñÿ âàòò (Âò). Ýòî ìîùíîñòü, ïðè

êîòîðîé çà 1 ñ ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà â 1 Äæ:

[]

=N Âò = Äæ/ñ.

Êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé äâèæóùåãîñÿ òåëà íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíàÿ

âåëè÷èíà

кин

E =

. (2.2.14)

Èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òåëà çà âðåìÿ

∆= −

tt t

ðàâíî ðàáîòå A ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåãî çà ýòî âðåìÿ:

кин

mv t mv t

AFr E

==−=∆

∫

. (2.2.15)

Ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé òåëà èëè ñèñòåìû òåë íàçûâàåòñÿ ýíåð-

ãèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âçàèìîäåéñòâó-

§ 2.2. Äèíàìèêà

þùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òåëà èëè òåë, ñîñòàâëÿþùèõ ýòó ñèñòå-

ìó, è îò èõ ïîëîæåíèÿ âî âíåøíåì ñèëîâîì ïîëå (íàïðèìåð, ãðà-

âèòàöèîííîì, ýëåêòðîìàãíèòíîì è ò. ï.). Åñëè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåð-

ãèÿ íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé äâèæåíèÿ, òî ïîòåíöèàëüíàÿ — ýíåðãèåé

ïîëîæåíèÿ.

Ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ ñèñ-

òåì, â êîòîðûõ äåéñòâóþò òàê íàçûâàåìûå êîíñåðâàòèâíûå ñèëû.

Êîíñåðâàòèâíûìè íàçûâàþòñÿ ñèëû, ðàáîòà êîòîðûõ íå çàâèñèò îò

ïóòè, ïî êîòîðîìó ÷àñòèöà ïåðåõîäèò èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ â äðó-

ãîå, òî åñòü ðàáîòà ýòèõ ñèë íà ëþáîì çàìêíóòîì ïóòè ðàâíà íóëþ.

Ïðèìåðîì êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ñëóæèò ñèëà òÿæåñòè, íåêîíñåðâà-

òèâíûõ — ñèëà òðåíèÿ.

Óìåíüøåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè

пот

Е òåëà ïðè åãî ïåðå-

ìåùåíèè èç îäíîãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå â äðóãîå ÷èñëåííî

ðàâíî ðàáîòå, êîòîðóþ ñîâåðøàþò ïðè ýòîì äåéñòâóþùèå íà íåãî

êîíñåðâàòèâíûå ñèëû:

() ()

пот 1 пот 2

ЕrЕr A

−=

. (2.2.16)

Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó â êàæäîé òî÷êå ïîëÿ, ñâÿçàíà

ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ÷àñòèöû â ýòîé òî÷êå ïîëÿ ñëåäóþùèì

îáðàçîì:

пот

gradFЕ=−

. (2.2.17)

Ôîðìóëà (2.2.17) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåð-

ãèþ ñèñòåìû â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ. Íàïðèìåð, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-

ãèÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè ñîñòàâëÿåò

пот

Еmgh

à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè —

пот

Е =

, (2.2.18)

ãäå m — ìàññà òåëà; g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; h —

âûñîòà òåëà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà; k — êîýôôèöèåíò óï-

ðóãîñòè; x — ñìåùåíèå òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ãäå

пот

0Е

Èç ôîðìóëû (2.2.17) âèäíî, ÷òî ê âåëè÷èíå

пот

ìîæåò áûòü

äîáàâëåíà ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, è ýòî íå èçìåíèò çíà÷åíèå

ñèëû

. Ïîýòîìó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå ìîæåò áûòü îïðå-

äåëåíà îäíîçíà÷íî. Íåîïðåäåëåííîñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè

óñòðàíÿþò, çàäàâ òàêîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû, â êîòîðîì åå ïîòåí-

öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óñëîâíî ðàâíà íóëþ.

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

Ïðèðàâíÿâ ôîðìóëû (2.2.15) è (2.2.16), ïîëó÷àåì

() ()

пот 1 пот 2

mv t mv t

ЕrЕr

−=−

, (2.2.19)

èëè

()

пот 1 пот 2

mv t mv t

Еr Еr

+=+

. (2.2.20)

Äàííûå ôîðìóëû âûðàæàþò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõà-

í è ÷ å ñ ê î é ý í å ð ã è è: ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé

ýíåðãèé òåëà ñîõðàíÿåòñÿ:

кин пот

constEE

. (2.2.21)

Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé

ýíåðãèè âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî ïðè îòñóòñòâèè ñèë òðåíèÿ â ñèñòåìå.

Íàëè÷èå ñèë òðåíèÿ âûçûâàåò äèññèïàöèþ ýíåðãèè — óìåíüøå-

íèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè è ïðåâðàùåíèå åå âî âíóòðåííþþ ýíåð-

ãèþ, òî åñòü â òåïëî.

Åñëè äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñóùåñòâóåò ñâÿçü, íå ïîçâîëÿþ-

ùàÿ åé óäàëèòüñÿ íà ðàññòîÿíèå, áîëüøåå, ÷åì

, îò öåíòðà âðà-

ùåíèÿ, òî îíà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè.

Öåíòðîñòðåìèòåëüíîé ñèëîé íàçûâàåòñÿ ñèëà

, ñîçäàþùàÿ

öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå (2.1.20)

, íåîáõîäèìîå äëÿ

òîãî, ÷òîáû ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m äâèãàëàñü ïî îêðóæíî-

ñòè ðàäèóñîì R ñî ñêîðîñòüþ v.

Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà,

== =ω

Fmam mR

. (2.2.22)

Ðàâíàÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíîé ñèëå è ïðîòèâîïîëîæíî åé íà-

ïðàâëåííàÿ ñèëà, ñ êîòîðîé ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ñîãëàñíî òðåòüå-

ìó çàêîíó Íüþòîíà, äåéñòâóåò íà ñâÿçü, íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæíîé

ñèëîé.

Ïðè öåíòðèôóãèðîâàíèè ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íåêîòîðûé ìà-

ëûé îáúåì V æèäêîñòè ñî ñòîðîíû îêðóæàþùåé æèäêîñòè, ðàâíà

ddFRV=ρω

, (2.2.23)

ãäå

— ïëîòíîñòü æèäêîñòè;

— óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ;

R — ðàññòîÿíèå îò ÷àñòèöû äî îñè âðàùåíèÿ.

§ 2.2. Äèíàìèêà

Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó, çàíèìàþùóþ äàííûé îáúåì dV,

ddFRV=ρω

, (2.2.24)

ãäå

— ïëîòíîñòü âåùåñòâà ÷àñòèöû.

Ïðè

FF ÷àñòèöû ïåðåìåùàþòñÿ ê îñè âðàùåíèÿ, à ïðè

— îò îñè âðàùåíèÿ.

Ýôôåêòèâíîñòü öåíòðèôóãèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ñèë

è dF

ц2121

ddd( )dFFF RV=−=ρ−ρω , (2.2.25)

òî åñòü ýôôåêò òåì áîëüøå, ÷åì â áoëüøåé ñòåïåíè îòëè÷àþòñÿ

ïëîòíîñòè ñåïàðèðóåìûõ ÷àñòèö è îêðóæàþùåé æèäêîñòè è ÷åì

áîëüøå óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ öåíòðèôóãè.

Âðàùåíèå òåëà ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì ñèëû

, ïðèëîæåí-

íîé ê òî÷êå òåëà, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè

îò îñè âðàùåíèÿ.

Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ìîìåíò ñèëû, èëè âðàùàþùèé ìîìåíò

MrF



=×



(2.2.26)

èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå:

=αsinMrF , (2.2.27)

ãäå α — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

. Åñëè

âçàèìíî ïåð-

ïåíäèêóëÿðíû, òî α=sin 1 è

MrF

Ïðè äåéñòâèè íåñêîëüêèõ âðàùàþùèõ ìîìåíòîâ

, ,...,

MM M

rr r

èõ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì ìîìåíòîì, ðàâíûì âåêòîðíîé ñóììå

äàííûõ ìîìåíòîâ:

...

MM M M M

=+++=

∑

rr r r r

. (2.2.28)

Ìîìåíòîì èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ âåêòîð

LrP



=×



, (2.2.29)

ãäå

— èìïóëüñ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè;

— ðàññòîÿíèå îò òî÷êè

äî îñè âðàùåíèÿ.

Òàê êàê =

Pmv

[]

=ω×

, òî

[][]LrPmrvmr I=× = ×= ω=ω

rrr

. (2.2.30)

Èç ôîðìóëû (2.2.30) âèäíî, ÷òî íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìîìåíòà

èìïóëüñà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè.

Âåëè÷èíà =

Imr

íàçûâàåòñÿ ìîìåíòîì èíåðöèè ìàòåðèàëü-

íîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ. Ìîìåíò èíåðöèè ñëóæèò

ìåðîé èíåðòíîñòè òåëà ïðè âðàùåíèè âîêðóã íåêîòîðîé îñè, òàê

æå êàê ìàññà ñëóæèò ìåðîé èíåðòíîñòè ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâè-

æåíèè [ñðàâíèòå ôîðìóëû (2.2.5) è (2.2.30)].

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà

Åñëè ðàññìàòðèâàòü òâåðäîå òåëî, âðàùàþùååñÿ âîêðóã îñè, êàê

ñîâîêóïíîñòü ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê

m , êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàõî-

äèòñÿ íà ðàññòîÿíèè

îò îñè âðàùåíèÿ, òî ìîìåíò èíåðöèè ýòîãî

òåëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê

Imr=

∑

, (2.2.31)

èëè

∫

Irm. (2.2.32)

ãäå V — îáúåì òåëà.

Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ìîìåíòà èíåðöèè:

[]

êã•ì

Ìîìåíòû èíåðöèè îäíîðîäíûõ òåë ïðàâèëüíîé ôîðìû îòíî-

ñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ:

øàðà ðàäèóñîì R —

ImR

; (2.2.33)

öèëèíäðà ñ âíóòðåííèì r è âíåøíèì R (îñü âðàùåíèÿ ñîâïàäà-

åò ñ ãåîìåòðè÷åñêîé îñüþ öèëèíäðà) ðàäèóñàìè —

()

ImrR

; (2.2.34)

òîíêîñòåííîãî öèëèíäðà (

≈

) —

Imr; (2.2.35)

ñïëîøíîãî öèëèíäðà (

) —

ImR

; (2.2.36)

òîíêîãî ñòåðæíÿ äëèíîé l (îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò ïåðïåíäè-

êóëÿðíî ñòåðæíþ ÷åðåç åãî ñåðåäèíó) —

Iml

. (2.2.37)

Ñîãëàñíî ò å î ð å ì å Ã þ é ã å í ñ à—Ø ò å é í å ð à, ìîìåíò èíåð-

öèè I îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

II md, (2.2.38)

ãäå I

— ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç

öåíòð ìàññ òåëà è ïàðàëëåëüíîé çàäàííîé; m — ìàññà òåëà; d —

ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè. Ýòà òåîðåìà ñâîäèò âû÷èñëåíèå ìîìåíòà

èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè ê âû÷èñëåíèþ ìîìåíòà

èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà.

§ 2.2. Äèíàìèêà

Îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, èëè

âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ:

, (2.2.39)

èëè

==ε

MI I

, (2.2.40)

ãäå I — ìîìåíò èíåðöèè; ε

— óãëîâîå óñêîðåíèå;

— ìîìåíò

ñèëû.

Èç îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ

ñëåäóåò ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ: åñëè

ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ ìîìåíòîâ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê òåëó

∑

MM, òî

constω=

èëè

0ω=

è ç à ê î í ñ î õ ð à í å í è ÿ

ì î ì å í ò à è ì ï ó ë ü ñ à: ìîìåíò èìïóëüñà çàìêíóòîé ñèñòåìû

ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì:

, èëè =

constL . (2.2.41)

Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ:

=−

12 21

MM. (2.2.42)

Ïðè âðàùåíèè òåëà âíóòðåííèå ñèëû ðàáîòû íå ñîâåðøàþò.

Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïðè ïîâîðîòå íà ìàëûé óãîë

d ϕ ðàâíà

=ϕd

AM , (2.2.43)

ãäå M

— ïðîåêöèÿ ìîìåíòà ñèë íà îñü âðàùåíèÿ.

Òîãäà ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïðè ïîâîðîòå òåëà íà óãîë

∆

−

ðàâíà

=ϕ=∆ϕ

∫

AM M

. (2.2.44)

Ìîùíîñòü N â ñëó÷àå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ

== =ω

NMM

. (2.2.45)

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè

кин

. (2.2.46)

Ãëàâà 2. Ìåõàíèêà